REAÇÕES NOS APOIOS DE VIGAS EM BALANÇO E DE PÓRTICOS

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INTRODUÇÃO À ESTRUTURA
PROFESSOR MSc. JOSÉ ANTONIO FARIAS COELHO
AULA 14
REAÇÕES NOS APOIOS DE VIGAS EM BALANÇO E DE PÓRTICOS
Cálculo de reações nos apoios de vigas em balanço isostáticas
• Para a viga em balanço estar em equilíbrio estático é condição necessária que ele não se 
desloque na horizontal (𝛴𝐹𝑥 = 0), não se desloque na vertical (𝛴𝐹𝑦 = 0) e nem gire 
(𝛴𝑀 = 0);
• As vigas em balanço isostáticas (engastadas livres) apresentam um apoio engastado, que 
apresentará uma reação horizontal, uma reação vertical e de momento;
• Nas vigas em balanço isostáticas podem agir cargas concentradas, cargas distribuídas e 
momentos concentrados.
AULA 15 - REAÇÕES NOS APOIOS DE VIGAS EM BALANÇO E DE PÓRTICOS
Exemplo 01
𝛴𝐹𝑥 = 0
𝐻𝐴 − 20 = 0
𝐻𝐴 = 20𝑘𝑁 →
𝛴𝐹𝑦 = 0
𝑉𝐴 − 20 = 0
𝑉𝐴 = 20𝑘𝑁 ↑
𝛴𝑀𝐴 = 0
𝑀𝐴 − 20𝑥4 − 20𝑥2 = 0
𝑀𝐴 − 80 − 40 = 0
𝑀𝐴 − 120 = 0
𝑀𝐴 = 120𝑘𝑁𝑚 (𝑎𝑛𝑡𝑖 − ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜)
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Exemplo 02
𝛴𝐹𝑥 = 0
𝐻𝐶 = 0
𝛴𝐹𝑦 = 0
𝑉𝐷 − 20𝑥2 = 0
𝑉𝐷 − 40 = 0
𝑉𝐷 = 40𝑘𝑁 ↑
𝛴𝑀𝐶 = 0
−𝑀𝐶 + 20𝑥2𝑥3 = 0
−𝑀𝐶 + 120 = 0
−𝑀𝐶 = −120
𝑀𝐶 = 120𝑘𝑁𝑚 (ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜)
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Exemplo 03
𝛴𝐹𝑥 = 0
𝐻𝐴 = 0
𝛴𝐹𝑦 = 0
𝑉𝐴 − 20𝑥2 + (20𝑥2) = 0
𝑉𝐴 − 40 + 40 = 0
𝑉𝐴 = 0
𝛴𝑀𝐴 = 0
𝑀𝐴 − 20𝑥2𝑥1 + (20𝑥2𝑥3) = 0
𝑀𝐴 − 40 + 120 = 0
𝑀𝐴 = −80
𝑀𝐴 = 80𝑘𝑁𝑚 (ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜)
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Exemplo 04
𝛴𝐹𝑥 = 0
𝐻𝐴 = 0
𝛴𝐹𝑦 = 0
𝑉𝐴 = 0
𝛴𝑀𝐴 = 0
𝑀𝐴 − 40 = 0
𝑀𝐴 = 40𝑘𝑁𝑚 (𝑎𝑛𝑡𝑖 − ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜)
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Exemplo 05
𝛴𝐹𝑥 = 0
𝐻𝐴 − 10 = 0
𝐻𝐴 = 10𝑘𝑁 →
𝛴𝐹𝑦 = 0
𝑉𝐴 − 20 = 0
𝑉𝐴 = 20𝑘𝑁 ↑
𝛴𝑀𝐶 = 0
𝑀𝐶 − 60 + 20𝑥4 − (10𝑥2) = 0
𝑀𝐶 − 60 + 80 − 20 = 0
𝑀𝐴 = 0
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Cálculo de reações nos apoios de pórticos
• Para a viga em balanço estar em equilíbrio estático é condição necessária que ele não se desloque 
na horizontal (𝛴𝐹𝑥 = 0), não se desloque na vertical (𝛴𝐹𝑦 = 0) e nem gire (𝛴𝑀 = 0);
• Os pórticos são conjuntos de pilares e vigas com nós fixos. Os pórticos isostáticos apresentam um 
apoio articulado móvel (uma reação vertical) e um apoio articulado fixo (uma reação vertical e 
uma reação horizontal);
• Nas vigas em balanço isostáticas podem agir cargas concentradas, cargas distribuídas e momentos 
concentrados.
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Exemplo 06
𝛴𝐹𝑥 = 0
𝐻𝐷 = 0
𝛴𝐹𝑦 = 0
𝑉𝐷 + 𝑉𝐸 − 80 = 0
𝑉𝐷 + 𝑉𝐸 = 80𝑘𝑁
𝛴𝑀𝐷 = 0
(𝑉𝐸𝑥4) − (80𝑥2) = 0
𝑉𝐸𝑥4 − 160 = 0 ∴ 𝑉𝐸𝑥4 = 160
𝑉𝐸 =
160
4
∴ 𝑉𝐸 = 40𝑘𝑁 ↑
𝑉𝐷 + 40 = 80
𝑉𝐷 = 40𝑘𝑁 ↑
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Exemplo 07
𝛴𝐹𝑥 = 0 ∴ −𝐻𝐷 + 40 = 0
−𝐻𝐷 = −40 ∴ 𝐻𝐷 = 40𝑘𝑁 ←
𝛴𝐹𝑦 = 0
𝑉𝐷 + 𝑉𝐸 − 80 = 0
𝑉𝐷 + 𝑉𝐸 = 80𝑘𝑁
𝛴𝑀𝐷 = 0
𝑉𝐸𝑥4 − 80𝑥2 − (40𝑥2) = 0
𝑉𝐸𝑥4 − 160 − 80 = 0 ∴ 𝑉𝐸𝑥4 = 240
𝑉𝐸 =
240
4
∴ 𝑉𝐸 = 60𝑘𝑁 ↑
𝑉𝐷 + 60 = 80
𝑉𝐷 = 20𝑘𝑁 ↑
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Exemplo 08
𝛴𝐹𝑥 = 0 ∴ −𝐻𝐷 + (20𝑥2) = 0
−𝐻𝐷 = −40 ∴ 𝐻𝐷 = 40𝑘𝑁 ←
𝛴𝐹𝑦 = 0
𝑉𝐶 + 𝑉𝐷 − (20𝑥4) = 0
𝑉𝐶 + 𝑉𝐷 = 80𝑘𝑁
𝛴𝑀𝐷 = 0
− 𝑉𝐶𝑥4 − 20𝑥2𝑥1 + (20𝑥4𝑥2) = 0
−𝑉𝐶𝑥4 − 40 + 160 = 0 ∴ 𝑉𝐶𝑥4 = 120
𝑉𝐶 =
120
4
∴ 𝑉𝐶 = 30𝑘𝑁 ↑
30 + 𝑉𝐷 = 80
𝑉𝐷 = 50𝑘𝑁 ↑
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Exemplo 09
𝛴𝐹𝑥 = 0
𝐻𝐶 = 0
𝛴𝐹𝑦 = 0
𝑉𝐶 + 𝑉𝐷 = 0
𝛴𝑀𝐷 = 0
− 𝑉𝐶𝑥4 − 120 = 0
−𝑉𝐶𝑥4 = 120
𝑉𝐶 = −
120
4
∴ 𝑉𝐶 = −30 ∴ 𝑉𝐶 = 30𝑘𝑁 ↓
−30 + 𝑉𝐷 = 0
𝑉𝐷 = 30𝑘𝑁 ↑
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Exercício 01
Calcule as reações de apoio da estrutura isostática a seguir:
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Exercício 02
Calcule as reações de apoio da estrutura isostática a seguir:
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Exercício 03
Calcule as reações de apoio da estrutura isostática a seguir:
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Reflexão
O cálculo das reações nos apoios das estruturas isostáticas não analisa o comportamento 
dos esforços internamente nos elementos. Isso pode ser comprovado quando verificamos 
que o resultado dos cálculos feitos até agora não dependem da forma desses elementos.
Esse é o próximo passo importante do cálculo estrutural, que definirá quais partes de cada 
elemento estão sendo mais solicitadas.
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Material de apoio
• HIBBELER C.H. Análise das Estruturas. Editora Pearson. 2013. Páginas 24 a 56;
• HIBBELER, C.H. Estática. Editora Pearson. 2011. Páginas 158 a 163;
• https://www.youtube.com/watch?v=tS_1NQfXng8
• https://www.youtube.com/watch?v=Rep7__n1pzg
• https://www.youtube.com/watch?v=kY1GAKri9vU
AULA 15 - REAÇÕES NOS APOIOS DE VIGAS EM BALANÇO E DE PÓRTICOS
https://www.youtube.com/watch?v=tS_1NQfXng8
https://www.youtube.com/watch?v=Rep7__n1pzg
https://www.youtube.com/watch?v=kY1GAKri9vU