Lista 1 - Espaço tridimensional, vetores (atualizada em 2701)

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Cálculo e Geometria Anaĺıtica II
Lista 1 - Coordenadas tridimensionais;
Vetores; Equações de retas e de planos
Sistemas de Coordenadas Tridimensionais
1. O que a equação x = 4 representa no plano R2 ? O que ela representa no espaço R3 ? Ilustre
com esboços.
2. Descreva e esboce a superf́ıcie em R3 representada pela equação x2 + z2 = 9.
3. Encontre os comprimentos dos lados do triângulo PQR onde P = (3,−2,−3), Q = (7, 0, 1) e
R = (1, 2, 1). Esse triângulo é um triângulo retângulo?
4. Determine uma equação da esfera com centro em (1,−4, 3) e raio 5. Qual é a intersecção dessa
esfera com o plano xz?
5. Determine uma equação da maior esfera com centro em (5, 4, 9) contida no primeiro octante.
6. .
(a) Determine uma equação da esfera que passa pela origem e tem centro em (1, 2, 3).
(b) Determine o centro e o raio da esfera cuja equação é x2 + y2 + z2 − 4x+ 6y − 2z + 5 = 0.
Vetores
7. Seja A = (1,−3, 5). Encontre um ponto B tal que o vetor
−−→
AB tenha mesma direção, mesmo
sentido e o dobro do módulo do vetor v = 〈2, 0, 6〉, ou seja, tal que
−−→
AB = 2v.
8. Dados os pontos A = (1, 2, 3), B = (5, 2, 1) e C = (4, 0,−1). Determine o ponto D tal que
ABCD seja um paralelogramo.
9. Verifique se os pontos A = (5, 1,−3), B = (0, 3, 4) e C = (1, 2, 5) são colineares.
10. Seja u = 〈2, 3〉. Encontre um vetor com norma igual a 1 em R2 que tenha mesma direção e
sentido que u.
11. Encontre os vetores unitários em R2 que são paralelos à reta tangente à parábola y = x2 no
ponto (2, 4).
Produto Escalar; Projeções
12. Sejam u = 〈2, 3,−4〉 e v = 〈1, 1, 1〉 dois vetores em R3. O ângulo entre u e v é agudo, reto ou
obtuso?
13. Sejam u = 〈2, α〉 e v = 〈3, 5〉. Encontre α tal que:
(a) u e v sejam paralelos
(b) u e v sejam ortogonais
(c) O ângulo entre u e v seja π/3
1
14. Uma reta no plano tem equação y = 3x+ 2.
(a) Determine um vetor paralelo a esta reta.
(b) Determine um vetor ortogonal a esta reta.
15. Sejam u = 〈2,−1, 3〉 e w = 〈4, 0,−1〉. Escreva u como uma soma u = u1 + u2 em que u1 é
paralelo a w e u2 é ortogonal a w.
16. O objetivo desse exerćıcio é mostrar, usando vetores, que o ângulo inscrito em um semićırculo
é reto.
Na figura ao lado, P é um ponto sobre o semićırculo
com centro em C.
(a) Escreva o vetor u em termos dos vetores r e w.
(b) Escreva o vetor v em termos dos vetores r e w.
(c) Usando os itens acima, propriedades do produto
escalar, e o fato que ‖r‖ = ‖w‖, conclua que
u·v = 0, ou seja, os vetores u e v são ortogonais.
Produto Vetorial
17. Calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores u = 〈2, 3 − 1〉 e v = 〈4, 0, 2〉 e
exiba um vetor simultaneamente ortogonal a u e v.
18. Calcule a área do triângulo em R3 que tem vértices em A = (1, 2, 3), B = (2, 0, 3) e C =
(4,−3, 5).
19. Calcule a área do triângulo em R2 que tem vértices em A = (1, 1), B = (2, 4) e C = (0, 5).
20. Dado o triângulo de vértices A = (0, 1,−1), B = (−2, 0, 1) e C = (1,−2, 0), determine a
medida da altura relativa ao lado BC. Dica: A área do triângulo é (base× altura)/2
21. Calcule a distância(∗) do ponto P = (4, 3, 3) à reta que passa por A = (1, 2,−1) e B = (3, 1, 1).
Dica: Esse problema se parece com o anterior?
(∗) Definimos a distância de um ponto P a uma reta r como sendo a norma do vetor # �PQ, onde
Q é o único ponto de r tal que o vetor
# �
PQ é ortogonal ao vetor direcional de r.
22. Encontre dois vetores v e w, não nulos, em R3 que sejam ortogonais entre si e ortogonais ao
vetor u = 〈1, 1, 1〉.
Equações Paramétricas de retas
23. Considere as retas
L1 :

x = 1 + 2t
y = 2− t
z = 3 + 3t
,−∞ < t < +∞; e L2 :

x = −7 + 3t
y = 1 + t
z = 10− 5t
,−∞ < t < +∞
Elas são paralelas? Elas se intersectam?
24. Considere as retas
L1 :

x = 2 + 2t
y = 2− t
z = 3 + 3t
,−∞ < t < +∞; e L2 :

x = −1 + 2t
y = 1 + t
z = 10− 3t
,−∞ < t < +∞
Elas são paralelas? Elas se intersectam?
2
Planos no espaço tridimensional
25. Considere a reta L de equações paramétricas

x = 1− t
y = 5 + 3t
z = 2− t
;−∞ < t < +∞
e os ponto P = (1, 3, 3) e Q = (2, 2, 3).
(a) Um dos pontos (P ou Q) pertence à reta L. Qual deles?
(b) Obtenha a equação do plano que contém a reta L e os pontos P e Q.
26. Encontre equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P = (1, 2, 3) e é perpendicular
ao plano de equação 3(x− 1) + 2(y − 2)− (z + 4) = 0.
27. Sejam A = (0, 1, 3), B = (1, 2, 4) e C = (2, 1, 6).
(a) Seja π o plano que contém A, B e C. Obtenha uma equação geral para o plano π.
(b) Seja r a reta que passa pela origem (0, 0, 0) e é perpendicular ao plano π. Obtenha equações
paramétricas para a reta r.
(c) Encontre as coordenadas do ponto de interseção entre a reta r e o plano π.
(d) Calcule a distância(∗∗) entre o plano π e a origem (0, 0, 0).
(∗∗) Definimos a distância de um ponto P a um plano π como sendo a norma do vetor # �PQ,
onde Q é o único ponto de π tal que o vetor
# �
PQ é paralelo ao vetor normal ao plano π.
28. Encontre uma equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (1,−2, 0) e que é paralela
aos planos x+ y + z = 2 e 2x+ y − z = 6.
3
Soluções
1. (a) Uma reta paralela ao eixo y. (b) Um plano paralelo ao plano yz. Ilustração neste link.
2. Um cilindro de raio 3 em torno do eixo y. Ilustração neste link.
3. a = |QR| = 2
√
10, b = |PQ| = 6, c = |RP | = 6. O triângulo não é retângulo, pois a2 < b2 + c2.
4. (x − 1)2 + (y + 4)2 + (z − 3)2 = 52. A interseção com o plano xz é um ćırculo neste plano de
raio 3 com centro no ponto (1, 0, 3).
5. (x− 5)2 + (y − 4)2 + (z − 9)2 = 42.
6. (a) (x− 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 14.
(b) Fazendo completamento de quadrados, podemos reescrever a equação
x2 + y2 + z2 − 4x+ 6y − 2z + 5 = 0
na forma
(x− 2)2 + (y + 3)2 + (z − 1)2 = 9,
e isso mostra que o centro da esfera é o ponto (2,−3, 1) e o raio é igual a 3.
7. B = (5,−3, 17)
8. Devemos ter
−−→
AB =
−−→
DC e isso acontece quando D = (0, 0, 1).
9. Os pontos A, B e C não são colineares pois os vetores
−−→
AB e
−→
AC não são paralelos, isto é, suas
coordenadas não são proporcionais.
10. 〈 2√
13
, 3√
13
〉.
11. 〈 1√
17
, 4√
17
〉 e 〈− 1√
17
,− 4√
17
〉.
12. O ângulo é agudo pois u · v = 1 > 0.
13. (a) α = 103 . (b) α = −
6
5 . (c) É preciso encontrar α de modo que
6+5α
(4+α2)1/2(32+52)1/2
= 12 .
Resolvendo a equação, obtermos α = 34
11
√
3
− 2011 ≈ −0, 033645.
14. (a) Por exemplo 〈1, 3〉. (b) Por exemplo 〈3,−1〉.
15. u1 é a projeção ortogonal de u sobre w e u2 = u− u1.
Fazendo as contas, obtemos u1 = 〈 2017 , 0,−
5
17 〉, u2 = 〈
14
17 ,−1,
56
17 〉.
16. (a) u = r−w (b) v = r + w
(c) u · v = (r−w) · (r + w) = r · r + r ·w −w · r−w ·w = ‖r‖2 − ‖w‖2 = 0
17. u× b = 〈6,−8,−12〉 é simultaneamente ortogonal a u e v. Além disso, ‖u× v‖ =
√
244 é a
área do paralelogramo determinado por u e v.
18.
√
21
2 .
19. Dica: Se você quiser usar o produto vetorial, que só está definido para vetores em R3, considere
os pontos A′ = (1, 1, 0), B′ = (2, 4, 0), C ′ = (0, 5, 0) em R3. A solução é 72 .
20. 3
√
35
7 .
21.
√
65
3 .
22. Por exemplo v = 〈−2, 1, 1〉 e w = u× v = 〈0, 3,−3〉.
4
https://www.geogebra.org/m/jae44q3d
https://www.geogebra.org/m/ceg68w78
23. Elas não são paralelas pois os respectivos vetores diretores não são paralelos.
Elas se intersectam no ponto (−1, 3, 0).
24. Elas não são paralelas pois os respectivos vetores diretores não são paralelos.
Elas não se intersectam, são retas reversas.
25. (a) P não pertence à reta pois não existe t para o qual

1 = 1− t
3 = 5 + 3t
3 = 2− t
.
Q pertence à reta pois o sistema

2 = 1− t
2 = 5 + 3t
3 = 2− t
é satisfeito quando t = −1.
(b) O vetor v = 〈−1, 3,−1〉 é vetor diretor da reta, e portanto pertence ao plano.
O vetor u =
−−→
PQ = 〈1,−1, 0〉 também pertence ao plano.
Logo, o vetor n = u×v = 〈1, 1, 2〉 é ortogonal ao plano. Portanto uma equação para o plano
é
(x− 1) + (y − 3) + 2(z − 3) = 0.
26.

x = 1 + 3t
y = 2 + 2t
z = 3− t
t ∈ R
27.
(a) Note que
−−→
AB = 〈1, 1, 1〉 e
−→
AC = 〈2, 0, 3〉. O vetor n =
−−→
AB ×
−→
AC = 〈3,−1,−2〉 é ortogonal
ao plano. Logo, podemos escrever a equação na forma
3(x− x0)− (y − y0)− 2(z − z0) = 0,
onde (x0, y0, z0) é qualquer ponto do plano. Usando o ponto A = (0, 1, 3), obtemos a equação
3x− y − 2z + 7 = 0.
(b) Podemos tomar n = 〈3,−1,−2〉 como o vetor diretor da reta r. Como ela passa pela origem,
obtemos as equações paramétricas
r :

x = 3t
y = −t
z = −2t
, t ∈ R
(c) Um ponto genérico da reta é da forma (3t,−t,−2t). Devemos encontrar t de modo que esse
ponto pertença ao plano π, ou seja, de modo que 3(3t)−(−t)−2(−2t)+7 = 0. Essa igualdade
é satisfeita quando t = − 12 . Logo, o ponto de interseção é o ponto (−
3
2 ,
1
2 , 1).
(d) A distância entre a origem (0, 0, 0) e o plano π coincide com a distância entre a origem e o
ponto encontrado no item anterior. Logo, a distância é
√(
− 32
)2
+
(
1
2
)2
+ 1 =
√
14
2 .
28. Sejam n1 =< 1, 1, 1 > e n2 =< 2, 1,−1 > os vetores normais aos planos dados. O vetor
direcional da reta que procuramos é u = n1 × n2 =< −2, 3,−1 >. Assim uma equação da reta é
x = 1− 2t, y = −2 + 3t, z = −t, t ∈ R.
5