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Cálculo e Geometria Anaĺıtica II - 2020 Lista 1 - Vetores; equações de retas e de planos Vetores 1. Seja A = (1,−3, 5). Encontre um ponto B tal que o vetor −−→ AB tenha mesma direção, mesmo sentido e o dobro do módulo do vetor v = 〈2, 0, 6〉, ou seja, tal que −−→ AB = 2v. 2. Dados os pontos A = (1, 2, 3), B = (5, 2, 1) e C = (4, 0,−1). Determine o ponto D tal que ABCD seja um paralelogramo. 3. Verifique se os pontos A = (5, 1,−3), B = (0, 3, 4) e C = (1, 2, 5) são colineares. 4. Seja u = 〈2, 3〉. Encontre um vetor com norma igual a 1 em R2 que tenha mesma direção e sentido que u. Produto Escalar; Projeções 5. Sejam u = 〈2, 3,−4〉 e v = 〈1, 1, 1〉 dois vetores em R3. O ângulo entre u e v é agudo, reto ou obtuso? 6. Sejam u = 〈2, α〉 e v = 〈3, 5〉. Encontre α tal que: (a) u e v sejam paralelos (b) u e v sejam ortogonais (c) O ângulo entre u e v seja π/3 7. Uma reta no plano tem equação y = 3x+ 2. (a) Determine um vetor paralelo a esta reta. (b) Determine um vetor ortogonal a esta reta. 8. Sejam u = 〈2,−1, 3〉 e w = 〈4, 0,−1〉. Escreva u como uma soma u = u1 + u2 em que u1 é paralelo a w e u2 é ortogonal a w. 9. O objetivo desse exerćıcio é mostrar, usando vetores, que o ângulo inscrito em um semićırculo é reto. Na figura ao lado, P é um ponto sobre o semićırculo com centro em C. (a) Escreva o vetor u em termos dos vetores r e w. (b) Escreva o vetor v em termos dos vetores r e w. (c) Usando os itens acima, propriedades do produto escalar, e o fato que ‖r‖ = ‖w‖, conclua que u·v = 0, ou seja, os vetores u e v são ortogonais. 1 Produto Vetorial 10. Calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores u = 〈2, 3 − 1〉 e v = 〈4, 0, 2〉 e exiba um vetor simultaneamente ortogonal a u e v. 11. Calcule a área do triângulo em R3 que tem vértices em A = (1, 2, 3), B = (2, 0, 3) e C = (4,−3, 5). 12. Calcule a área do triângulo em R2 que tem vértices em A = (1, 1), B = (2, 4) e C = (0, 5). 13. Dado o triângulo de vértices A = (0, 1,−1), B = (−2, 0, 1) e C = (1,−2, 0), determine a medida da altura relativa ao lado BC. Dica: A área do triângulo é (base× altura)/2 14. Calcule a distância(∗) do ponto P = (4, 3, 3) à reta que passa por A = (1, 2,−1) e B = (3, 1, 1). Dica: Esse problema se parece com o anterior? (∗) Definimos a distância de um ponto P a uma reta r como sendo a norma do vetor # »PQ, onde Q é o único ponto de r tal que o vetor # » PQ é ortogonal ao vetor direcional de r. 15. Encontre dois vetores v e w, não nulos, em R3 que sejam ortogonais entre si e ortogonais ao vetor u = 〈1, 1, 1〉. Equações Paramétricas de retas 16. Considere as retas L1 : x = 1 + 2t y = 2− t z = 3 + 3t ,−∞ < t < +∞; e L2 : x = −7 + 3t y = 1 + t z = 10− 5t ,−∞ < t < +∞ Elas são paralelas? Elas se intersectam? 17. Considere as retas L1 : x = 2 + 2t y = 2− t z = 3 + 3t ,−∞ < t < +∞; e L2 : x = −1 + 2t y = 1 + t z = 10− 3t ,−∞ < t < +∞ Elas são paralelas? Elas se intersectam? Planos no espaço tridimensional 18. Considere a reta L de equações paramétricas x = 1− t y = 5 + 3t z = 2− t ;−∞ < t < +∞ e os ponto P = (1, 3, 3) e Q = (2, 2, 3). (a) Um dos pontos (P ou Q) pertence à reta L. Qual deles? (b) Obtenha a equação do plano que contém a reta L e os pontos P e Q. 19. Encontre equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P = (1, 2, 3) e é perpendicular ao plano de equação 3(x− 1) + 2(y − 2)− (z + 4) = 0. 20. Sejam A = (0, 1, 3), B = (1, 2, 4) e C = (2, 1, 6). (a) Seja π o plano que contém A, B e C. Obtenha uma equação geral para o plano π. (b) Seja r a reta que passa pela origem (0, 0, 0) e é perpendicular ao plano π. Obtenha equações paramétricas para a reta r. (c) Encontre as coordenadas do ponto de interseção entre a reta r e o plano π. 2 (d) Calcule a distância(∗∗) entre o plano π e a origem (0, 0, 0). (∗∗) Definimos a distância de um ponto P a um plano π como sendo a norma do vetor # »PQ, onde Q é o único ponto de π tal que o vetor # » PQ é paralelo ao vetor normal ao plano π. 21. Encontre uma equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (1,−2, 0) e que é paralela aos planos x+ y + z = 2 e 2x+ y − z = 6. 3 Soluções 1. B = (5,−3, 17) 2. Devemos ter −−→ AB = −−→ DC e isso acontece quando D = (0, 0, 1). 3. Os pontos A, B e C não são colineares pois os vetores −−→ AB e −→ AC não são paralelos, isto é, suas coordenadas não são proporcionais. 4. 〈 2√ 13 , 3√ 13 〉. 5. O ângulo é agudo pois u · v = 1 > 0. 6. (a) α = 103 . (b) α = − 6 5 . (c) É preciso encontrar α de modo que 6+5α (4+α2)1/2(32+52)1/2 = 12 . Resolvendo a equação, obtermos α = 34 11 √ 3 − 2011 ≈ −0, 033645. 7. (a) Por exemplo 〈1, 3〉. (b) Por exemplo 〈3,−1〉. 8. u1 = 〈 2017 , 0,− 5 17 〉, u2 = 〈 14 17 ,−1, 56 17 〉. 9. (a) u = r−w (b) v = r + w (c) u · v = (r−w) · (r + w) = r · r + r ·w −w · r−w ·w = ‖r‖2 − ‖w‖2 = 0 10. u× b = 〈6,−8,−12〉 é simultaneamente ortogonal a u e v. Além disso, ‖u× v‖ = √ 244 é a área do paralelogramo determinado por u e v. 11. √ 21 2 . 12. Dica: Se você quiser usar o produto vetorial, que só está definido para vetores em R3, considere os pontos A′ = (1, 1, 0), B′ = (2, 4, 0), C ′ = (0, 5, 0) em R3. A solução é 72 . 13. 3 √ 35 7 . 14. √ 65 3 . 15. Por exemplo v = 〈−2, 1, 1〉 e w = u× v = 〈0, 3,−3〉. 16. Elas não são paralelas pois os respectivos vetores diretores não são paralelos. Elas se intersectam no ponto (−1, 3, 0). 17. Elas não são paralelas pois os respectivos vetores diretores não são paralelos. Elas não se intersectam, são retas reversas. 18. (a) P não pertence à reta pois não existe t para o qual 1 = 1− t 3 = 5 + 3t 3 = 2− t . Q pertence à reta pois o sistema 2 = 1− t 2 = 5 + 3t 3 = 2− t é satisfeito quando t = −1. (b) O vetor v = 〈−1, 3,−1〉 é vetor diretor da reta, e portanto pertence ao plano. O vetor u = −−→ PQ = 〈1,−1, 0〉 também pertence ao plano. Logo, o vetor n = u×v = 〈1, 1, 2〉 é ortogonal ao plano. Portanto uma equação para o plano é (x− 1) + (y − 3) + 2(z − 3) = 0. 19. x = 1 + 3t y = 2 + 2t z = 3− t t ∈ R 4 20. (a) Note que −−→ AB = 〈1, 1, 1〉 e −→ AC = 〈2, 0, 3〉. O vetor n = −−→ AB × −→ AC = 〈3,−1,−2〉 é ortogonal ao plano. Logo, podemos escrever a equação na forma 3(x− x0)− (y − y0)− 2(z − z0) = 0, onde (x0, y0, z0) é qualquer ponto do plano. Usando o ponto A = (0, 1, 3), obtemos a equação 3x− y − 2z + 7 = 0. (b) Podemos tomar n = 〈3,−1,−2〉 como o vetor diretor da reta r. Como ela passa pela origem, obtemos as equações paramétricas r : x = 3t y = −t z = −2t , t ∈ R (c) Um ponto genérico da reta é da forma (3t,−t,−2t). Devemos encontrar t de modo que esse ponto pertença ao plano π, ou seja, de modo que 3(3t)−(−t)−2(−2t)+7 = 0. Essa igualdade é satisfeita quando t = − 12 . Logo, o ponto de interseção é o ponto (− 3 2 , 1 2 , 1). (d) A distância entre a origem (0, 0, 0) e o plano π coincide com a distância entre a origem e o ponto encontrado no item anterior. Logo, a distância é √( − 32 )2 + ( 1 2 )2 + 1 = √ 14 2 . 21. Sejam n1 =< 1, 1, 1 > e n2 =< 2, 1,−1 > os vetores normais aos planos dados. O vetor direcional da reta que procuramos é u = n1 × n2 =< −2, 3,−1 >. Assim uma equação da reta é x = 1− 2t, y = −2 + 3t, z = −t, t ∈ R. 5
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