Matemática Econômica III

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Matemática Econômica 
III
Aula 1
O espaço 𝑛 − 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
› Seja 𝑅 o conjunto dos números reais. O conjunto formado
por todos os pares ordenados de reais é chamado de
𝑬𝒔𝒑𝒂ç𝒐 𝒃𝒊𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍.
› Simbologia:
› R x R ou simplesmente R²
› R² = {(a,b)|aR e bR}
› lê-se “o par ordenado (a,b) tal que a pertence ao conjuntos
dos reais e b pertence ao conjunto dos reais”.
𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑏𝑖𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
› Geometricamente, um elemento (𝑎, 𝑏) de R² pode ser representado
no plano cartesiano, por um ponto de 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 𝑎 e 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑏.
𝒚
𝒙0
𝑏
𝑃 (𝑎, 𝑏)
𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
Relações de 𝑅²
› Relação Binária, ou simplesmente relação no 𝑅², a todo 
subconjunto de 𝑅².
› Exemplos: Represente graficamente;
1. Seja 𝐴 = 𝑥, 𝑦  𝑅2 𝑦 = 2𝑥 + 1}
2. Seja 𝐵 = 𝑥, 𝑦  𝑅2 𝑦 ≥ 2𝑥 + 1}
3. Seja 𝐶 = 𝑥, 𝑦  𝑅2 𝑥² + 𝑦² ≤ 4}
4. Seja 𝐷 = 𝑥, 𝑦 𝑅2 𝑥 > 3}
5. Uma fábrica produz um artigo a um custo fixo de R$ 10,00 e
um custo variável por unidade igual a R$ 2,00. Seja 𝑥 a
quantidade produzida. O Custo total 𝑦 para fabricar
𝑥 unidades do artigo é 𝑦 = 10 + 2𝑥, 𝑥 ≥ 0 . O gráfico
dessa relação é...
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜1
› Seja 𝐴 = 𝑥, 𝑦  𝑅2 𝑦 = 2𝑥 + 1}
› Solução:
› 𝒙 = 𝟎
› 𝑦 = 2.0 + 1 → 𝑦 = 1
› 𝒚 = 𝟎
› 0 = 2𝑥 + 1
› 2𝑥 = −1
› 𝑥 = −1/2
1 (0,1)
−1 −1/2
𝑥
𝑦
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜2
› Seja 𝐵 = 𝑥, 𝑦  𝑅2 𝑦 ≥ 2𝑥 + 1}
› Solução:
› 𝒙 = 𝟎
› 𝑦 ≥ 2.0 + 1 → 𝑦 ≥ 1
› 𝒚 = 𝟎
› 0 ≥ 2𝑥 + 1
› 2𝑥 + 1 ≤ 0
› 𝑥 ≤ −1/2
1 (0,1)
−1 −1/2
𝑥
𝑦
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜3
› Seja 𝐶 = 𝑥, 𝑦  𝑅2 𝑥² + 𝑦² ≤ 4}
› Solução:
› 𝑥 − 0 ² + 𝑦 − 0 ² ≤ 4
› 𝑥 − 0 ² + 𝑦 − 0 ² ≤ 22
› 𝐶 0,0 𝑒 𝑟2 = 2
2
−2
𝑥
𝑦
2
−2
0
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜4
› Seja 𝐷 = 𝑥, 𝑦 𝑅2 𝑥 > 3}
› Solução:
› 𝑥 > 3, 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥 𝑠ã𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 3.
𝑥
𝑦
30
𝐸𝑥𝑒𝑟𝑐í𝑐𝑖𝑜1
1. Um consumidor tem uma verba de $30,00 que ele pretende alocar
na compra de dois bens 𝐴 e 𝐵 de preços unitários $1,00 e $2,00,
respectivamente. Sejam 𝑥 e 𝑦 as quantidades consumidas de 𝐴 e
𝐵. Represente graficamente os possíveis pares (𝑥, 𝑦).
Solução: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = $30,00
𝐴 = $1,00
𝐵 = $2,00
𝑥 + 2𝑦 = 30
𝑥 = 0
0 + 2𝑦 = 30
𝑦 = 30/2 = 15
𝑦 = 0
𝑥 + 2.0 = 30
𝑥 = 30
15 (0,30)
30
𝑥
𝑦
(30,0)
Exercícios
Uma empresa de informática produz dois modelos de impressoras, 𝐼 e 𝐽.
O custo de produzir o modelo 𝐼 é $300,00 por unidade e o de produzir
o modelo 𝐽 é $400,00 . Devido a restrições no orçamento, a empresa
pode gastar por semana no máximo $12.000,00 . A capacidade de mão
de obra da empresa permite fabricar no máximo 35 impressoras por
semana. Sejam 𝑥 e 𝑦 as quantidades de 𝐼 e 𝐽 que podem ser produzidos
por semana. Represente graficamente os possíveis valores de 𝑥 e 𝑦.
Solução:
300𝐼 + 400𝐽 = 12.000
𝐼 = 0
𝐼 + 400𝐽 = 12.000 → 𝐽 = 30
𝐽 = 0
300𝐼 + 0 = 12.000 → 𝐼 = 40
𝐼 + 𝐽 = 35
𝐼 = 0
0 + 𝐽 = 35 → 𝐽 = 35
𝐽 = 0
𝐼 + 0 = 35 → 𝐼 = 35
30
𝐼
𝐽
35
35 40
Observações:
› No plano cartesiano a representação gráfica de uma
função 𝑦 = 𝑓(𝑥), os pontos que estão “acima” do gráfico
satisfazem a relação 𝑦 > 𝑓(𝑥) e os pontos “abaixo” do
gráfico satisfazem a relação 𝑦 < 𝑓(𝑥).
› No caso de termos a representação geométrica de uma
circunferência de equação (𝑥 − 𝑎)² + (𝑦 − 𝑏)² = 𝑟² , de
centro 𝐶(𝑎, 𝑏) e raio 𝑟, os pontos interiores a ela
satisfazem a relação (𝑥 − 𝑎)² + (𝑦 − 𝑏)² < 𝑟², e os
pontos exteriores a ela satisfazem a relação (𝑥 − 𝑎)² +
(𝑦 − 𝑏)² > 𝑟².
› Uma relação do tipo 𝑥 > 𝑘 é representada
geometricamente pelos pontos do plano à direita da reta
vertical 𝑥 = 𝑘; a relação 𝑥 < 𝑘 é representada pelos
pontos à esquerda da reta vertical 𝑥 = 𝑘.
Distância entre dois pontos
› Sejam (𝑥1, 𝑦1) e (𝑥2, 𝑦2) dois elementos de 𝑅² , representados
geometricamente pelos pontos 𝑃1 e 𝑃2 . A distância entre eles é o
número
𝑑 𝑃1, 𝑃2 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
2P
1P
𝑦
𝑥
𝑦2
𝑦1
𝑥1 𝑥20
𝑑 𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Exercícios: 
› Calcule a distância entre os pontos 𝐴 e 𝐵 nos seguintes
casos:
a. 𝐴(3,4) 𝑒 𝐵(0,0)
b. 𝐴(−1,2) 𝑒 𝐵(2, −6)
c. 𝐴(3, −1) 𝑒 𝐵(2, −7)
d. 𝐴(1,0) 𝑒 𝐵(−2,−6)
e. 𝐴(𝑚 + 3,𝑚 − 1) 𝑒 𝐵(𝑚 − 1,𝑚 + 2)
Exemplo
› Esboçe o gráfico da relação e obtenha os pontos que 
satisfazem simultaneamente as relações:
› (𝐼) 𝑦 ≥ 𝑥 + 2 𝑒 (𝐼𝐼) 𝑦 ≥ 2
› Solução:
Exercícios:
› Obtenha os pontos do plano que satisfazem 
simultaneamente as relações:
a. 𝑥 + 𝑦 ≥ 2 𝑒 – 𝑥 + 𝑦 ≥ 2
b. 𝑥 + 𝑦 ≤ 10; 𝑥 ≤ 4; 𝑦 ≤ 2; 𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑦 ≥ 0
c. 𝑥² + 𝑦² ≤ 9 𝑒 𝑥 + 𝑦 ≥ 3
Espaço Tridimensional
› Seja 𝑅 o conjunto dos números reais. O conjunto
formado por todos as triplas ordenadas de reais é
chamado de 𝑬𝒔𝒑𝒂ç𝒐 𝒕𝒓𝒊𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍.
› Simbologia:
› 𝑅 𝑥 𝑅 𝑥 𝑅 ou simplesmente 𝑅³
› 𝑅³ = {(𝑎, 𝑏, 𝑐)|𝑎 𝑅 , 𝑏 𝑅, 𝑐  𝑅}
Espaço Tridimensional
› Geometricamente, um elemento (𝑎, 𝑏, 𝑐) do 𝑅³ pode ser
representado por um ponto 𝑃 de 𝒂𝒃𝒔𝒄𝒊𝒔𝒔𝒂 𝑎, 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂 𝑏 e
𝒄𝒐𝒕𝒂 𝑐 , num sistema de eixos 0𝑥, 0𝑦 𝑒 0𝑧 perpendiculares
dois a dois. A 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑐 é a distância do ponto 𝑃 em relação ao
plano determinado pelos eixos 0𝑥 𝑒 0𝑦, precedida pelo sinal
+ se o ponto estiver “acima” do plano, e precedida pelo
sinal – se estiver “abaixo” desse plano.
𝒙
𝒚
𝒛
𝒂
𝒃𝒄
𝑷
𝟎
𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑅³
Relações em R³
› Chama-se relação no 𝑅³ a todo subconjunto de 𝑅³.
› Exemplo1:
› Se 𝐴 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑥 = 0}, a representação geométrica de 𝐴 é o 
plano determinado pelos eixos 0𝑦 𝑒 0𝑧.
𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 𝒛𝒚
Continuando...
› Exemplo2.
› Se 𝐵 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑧 = 2}, a representação geométrica desse
conjunto é o plano paralelo ao plano determinado por
0𝑥 𝑒 0𝑦 e distante duas unidades do mesmo.
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑅³
› Pode-se provar que toda relação do 𝑅³ que satisfaz uma equação
do tipo 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 (com 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 reais e 𝑎, 𝑏, 𝑐 não
nulos simultaneamente) tem como representação geométrica um
plano no espaço tridimensional.
› O gráfico de tal ponto pode ser obtido por meio de três pontos
não alinhados.
› Exemplo1.
› Obter o gráfico do plano de equação 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 – 6 = 0.
› Solução:
› Cada ponto do plano pode ser obtido atribuindo-se valores 
arbitrários a duas das variáveis e calculando-se o valor da outra 
pela equação.
Continuando...
› Para 𝑥 = 0 𝑒 𝑦 = 0, teremos 𝑧 − 6 = 0,
ou seja, 𝑧 = 6, então o ponto obtido é
(0,0,6)
› Para 𝑥 = 0 𝑒 𝑧 = 0, teremos 3𝑦 − 6 = 0,
ou seja, 𝑦 = 2, então o ponto obtido
é (0,2,0)
› Para 𝑦 = 0 𝑒 𝑧 = 0, teremos 2𝑥 − 6 = 0,
ou seja, 𝑥 = 3, então o ponto obtido
é (3,0,0)
› Portanto, o plano que passa pelos 
pontos (0,0,6), (0,2,0) 𝑒 (3,0,0) é 
representado por,
(0,0,6)
(3,0,0)
(0,2,0)
𝐷𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑅³
› Sejam (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) dois elementos de 𝑅³, representados
pelos pontos 𝑃1 𝑒 𝑃2. A distância entre eles é o número
𝑑 𝑃1, 𝑃2 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2 + 𝑧2 − 𝑧1
2
Exercícios: 
› Calcule a distância entre os pontos 𝐴 𝑒 𝐵 nos seguintes casos:
a. 𝐴(1,2,1) 𝑒 𝐵(4,2,3)
b. 𝐴(2,1,3) 𝑒 𝐵(0,0,0)
c. 𝐴(−1,2,−1) 𝑒 𝐵(0,1,−3)
d. 𝐴(1,4,2) 𝑒 𝐵(1,4,2)
Exercícios:
› Esboce o gráfico de cada relação abaixo:
a. 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅³| 𝑧 = 3}
b. 𝐵 = {𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅³| 𝑦 = 2}
c. 𝐶 = {𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅³| 𝑥 = 2}
d. 𝐷 = {𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅³| 𝑥 = 0}
e. 𝐸 = {𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅³| 𝑦 = 0}
f. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
g. 3𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 − 12 = 0
h. 𝑥 + 𝑦 = 2
Bibliografia
› Básica:
› Pedro A. MORETTIN, Samuel HAZZAN, Wilton de O. BUSSAB.
Cálculo: funções de uma e várias variáveis – 3ª ed. São Paulo:
Saraiva, 2016.
› HOFFMANN, Laurence. D. Cálculo: um curso moderno e suas
aplicações. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1984.
› Complementar:
› MACHADO, Nilson José. Cálculo, Funções de duas variáveis. 2ª
Ed. São Paulo: GuanabaraDois, 1982.
› WEBER, Jean E. Matemática para Economia e Administração. 3ª
Ed. São Paulo HARBRA, 1977.