Exercício 1 - Quântica

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Fundamentos de Química Quântica – Trabalho em Grupo Nº 1 
Grupo: Bruna Lopes, Everton Sousa, Luiz Antônio, Larissa Calixto, 
Samara Campos, Tereza Souza. 
 
1- Sabendo que a equação de comprimento de onda máximo, pela Lei de 
Descolamento de Wien: 
λmáx.T = 
ℎ𝑐
5𝐾
 = 2,90x10-3K.m 
 Sendo h= 6,63x10-34J.s e T= 2900K, substituindo valores, tem-se que o 
comprimento de onda máximo é: 
λmáx= 1,00x10-6m = 1x103nm. 
A Lei de deslocamento de Wien relaciona o comprimento de onda máximo de 
emissão com a temperatura (energia na forma de calor) que o corpo está 
sendo exposto e que ocasiona essa emissão. Ela 
estipula que o comprimento de onda que um corpo negro irradia a máxima ener
gia é inversamente proporcionalà sua temperatura, isto é, quanto mais quente 
estiver o corpo, menor será o comprimento de onda. Graficamente, A lei de 
Wien descreve o comportamento do comprimento de onda para o qual a 
intensidade da radiação é máxima em função da temperatura. 
 
 Fig 1. Espectro da lâmpada de Tungstênio. 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse espectro, a linha contínua expressa a faixa de emissão da lâmpada e 
as linhas pontilhadas mostram a sensibilidade do olho humano aos diferentes 
comprimentos de onda. Como sabemos, a região do visível abrange a faixa de 
400 a 700 nm, A Lâmpada de Tungstênio na temperatura de 2.900 K, emite no 
comprimento de onda máxima em 1000 nm (Na região do Infravermelho). 
Dessa forma, a maior parte da radiação é emitida na forma de calor e não de 
luz, por isso as lâmpadas de Tungstênio aquecem muito o ambiente, tornando-
a ineficiente à sua função. 
 
2- Utilizando a Equação da Radiância Espectral, relacionada à energia 
média: 
𝑅 𝜆 = 
2𝜋ℎ𝐶2
𝜆5
 
1
 𝑒
ℎ𝑐
𝜆𝑘𝑇 − 1
 
A proposta de Planck para a radiação demonstra a Radiância espectral 
em função do comprimento de onda (λ) e da temperatura do corpo negro. A Lei 
de Planck adequa-se para todos os comprimentos de onda. Ao deduzir esta lei, 
Planck considerou a possibilidade da distribuição de energia eletromagnética 
sobre os diferentes modos de oscilação de carga na matéria e assumiu que a 
energia destas oscilações foi limitada para múltiplos inteiros da energia 
fundamental E, proporcional à freqüência de oscilação (ʋ). 
Essa equação resolve o problema encontrado por Rayleigh-Jeans sobre 
a catástrofe do Ultravioleta, na qual fazia a Radiância tender ao infinito quando 
o comprimento de onda aproximava-se de zero, mas experimentalmente isso 
não era observado. 
O gráfico abaixo é construído, para comprimentos de onda de 200 nm a 2000 
nm. 
Tablela 1 – Dados do Gráfico de R(λ) x λ. 
λ (m) 2πh(C2/λ5) 1/(ehc/λkT - 1) R(λ) 
2,00x10-07 1,17x1018 1,70x10-11 1,98x107 
3,00x10-07 1,54x1017 6,60x10-8 1,02x1010 
4,00x10-07 3,65x1016 4,12x10-6 1,50x1011 
5,00x10-07 1,20x1016 4,92x10-5 5,89x1011 
6,00x10-07 4,81x1015 2,57x10-4 1,24x1012 
7,00x10-07 2,23x1015 8,38x10-4 1,86x1012 
8,00x10-07 1,14x1015 2,03x10-3 2,32x1012 
9,00x10-07 6,34x1014 4,06x10-3 2,57x1012 
1,00x10-06 3,74x1014 7,06x10-3 2,64x1012 
1,10x10-06 2,32x1014 1,11x10-2 2,59x1012 
1,20x10-06 1,50x1014 1,63x10-2 2,45x1012 
1,30x10-06 1,01x1014 2,25x10-2 2,27x1012 
1,40x10-06 6,96x1013 2,98x10-2 2,07x1012 
1,50x10-06 4,93x1013 3,80x10-2 1,87x1012 
1,60x10-06 3,57x1013 4,72x10-2 1,68x1012 
1,70x10-06 2,64x1013 5,71x10-2 1,51x1012 
1,80x10-06 1,98x1013 6,79x10-2 1,34x1012 
1,90x10-06 1,51x1013 7,93x10-2 1,20x1012 
2,00x10-06 1,17x1013 9,14x10-2 1,07 x1012 
 
 
Gráfico 1. Radiância espectral x comprimento de onda. 
No gráfico, podemos observar que a Radiância é descrita precisamente 
de acordo com a curva do gráfico. Nele, podemos observar que a função de 
Planck comporta-se de forma esperada, apresentando resultados de acordo 
com os obtidos no experimento com o corpo negro. Analisando o gráfico, o λ 
máx está no comprimento de onda de 1000 nm (1,00x10-6m) e bem definido e 
sem tenderem para o infinito (como previa a Lei de Rayleigh-Jeans). 
 
3- Sendo a fórmula de integração numérica pelo método de Simpson igual 
a: 
 
𝐼 = 
∆𝑥
3
 × 𝑓 𝑥0 + 4𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 
Tem-se que: 
 
λ(m) 2πh(C2/λ5) 1/(ehc/λkT - 1) R(λ) 
4,00 x10-7 3,65E+16 4,12E-06 1,50x1011 
5,50 x10-7 7,43E+15 1,21E-04 9,01x1011 
7,00x10-7 2,23E+15 8,38E-04 1,86x1012 
 
 
Substituindo os valores em I, tem-se que: 
𝐼 = (
0,00000015
3
) × (1,50𝑥1011) + 4(9,01𝑥1011) + (1,86𝑥1012)) 
𝐼 = 2, 81𝑥105𝐽/𝑚2𝑠 
 
Analisando o valor de I, podemos observar que a Radiância total na região do 
visível é muito baixa (Se comparado com outros tipos de lâmpadas). 
0,00E+00
5,00E+11
1,00E+12
1,50E+12
2,00E+12
2,50E+12
3,00E+12
0,00E+00 5,00E-07 1,00E-06 1,50E-06 2,00E-06 2,50E-06
R
ad
iâ
ci
a 
 -
R
(λ
)
Comprimento de onda (λ)
Radiância espectral x Comprimento de onda
 
4- Sabe- se que a equação de Plank é dada em termos de densidade de 
energia, de forma alternativa, temos a radiação do corpo negro dada em 
termos de potência infinitesimal, por unidade de área, ou fluxo de 
potencia, que também pode ser chamada de emitância, relacionada com 
intensidade. Vale lembrar que a definição de potencia é energia por 
unidade de área. Em termos da potência infinitesimal por unidade área 
d, emitida em um intervalo de comprimento de onda d, pode-se 
escrever a lei de Plank como: 
d= 
2𝜋ℎ𝐶2
𝜆5
 
1
 𝑒
ℎ𝑐
𝜆𝑘𝑇 −1
 d 
 
A equação de Plank é capaz de rever a intensidade da equação 
do corpo negro em todos os comprimentos de ondas em todas as 
temperaturas. Deste modo, ao prever as intensidades da radiação do 
corpo negro, a teoria quântica de Plank criou um modelo certo para um 
fenômeno que a ciência clássica não foi capaz de modelar. 
A equação de plank também pode ser integrada a partir de =0 até ∞, de 
modo direto, para se resultar em: 
 𝜆 = 
2𝜋5𝑘4
15𝑐2ℎ3
𝑇4 
Assim, por meio dessa equação, foi possível se calcular a radiação total 
emitida pela lâmpada. 
𝑅 𝜆 = 4,01𝑥106𝐽/𝑚2𝑠 
Então, relacionando I e R(λ), tem-se a porcentagem de radiação total 
emitida pela lâmpada no visível. Desse modo é comprovado que a 
quantidade de radiação que a lâmpada de Tungstênio emite no visível é 
muito pequena e a maior parte dessa radiação é emitida na forma de calor 
(Infravermelho). Devido a tais motivos, ela é considerada uma lâmpada 
ineficiente: 
4,01x106 J/m2s – 100% 
2,81x105J/m2s – x 
X = 7,01% 
 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
 BALL, David W. 1962. Físico- Química, Volume 1. São Paulo: Pioneira 
Thomson. Ed. Learning, 205. P. 258.