TEORIA ELEMENTAR DOS CONJUNTOS

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Matemática | Prof. Hanna Barros 
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TEORIA ELEMENTAR DOS CONJUNTOS 
A teoria dos conjuntos é um assunto básico para o estudo apurado e preciso de todos os ramos da 
matemática. Nosso estudo inicia-se com o conceito intuitivo de conjunto e suas diversas maneiras de 
representações. 
Noção Intuitiva de Conjunto 
Conjunto é um conceito primitivo, portanto não possui definição formal. Segundo Georg Cantor, matemático 
alemão: “chama-se de conjunto todo agrupamento de objetos bem definidos e discerníveis de nossa 
compreensão e percepção, chamados de elementos do conjunto.” 
 
Representação de um Conjunto 
 Enumeração: enumerar os elementos entre chaves separados por vírgulas ou ponto e vírgula. 
Exemplo: A = {2; 3; 5; 7; 11} B = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. E o conjunto A é finito e o B é infinito. 
 Explicação: indicar, entre chaves uma propriedade que caracterize, sem ambiguidade, cada um 
dos elementos do conjunto. No caso, x indica um elemento genérico do conjunto. 
Exemplo: A = { x / x é primo e x < 12} B = { x | x ∈ ℕ }. Os símbolos (|), (/) , (:), (;) significam tal que. 
 Diagrama de Venn: uma figura fechada. 
Exemplo: A B 
 
 
Relações de pertinência 
Um objeto pode ser ou não elemento de um conjunto. Para indicar que ele é elemento de um conjunto 
utilizamos o símbolo  (pertence), caso contrário o símbolo  (não pertence). 
Exemplo: A = { 1, 2, 3, 4}, temos 1  A e que 7  A. 
 
Conjuntos especiais 
Conjunto unitário: é todo conjunto que tem apenas um elemento. 
Exemplo: A = { x / x é natural e x < 1} = {0}. 
Conjunto vazio: é o conjunto que não tem nenhum elemento. Ele pode ser representado por { } ou . 
Exemplo: C = {x / x é primo e 5 < x < 7} = { } = . 
Conjunto universo: é o conjunto mais amplo possível, que abrange todos os elementos considerados num 
determinado assunto ou problema. Simbolicamente teríamos (para todo x), x  U. Ele é um conjunto 
referencial, que pode diferir para cada caso específico. Em geral, ele PE dado ou fica subentendido, a partir 
da situação proposta. 
Exemplo: Resolva a equação sabendo que o conjunto universo é o conjunto dos números reais, 
U = ℝ. O conjunto solução de é S = {0, 3} . Se o conjunto universo fosse U = 
 (inteiros 
diferente de zero e negativo) logo S = . 
 
Noções de subconjuntos 
Um conjunto A é subconjunto de outro B se, e somente se todo elemento de A for também elemento de B. 
Em notação matemática temos: A  B x  A x  B. 
Quando A é subconjunto de B podemos dizer que A está contido em B (A  B) ou que B contém A (B  A) 
utilizando o diagrama, a curva que representa A totalmente dentro da que representa B. 
 





Compare os elementos dos conjuntos A = { 2, 5, 8, 10} e B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. 
Podemos ver que A  B. 
2 3 5 
 7 11 
0 1 2 
3 4 ... 
 A está contido em B (A  B) 
 B contem A (B  A) 
 A é subconjunto de B; 
 A é parte de B. 
 
 
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Subconjuntos Triviais 
Todo conjunto A admite dois subconjuntos muito especiais: o vazio e o próprio conjunto A. 
O símbolo ∀ lê-se “para todo”. 
e A são subconjuntos triviais de A. Subconjuntos não triviais são chamados subconjuntos próprios de A. 
Exemplo: Considere o conjunto A = {1, 2, 3}. Os subconjuntos de A são: 
 Subconjunto com 0 elemento  
 Subconjunto com 1 elemento {1}, {2}, {3}. 
 Subconjunto com 2 elementos {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} 
 Subconjunto com 3 elementos {1, 2, 3} 
 
Número de Subconjuntos 
O número total de subconjuntos de um conjunto depende da quantidade de seus elementos. 
 
 
Exemplo: O conjunto A = {1, 2, 3} possui subconjuntos. 
 
Relação de Inclusão 
Um subconjunto pode fazer parte ou não de um conjunto. Para indicarmos que um subconjunto faz parte de 
um conjunto utilizamos o símbolo  (está contido), caso contrário o símbolo  (não está contido). Podemos, 
também utilizar os símbolos  (contém) ou  (não contém). 
Exemplo: Considere o conjunto A = {1, 2, , {1}, 3, {1, 2}}. Temos que: 
 
  A, pois,  é subconjunto de qualquer conjunto; 
  A, pois  é um dos elementos de A; 
1  A, pois 1 é um dos elementos de A; 
{1}  A, pois {1} é um dos elementos de A; 
{1}  A, pois {1} é um dos subconjuntos de A; 
{1, 2, 3}  A, pois {1, 2, 3} é um dos subconjuntos de A; 
{1, 2}  A, pois {1, 2} é um dos elementos de A; 
{1, 2}  A, pois {1, 2} é um dos subconjuntos de A; 
{}  A, pois, {} é subconjunto de A. 
 
Operações entre Conjuntos 
 União: A  B = {x / x  A ou x  B} 
A B 
 
 
 
 A  B 
 Interseção: A  B = {x / x  A e x  B} 
A B 
 
 
A  B 
 
 Diferença: A - B = {x / x  A e x  B} 
 B - A= {x / x  B e x  A} 
 A B 
 
 A – B B - A 
∀ A, ∅  A e A  A 
A tem n elementos A tem subconjuntos. 
Triviais:  e {1, 2, 3} 
Próprios: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} 
 
IMPORTANTE: 
Diferença entre as relações de pertinência () e 
de inclusão (). 
Elemento  Conjunto 
Subconjunto  Conjunto 
Este “ou” da operação união não possui o caráter exclusivo, ou 
seja, não estamos querendo dizer que x é só de A, ou só de B, e 
sim que ele é de pelo menos um dos conjuntos. 
 
Se dois conjuntos possuem interseção vazia (A  B = ) 
dizemos que eles são conjuntos disjuntos. 
 
Não existe propriedade comutativa da diferença: 
 
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Contando Elementos de um Conjunto 
Representaremos o número de elementos de um conjunto A, finito por n(A). 
Conhecendo o número de elementos de A, B e A  B, podemos obter o numero de elementos de A  B. 
Pode-se provar que: 
 
 
Exemplo: Numa rua 140 pessoas torcem pelo time A ou B. Quantas pessoas torcem somente pelo time A, 
se B tem 60 torcedores e A e B possuem 40 torcedores. 
Resolução: 
n(A  B) = 140; 
n(B) = 60; 
n(A  B) = 40. 
 
INTERVALOS REAIS 
Intervalos apenas são subconjuntos dos números reais (ℝ). Os intervalos podem ser: 
Intervalo limitado: é qualquer intervalo que não inclui infinito (∞) em nenhuma das suas extremidades. 
Os intervalos limitados podem ser: 
 Aberto: as “bolinhas abertas” indicam que os extremos não pertencem ao conjunto. 
Exemplo: 
  ℝ 
 
 
 Fechado: as “bolinhas fechadas” indicam que os extremos pertencem ao conjunto. 
Exemplo:  ℝ 
 
 
 Misto: intervalo com extremos abertos e fechados. 
[Exemplo: ]  ℝ 
 
 
Intervalo ilimitado: é qualquer intervalo que inclui infinito (∞) em ao menos uma de suas extremidades. 
 
 ∞  ℝ 
 
 
 ∞  ℝ 
 
 
Operações com intervalos reais 
Considere os intervalos reais e ∞ , determine: 
  : 
 A 
 B 
A  B  ∞ 
 
  : 
 A 
 B 
A  B  
 
 
 
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) 
Utilizando o resultado apresentado ao lado temos: 
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) 
140 = n(A) + 60 – 40 n(A) = 120 torcedores. 
Logo, só em A temos 120 – 40 = 80 torcedores. 
 
 2 8 
 
 
 
 8 12 
 
 
 
 6 11 
 
 
 
 - 6 ∞- ∞ 
 
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Gab: 
2)B 
3)A 
4)B 
5)E 
6)B 
7)D 
8)B 
 
 
 
 – : 
 A 
 B 
A – B 
 
 
 : 
A 
 ∞  ∞ 
 
 
Exercícios 
1) Dado os conjuntos , e , determinar: 
a)   
b)   
c)  
d)  
e) 
2) Se e , o numero de subconjuntos não vazios de P(AB) é: 
a) 64 b) 63 c) 32 d) 31 e) 16 
3) Numa sala de aula existem 35 alunos, 22 jogam vôlei, 17 nadam e 8 jogam vôlei e nadam. Quantos 
alunos não praticam nenhum esporte? 
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 
4) Num grupo de 61 pessoas, 18 gostam de seriados, mas não gostam de telenovelas; 5 pessoas não 
gostam de telenovelas e nem de seriados; 25% das pessoas que gostam de seriados também 
gostam de telenovelas. O total de pessoas do grupo que gostam de telenovelas, mas não gostam 
de seriados é: 
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 40 
5) Suponha que numa equipe de 10 estudantes, 6 usam óculos e 8 usam relógio. O número de 
estudantes que usam, ao mesmo tempo, óculos e relógio é de: 
a) Exatamente 6 b) Exatamente 4 c) No mínimo 6 d) No máximo 4 e) No mínimo 4 
6) Depois de n dias de férias, um estudante observa que: 
1) Choveu 7 vezes, de manha ou a noite; 
2) Quando chove de manhã não chove à tarde; 
3) Houve 5 tardes sem chuva; 
4) Houve 6 manhãs sem chuva. 
Então n é igual a: 
a) 7 b) 9 c) 10 d) 11 e) 8 
7) Se e são intervalos reais fechados, assinale a opção FALSA. 
a) Os intervalos A e B possuem a mesma amplitude. 
b)  
c) – 
d)  – 
8) Considere os intervalos reais abaixo: 
  ℝ 
  ℝ 
  ℝ 
Assinale a única opção FALSA. 
a) A é um intervalo que possui amplitude 4. b)  ℝ 
c)    ℝ d)