Conjuntos: definições e operações

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Professor: Marcelo Erisson
𝑀∆𝑇𝐸𝑀∆𝑇𝐼𝐶∆
x
y
r
h
r
Ensino Médio
O estudo de conjuntos faz parte da base da Matemática e por isso é
necessário que admitamos como existentes os seguintes conceitos primitivos:
• Conjunto: agrupamento de objetos distintos denominados elementos do
conjunto.
• Elemento: partes integrantes distintas que compõem o conjunto.
• Pertinência: entre elemento e conjunto: relação que associa o elemento ao
conjunto.
Um conjunto pode ser representado das seguintes formas
➢ Enumerando os
elementos
A = {1, 3, 7, 9}
➢ Considerando uma propriedade própria dos
elementos
A = {x/x é um numero natural impar menor que 10}
➢ Graficamente através de Diagrama - venn
𝐴
1
3
7
5
Podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto ou não pertente a esse
conjunto. Para representar essa relação de pertinência de forma mais rápida,
utilizamos os símbolos:∈ e ∉.
𝐴
1
3
7
5
1 pertence ao conjunto A: indicamos por - 1 ∈ 𝐴
2 não pertence ao conjunto A: indicamos por - 1 ∉ 𝐴
Dois conjuntos A e B são iguais (A = B) Quando tem os mesmos
elementos
Exemplos: Seja A = { 0,1,3,4,8} e B = { 8,4,3,1,0},
Observe que ainda que os elementos estejam em ordem diferente,
podemos afirmar que os conjuntos A e B são iguais: A = B.
Vazio: é o conjunto que não possui nenhum elemento e é subconjunto de
qualquer conjunto. Para representar o conjunto vazio, há duas
representações possíveis, sendo elas: { } ou o símbolo Ø.
Unitário: é o conjunto que possui somente um elemento: Exemplo: A =
{3}
Universo: É definido como o conjunto formado por todos os elementos
que devem ser considerados dentro de um problema. Todo elemento
pertence ao conjunto universo e todo conjunto está contido no conjunto
universo. É representado pela letra U.
Ao comparar dois conjuntos, podemos nos deparar com diversas
relações, e uma delas é a relação de inclusão. Para essa relação,
precisamos conhecer alguns símbolos:
⊃ → contém ⊂→ está contido
⊅ → não contém ⊄→ não está contido
𝐵 4
6
5
1
2
3
𝐴
Observe: B está contido em A, pois
todos os elementos de B estão dentro
de A.
Quando acontece uma relação de inclusão, ou seja, o conjunto B está
contido no conjunto A, podemos dizer que B é subconjunto de A. O
subconjunto continua sendo um conjunto, e um conjunto pode ter vários
subconjuntos, construídos a partir dos elementos pertencentes a ele.
Por exemplo: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} tem como subconjuntos os conjuntos B:
{1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} e, até mesmo, o conjunto A {1,2,3,4,5,6,7,8}, ou
seja, A é subconjunto dele mesmo.
Conhecemos como conjuntos das partes todos os subconjuntos
possíveis de um determinado conjunto. Seja A: {1,2,3,4}, podemos listar
todos os subconjuntos desse conjunto A começando com os conjuntos
que possuem nenhum elemento (vazios) e, depois, os que possuem um,
dois, três e quatro elementos, respectivamente.
➢ Conjunto vazio: { };
➢ Conjuntos unitários: {1}; {2};{3}; {4}.
➢ Conjuntos com dois elementos: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
➢ Conjuntos com três elementos: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
➢ Conjunto com quatro elementos: {1,2,3,4}.
Sendo assim, podemos descrever o conjunto das partes de A desta
forma:
P: { { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4},
{1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4} }
Para saber a quantidade de partes em que é possível dividir um
conjunto, usamos a fórmula:
O número de partes de A é calculado por uma potência de base 2
elevada a n, em que n é a quantidade de elementos do conjunto.
Considere o conjunto A: {1,2,3,4}, que possui quatro elementos. O total
de subconjuntos possíveis desse conjunto é 24 = 16.
n[ P(A)] = 2n
As operações com conjuntos são: união, intersecção, diferença e
complementar.
A  B
A  B
A – B
∁𝑨
𝑩= A – B
união
intersecçã
o
diferença
complementar
→
→
→
→
É o conjunto formado pelos elementos que pertencem A ou B, ou seja, é
a junção dos elementos dos dois conjuntos
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐵}
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴
𝐵
É o conjunto formado pelos elementos que pertencem A e B
simultaneamente.
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈ 𝐵}
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴
𝐵
É o conjunto formado pelos elementos que pertencem A mas não
pertencem a B, ou seja, Subtrair B de A é remover de A todos os
elementos que estão no B.
𝐴 − 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∉ 𝐵}
𝐵𝐴 𝐴 𝐵 𝐴
𝐵
O complementar de um conjunto B em relação a um conjunto A, nada
mais é do que a diferença entre os conjuntos A e B (A – B).
∁𝐴
𝐵= {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∉ 𝐵}
𝐵𝐴 𝐴 𝐵 𝐴
𝐵
∁𝐴
𝐵= 𝐴 − 𝐵→
Na figura abaixo têm-se representados os conjuntos A, B e C, não disjuntos.
A região sombreada representa o conjunto.
𝐴 𝐵
𝐶
(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝐶
(PUC-Rio-2009) Em um colégio, de 100 alunos, 80 gostam de sorvete de
chocolate, 70 gostam de sorvete de morango e 60 gostam dos dois sabores.
Quantos alunos não gostam de nenhum dos dois sabores?
a) 0
b) 10
c) 20
d) 30
e) 40
𝐶 𝑀𝑈
6020 10
𝑥
20 + 60 + 10 + 𝑥 = 100
90 + 𝑥 = 100
𝑥 = 100 − 90
𝑥 = 10
No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais
527 falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum
desses idiomas. O número de candidatos que falam as línguas inglesa e
francesa é
a) 778
b) 120
c) 658
d) 131
e) 100
𝐼 𝐹𝑈
𝑥527 − 𝑥 251 − 𝑥
321
527 − 𝑥 + 𝑥 + 251 − 𝑥 + 321 = 979
1099 − 𝑥 = 979
−𝑥 = 979 − 1099
−𝑥 = −120 (−1)
𝑥 = 120
As marcas de cerveja mais consumidas em um bar, num certo dia, foram A, B
e S. Os garçons constataram que o consumo se deu de acordo com a tabela a
seguir: Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia?
𝐴 𝐵
𝑆
𝑈
15
255
4585 35
35
70
85 + 45 + 35 + 15 + 5 + 25 + 35 + 70 = 315
• Números Naturais
• Números Inteiros
• Números Racionais
• Números Irracionais
• Números Reais
Conjuntos numéricos são coleções de números que possuem características
semelhantes. Eles nasceram como resultado das necessidades da
humanidade em determinado período histórico. são eles
Números Naturais (N)
• N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
• N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
N
➢o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo 
do conjunto representa a ausência do zero.
Números Inteiros (Z)
• Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
• Z* = {... -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}
• Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
• Z- = {0, - 1, - 2, - 3, - 4, - 5, - 6, ...}
N Z
➢o símbolo Z+ representa os números inteiros não 
negativos
➢o símbolo Z- representa os números inteiros não 
positivos
Números Racionais (Q)
• São todos aqueles que podem ser expressos na 
forma de fração: 
Q = { 
𝒂
𝒃
, onde a ∈ Z e b ∈ Z* }
N Z Q
N Z Q
Números Irracionais (I)
• Conjunto de números que não podem ser 
expressos na forma de uma fração de dois inteiros.
• Decimais infinitos não-periódicos. 
•  = 3,14159265358979...
• Raiz quadrada de números primos: 
2 = 1,4142… I
N Z Q
I
Números Reais (R)
• Conjunto numérico que é a união do conjunto dos 
racionais (Q) com os irracionais (I) 
R = Q U I
R
1) Use V ou F conforme o caso
a) 3,1 ∈ Q ( ) l) 0,222... =
2
9
( )
b) 2 ∈ Q ( ) m) e ≅ 2,72 (n° de Euler) ( )
c)
3
−8 ∈ Z ( ) n) 0,85 ∈ R ( )
d) 25 = ±5 ( ) o) 7 ∈ Q ( )
e) 9 = 3 ( ) p) 0 ∈ N ( )
f) -3² = 9 ( ) q) 0,5 ∉ Q ( )
g) (-3)² = 9 ( ) r) N⊂ Z ( )
h) 7,3 ∈ Z ( ) s) Q ⊂ Z ( )
i) −64 ∈ R ( ) t) Z ⊄ N ( )
j) 3,222 ∈ Q ( ) u) Z ⊄ R ( )
k) 0,777... =
7
1000
( ) v) Z ⊄ Q ( )
Suponhamos dois números reais a e b tais que a < b. Os subconjuntos de ℝ
definidos a seguir são chamados de intervalos reais de extremos a e b.
Intervalor reais são subconjuntos de ℝ (partes da reta Em geral eles são 
definidos por desigualdades.
ba
Intervalo fechado a, b.
Representações: [a, b] = {x ℝ/a ≤ x ≤ b}
Na reta real:
ba
Intervalo aberto a, b.
Representações: ]a, b[ = {x ℝ/a < x < b}
Na reta real:
ba
Intervalo fechado em a e aberto em b.
Representações: [a, b[ = {x ℝ/a ≤ x < b}Na reta real:
ba
Intervalo aberto em a e fechado em b.
Representações: ]a, b] = {x ℝ/a < x ≤ b}
Na reta real:
a
Intervalo de a fechado até +.
Representações: [a, +[ = {x ℝ/ x ≥a}
Na reta real:
a
Intervalo de a aberto até +.
Representações: ]a, +[ = {x ℝ/x >a}
Na reta real:
a
Intervalo de – até a fechado.
Representações: ]–, a] = {x ℝ/ x ≤a}
Na reta real:
a
Intervalo de – até a aberto.
Representações: ]–, a[ = {x ℝ/x <a}
Na reta real:
5–3
1) Represente o intervalo A = [–3, 5[ na reta real e algebricamente
A = {x  ℝ/ –3 ≤ x < 5}
2) Represente o intervalo real B abaixo algebricamente e nos colchetes
2
B = ]2, +[ B = {x  ℝ/ x > 2}
Podemos efetuar, com intervalos, as operações usuais com
conjuntos.
A  B → A interseção B: conjunto dos elementos comuns a A e B;
A  B → A união B: conjunto dos elementos que pertencem a pelo 
menos um dos conjuntos A ou B;
A – B → A menos B: conjunto dos elementos que pertencem a A e não 
pertencem a B.
Na prática, operações que envolvem intervalos são efetuadas a partir da 
representação na reta real.
Exemplo
Dado os intervalos A = ]–2, 5] e B = ]3, + [ , obter: 
A  B 
A  B
A – B.
A = ]–2, 5] e B = ]3, + [
–2 5
3
–2
A = ]–2, 5]
B = ]3,+[
A  B = ]–2, + [
–2 5
3
3 5
B = ]3,+[
A ⋂B = ]3, 5]
A = ]–2, 5]
A = ]–2, 5] e B = ]3, + [
A = ]–2, 5] e B = ]3, + [
–2 5
3
–2 3
A = ]–2, 5]
B = ]3,+[
A – B = ]–2, 3]