MUDANCA-DE-BASE

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BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL 
Um conjunto 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛} de vetores de um espaço vetorial V é uma base 
de V se: 
i. 𝐵 é LI. 
ii. 𝐵 gera o espaço vetorial 𝑉, isto é, 𝑉 = [𝐵]. 
 
Exemplo 
Mostre que o conjunto 𝐵 = { 𝑡2 + 1, 𝑡 − 1, 2𝑡 + 2} é uma base do espaço 
vetorial 𝑃2. 
Solução: Devemos mostrar que 𝐵 gera 𝑃2 e é LI. Para mostrar que 𝐵 gera 𝑃2, 
tomamos qualquer vetor em 𝑃2, isto é, um polinômio 𝑎𝑡
2 + 𝑏𝑡 + 𝑐, e devemos 
encontrar as constantes 𝛼1, 𝛼2 e 𝛼3 tais que 
𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝑐 = 𝜆1(𝑡
2 + 1) + 𝜆2(𝑡 − 1) + 𝜆3(2𝑡 + 2)
= 𝜆1𝑡
2 + (𝜆2 + 2𝜆3)𝑡 + (𝜆1 − 𝜆2 + 2𝜆3)
 
Como dois polinômios são iguais para todos os valores de 𝑡 se e somente se os 
coeficientes das respectivas potências de 𝑡 forem iguais, obtém-se o sistema 
linear 
𝜆1 = 𝑎
𝜆2 + 2𝜆3 = 𝑏
𝜆1 − 𝜆2 + 2𝜆3 = 𝑐
 
Resolvendo, tem-se 
𝜆1 = 𝑎, 𝜆2 =
𝑎 + 𝑏 − 𝑐
2
, 𝜆3 = 
𝑐 + 𝑏 − 𝑎
4
. 
Portanto, 𝐵 gera 𝑃2. 
Para mostrar que 𝐵 é LI, escreve-se 
𝜆1(𝑡
2 + 1) + 𝜆2(𝑡 − 1) + 𝜆3(2𝑡 + 2) = 0. 
A combinação linear é válida para todos os valores de 𝑡 se e somente se 
2 
 
𝜆1 = 0
𝜆2 + 2𝜆3 = 0
𝜆1 − 𝜆2 + 2𝜆3 = 0
 
A única solução para este sistema homogêneo é 𝜆1 = 𝜆2 = 𝜆3 = 0, o que implica 
que 𝐵 é linearmente independente. Assim, 𝐵 é uma base para 𝑃2. 
 
Exemplo 
Encontre uma base para o subespaço 𝑊 de 𝑃2 que consiste em todos os 
polinômios do tipo 𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝑐, em que 𝑐 = 𝑎 − 𝑏. 
Solução: 
Todo vetor em 𝑊 é do tipo 𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + (𝑎 − 𝑏) que pode ser escrito como 
𝑎(𝑡2 + 1) + 𝑏(𝑡 − 1), 
Portanto, os vetores 𝑡2 + 1 e 𝑡 − 1 geram 𝑊. Além disso, estes vetores são LI 
pois um não é múltiplo do outro. Outra maneira de mostrar é usar a definição 
𝜆1(𝑡
2 + 1) + 𝜆2(𝑡 − 1) = 0 
⇓ 
𝑡2𝜆1 + 𝑡𝜆2 + (𝜆1 − 𝜆2) = 0. 
Como esta equação é válida para todos os valores de 𝑡, devemos ter 𝜆1 = 0 e 
𝜆2 = 0. 
Observação: dim 𝑊 = 2. 
 
Teorema 
Seja 𝑊 um subespaço vetorial de um espaço vetorial de 𝑉.Se dim 𝑉 = 𝑛 então 
dim 𝑊 ≤ 𝑛. Em particular, se dim 𝑊 = 𝑛 então 𝑊 = 𝑉. 
Prova: Como 𝑉 tem dimensão 𝑛, quaisquer 𝑛 + 1 ou mais vetores são LD. Além 
disso, como uma base de 𝑊 consiste de vetores LI, ela não pode conter mais 
do que 𝑛 elementos. Consequentemente, dim 𝑊 ≤ 𝑛. 
3 
 
Em particular, se 𝐵 = {𝑤1, 𝑤2, ⋯ , 𝑤𝑛} é uma base de 𝑊, então, como 𝐵 é um 
conjunto LI com 𝑛 elementos, é também uma base de 𝑉. Assim, 𝑊 = 𝑉 quando 
dim 𝑊 = 𝑛. ∎ 
 
Exemplo 
Seja 𝑊 um subespaço vetorial real do espaço vetorial 𝑅3. Ora, dim 𝑅3 = 3. Logo 
pelo teorema anterior, a dimensão de 𝑊 só pode ser 0, 1, 2 ou 3. Valem os 
seguintes casos: 
i. dim 𝑊 = 0 então 𝑊 = {0}; 
ii. dim 𝑊 = 1 então 𝑊 é uma reta que passa pela origem; 
iii. dim 𝑊 = 2 então 𝑊 é um plano que passa pela origem; 
iv. dim 𝑊 = 3 então 𝑊 é todo o espaço 𝑅3. 
 
 
Teorema 
se 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛} é uma base de 𝑉 então todo vetor em 𝑉 pode ser escrito 
de uma e apenas uma maneira como uma combinação linear dos vetores de 𝐵. 
Prova: Todo vetor 𝑣 ∈ 𝑉 pode ser escrito como uma combinação linear dos 
vetores em 𝐵, pois 𝐵 gera 𝑉. Suponha que 𝑣 possa ser escrito como combinação 
linear de 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 de duas maneiras distintas 
𝑣 = 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛 (1) 
e 
𝑣 = 𝛽1𝑣1 + 𝛽2𝑣2 + ⋯ + 𝛽𝑛𝑣𝑛 (2) 
Subtraindo (2) de (1), obtem-se 
0 = (𝛼1 − 𝛽1)𝑣1 + (𝛼2 − 𝛽2)𝑣2 + ⋯ + (𝛼𝑛 − 𝛽𝑛)𝑣𝑛 . 
Como 𝐵 é LI, segue que 𝛼𝑖 − 𝛽𝑖 = 0, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, logo 𝛼𝑖 = 𝛽𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. 
Portanto, há apenas uma maneira de expressar 𝑣 como uma combinação linear 
dos vetores de 𝐵. ∎ 
4 
 
PROCEDIMENTO PARA ENCONTRAR UMA BASE PARA UM SUBESPAÇO 
Seja 𝑉 = 𝑅𝑛 e 𝑆 = {𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑚} um conjunto de vetores não nulos em 𝑉. O 
procedimento para encontrar um subconjunto de 𝑆 que seja uma base para 𝑊 =
[𝑆] é mostrado a seguir: 
Passo 1. Faça a combinação linear 
𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛 = 0. 
Passo 2. Construa a matriz aumentada associada ao sistema homogêneo e 
transforme-a na forma escalonada reduzida por linhas. 
Passo 3. Os vetores correspondentes às colunas que contêm o primeiro 
elemento não nulo de cada linha, que é, 1, formam uma base para 𝑊 = [𝑆]. 
Exemplo 
Seja 𝑆 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5} um conjunto de vetores em 𝑅
4, em que 
𝑣1 = (2,1,1, −1), 𝑣2 = (−3, 0, −4,3), 𝑣3 = (2,1,1, −1), 𝑣4 = (−3,3, −9,6) e 
 𝑣5 = (9,3,7, −6). 
Encontre um subconjunto de 𝑆 que seja uma base para 𝑊 = [𝑆]. 
Solução: 
Passo 1: Faça a combinação linear 
𝛼1(1,2, −2,1) + 𝛼2(−3,0, −4,3) + 𝛼3(2,1,1, −1)
+ 𝛼4(−3,3,9,6) + 𝛼5(9,3,7, −6) = (0,0,0,0)
 
Passo 2: Igualando as componentes correspondentes, obtém-se o sistema 
homogêneo 
𝛼1 − 3𝛼2 + 2𝛼3 − 3𝛼4 + 9𝛼5 = 0
2𝛼1 + 𝛼3 + 3 𝛼4 + 3 𝛼5 = 0
−2𝛼1 − 4𝛼2 + 𝛼3 − 9𝛼4 + 7𝛼5 = 0
𝛼1 + 3𝛼2 − 𝛼3 + 6𝛼4 − 6𝛼5 = 0
 
A forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada associada é 
5 
 
[
1 0 1/2 3/2 3/2 0
0 1 −1/2 3/2 −5/2 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
] 
Passo 3. Os primeiros elementos não-nulos das linhas aparecem nas colunas 1 
e 2, logo {𝑣1, 𝑣2} é uma base de 𝑊 = [𝑆]. 
 
 
Exemplo 
Encontre uma base do 𝑅4 que contenha os vetores 𝑣1 = (1,0,1,0) e 𝑣2 =
(−1,1, −1,0). 
Solução: 
Seja {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4} a base canônica do 𝑅
4, em que 𝑒1 = (1,0,0,0), 𝑒2 = (0,1,0,0), 
𝑒3 = (0,0,1,0) e 𝑒4 = (0,0,0,1). Considere o conjunto 𝑆 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4}. 
Como {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4} gera 𝑅
4, 𝑆 também gera 𝑅4. Faça a combinação linear 
𝛿1𝑣1 + 𝛿2𝑣2 + 𝛿3𝑒1 + 𝛿4𝑒2 + 𝛿5𝑒3 + 𝛿6𝑒4 = 0 
que nos leva ao sistema homogêneo 
𝛿1 − 𝛿2 + 𝛿3 = 0
−𝛿2 + 𝛿4 = 0
 + 𝛿5 = 0
 + 𝛿6 = 0
 
 
Escalonando a matriz aumentada, obtemos 
 
[
1 0 0 1 1 0 0
0 1 0 1 0 0 0
0 0 1 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
] 
 
6 
 
Como os primeiros elementos não nulos das linhas aparecem nas colunas 1,2,3 
e 6, conclui-se que {𝑣1, 𝑣2, 𝑒1, 𝑒4} é uma base do 𝑅
4 que contém 𝑣1 e 𝑣2. 
 
COORDENADAS DE UM VETOR 
Seja 𝑉 é um espaço vetorial de dimensão n. Se 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛} é uma base 
ordenada do espaço V. então todo vetor 𝑣 em 𝑉 pode ser expresso de maneira 
única na forma 
𝑣 = 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛 
em que 𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑛 são números reais. Então 𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑛 são as de 
coordenadas de 𝑣 em relação à base 𝐵. Representamos 𝑣 por seu vetor coluna 
das coordenadas, denotado por [𝑣]𝐵 = (
𝛼1
𝛼2
⋮
𝛼𝑛
) = (𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑛)
𝑡 
Exemplo 
Encontre o vetor das coordenadas de (1,0) em relação à base ordenada 
𝐵 = {(1,1), (−1,2)}. 
Temos que encontrar 𝛼 e 𝛽 tais que 
𝛼(1,1) + 𝛽(−1,2) = (1,0) 
Resolvendo a equação obtém-se 
𝛼 − 𝛽 = 1
𝛼 + 2𝛽 = 0
 
cuja solução é 
𝛼 =
2
3
 e 𝛽 = −
1
3
 
Logo o vetor das coordenadas de (1,0) em relação à base 𝐵 é 
[(1,0)]𝐵 = [
2
3
−
1
3
]. 
7 
 
Exemplo 
Seja 𝑉 o espaço vetorial 𝑃1 de todos os polinômios de grau ≤ 1, e sejam 
𝐵1 = {𝑣1, 𝑣2} e 𝐵2 = {𝑤1, 𝑤2} duas bases de 𝑃1 em que 
𝑣1 = 𝑡, 𝑣2 = 1, 𝑤1 = 𝑡 + 1, 𝑤2 = 𝑡 − 1. 
Seja 𝑣 = 𝑝(𝑡) = 5𝑡 − 2. 
a) Calcule [𝑣]𝐵1 
b) Calcule [𝑣]𝐵2 
Solução: 
a) Como 𝐵1 é base canônica para 𝑃1, temos 
5𝑡 − 2 = 5𝑡 + (−2)(1). 
Portanto 
[𝑣]𝐵1 = [
5
−2
]. 
b) Para calcular [𝑣]𝐵2, devemos escrever 𝑣 como uma combinação linear 
de 𝑤1 e 𝑤2. Assim, 
5𝑡 − 2 = 𝛼1(𝑡 + 1) + 𝛼2(𝑡 − 1) 
ou 
5𝑡 − 2 = (𝛼1 + 𝛼2)𝑡 + (𝛼1 − 𝛼2). 
Comparando os coeficientes de mesma potência de t, obtém-se o 
sistema linear 
𝛼1 + 𝛼2 = 5
𝛼1 − 𝛼2 = −2
 
cuja solução é 
𝛼1 =
3
2
 e 𝛼2 = 
7
2
. 
Portanto, o vetor das coordenadas de 𝑣 = 𝑝(𝑡) = 5𝑡 − 2 em relação a base 𝐵2 
[𝑣]𝐵2 = [
3
2
7
2
]. 
 
8 
 
MUDANCA DE BASE 
Sejam 𝛽 = {𝑢1, 𝑢2, ⋯ , 𝑢𝑛} e 𝛽
′ = {𝑤1, 𝑤2, ⋯ , 𝑤𝑛} duas bases ordenadasde um mesmo espaço vetorial 𝑉. Dado um vetor 𝑣 ∈ 𝑉, podemos escrevê-
lo como 
 
𝑣 = 𝑥1𝑢1 + 𝑥2𝑢2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑢𝑛
𝑣 = 𝑦1𝑤1 + 𝑦2𝑤2 + ⋯ + 𝑦𝑛𝑤𝑛
 (1) 
Como podemos relacionar as coordenadas de 𝑣 em relação à base 𝛽, 
 
[𝑣]𝛽 = (
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
) 
 
com as coordenadas do mesmo vetor 𝑣 em relação à base 𝛽′ 
[𝑣]𝛽′ = (
𝑦1
𝑦2
⋮
𝑦𝑛
) 
 
já que {𝑢1, 𝑢2, ⋯ , 𝑢𝑛} é base e 𝑉, podemos escrever os vetores𝑤𝑖 como 
combinação linear da base 𝛽, isto e, 
 
(2) {
𝑤1 = 𝑎11𝑢1 + 𝑎21𝑢2 + ⋯ + 𝑎𝑛1𝑢𝑛
𝑤2 = 𝑎12𝑢1 + 𝑎22𝑢2 + ⋯ + 𝑎𝑛2𝑢𝑛
⋮ = ⋮ + ⋮ + ⋯ + ⋮
𝑤𝑛 = 𝑎1𝑛𝑢1 + 𝑎2𝑛𝑢2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛
 
 
 
Substituindo (2) em (1) temos: 
𝑣 = 𝑦1𝑤1 + ⋯ + 𝑦𝑛𝑤𝑛
= 𝑦1(𝑎11𝑢1 + ⋯ + 𝑎𝑛1𝑢𝑛) + ⋯ + 𝑦𝑛(𝑎1𝑛𝑢1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛)
= (𝑎11𝑦1 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑦𝑛)𝑢1 + ⋯ + (𝑎𝑛1𝑦1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑦𝑛)𝑢𝑛
 
 
Mas 𝑣 = 𝑥1𝑢1 + 𝑥2𝑢2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑢𝑛 e como as coordenadas em 
relação a uma base são únicas temos: 
 
9 
 
𝑎11𝑦1 + 𝑎12𝑦2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑦𝑛 = 𝑥1
𝑎21𝑦1 + 𝑎22𝑦2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑦𝑛 = 𝑥2
⋮ + ⋮ + ⋯ + ⋮ = ⋮
𝑎𝑛1𝑦1 + 𝑎𝑛2𝑦2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑦𝑛 = 𝑥𝑛
 
 
 
Em forma matricial 
 
[
𝑥1
⋮
𝑥𝑛
] = [
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
] [
𝑦1
⋮
𝑦𝑛
] 
 
Isto é, denotando 
 
[𝐼]𝛽
𝛽′
= [
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
] 
[𝐼]𝛽
𝛽′
 e chamada matriz de mudança de base da base 𝛽′ para a base 𝛽. 
 
[𝑣]𝛽= [𝐼]𝛽
𝛽′
 [𝑣]𝛽′