1 Exercicios Elementos de Maquina

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
INSTITUTO DE TECNOLOGIA 
FACULDADE DE ENGENHARIA NAVAL 
ELEMENTOS DE MAQUINA 
 
 
ABEL MENEZES DE OLIVEIRA NETO – 201807440034 
MAHUGNON PIO BENJAMIN CAPO-CHICHI – 201807440001 
MATHEUS CHAVES VENANCIO – 201707440003 
ROBÉRIO TEIXEIRA DE OLIVEIRA – 201707440028 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO: ELEMENTOS DE MÁQUINAS 
Livro: Mecânica Dos Materiais 5ª Ed. 
 
 
 
25 DE MARÇO DE 2020 
BELÉM - PA 
 
1 
Exercício: Elementos de Máquinas 
Discentes: Abel Menezes, Robério Oliveira 
 
1.1 Duas barras cilíndricas de seção transversal cheia AB e BC são soldadas uma à 
outra em B e submetidas a um carregamento conforme mostra a figura. Determine a 
intensidade da força P para a qual a tensão normal de tração na barra AB é duas 
vezes a intensidade da tensão de compressão da barra BC. 
 
Solução: 
Calculando a área AB: 
𝐴𝐴𝐵 =
𝜋
4
∙ 502 = 1963,5 mm2 
Com a área temos que 𝜎𝐴𝐵: 
𝜎𝐴𝐵 =
𝑃
𝐴𝐴𝐵
= 
𝑃
1963,5
= 509,3 × 10−6 𝑃 
Calculando a área BC: 
𝐴𝐵𝐶 =
𝜋
4
∙ 752 = 4417,9 mm2 
Logo: 
𝜎𝐴𝐵 =
2 ∙ 130 − 𝑃
𝐴𝐵𝐶
= 
260 − 𝑃
4417,9
 
Equacionando 𝜎𝐴𝐵 = 2 ∙ 𝜎𝐵𝐶, temos: 
509,3 × 10−6 𝑃 = 2 (
260 − 𝑃
4417,9
) 
509,3 × 10−6 𝑃 = 0,1177 − 452,7 × 10−6 𝑃 
𝑃 = 122,35 kN 
A intensidade da força P é 122,35 kN. 
1.3 Duas barras cilíndricas de seção transversal cheia AB e BC são soldadas uma à 
outra em B e submetidas a um carregamento conforme mostra a figura. Sabendo que 
a tensão normal média não pode exceder 175 MPa na barra AB e 150 MPa na barra 
BC, determine os menores valores admissíveis de d1 e d2. 
Solução: 
Para barra AB: 
𝑃 = 40 + 30 = 70 𝑘𝑁 = 70 × 103𝑁 
2 
Exercício: Elementos de Máquinas 
Discentes: Abel Menezes, Robério Oliveira 
 
𝜎𝐴𝐵 =
𝑃
𝐴𝐴𝐵
=
𝑃
𝜋
4 𝑑1
2
=
4𝑃
𝜋𝑑1
2 
𝑑1 = √
4𝑃
𝜋𝜎𝐴𝐵
= √
4(70 × 103)
𝜋(175 × 106)
= 22,6 × 10−3𝑚 = 22,6𝑚𝑚 
 
Para barra BC: 
𝑃 = 30 𝑘𝑁 = 30 × 103𝑁 
𝑑2 = √
4𝑃
𝜋𝜎𝐵𝐶
= √
4(30 × 103)
𝜋(150 × 106)
= 15,96 × 10−3𝑚 = 15,96𝑚𝑚 
Os menores valores admissíveis de d1 e d2 são, respectivamente, 22,6mm e 
15,96mm. 
1.4 Duas barras cilíndricas de seção transversal cheia AB e BC são soldadas uma à 
outra em B e submetidas a um carregamento conforme mostra a figura. Sabendo que 
d1 = 50 mm e d2 = 30 mm, calcule a tensão normal média no ponto médio da (a) barra 
AB e (b) barra BC. 
Solução: 
(a) Para barra AB: 
𝑃 = 40 + 30 = 70 𝑘𝑁 = 70 × 103𝑁 
𝐴 =
𝜋
4
∙ 𝑑1
2 =
𝜋
4
∙ 502 = 1,9635 × 103 𝑚𝑚2 = 1,9635 × 10−3 𝑚2 
𝜎𝐴𝐵 =
𝑃
𝐴
=
70 × 103
1,9635 × 10−3
= 35,7 × 106𝑃𝑎 = 35,7𝑀𝑃𝑎 
A tensão normal média no ponto médio da barra AB é 35,7MPa. 
(b) Para barra BC: 
𝑃 = 30𝑘𝑁 = 30 × 103𝑁 
𝐴 =
𝜋
4
∙ 𝑑2
2 =
𝜋
4
∙ 302 = 706,86 𝑚𝑚2 = 706,86 × 10−6 𝑚2 
𝜎𝐴𝐵 =
𝑃
𝐴
=
30 × 103
706,86 × 10−6
= 42,4 × 106𝑃𝑎 = 42,4 𝑀𝑃𝑎 
A tensão normal média no ponto médio da barra BC é 42,4MPa. 
 
1.6 Duas chapas de aço precisam ser unidas por meio de parafusos de aço de alta 
resistência de 16 mm de diâmetro que se encaixam dentro de espaçadores cilíndricos 
de latão. Sabendo que a tensão normal média não deve exceder 200 MPa nos 
3 
Exercício: Elementos de Máquinas 
Discentes: Abel Menezes, Robério Oliveira 
 
parafusos e 130 MPa nos espaçadores, determine o diâmetro externo dos 
espaçadores que resulte no projeto mais econômico e seguro. 
 
Solução: 
Em cada local do parafuso, a placa superior é puxada para baixo pela força 
tensora Pp do parafuso. Ao mesmo tempo, o espaçador empurra essa placa para cima 
com uma força compreensiva Pe. Para manter o equilíbrio: 
𝑃𝑝 = 𝑃𝑒 
Para o parafuso: 
𝜎𝑝 =
𝑃𝑝
𝐴𝑝
=
4𝑃𝑝
𝜋𝑑𝑝2
∴ 𝑃𝑝 =
𝜋
4
𝜎𝑝𝑑𝑝
2 
Para o espaçador: 
𝜎𝑒 =
𝑃𝑒
𝐴𝑒
=
4𝑃𝑒
𝜋(𝑑𝑒2 − 𝑑𝑝2)
∴ 𝑃𝑒 =
𝜋
4
𝜎𝑒(𝑑𝑒
2 − 𝑑𝑝
2) 
Equacionando 𝑃𝑝 = 𝑃𝑒: 
𝜋
4
𝜎𝑝𝑑𝑝
2 =
𝜋
4
𝜎𝑒(𝑑𝑒
2 − 𝑑𝑝
2) 
𝑑𝑒 = √1 +
𝜎𝑝
𝜎𝑒
𝑑𝑝 = √1 +
200
130
∙ 16 = 25,2𝑚𝑚 
O diâmetro externo dos espaçadores é 25,2mm. 
1.7 Cada uma das quatro barras verticais tem uma seção transversal retangular 
uniforme de 8 × 36 mm e cada um dos quatro pinos tem um diâmetro de 16 mm. 
Determine o valor máximo da tensão normal média nos 
vínculos que conectam (a) os pontos B e D e (b) os 
pontos C e E. 
Solução: 
Somatório dos momentos: 
Σ𝑀𝑐 = 0 ; 0,04𝐹𝐵𝐷 − (0.025 + 0,04) ∙ (20 × 10
3) = 0 
𝐹𝐵𝐷 = 32.5 × 10
3𝑁 
Σ𝑀𝐵 = 0 ; −0,04𝐹𝐶𝐵 − (0.025) ∙ (20 × 10
3) = 0 
𝐹𝐶𝐵 = −12,5 × 10
3𝑁 
4 
Exercício: Elementos de Máquinas 
Discentes: Abel Menezes, Robério Oliveira 
 
A área dos vínculos em tensão é: 2[0,008(0,036 − 0,016)] = 320 × 10−6𝑚2 
(a) A tensão de estresse no vinculo BD: 
𝜎𝐵𝐷 =
𝐹𝐵𝐷
𝐴𝑣𝑖𝑛𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠
=
32.5 × 103
320 × 10−6
= 101,56 × 106 = 101,6 𝑀𝑃𝑎 
(b) A área dos vínculos em compressão: 2(0,008)(0,036) = 576 × 10−6𝑚2 
𝜎𝐶𝐵 =
𝐹𝐶𝐵
𝐴𝑣𝑖𝑛𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠
=
−12,5 × 103𝑁
576 × 10−6
= −21,7 × 106 = −21,7𝑀𝑃𝑎 
 
1.9 Sabendo que o elemento DE tem 25,4 mm de largura e 3,2 mm de espessura, 
determine a tensão normal na parte central daquele vínculo quando (a) θ = 0° e (b) θ 
= 90°. 
Solução: 
Σ𝑀𝑐 = 0 
−0,3𝐹𝐷𝐸 − (0,2)(260 sin 𝜃) − (0,4)(260 cos 𝜃) = 0 
𝐹𝐷𝐸 = −173.33 sin 𝜃 − 346.67 cos 𝜃 
𝐴𝐷𝐸 = (0,0254)(0,0032) = 81,28 × 10
−6 
𝜎𝐷𝐸 =
𝐹𝐷𝐸
𝐴𝐷𝐸
 
(a) Se θ = 0: 
𝐹𝐷𝐸 = −346.67 
𝜎𝐷𝐸 =
−346.67
81,28 × 10−6
= −4,265𝑀𝑃𝑎 
(b) Se θ = 90: 
𝐹𝐷𝐸 = −173.33 
𝜎𝐷𝐸 =
−173.33
81,28 × 10−6
= −2,132𝑀𝑃𝑎 
1.11 A barra rígida EFG é suportada pelo sistema de treliça mostrado na figura. 
Sabendo que a componente CG é uma haste circular sólida de 19,0 mm de diâmetro, 
determine a tensão normal em CG. 
Solução: 
Usando as partes EFBCB: 
+↑ Σ𝐹𝑦 = 0: 
0,9
1,2
 𝐹𝐴𝐸 − 16 = 0 
𝐹𝐴𝐸 = 26,67𝑘𝑁 
5 
Exercício: Elementos de Máquinas 
Discentes: Abel Menezes, Robério Oliveira 
 
Usando apenas EFG: 
+↺ 𝑀𝐹 = 0: − (1,2)
0,9
1,2
 𝐹𝐴𝐸 + (1,2) (
0,9
1,2
𝐹𝐶𝐺) = 0 
𝐹𝐶𝐺 = 𝐹𝐴𝐸 = 26,67𝑘𝑁 
Para CG: 
Área CG 𝐴𝐶𝐺 =
𝜋
4
∙ 𝑑2 =
𝜋
4
∙ 0,0192 = 283.52 × 10−6𝑚2 
Tensão normal em CG: 
𝜎𝐶𝐺 =
𝐹𝐶𝐺
𝐴𝐶𝐺
=
26,67
283.52 × 10−6
= 𝟗𝟒, 𝟎𝟔𝟕𝑴𝑷𝒂 
1.12 A barra rígida EFG é suportada pelo sistema de treliça mostrado na figura. 
Determine a área da seção transversal do componente AE para a qual a tensão normal 
na componente é 103 MPa. 
Solução: 
Usando as partes EFBCB: 
+↑ Σ𝐹𝑦 = 0: 
0,9
1,2
 𝐹𝐴𝐸 − 16 = 0 
𝐹𝐴𝐸 = 26,67𝑘𝑁 
Tensão em AE é 103 Mpa: 
𝜎𝐴𝐸 =
𝐹𝐴𝐸
𝐴𝐴𝐸
 
A área da seção transversal do componente AE: 
𝐴𝐴𝐸 =
𝐹𝐴𝐸
𝜎𝐴𝐸
=
26,67 × 103
103 × 10−6
= 𝟐𝟓𝟖, 𝟗 × 𝟏𝟎−𝟔𝐦𝟐 
1.13 O conjugado M de intensidade 1 500 N ∙ m é aplicado à manivela de um motor. 
Para a posição mostrada, determine (a) a força P necessária para manter o sistema 
do motor em equilíbrio e (b) a tensão normal média na biela BC, que tem uma seção 
transversal uniforme de 450 mm2. 
Solução: 
Usando o pistão, haste e manivela juntos como corpo livre. 
Adicionei a reação de parede H e reações de rolamento Ax e Ay. 
+↺ Σ𝑀𝐴 = 0: 
(0,280𝑚)𝐻 − 1500𝑁. 𝑚 = 0 
𝐻 = 5,3571 × 103𝑁 
6 
Exercício: Elementos de Máquinas 
Discentes: Abel Menezes, Robério Oliveira 
 
 
Usando o pistão sozinho como corpo livre. Note que a haste é um 
membro de duas forças; daí a direção da forçaFbc é conhecida. 
Desenhei o triângulo da força, resolvendo P e Fbe por proporções: 
𝑙 = √2002 + 602 = 208,81 𝑚𝑚 
𝑃
𝐻
=
208,81
60
 ∴ 𝑃 = 17,86 × 103𝑁 
(a) 
𝐹𝐵𝐶
𝐻
=
208,81
60
 ∴ 𝐹𝐵𝐶 = 18,643 × 10
3𝑁 
A haste BC sofre compressão. A área é 450mm2 
(b) A tensão BC é: 
𝜎𝐵𝐶 =
−𝐹𝐵𝐶
𝐴
=
−18,643 × 103
450 × 10−6
= −𝟒𝟏, 𝟒 × 𝟏𝟎𝟔𝑷𝒂 
 
1.17 Duas pranchas de madeira, cada uma com 12 mm de espessura e 225 mm de 
largura, são unidas pela junta de encaixe mostrada na figura. Sabendo que a madeira 
utilizada rompe por cisalhamento ao longo das fibras quando a tensão de 
cisalhamento média alcança 8 MPa, determine a intensidade P da carga axial que 
romperá a junta. 
 
 
Soluções: 
Seis áreas devem ser cortadas quando a junta falhar. Cada uma dessas áreas possui 
dimensões 16 mm x 12 mm, sendo sua área: 
𝐴 = 16 ∙ 12 = 192𝑚𝑚2 = 192 × 10−6 𝑚2 
Na falha, a força F transportada por cada uma das áreas é: 
𝐹 = 𝜏𝐴 = (8 × 106)(192 × 10−6) = 1536 𝑁 = 1,536 𝑘𝑁 
Como existem seis áreas na falha: 
𝑃 = 6𝐹 = 6(1,536) = 9,22 𝑘𝑁 
7 
Exercício: Elementos de Máquinas 
Discentes: Abel Menezes, Robério Oliveira 
 
1.18 Uma carga P é aplicada a uma barra de aço suportada por uma chapa de 
alumínio na qual foi feito um furo de 12 mm conforme mostra a figura. Sabendo que a 
tensão de cisalhamento não deve exceder 180 MPa na barra de aço e 70 MPa na 
chapa de alumínio, determine a máxima carga P que pode ser aplicada à barra. 
Solução: 
Para a barra de aço, temos: 
𝐴1 = 𝜋𝑑1𝑡1 = 𝜋(0,012)(0,01) = 376,99 × 10
−6𝑚2 
𝜏1 =
𝑃
𝐴1
 → 𝑃1 = 𝜏1𝐴1 
𝑃1 = (180 × 10
6)(376,99 × 10−6) = 67,86 × 103𝑁 
Para a chapa de alumínio: 
𝐴2 = 𝜋𝑑2𝑡2 = 𝜋(0,04)(0,008) = 1,00531 × 10
−3𝑚2 
𝜏2 =
𝑃
𝐴2
 → 𝑃2 = 𝜏2𝐴2 
𝑃2 = (70 × 10
6)(1,00531 × 10−6) = 70,372 × 103𝑁 
O valor limite para a carga P é o menor de P1 e P2. Portanto: 
𝑷 = 𝟔𝟕, 𝟖𝟔 × 𝟏𝟎𝟑𝑵 
1.38 O elemento ABC, suportado por um pino em C e por um cabo BD, foi projetado 
para suportar uma carga P de 16 kN conforme mostrado. Sabendo que a carga limite 
para o cabo BD é de 100 kN, determine o coeficiente de segurança com relação à 
falha do cabo. 
Solução: 
+↺ 𝑀𝑐 = 0: 
(𝑃 cos(40))(1,2) + (𝑃 sin(40))(0,6) −
(𝐹𝐵𝐷 cos(30))(0,6) − (𝐹𝐵𝐷 sin(30))(0,4) = 0 
1,30493𝑃 − 0,71962𝐹𝐵𝐷 = 0 
𝐹𝐵𝐷 = 1,81335 
𝑃 = (1,81335)(16 × 103) = 2,9014 × 103𝑁 
𝐹𝑢𝑙𝑡 = 100 × 10
3𝑁 
O coeficiente de segurança é: 
𝐹𝑆 =
𝐹𝑢𝑙𝑡
𝐹𝐵𝐷
=
100 × 103
2,9014 × 103
= 𝟑, 𝟒𝟓 
8 
Exercício: Elementos de Máquinas 
Discentes: Abel Menezes, Robério Oliveira 
 
1.39 Sabendo que a carga limite no cabo BD é de 100 kN e que o coeficiente de 
segurança exigido para a falha do cabo é de 3,2, determine a intensidade do maior 
esforço P que pode ser aplicado com segurança conforme o indicado para o elemento 
ABC. 
Solução: 
+↺ 𝑀𝑐 = 0: 
(𝑃 cos(40))(1,2) + (𝑃 sin(40))(0,6) − (𝐹𝐵𝐷 cos(30))(0,6) − (𝐹𝐵𝐷 sin(30))(0,4) = 0 
1,30493𝑃 − 0,71962𝐹𝐵𝐷 = 0 
𝑃 = 0,55404𝐹𝐵𝐷 
𝐹𝐵𝐷 =
𝐹𝑢𝑙𝑡
𝐹𝑆
=
100𝑘𝑁
3,2
= 3,125𝑘𝑁 
A intensidade do maior esforço P que pode ser aplicado com segurança: 
𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (0,55404)(3,125) = 𝟏, 𝟕𝟑𝟐𝒌𝑵 
1.60 Duas forças horizontais de 22,24 kN são aplicadas ao pino B do conjunto 
mostrado na figura. Sabendo que é utilizado um pino de 20,32 mm de diâmetro em 
cada conexão, determine o valor máximo da tensão normal média (a) na haste AB e 
(b) na haste BC. 
Solução: 
𝐹𝐴𝐵
sin 45°
=
𝐹𝐵𝐶
sin 60°
=
40
sin 95°
 
𝐹𝐴𝐵 = 28,4 𝑘𝑁 
𝐹𝐵𝐶 = 34,8𝑘𝑁 
A ligação AB é um membro de tensão. A seção mínima no 
pino: 
𝐴1 = (0,045 − 0,02)(0,012) = 300 × 10
−6𝑚2 
(a) Tensão em AB : 
𝜎𝐴𝐵 =
𝐹𝐴𝐵
𝐴1
=
28,4 
300 × 10−6
= 𝟗𝟒, 𝟕𝑴𝑷𝒂 
A ligação BC é um membro de compressão. A área de seção transversal é: 
𝐴2 = (0,045)(0,012) = 540 × 10
−6𝑚2 
(b) Tensão em AB: 
𝜎𝐵𝐶 =
−𝐹𝐵𝐶
𝐴2
=
34,8 
540 × 10−6
= −𝟔𝟒, 𝟒𝑴𝑷𝒂 
9 
Exercício: Elementos de Máquinas 
Discentes: Abel Menezes, Robério Oliveira 
 
2.12 Uma barra de alumínio quadrada não deve se alongar mais de 1,4 mm quando 
submetida a uma força de tração. Sabendo que E = 70 GPa e que a resistência à 
tração admissível é 120 MPa, determine (a) o comprimento máximo admissível para 
a barra e (b) as dimensões necessárias para a seção transversal se a força de tração 
for de 28 kN. 
Solução: 
𝜎 = 120 × 106𝑃𝑎 
𝐸 = 70 × 109𝑃𝑎 
𝛿 = 1,4 × 103𝑚 
(a) 
𝛿 =
𝑃𝐿
𝐴𝐸
= 
𝜎𝐿
𝐸
 
𝐿 =
𝐸𝛿
𝜎
=
(70 × 109)(1,4 × 103)
120 × 106
= 0.817𝑚 = 817𝑚𝑚 
(b) 
𝜎 =
𝑃
𝐴
 
𝐴 =
𝑃
𝜎
=
28 × 103
120 × 106
= 233.333 × 10−6𝑚2 = 233.333𝑚𝑚2 
𝐴 = 𝑎2 𝑎 = √233.333 = 𝟏𝟓, 𝟐𝟖𝒎𝒎 
2.13 A barra BD feita de aço (E = 200 GPa) é utilizada para contenção lateral da haste 
comprimida ABC. O máximo esforço que se desenvolve em BD é igual a 0,02P. Se a 
tensão não deve exceder 124,1 MPa e a máxima mudança de comprimento da barra 
BD não pode exceder 0,001 vez o comprimento de ABC, determine o menor diâmetro 
possível de ser utilizado para o membro BD. 
Solução: 
𝐹𝐵𝐷 = 0,02𝑃 = (0.02)(520) = 10,4𝑘𝑁 
Considerando a tensão: 𝜎 = 126𝑀𝑃𝑎 
𝜎 =
𝐹𝐵𝐷
𝐴
 ∴ 𝐴 =
𝐹𝐵𝐷
𝜎
=
10400
126
= 82,54𝑚𝑚2 
Considerando a deformação: 𝛿 = (0,001)(3600) = 3,6𝑚𝑚 
𝛿 =
𝐹𝐵𝐷𝐿𝐵𝐷
𝐴𝐸
 ∴ 𝐴 =
𝐹𝐵𝐷𝐿𝐵𝐷
𝐸𝛿
=
(10,4×103)(3600)
(200×103)(3,6)
= 19,5𝑚𝑚2 
 
𝐷 = √
4𝐴
𝜋
= √
4(19,5)
𝜋
= 𝟓𝒎𝒎 de diâmetro. 
10 
Exercício: Elementos de Máquinas 
Discentes: Abel Menezes, Robério Oliveira 
 
2.14 O cabo BC de 4 mm de diâmetro é feito de um aço com E = 200 GPa. Sabendo 
que a máxima tensão no cabo não pode exceder 190 MPa e que a deformação do 
cabo não deve exceder 6 mm, determine a máxima força P que pode ser aplicada 
conforme mostra a figura. 
Solução: 
𝐿𝐵𝐶 = √62 + 42 = 7,2111𝑚 
+↺ Σ𝑀𝐴 = 0: 3,5𝑃 − (6) (
4
7,2111
𝐹𝐵𝐶) = 0 
𝑃 = 0,9509𝐹𝐵𝐶 
Considerando a tensão máxima: 𝜎 = 190 × 106𝑃𝑎 
𝐴 =
𝜋
4
∙ 𝑑2 =
𝜋
4
∙ (0,004)2 = 12,566 × 10−6𝑚2 
𝜎 =
𝐹𝐵𝐶
𝐴
 ∴ 𝐹𝐵𝐶 = 𝜎𝐴 = (190 × 10
6)(12,566 × 10−6) = 2,388 × 103𝑁 
Considerando o alongamento máximo: 𝛿 = 6 × 10−3𝑚 
𝛿 =
𝐹𝐵𝐶𝐿𝐵𝐶
𝐴𝐸
∴ 𝐹𝐵𝐶 =
𝐴𝐸𝛿
𝐿𝐵𝐶
=
(12.566 × 10−6)(200 × 109)(6 × 10−3)
7,2111
= 2,091 × 103𝑁 
A máxima força P que pode ser aplicada: 
𝑃 = 0,9509𝐹𝐵𝐶 = (0,9509)(2,091 × 10
3) = 1,988 × 103𝑁 = 𝟏, 𝟗𝟖𝟖𝒌𝑵 
2.35 Forças de compressão centradas de 178 kN são aplicadas em ambas as 
extremidades do conjunto mostrado na figura por meio de placas rígidas. Sabendo 
que Eaço = 200 GPa e Ealum = 69,6 GPa, determine (a) as tensões normais no núcleo 
de aço e no tubo de alumínio e (b) a deformação do conjunto. 
Solução: 
Pa = porção de força axial transportada por 
casca. 
Ps = porção da força axial transportada pelo 
núcleo. 
𝛿 =
𝑃𝐿
𝐴𝐸
 ∴ 𝑃 =
𝐸𝐴
𝐿
𝛿 
𝑃 = 𝑃𝑎 + 𝑃𝑠 = (𝐸𝑎𝐴𝑎 + 𝐸𝑠𝐴𝑠)
𝛿
𝐿
 
𝛿
𝐿
= 𝐸 =
𝑃
𝐸𝑎𝐴𝑎 + 𝐸𝑠𝐴𝑠
 
𝑃 = 160𝑘𝑁 
11 
Exercício: Elementos de Máquinas 
Discentes: Abel Menezes, Robério Oliveira 
 
𝐴𝑎 =
𝜋
4
(𝑑0
2 − 𝑑1
2) =
𝜋
4
(0,0622 − 0,0252) = 0,002528𝑚2 
𝐴𝑠 =
𝜋
4
𝑑2 =
𝜋
4
(0,025)2 = 0,000291𝑚2 
𝜀 =
−160000
(70 × 109)(0.002528) + (200 × 109)(0.0000491)
= −581,5 × 10−6 
(a) 𝜎𝑠 = 𝐸𝑠𝜀 = (200 × 10
9)(−581,5 × 10−6) = −𝟏𝟏𝟔, 𝟑𝑴𝑷𝒂 
𝜎𝑎 = 𝐸𝑎𝜀 = (70 × 10
9)(−581,5 × 10−6) = −𝟒𝟎, 𝟕𝑴𝑷𝒂 
(b) 𝛿 = 𝐿𝜀 = (0,25)(−581,5 × 10−6) = −𝟎,𝟏𝟒𝟓𝒎𝒎 
2.43 Um tubo de aço (E = 200 GPa) com diâmetro externo de 31,8 mm e espessura 
de 3,18 mm é colocado em um torno de bancada ajustado de maneira que as 
mandíbulas apenas toquem as extremidades do tubo sem exercerem nenhuma 
pressão sobre ele. As duas forças mostradas na figura são então aplicadas ao tubo. 
Após aplicar essas forças, o torno de bancada é ajustado para diminuir a distância 
entre suas mandíbulas em 0,2 mm. Determine (a) as forças aplicadas pelo torno de 
bancada no tubo em A e D e (b) a variação do comprimento da parte BC do tubo. 
 
Solução: 
Para o tubo 𝑑0 = 30𝑚𝑚 
𝑑𝑖 = 𝑑0 − 2𝑡 = 0.03 − 2(0.002) = 0.024𝑚 
𝐴𝑎 =
𝜋
4
(𝑑0
2 − 𝑑𝑖
2) =
𝜋
4
(0,032 − 0,0242) = 254,5 × 10−6𝑚2 
(a) 4,419 × 10−9𝑅𝑎 + 58,84 × 10−6 = −0,0002 
𝑅𝑎 = −58597𝑁 
(b) 𝛿𝐵𝐶 = (1,473 × 10
−9)(−58597) + 47,15 × 10−6 = 𝟑𝟗, 𝟐 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎𝒎 
2.51 Uma barra formada por duas partes cilíndricas AB e BC está impedida de se 
deslocar em ambas as extremidades. A parte AB é feita de aço (Eaço = 200 Gpa, αaço 
= 11,7×10–6/°C) e a parte BC é feita de latão (Elatão = 105 GPa, αlatão = 20,9×10–6/°C). 
Sabendo que a barra está inicialmente livre de tensões, determine a força 
compressiva induzida em ABC quando há um aumento de temperatura de 50°C. 
12 
Exercício: Elementos de Máquinas 
Discentes: Abel Menezes, Robério Oliveira 
 
Solução: 
𝐴𝐴𝐵 =
𝜋
4
(30)2 = 706,86𝑚𝑚2 
𝐴𝐵𝐶 =
𝜋
4
(50)2 = 1.9635 × 103𝑚𝑚2 
Expansão térmica livre: 
𝛿𝑇 = 𝐿𝐴𝐵𝛼𝑎ç𝑜Δ𝑇 + 𝐿𝐵𝐶𝛼𝑙𝑎𝑡ã𝑜Δ𝑇 = 459,75 × 10
−6𝑚 
Encurtamento devido à força compressiva induzida: 
𝛿𝑃 =
𝑃𝐿
𝐸𝑠𝐴𝐴𝐵
+
𝑃𝐿
𝐸𝑏𝐴𝐵𝐶
=
0,250𝑃
(200 × 104)(706,86 × 10−6)
+
0,300𝑃
(105 × 104)(1,9635 × 10−3)
 
𝛿𝑃 = 3,2235 × 10
−9𝑃 
Para deflexão líquida zero: 𝛿𝑃 = 𝛿𝑇 
3,2235 × 10−9𝑃 = 459,75 × 10−6 
Força compressiva induzida é: 
𝑃 = 142,62 × 103𝑁 = 𝟏𝟒𝟐, 𝟔𝒌𝑵