Flambagem em Colunas

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05/12/2019
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Flambagem
Critérios:
 Resistência da estrutura.
 Deformações.
 Estabilidade.
Exemplificação:
 Régua.
 Lata de alumínio.
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Elementos submetidos a cargas
axiais dimensionados para uma
tensão atuante menor que a
admissível e mantendo as
deformações dentro das
especificações podem estar sujeitas
à flambagem.
Flambagem: instabilidade que
promove o surgimento de uma
curva acentuada no elemento
(deflexão lateral).
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Coluna ideal
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Verificação da Estabilidade
Dois momentos:
𝑀 = 𝑃 × × 𝑠𝑒𝑛∆𝜃
𝑀 = 𝐾 × 2∆𝜃
Se:
M2>M1: Sistema estável.
M1>M2: Sistema instável.
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Deflexão da mola
Verificação da Estabilidade
Equílibrio:
𝑃 ×
𝐿
2
× 𝑠𝑒𝑛∆𝜃 = 𝐾 × 2∆𝜃
Como sin ∆𝜃 ~∆𝜃, então: 𝑃 =
 Sistema Estável: P < Pcr
 Sistema Instável: P > Pcr
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

























L
EI
P
senCLxemy
CxemycontornodeCondições
L
EI
P
CL
EI
P
senCyy
EI
P
dx
yd
EI
M
dx
yd
1
2
21
  0
00  0:   
cos  0
²
²
      
²
²
Satisfaz se:
• C1= 0, porém a barra permanece reta.
• 𝑠𝑒𝑛 𝐿 = 0 → 𝐿 = 𝑛𝜋
(Eq. Dif. Linear Homogênea 2ª Ordem)
Com n= 1 (menor valor para Carga crítica): 𝐿 = 𝑛𝜋
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𝑃 í =
𝜋 𝐸(𝐴𝑖 )
𝐿
𝑃
𝐴
í
=
𝜋 𝐸
𝐿
𝑖
𝑃 í =
𝜋 𝐸𝐼
𝐿
𝜎 í =
𝜋 𝐸
𝐿
𝑖
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Pcrít: Carga crítica.
E: Módulo de elasticidade.
I: Momento de Inércia (menor).
L: comprimento da coluna.
i: raio de giração ⁄ ; com menor I.
Índice de esbeltez (𝑳 𝒊⁄ ): Medida de 
flexibilidade da coluna. Utilizada para 
classificação:
 Compridas, intermediárias ou curtas.
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𝑃 í =
𝜋 𝐸𝐼
𝐿
𝜎 í =
𝜋 𝐸
𝐿
𝑖
Obs.: O raio de giração pode ter a simbologia “i”, “r” ou “k”.
A coluna sofrerá flambagem em
torno do eixo principal da seção
transversal que tenha o menor
momento de inércia (menos
resistente).
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1) Um tubo de aço com 7,2 m de
comprimento e a seção transversal
mostrada na Figura ao lado deve ser
usado como coluna presa por pinos na
extremidade. Determine a carga axial
admissível máxima que a coluna pode
suportar sem sofrer flambagem.
Dados: σe =250 MPa; E: 200 GPa.
Resp.:
Pcrít= 228,2 kN.
Verificação: σcrít < σe OK!
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𝐼 =
𝜋𝑟
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2) O elemento estrutural
W200 x 46 de aço mostrado na
Figura ao lado deve ser usado
como uma coluna acoplada por
pinos. Determine a maior carga
axial que ele pode suportar antes
de começar a sofrer flambagem
ou antes que o aço escoe.
Dados: σe =250 MPa; E: 200 GPa.
Resp.:
Pcrít= 1887,6 kN; σcrít= 320,5 MPa.
Verificação: σcrít < σe .:. Não Satisfaz!
P= 1472,5 kN.
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3) Uma coluna biarticulada de 2m de altura e seção transversal
quadrada deve ser feita de madeira. Considerando que E= 13
GPa, σadm= 12 MPa e usando um coeficiente de segurança de
2,5 ao calcular a força crítica de Euler para a flambagem,
determine a dimensão da seção transversal se a coluna deve
suportar com segurança para:
a) uma força de 100 kN. Resp: a= 98,3 ~ 100 mm.
b) uma força de 200 kN. Resp: a= 129,1 ~ 130 mm.
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𝑃 í =
𝜋 𝐸𝐼
𝐿
𝜎 í =
𝜋 𝐸
𝐿
𝑖
𝑃 í =
𝜋 𝐸𝐼
𝐿
𝜎 í =
𝜋 𝐸
𝐿
𝑖
𝑃 í =
𝜋 𝐸𝐼
(𝐾𝐿)
𝜎 í =
𝜋 𝐸
𝐾𝐿
𝑖
Comportamento semelhante à
metade de uma coluna
biarticulada.
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Uma extremidade livre e uma engastada
𝐿 = 2𝐿
𝐾 = 2
AC = BC .:. Em C Fx=0 Fy=0.
MD = 0 e ME = 0  Então
obtêm-se um comportamento
similar a de uma coluna
biarticulada porém com
comprimento menor (0,5L).
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Duas extremidades engastadas
AC = BC .:. Em C Fx=0 Fy=0.
MD = 0 e ME = 0  Então
obtêm-se um comportamento
similar a de uma coluna
biarticulada porém com
comprimento menor (0,5L).
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Duas extremidades engastadas
𝐿 = 0,5𝐿
𝐾 = 0,5
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Uma extremidade engastada e uma extremidade articulada
EI
M
dx
yd

²
²
VxPyM 
x
EI
V
yp
dx
yd
 ²
²
²
EI
P
p ²
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Uma extremidade engastada e uma extremidade articulada
𝐿 = 0,7𝐿𝐾 = 0,7
2   
²
²
19,20
fl
cr L
EI
L
EI
P


(Eq. Dif. Linear Homogênea 2ª Ordem)
x
EI
V
yp
dx
yd
 ²
²
²
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21 22
23 24
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1) Uma coluna de comprimento L e seção transversal
retangular tem uma extremidade engastada em B e
suporta uma força centrada em A. Duas placas lisas e
de lados arredondados impedem a extremidade A de
se mover em um dos planos verticais de simetria da
coluna, mas permitem o movimento no outro plano.
a) Determine a relação a/b dos dois lados da seção
transversal que correspondem ao projeto mais
eficiente contra a flambagem. Resp.: 0,35
b) Determine a seção transversal mais eficiente
para a coluna, sabendo que L= 500 mm, E=
70GPa, P= 22 kN e que o coeficiente de
segurança adotado é 2,5.
Resp.: b= 40,7 mm; a= 14,2 mm
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Obs.: O projeto mais eficiente possui tensões críticas
iguais para os possíveis modos de flambagem.
2) A coluna de alumínio está presa na base
e seu topo está ancorado por cabos de
modo a impedir que o topo movimente-se
ao longo do eixo x. Se considerarmos que
ela está fixa na base, determine a maior
carga admissível P que pode ser aplicada.
Use um coeficiente de segurança para
flambagem igual a 3,0. Considere Eal= 70
GPa; σe= 215 MPa, A= 7,5(10-3) m²; Ix=
61,3(10-6) m4, Iy= 23,2(10-6) m4.
Resp.: 141 kN
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 Situações reais: carga excêntricas.
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𝜎 á =
𝑃
𝐴
1 +
𝑒. 𝑐
𝑖
𝑠𝑒𝑐
𝐿
2𝑖
𝑃
𝐸𝐴
1) Uma coluna de aço W200x59 de aço A-
36 está engastada na base e escorada no
topo de modo que não pode deslocar-se,
mas está livre para girar em torno do eixo
y-y. Além disso, ela pode oscilar para o
lado no plano y-z. Determine a carga
excêntrica máxima que a coluna pode
suportar antes de começar a flambar ou
antes de o aço sofrer escoamento.
Dados: A= 7580 mm²; Ix= 61,2x106 mm4;
ix= 89,9 mm; Iy= 20,4x106 mm4; iy= 51,9
mm, E= 200 GPa, σe= 250 MPa; h= 210
mm.
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BEER, Ferdinand P; et al. Estática e mecânica dos materiais.
Tradução: Antônio Eustáquio de Melo Pertence; Revisão
técnica: Antônio Pertence Júnior. Porto Alegre: AMGH, 2013.
HIBBELER, Russel Charles. Resistência dos materiais. Tradução:
Arlete Simille Marques; Revisão técnica: Sebastião Simões da
Cunha Jr. 7 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
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