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Ms. Alexandre M. M. P. Ferreira 
PROFICIÊNCIA EM MATEMÁTICA 
Razão e Proporção 
 
 
 
 
 
 
2 
Sumário 
Razão e Proporção .................................................................................................. 3 
Números Diretamente Proporcionais ..................................................................................... 5 
Números Inversamente Proporcionais ................................................................................... 6 
Regra de Três ........................................................................................................................... 8 
Porcentagem ............................................................................................................. 11 
Bibliografia ........................................................................................................... 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Razão e Proporção 
Nesta unidade iremos estudar uma ferramenta matemática muito utilizada na nossa 
vida prática, chamada razão. A razão é utilizada para realizar comparação entre duas 
grandezas, desde que as duas estejam na mesma unidade de medida. A origem da 
palavra razão vem do latim e significa a divisão ou o quociente entre dois números x 
e y. É simbolizada matematicamente por x : y ou 
 
 
. 
Exemplo 
José, Roberto e Letícia possuem R$ 240,00, R$ 120,00 e R$ 40,00, respectivamente. 
Como podemos notar, José possui mais dinheiro que Roberto, e este, mais que 
Letícia. Mas quanto exatamente José tem a mais que Roberto e este a mais que 
Letícia? 
Para responder a essas perguntas, nós usamos a razão (divisão) entre o valor em 
dinheiro que tem José pelo valor em dinheiro que Roberto possui. Isto é: 
 
 
 
 
 
 
Agora se quisermos saber quantas vezes mais dinheiro Roberto tem em relação à 
Letícia, qual seria a resposta? 
A resposta correta seria 3 vezes, pois: 
 
 
 
 
 
 
Portanto, na matemática, a RAZÃO é a divisão entre dois números e serve para 
compará-los. 
A razão de 480 para 240 é 480/240, que é igual a 2. 
A razão de 60 para 20 é 60/20, que é igual a 3. 
A razão de 3.600 para 2.400 é 3.600/2.400, que é igual a 1,5. 
Razão Inversa 
Na matemática, existe o que chamamos de razão inversa, isto é, quando invertemos 
a ordem da divisão. Vejamos os exemplos: 
 A razão de 480 para 240 é 480/240, que é igual a 2. E a sua razão inversa é 
240/480, que é igual a 0,5. 
 A razão de 60 para 20 é 60/20, que é igual a 3.E a sua razão inversa é 20/60, 
que é igual a 0,33... 
 A razão de 3.600 para 2.400 é 3.600/2.400, que é igual a 1,5.E a sua razão 
inversa é 2400/3600, que é igual a 0,66... 
 
 
 
 
4 
b) 
 
 
 
 
 
 
extremos 5 e 1/10; meios: 6 e 1/12 
A razão é usada em escala de mapas e plantas, por isso, é muito utilizada nas áreas de 
engenharia, arquitetura e geografia (cartografia). 
 
Proporção 
Agora que sabemos o que é razão, vamos avançar um pouco mais e conhecer o 
cálculo de proporção, que é muito útil em nossa vida cotidiana. A proporção nada 
mais é que uma igualdade entre duas razões. 
Vejamos o exemplo: 
A razão de 24 para 12 (
 
 
) é igual a 2. 
A razão de 14 para 7 (
 
 
) é igual a 2. 
Portanto, as razões (
 
 
) e (
 
 
) têm o mesmo valor, isto é, (
 
 
) = (
 
 
) forma uma 
proporção. 
Matematicamente podemos dizer que: 
Dados quatro números x, y, z e t, todos diferentes de zero, consideramos uma 
proporção quando, nessa ordem, a razão x/y é igual à razão z/t, isto é: 
 
 
 
 
 
 
Vejamos a nomenclatura matemática para os componentes da proporção: 
x : y = z : t ou 
 
 
 
 
 
 recebem o nome de extremos x e t e meios y e z. 
Exemplos 
Dadas as proporções abaixo, identifique para cada uma delas os extremos e os meios: 
a) 
 
 
 
 
 
 
extremos: 26 e 7; meios: 13 e 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Propriedade Fundamental 
 
Uma das propriedades fundamentais das proporções é a “famosa” 
regra da multiplicação em “cruz”, que diz: 
O produto (multiplicação) dos extremos (x e t) é igual ao produto dos 
meios (y e z), isto é, x.t = y.z. 
 
 
 
 
5 
Exemplos 
Dadas as proporções abaixo, calcule o produto dos extremos e o produto dos meios e 
verifique se a proporção é verdadeira: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
Produto dos extremos: 420; produto dos meios: 420; 
A proporção é verdadeira, pois o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
Produto dos extremos: -1296; produto dos meios: 1152; 
A proporção é falsa, pois o produto dos extremos é diferente do produto dos meios. 
 
 
Números Diretamente Proporcionais 
Vejamos os números da seguinte sequência (sucessão): 4, 12, 20, 36. 
Agora observe os números de outra sequência: 2, 6, 10, 18. 
Nota-se que os números da primeira sequência são o dobro dos números da 
segunda, ou seja, a razão de cada termo (número) da primeira pelo seu 
correspondente (o número que está localizado na mesma ordem da primeira) da 
segunda é sempre o mesmo (2), isto é: 4 : 2 = 12 : 6 = 20 : 10 = 36 : 18 = 2 
Vejamos a nomenclatura matemática para os componentes dos números 
diretamente proporcionais: Os números da sucessão x, y, z, t... são diretamente 
proporcionais aos números x’, y’, z’, t’... quando a razão (divisão) de cada termo da 
primeira sucessão pelo termo correspondente da segunda sucessão é sempre igual: 
x : x’ = y : y’ = z : z’ = t : t’ = ... = constante 
Essa constante recebe o nome de fator de proporcionalidade. 
 
 
 
 
 
 
6 
Exemplos 
Dada a seguinte sucessão 3, 4, 5, 6, 7. Quais das sucessões abaixo são formadas com 
números diretamente proporcionais aos da sucessão dada? 
a) 6, 8, 10, 12, 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto a sucessão 6, 8, 10, 12, 14 é diretamente proporcional à sucessão 3, 4, 5, 6, 
7. Com o fator de proporcionalidade igual a 
 
 
 ou 0,5. 
 
b) 9, 12, 15, 18, 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto a sucessão 9, 12, 15, 18, 21 é diretamente proporcional à sucessão 3, 4, 5, 6, 
7. Com o fator de proporcionalidade igual a 
 
 
 ou 0,33... 
 
c) 7, 6, 5, 4, 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto a sucessão 7, 6, 5, 4, 3 não é diretamente proporcional à sucessão 3, 4, 5, 6, 
7. 
 
 
Números Inversamente Proporcionais 
Vejamos os números da sequência (sucessão): 4, 6, 8, 12. 
Agora observe os números de outra sucessão: 6, 4, 3, 2. 
Nota-se que o produto (multiplicação) de cada termo (número) da primeira pelo seu 
correspondente (o número que está localizado na mesma ordem da primeira) da 
segunda é sempre o mesmo (24), isto é: 4 . 6 = 6 . 4 = 3 . 8 = 12 . 2 = 24 
Ou, ainda, a razão de cada termo da primeira sucessão pelo inverso (lembrando que 
inverso é trocar a ordem do numerador com o denominador) do termo 
correspondente da segunda sucessão é o mesmo, isto é: 4 : 1/6 = 6 : 1/4 = 3 : 1/8 = 
12 : 1/2 = 24 
 
 
 
7 
Por causa disso, chamamos os números da primeira sucessão 4, 6, 3, 12 de 
inversamente proporcionais aos números da segunda sucessão 6, 4, 8, 2, e o fator de 
proporcionalidade é 24. 
Vejamos a nomenclatura matemática para os componentes dos números 
inversamente proporcionais: Os números da sucessão x, y, z, t... são inversamente 
proporcionais aos números x’, y’, z’, t’... quando o produto (multiplicação) de cada 
termo da primeira sucessão pelo termo correspondente da segunda sucessão é 
sempre igual: 
x . x’ = y . y’ = z . z’ = t . t’ = ... = constante 
Essa constante recebe o nome de fator de proporcionalidade. 
Observação: Equivale dizer que: a razão (divisão) de cada termo da primeira sucessão 
pelo inverso do termo correspondente da segunda sucessão é sempre igual: 
x : 1/x’ = y : 1/y’ = z : 1/z’ = t : 1/t’ = ... = constante 
Exemplos 
Dada a seguinte sucessão 1, 3, 5, 10. Quaisdas sucessões abaixo são formadas com 
números inversamente proporcionais aos da sucessão dada? 
a) 60, 20, 12, 6 
1 x 60 = 3 x 20 = 5 x 12 = 10 x 6 = 60 
Portanto a sucessão 6, 8, 10, 12, 14 é diretamente proporcional à sucessão 3, 4, 5, 6, 7. 
Com o fator de proporcionalidade igual a ou 0,5. 
 
b)10, 5, 3, 1 
1 x 10 ≠ 3 x 5 
Portanto a sucessão 10, 5, 3, 1 não é inversamente proporcional à sucessão 1, 3, 5, 
10, pois basta uma das multiplicações ser diferente das outras. 
 
c) 30, 10, 6, 3 
1 x 30 = 3 x 10 = 5 x 6 = 10 x 3 = 30 
Portanto a sucessão 30, 10, 6, 3 é inversamente proporcional à sucessão 1, 3, 5, 10. 
Com o fator de proporcionalidade igual a 30. 
 
 
 
 
 
8 
Duas grandezas são chamadas de grandezas diretamente proporcionais quando a 
razão entre os valores da primeira grandeza e os valores correspondentes da 
segunda é sempre igual. 
Regra de Três 
Para resolver problemas que envolvam grandezas direta ou inversamente 
proporcionais, utilizamos a regra prática denominada "regra de três". Primeiramente 
vamos entender o que são grandezas direta e inversamente proporcionais para 
depois aplicar a regra de três para resolução de problemas. 
Grandezas Diretamente Proporcionais 
Vejamos o seguinte caso: 
Laura está na padaria do “seu” Manuel e pretende comprar uns pães que custam R$ 
0,30 cada. Quanto Laura vai gastar? Pois bem, como saberemos quanto Laura vai 
gastar se não conhecemos a quantidade de pães que ela levará? Tudo dependerá do 
número de pães comprados. Vamos observar a tabela que mostra como podem 
variar o número de pães e o valor. 
Nº de pães Preço (R$) 
1 0,30 
2 0,60 
3 0,90 
4 1,20 
5 1,50 
6 1,80 
7 2,10 
8 2,40 
9 2,70 
 
Como podemos perceber, a quantidade de pães é variável, e o valor também é 
variável. 
Mas observe que a razão entre o número de pães e seu valor é sempre a mesma: 
1 : 0,30 = 2 : 0,60 = 3 : 0,90 = 4: 1,20 = 5 : 1,5 = ... = 9 : 2,70 
Por isso, falamos que a grandeza (aquilo que pode ser medido) número de pães e a 
grandeza valor dos pães são grandezas diretamente proporcionais. Portanto: 
 
Observação: Em termos práticos, dizemos que duas grandezas são diretamente 
proporcionais quando o que acontece com a primeira grandeza também acontece 
com a segunda, isto é, se a primeira grandeza aumenta de valor, a segunda também 
aumenta, e vice-versa. 
 
 
 
9 
Duas grandezas são chamadas de grandezas inversamente proporcionais quando o 
produto entre os valores da primeira grandeza e os valores correspondentes da 
segunda é sempre igual. 
Grandezas Inversamente Proporcionais 
Vejamos o seguinte caso: 
Laura comprou 60 pães na padaria do “seu” Manuel, levou-os para casa e distribuiu-
os entre os amigos, dando a mesma quantidade para cada um. Quantos pães cada 
um deles ganhou? Pois bem, como saberemos quanto cada um ganhou se não 
conhecemos a quantidade de amigos aos quais Laura distribuiu? Tudo dependerá do 
número de amigos que Laura possui. Vamos observar a tabela que mostra como 
pode variar o número de pães dependendo do número de amigos: 
 
Nº de amigos Nº de pães 
1 60 
2 30 
3 20 
4 15 
5 12 
6 10 
 
Como podemos perceber, o número de pães dados a cada amigo é variável, e o 
número de amigos que Laura pode ter também é variável. 
Mas observe que o produto entre o número de amigos e o número de pães que cada 
um recebe é sempre o mesmo: 
1 . 60 = 2 . 30 = 3 . 20 = 4. 15 = 5 . 12 = 6 . 10 
Por isso, falamos que a grandeza (aquilo que pode ser medido) número de amigos e a 
grandeza número de pães são grandezas inversamente proporcionais. Portanto: 
 
 
 
Observação: Em termos práticos, dizemos que duas grandezas são inversamente 
proporcionais quando o que acontece com a primeira grandeza é o inverso do que 
acontece com a segunda, isto é, se a primeira grandeza aumenta de valor, a segunda 
diminui, e vice-versa. 
 
 
 
 
 
10 
Regra de Três Simples 
Como já foi dito no início da unidade, a regra de três é uma regra prática da 
matemática muito útil para resoluções de problemas que envolvem grandezas 
diretamente ou inversamente proporcionais. 
Basicamente, a regra de três simples é um método prático para resolver problemas 
que envolvam quatro valores, dos quais conhecemos três deles. Portanto, podemos 
determinar o valor desconhecido a partir dos três já conhecidos. 
Para utilizar a regra de três para resolver problemas é necessário executar cinco 
etapas. São elas: 
1ª Etapa: Identificar as grandezas envolvidas no problema. 
2ª Etapa: Montar uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas 
e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em 
correspondência. 
3ª Etapa: Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
4ª Etapa: Montar a proporção. 
5ª Etapa: Resolver a equação. 
 
Vejamos o seguinte caso: 
Márcia comprou 8 m de tecido por R$ 32,00. Quanto pagará por 10 m do mesmo 
tecido? 
1ª) Etapa: Identificar as grandezas envolvidas no problema. 
Como podemos perceber, há duas grandezas envolvidas neste problema. Isto é, o 
número de metros de tecido e o valor pago por ele. 
2ª) Etapa: Montar uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em 
colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em 
correspondência. 
 
Quantidade de tecido 
(metro) 
Valor a ser pago 
(reais) 
8 32 
10 x 
 
 
 
 
 
11 
3ª) Etapa: Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente 
proporcionais. 
Nota-se que, se o número de metros aumenta, o valor gasto por Márcia também 
aumenta, logo podemos concluir que as duas grandezas são diretamente 
proporcionais (pois uma grandeza aumenta e a outra também aumenta, isto é, 
acontece a mesma coisa com elas). 
4ª) Etapa: Montar a proporção (como as grandezas são diretamente proporcionais, a 
razão entre os valores da primeira grandeza e os valores correspondentes da 
segunda é sempre igual). 
 
 
 
 
 
 
 
5ª) Etapa: Resolver a equação 
 
 
 
 
 
 
8x = 32 . 10 
(multiplicação em “cruz”) 
8x = 320 
x 
 
 
 
x = 40 
Portanto, o valor a ser pago pelos 10 metros de tecido é de R$ 40,00. 
 
Porcentagem 
A porcentagem é um exemplo clássico de regra de três simples, na qual as grandezas 
envolvidas são diretamente proporcionais, logo podemos usar o dispositivo prático 
para dispor as grandezas, utilizando a multiplicação em “cruz” para montar a equação 
e, depois, resolvendo a equação para descobrir o valor desejado (ou desconhecido). 
Exemplo 
Nivaldo foi comprar uma calça que custava R$ 21,00 e conseguiu um desconto de 7%. 
De quantos reais foi o desconto? Quanto Nivaldo pagou pela calça? 
1ª) Etapa: Identificar as grandezas envolvidas no problema. Como podemos 
perceber, há duas grandezas envolvidas neste problema. Isto é, o valor da calça e a 
porcentagem. 
 
 
 
12 
2ª) Etapa: Montar uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em 
colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em 
correspondência. 
 
Valor da Calça 
(em reais) 
Porcentagem 
21 100 
x 7 
 
3ª) Etapa: Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
Nota-se que, se o valor da calça aumenta, a porcentagem também aumenta, logo 
podemos concluir que as duas grandezas são diretamente proporcionais (pois uma 
grandeza aumenta e a outra também aumenta, isto é, acontece a mesma coisa com 
elas). 
 
4ª) Etapa: Montar a proporção (como as grandezas são diretamente proporcionais, a 
razão entre os valores da primeira grandeza e os valores correspondentes da segunda é 
sempre igual). 
 
 
 
 
 
 
5ª) Etapa: Resolver a equação. 
 
 
 
 
 
 
100x = 21.7 
100x = 147 
X= 
 
 
 
 
 
 
X= 1,47 
Portanto, o valor do desconto de 7% é R$ 1,47, e o valor da calça com desconto é R$ 
19,53 (21 –1,47). 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
Bibliografia 
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. & GIOVANNI JR., J. R. Matemática fundamental: 2º 
grau. São Paulo: FTD, 1994.IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar: conjuntos e funções v. 1. São 
Paulo: Atual, 2002. 
MACHADO, Antônio dos Santos. Matemática: conjuntos e funções. 2ª ed. São Paulo: 
Atual,1988.