Aula 5 Análise de Circuitos Elétricos

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ANÁLISE DE CIRCUITOS 
ELÉTRICOS 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Priscila Ertmann Bolzan 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Vamos começar os estudos sobre a resposta de circuitos elétricos em 
relação à frequência! 
Nesta aula, veremos como encontrar a função de transferência de um 
circuito, como funciona a escala de decibel, uma introdução sobre gráfico de 
Bode (para analisar o ganho e a fase de circuitos de acordo com a variação da 
frequência), circuitos ressonantes série, paralelo e filtros: passa-baixas, 
passa-faixa, passa-altas e banda de atenuação. 
Esses assuntos são importantes para o trabalho em corrente alternada; 
os tópicos desta aula são base para análises em circuitos eletrônicos e para o 
controle de circuitos eletrônicos. 
TEMA 1 – FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
A função de transferência de um circuito relaciona as variáveis de saída 
(tensão ou corrente) com as variáveis de entrada, no domínio da frequência. Em 
(1), vê-se um exemplo genérico de uma função de transferência, representada 
por 𝐻(𝑠): 
 
𝐻(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
 (1) 
O diagrama de blocos simplificado pode ser visto na Figura 1. 
Figura 1 – Diagrama de blocos de um circuito no domínio da frequência 
 
Fonte: Elaborado com base em Alexander; Sadiku, 2013. 
A função de transferência determina o ganho do circuito, seja em termos 
de corrente ou de tensão, conforme mostrado em (2). 
 
𝐻(𝑠) = 𝑔𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 =
𝑉𝑜(𝑠)
𝑉𝑖(𝑠)
 
𝐻(𝑠) = 𝑔𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 =
𝐼𝑜(𝑠)
𝐼𝑖(𝑠)
 
(2) 
Em que 𝑉𝑜(𝑠) é a tensão de saída do circuito, 𝑉𝑖(𝑠) é a tensão de entrada, 
𝐼𝑜(𝑠) é a corrente de saída e 𝐼𝑖(𝑠) é a corrente de entrada. 
 
 
3 
Além disso, pode-se relacionar tensão e corrente, como mostrado em (3): 
 
 
𝐻(𝑠) = 𝑖𝑚𝑝𝑒𝑑â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑐𝑛𝑖𝑎 =
𝑉𝑜(𝑠)
𝐼𝑖(𝑠)
 
𝐻(𝑠) = 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 =
𝐼𝑜(𝑠)
𝑉𝑖(𝑠)
 
(3) 
A função de transferência pode ser mostrada como a razão entre o 
numerador e o denominador, sendo ambos polinômios no domínio da frequência. 
Neste caso, o numerador e o denominador já foram simplificados, conforme 
mostrado em (4): 
 
𝐻(𝑠) =
𝑁(𝑠)
𝐷(𝑠)
 (4) 
Em que 𝑁(𝑠) é o numerador da equação e 𝐷(𝑠) é o denominador da 
equação. As raízes do denominador são chamadas zeros da função, pois são os 
valores que fariam a função zerar, enquanto as raízes do denominador são os 
polos da função, pois são os valores que tornam a função infinita. 
Para o circuito mostrado na Figura 2, a função de transferência ficará 
como mostrado em (5). 
Figura 2 – Circuito RLC série 
 
Fonte: Elaborado com base em Nilsson; Riedel, 2015. 
Primeiramente, você pode calcular a tensão de saída e a tensão de 
entrada, utilizando Lei de Ohm, conforme mostrado em (5). 
 
𝑉𝑜(𝑠) = 𝐼(𝑠) ∙
1
𝑠 ∙ 𝐶
=
𝐼(𝑠)
𝑠 ∙ 𝐶
 
𝑉𝑔 = 𝐼(𝑠) ∙ 𝑅 + 𝐼(𝑠) ∙ 𝑠 ∙ 𝐿 +
𝐼(𝑠)
𝑠 ∙ 𝐶
= 𝐼(𝑠) ∙ (𝑅 + 𝑠 ∙ 𝐿 +
1
𝑠 ∙ 𝐶
) 
(5) 
𝑰(𝒔) 
𝑽𝒈 
𝑹 
𝒔 ∙ 𝑳 
𝟏
𝒔 ∙ 𝑪
 𝑽𝒐(𝒔) 
+ 
− 
 
 
4 
Na sequência, basta calcular a razão entre os dois termos, conforme já 
demonstrado em (2). O ganho de tensão é calculado em (6). 
 
𝐻(𝑠) =
𝑉𝑜(𝑠)
𝑉𝑔
=
𝐼(𝑠)
𝑠 ∙ 𝐶
𝐼(𝑠) ∙ (𝑅 + 𝑠 ∙ 𝐿 +
1
𝑠 ∙ 𝐶)
 
𝐻(𝑠) =
1
𝑠 ∙ 𝐶
(𝑅 + 𝑠 ∙ 𝐿 +
1
𝑠 ∙ 𝐶)
 
𝐻(𝑠) =
1
𝑠 ∙ 𝐶 ∙ (𝑅 + 𝑠 ∙ 𝐿 +
1
𝑠 ∙ 𝐶
)
=
1
(𝑠 ∙ 𝐶 ∙ 𝑅 + 𝑠2 ∙ 𝐶 ∙ 𝐿 + 1)
 
𝐻(𝑠) =
1
(𝑠2 ∙ 𝐶 ∙ 𝐿 + 𝑠 ∙ 𝐶 ∙ 𝑅 + 1)
 
(6) 
Um exemplo de circuito com base no qual se deseja calcular a função de 
transferência é mostrado na Figura 3. 
Figura 3 – Exemplo 1: Função de transferência 
 
Fonte: Elaborado com base em Nilsson; Riedel, 2015. 
Antes de encontrar a equação que descreve a tensão de saída e a tensão 
de entrada, é necessário passar o circuito para o domínio da frequência, 
conforme apresentado na Figura 4. 
𝑽𝒈 
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝛀 
𝟐𝟓𝟎 𝛀 
𝟓𝟎 𝒎𝑯 
𝟏 𝝁𝑭 
𝒗𝒐(𝒕) 
+ 
− 
 
 
5 
Figura 4 – Exemplo 1: Função de transferência (circuito no domínio da 
frequência) 
 
Fonte: Elaborado com base em Nilsson; Riedel, 2015. 
Primeiramente, é necessário encontrar a tensão de saída, 𝑉𝑜(𝑠). Para 
isso, será utilizada a Lei das Correntes de Kirchhoff no nó superior, conforme 
mostrado em (7). 
 
𝑉𝑜 − 𝑉𝑔
1000
+
𝑉𝑜
250 + 0,05 ∙ 𝑠
+
𝑉𝑜 ∙ 𝑠
106
= 0 (7) 
Deixando 𝑉𝑜 em evidência na primeira parte da equação, tem-se (8). 
 𝑉𝑜
1000
+
𝑉𝑜
250 + 0,05 ∙ 𝑠
+
𝑉𝑜 ∙ 𝑠
106
=
𝑉𝑔
1000
 
𝑉𝑜 ∙ (
1
1000
+
1
0,05 ∙ (𝑠 + 5000)
+
𝑠
106
) =
𝑉𝑔
1000
 
(8) 
Na sequência, aplicou-se o mínimo múltiplo comum no denominar, 
conforme mostrado em (9): 
 
𝑉𝑜 ∙ (
(𝑠 + 5000) + 20000 + 0,001 ∙ 𝑠 ∙ (𝑠 + 5000)
1000 ∙ (𝑠 + 5000)
) =
𝑉𝑔
1000
 
𝑉𝑜 ∙ (
1000 ∙ (𝑠 + 5000) + 1000 ∙ 20000 + 1000 ∙ 0,001 ∙ 𝑠 ∙ (𝑠 + 5000)
1000 ∙ (𝑠 + 5000)
) = 𝑉𝑔 
(9) 
Colocando 𝑉𝑜 𝑉𝑔⁄ em evidência, tem-se (10). 
 𝑉𝑜
𝑉𝑔
=
1000 ∙ (𝑠 + 5000)
1000 ∙ 𝑠 + 5.106 + 20 ∙ 106 + 𝑠2 + 5000 ∙ 𝑠
 (10) 
𝑽𝒈 
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝛀 
𝟐𝟓𝟎 𝛀 
𝟎, 𝟎𝟓 ∙ 𝒔 
𝟏𝟎𝟔
𝒔
 
𝑽𝒐(𝒔) 
+ 
− 
 
 
6 
𝑉𝑜
𝑉𝑔
=
1000 ∙ (𝑠 + 5000)
𝑠2 + 6000 ∙ 𝑠 + 25 ∙ 106
 
E assim chega-se na função de transferência do circuito da Figura 3. Outro 
exemplo de circuito é visto na Figura 5, já no domínio da frequência. Deseja-se 
calcular o ganho de tensão do circuito. 
Figura 5 – Exemplo 2: função de transferência 
 
Fonte: Elaborado com base em Nilsson; Riedel, 2015. 
Para calcular a função de transferência, pode-se aplicar Lei das Correntes 
de Kirchhoff no nó 2, conforme mostrado em (11): 
 𝑉𝑔 − 𝑉𝑜
4 ∙ 𝑠
= 𝑉𝑜 ∙ 0,5 ∙ 𝑠 +
𝑉𝑜
3
 (11) 
Na sequência, pode-se deixar a tensão de saída, 𝑉𝑜, em evidência, 
conforme apresentado em (12). 
 𝑉𝑜
4 ∙ 𝑠
+ 𝑉𝑜 ∙ 0,5 ∙ 𝑠 +
𝑉𝑜
3
=
𝑉𝑔
4 ∙ 𝑠
 
𝑉𝑜 ∙ (
1
4 ∙ 𝑠
+ 0,5 ∙ 𝑠 +
1
3
) =
𝑉𝑔
4 ∙ 𝑠
 
(12) 
Pode-se então aplicar o mínimo múltiplo comum e, depois, isolar o termo 
que simboliza a função de transferência desejada, 𝑉𝑜 𝑉𝑔⁄ , conforme calculado 
em (13): 
 
𝑉𝑜 ∙ 4 ∙ 𝑠 ∙ (
1
4 ∙ 𝑠
+ 0,5 ∙ 𝑠 +
1
3
) = 𝑉𝑔 
𝑉𝑜 ∙ 4 ∙ 𝑠 ∙ (
3 + 6 ∙ 𝑠2 + 4 ∙ 𝑠
12 ∙ 𝑠
) = 𝑉𝑔 
(13) 
𝑽𝒈 𝟐 𝛀 
𝟒 ∙ 𝒔 
𝟏
𝟎, 𝟓 ∙ 𝒔
 𝟑 𝛀 𝑽𝒐(𝒔) 
+ 
− 
𝑵ó 𝟐 
 
 
7 
𝑉𝑜 ∙ (
3 + 6 ∙ 𝑠2 + 4 ∙ 𝑠
3
) = 𝑉𝑔 
𝑉𝑜
𝑉𝑔
=
3
6 ∙ 𝑠2 + 4 ∙ 𝑠 + 3
 
Desta maneira chega-se na equação que representa a função de 
transferência desse circuito – neste caso, o ganho de tensão. 
TEMA 2 – GRÁFICO DE BODE 
Neste tema, vamos estudar uma introdução do que é e como funciona o 
gráfico de Bode. Ele é bastante utilizado na análise de circuitos de controle de 
circuitos elétricos, pois relaciona o módulo e o ângulo de fase de um sinal de 
acordo com a frequência. 
Antes de começar os estudos sobre o gráfico de Bode, é preciso entender 
a escala de decibéis, pois ela será bastante utilizada para simplificar a plotagem 
dos gráficos. 
2.1 Escala de Decibéis 
Pode-se comparar dois valores de potência utilizando a unidade chamada 
bel. Esta comparação pode ser vista em (14) e é determinada como o ganho de 
potência do circuito: 
 
𝐵 = 𝑙𝑜𝑔10
𝑃2
𝑃1
 (𝑏𝑒𝑙𝑠) (14) 
A fim de trabalhar com uma unidade menor, tem-se então o decibel, 
conforme mostrado em (15). 
 
1 𝑏𝑒𝑙 = 10 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑏é𝑖𝑠 (𝑑𝐵) (15) 
Assim, para comparar dois valores de potência, pode-se calcular 
conforme mostrado em (16). É valido lembrar que o decibel não é uma unidade 
de medida, e sim uma forma de comparar dois valores. Ele é sempre baseado 
em um valor de referência. Só é possível saber o real valor do sinal (de potência, 
tensão, corrente) se a referência for conhecida. 
 
 
8 
 
𝐺𝑑𝐵 = 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔10
𝑃2
𝑃1
 (16) 
No caso de valores iguais de potência, ou seja, 𝑃2 = 𝑃1, o ganho será igual 
a zero, 𝐺𝑑𝐵 = 0. Sempre que a potência aumentar, ou seja, 𝑃2 > 𝑃1, o valor de 
ganho será positivo; sempre que a potência diminuir, 𝑃2 < 𝑃1, o valor do ganho 
será negativo.Um exemplo em que a potência 𝑃2 seja o dobro de 𝑃1, o ganho será de 3 
dB, conforme apresentado em (17): 
 
𝐺𝑑𝐵 = 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔10
𝑃2
𝑃1
= 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔10
2 ∙ 𝑃1
𝑃1
 
𝐺𝑑𝐵 = 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔102 = 3 𝑑𝐵 
(17) 
Algumas propriedades importantes quando se trabalha com logaritmo são 
vistas em (18): 
 log 𝑃1 ∙ 𝑃2 = log 𝑃1 + log 𝑃2 
log
𝑃1
𝑃2
= log 𝑃1 − log 𝑃2 
log 𝑃𝑛 = 𝑛 ∙ log 𝑃 
log 1 = 0 
(18) 
Para o cálculo do ganho de tensão usa-se (19): 
 
𝐺𝑑𝐵 = 20 ∙ 𝑙𝑜𝑔10
𝑉2
𝑉1
 (19) 
Observe que agora o valor que multiplica é 20, pois a relação de tensão e 
potência é quadrática, conforme demonstrado em (20): 
 
𝑃 =
𝑉2
𝑅
 (20) 
Conforme visto nas propriedades do logaritmo, o expoente ao quadrado 
pode passar para frente do logaritmo multiplicando, por isso tem-se (19). 
Alguns exemplos de ganhos medidos em escala linear e em dB podem 
ser vistos na 
 
 
 
9 
Tabela 1. 
 
 
 
10 
Tabela 1 – Ganhos de tensão: comparação entre escala linear e dB 
Ganho de tensão Gv 𝑮𝒅𝑩 = 𝟐𝟎 ∙ 𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎𝑮𝒗 
0,001 -60 dB 
0,01 -40 dB 
0,1 -20 dB 
0,5 -6 dB 
1 0 dB 
2 6 dB 
10 20 dB 
100 40 dB 
1000 60 dB 
Fonte: Elaborado com base em Alexander; Sadiku, 2013. 
É importante observar que uma escala logarítmica permite que pequenas 
variações e grandes variações estejam aproximadas, de forma a serem plotadas 
em um único gráfico, com visualização seja facilitada. Por exemplo, para um 
aumento de duas vezes no valor de tensão, o ganho em dB será de 6 dB, 
enquanto que para um aumento de 1000 vezes, o ganho será de 60 dB, 
facilitando a plotagem dos ganhos em um eixo. 
2.2 O gráfico de Bode 
O gráfico de Bode é uma maneira de representar o módulo e o ângulo de 
fase das funções de transferência por meio de uma escala de decibéis. O gráfico 
é semilogarítmico. No eixo y a escala é linear, normalmente dada em dB, 
enquanto no eixo x utiliza-se a escala logarítmica para a representação da 
frequência; o módulo (que é representado em decibéis) e a fase (representada 
em graus) serão relacionados com a frequência, possibilitando uma análise da 
resposta do circuito em diversas frequências. 
Um exemplo de gráfico de Bode pode ser visto na Figura 6. 
 
 
11 
Figura 6 – Gráfico de Bode: exemplo 
 
Fonte: Elaborado com base em Boylestad, 2012. 
Pode-se observar que o eixo y está em dB, enquanto o eixo x apresenta 
a frequência. No primeiro caso, o circuito terá uma diminuição do sinal de saída 
conforme a frequência aumenta, enquanto no segundo caso o sinal é amenizado 
apenas para as baixas frequências. 
Um exemplo mais completo do gráfico de Bode de um circuito é 
apresentado na Figura 7 e Figura 8. Na Figura 7. Pode-se observar como a 
amplitude do sinal de saída muda com a variação da frequência. 
Figura 7 – Gráfico de Bode: amplitude 
 
Fonte: Elaborado com base em Boylestad, 2012. 
Neste caso, é apresentada a resposta real do circuito (curva em preto, 
mais arredondada) e a resposta aproximada, obtida por meio dos cálculos, em 
azul. O eixo da amplitude (dada em dB) se vale de uma escala linear, enquanto 
o eixo da frequência utiliza uma resposta logarítmica, de forma que é possível 
 
 
12 
observar o comportamento do sinal com baixas frequências (0,1 kHz) e com altas 
frequências (até 10 kHz). 
Além disso, pode-se criar um gráfico que relaciona o ângulo de fase do 
sinal de saída (comparando com o sinal de referência) e a frequência. Um 
exemplo deste gráfico pode ser visto na Figura 8. 
Figura 8 – Gráfico de Bode: ângulo de fase 
 
Fonte: Elaborado com base em Boylestad, 2012. 
Nesse gráfico, pode-se perceber que as tensões (de saída e de 
referência) estão em fase para baixas frequências; quando a frequência 
aumenta, a tensão de saída passa a ficar atrasada em relação à tensão de 
referência. Nesse gráfico, o eixo y é linear, dado em graus, enquanto o eixo x é 
logarítmico, representando a frequência. 
TEMA 3 – RESSONÂNCIA SÉRIE E PARALELO 
Circuitos ressonantes são compostos por ao menos um resistor, um 
capacitor e um indutor, porém a reatância capacitiva é igual à reatância indutiva, 
de forma que o circuito tem uma resposta resistiva (tensão em fase com a 
corrente). 
A resposta em frequência de circuitos ressonantes é mostrada na Figura 
9. Para a frequência 𝑓𝑟 o circuito tem uma resposta máxima (em termos de 
tensão e corrente), enquanto para frequências mais distantes de 𝑓𝑟, a resposta 
é amenizada. 
 
 
13 
Figura 9 – Resposta em frequência de um circuito ressonante 
 
Fonte: Elaborado com base em Boylestad, 2012. 
Circuitos ressonantes são muito utilizados em diversos equipamentos. 
Receptores de rádio ou televisão, por exemplo, tem uma frequência de trabalho 
para cada canal, de forma que, quando o usuário escolher um canal de TV, por 
exemplo, ele estará escolhendo uma frequência na qual aquele canal tem uma 
resposta, como a mostrada na Figura 9 quando a frequência é a de ressonância 
(𝑓𝑟). 
Pode-se haver ressonância em um circuito em série e em paralelo, 
portanto estes serão os dois tópicos de estudos a seguir. 
3.1 Ressonância em série 
A condição para que haja ressonância é de que a reatância indutiva seja 
igual a reatância capacitiva, conforme demonstrado matematicamente em (21). 
 𝑋𝐿 = 𝑋𝐶 (21) 
Sabendo disso, pode-se calcular a frequência de ressonância, uma vez 
que a reatância depende da frequência do circuito. A partir de (22), pode-se 
calcular a frequência de ressonância. 
 
 
 
14 
 
 𝑋𝐿 = 𝜔 ∙ 𝐿 
𝑋𝐶 =
1
𝜔 ∙ 𝐶
 
𝜔 ∙ 𝐿 =
1
𝜔 ∙ 𝐶
 
𝜔2 =
1
𝐿 ∙ 𝐶
 
𝜔 =
1
√𝐿 ∙ 𝐶
 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
(22) 
Em que 𝐿 é a indutância (em Henries), 𝐶 é a capacitância (em Farads) e 
𝜔 é a frequência angular (em radianos por segundo). 
Passando a frequência para a unidade de Hertz, sabendo que 𝜔 = 2 ∙ 𝜋. 𝑓, 
então a frequência pode ser escrita também como (23). 
 
𝑓 =
1
2 ∙ 𝜋 ∙ √𝐿 ∙ 𝐶
 𝐻𝑧 (23) 
O circuito ressonante série é como o mostrado na Figura 10. 
Figura 10 – Circuito RLC ressonante série 
 
Fonte: Elaborado com base em Boylestad, 2012. 
Para o cálculo da impedância total do circuito, tem-se (24): 
 𝑍 = 𝑅 + 𝑗 ∙ 𝑋𝐿 − 𝑗 ∙ 𝑋𝐶 
𝑍 = 𝑅 + 𝑗 ∙ (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶) 
(24) 
Considerando que durante a ressonância termos a condição demonstrada 
anteriormente, em que 𝑋𝐿 = 𝑋𝐶, a impedância total será descrita apenas pela 
resistência, logo 𝑍 = 𝑅. Desta maneira, a corrente que circula no circuito pode 
ser calculada como mostrado em (25). 
𝐑 𝐋 
𝐂 
𝑽𝑭 
 
 
15 
 
𝐼 =
𝑉𝐹∢0°
𝑅∢0°
=
𝑉𝐹
𝑅
∢0° (25) 
Em que 𝑉𝐹 é a tensão da fonte. A corrente do circuito estará em fase com 
a tensão da fonte, uma vez que a impedância possui seu valor mínimo, sendo 
representada apenas pela resistência. Considerando que todos os elementos 
estão em série, a tensão no indutor e no capacitor podem ser calculadas 
conforme (26): 
 𝑉𝐿 = 𝐼∢0° ∙ 𝑋𝐿∢90° 
𝑉𝐶 = 𝐼∢0° ∙ 𝑋𝐶∢ − 90° 
(26) 
Sabendo que 𝑋𝐿 = 𝑋𝐶, então a tensão nos dois elementos é a mesma, 
porém defasada em 180°. A potência do circuito pode ser descrita como a 
potência no resistor. Sabendo que circula corrente nos elementos indutivos e 
capacitivos, e que há tensão aplicada, isso significa que a potência nesses 
elementos também pode ser calculada. A potência no capacitor e no indutor é a 
mesma em módulo. Ambos irão transferir energia continuamente entre si. As 
formas de onda de potência em todos os elementos podem ser vistas na Figura 
11. 
Figura 11 – Formas de onda de potência no indutor, capacitor e resistor 
 
 
Fonte: Elaborado com base em Boylestad, 2012. 
3.1.1 Fator de qualidade 
O fator de qualidade de um circuito ressonante, chamado de 𝑄, é a relação 
entre a potência reativa do capacitor ou indutor em relação à potência média do 
 
 
16 
resistor. A equação que determina o fator de qualidade para um circuito 
ressonante série é apresentada em (27). 
 
𝑄 =
𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎
 (27) 
O fator de qualidade mede a qualidade do circuito ressonante. Quanto 
maior for a potência dissipada no resistor, menor será o fator de qualidade. 
Quanto maior for o fator de qualidade, significa que mais concentrada e intensa 
é a região de ressonância. 
A potência do indutor e a potência do resistor são determinadas como 
mostrado em (28): 
 𝑃𝐿 = 𝐼
2 ∙ 𝑋𝐿 
𝑃𝑅 = 𝐼
2 ∙ 𝑅 
(28) 
Assim, o fator de qualidade pode ser reescrito como mostrado em (29): 
 
𝑄 =
𝐼2 ∙ 𝑋𝐿
𝐼2 ∙ 𝑅
=
𝑋𝐿
𝑅
 (29) 
3.2 Ressonância paralela 
O circuito RLC ressonante paralelo pode ser visto na Figura 12. 
Figura 12 – Circuito RLC ressonante paralelo 
 
 
Fonte: Elaborado com base em Boylestad, 2012. 
Nesse circuito, desconsidera-se a resistência do capacitor e, 
principalmente, do indutor, ou seja, está sendo considerado o caso ideal. 
A impedância total do circuito pode ser calculada conforme mostrado em 
(30). 
𝐑 𝐋 𝐂 
𝑰𝑭 
 
 
17 
 1
𝑍
=
1
𝑅
+
1
𝑗 ∙ 𝑋𝐿
+
1
−𝑗 ∙ 𝑋𝐶
 (30) 
Considerando a reatância indutiva (𝑋𝐿) igual à reatância capacitiva (𝑋𝐶), 
então a impedância equivalente será determinada apenas pelo valor da 
resistência, assim como no caso do circuito ressonante série. Logo, as mesmas 
equações de frequência de ressonância e fator de qualidade são válidas. 
TEMA 4 – FILTROS PASSIVOS 
Os filtros são divididos em dois grupos: filtros ativos e filtros passivos. Os 
filtros passivos são formados apenas de componentes passivos, como 
resistores, capacitores e indutores, enquanto filtros ativos apresentam esses 
componentes e também dispositivos como amplificadores operacionais e 
transistores. O tópico de estudo nesta aula serão os filtros passivos. 
Neste tema, vamos tratar dos quatro tipos mais básicos de filtros: 
passa-baixas, passa-altas, passa-faixa e banda de atenuação. 
4.1 Filtro passa-baixas 
Os filtros passa-baixas, como o nome já diz, permitem passar baixas 
frequências e atenuam sinais em frequências altas. Na Figura 13, vê-se a 
resposta da tensão de saída em relação à frequência. 
Figura 13 – Resposta em frequência de um filtro passa-baixas 
 
Fonte: Elaborado com base em Boylestad, 2012. 
Pode-se perceber que em frequências próximas a zero a amplitude do 
sinal de saída é máxima e vai diminuindo à medida que a frequência aumenta, 
até ser atenuada completamente. 
 
 
18 
Para valores de tensão na saída superiores à 0,707 do valor máximo, 
considera-se que a frequência encontra-se na banda de passagem, enquanto 
que para valores menores considera-se que o sinal está começando a atenuar, 
e chama-se de banda de atenuação. 
Uma das maneiras de criar um filtro passa-baixas é por meio de um 
circuito RC, conforme mostrado na Figura 14. 
 
Figura 14 – Circuito RC de um filtro passa-baixas 
 
Fonte: Elaborado com base em Boylestad, 2012. 
Podemos dividir o circuito mostrado em duas situações: frequências muito 
baixas e frequências muito altas. Um capacitor em corrente contínua (frequência 
= 0 Hertz) se carrega e se comporta como um circuito aberto depois disso; 
portanto, para baixas frequências pode-se considerar que o circuito equivalente 
do filtro é como o mostrado na Figura 15(a). Neste circuito, toda a tensão da 
entrada é aplicada na saída (considerando o circuito como está, uma vez que 
não existe corrente no resistor, também não há queda de tensão). No caso 
contrário, quando as frequências são muito altas, o capacitor passa a se 
comportar como um curto circuito, como demonstrado na Figura 15(b), de forma 
que nada da tensão de entrada será aplicada na saída. Ou seja, não há tensão 
na saída, atenuando totalmente o sinal. 
 
 
19 
Figura 15 – Resposta de um filtro passa-baixas RC em (a) baixa frequência e (b) 
alta frequência 
 
(a) (b) 
 
Fonte: Elaborado com base em Boylestad, 2012. 
Sabe-se que o momento em que o sinal de saída é 70,7% do sinal de 
entrada acontece quando a resistência é igual ao valor da reatância capacitiva. 
Assim, pode-se concluir que a frequência em que isso acontece pode ser 
calculada como mostrado em (31). 
 𝑅 = 𝑋𝐶 
𝑓𝑐 =
1
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 ∙ 𝐶
 
(31) 
Assim, ao calcular um filtro passa-baixas, pode-se calcular o valor dos 
componentes por meio da equação (31), que define a separação entre banda de 
passagem e banda de atenuação. 
Considerando que a tensão de saída pode ser definida por meio da 
equação do divisor de tensão, pode-se escrever (32): 
 
𝑉𝑜 =
(𝑋𝐶∢ − 90°) ∙ 𝑉𝑖
𝑅 − 𝑗 ∙ 𝑋𝐶
 (32) 
Em que 𝑉𝑖 é a tensão de entrada e 𝑉𝑜 é a tensão de saída. 
Para calcular o ganho do circuito, pode-se relacionar tensão de saída com 
tensão de entrada, como mostrado em (33): 
 
𝐴𝑣 =
𝑉𝑜
𝑉𝑖
 (33) 
Logo, substituindo (32) em (33), chega-se em (34): 
 
 
20 
 
𝐴𝑣 =
(𝑋𝐶∢ − 90°) ∙ 𝑉𝑖
𝑅 − 𝑗 ∙ 𝑋𝐶
𝑉𝑖
=
(𝑋𝐶∢ − 90°)
𝑅 − 𝑗 ∙ 𝑋𝐶
=
(𝑋𝐶∢ − 90°)
√𝑅2 + 𝑋𝐶
2 ∢(𝜑)
 (34) 
Analisando apenas o módulo do ganho (desconsiderando os ângulos), 
pode-se reescrever (34) como mostrado em (35): 
 
𝐴𝑣 =
𝑋𝐶
√𝑅2 + 𝑋𝐶
2 
=
1
√(
𝑅
𝑋𝐶
)
2
+ 1
 
(35) 
4.2 Filtro passa-altas 
Os filtros passa-altas têm comportamento oposto aos filtros passa-baixas, 
ou seja, atenuam os sinais em baixa frequência e têm valor máximo para os 
sinais em alta frequência. O comportamento da tensão em função da frequência 
de filtros passa-altas pode ser visualizado na Figura 16. 
 
Figura 16 – Resposta em frequência de um filtro passa-altas 
 
Fonte: Elaborado com base em Boylestad, 2012. 
Um dos possíveis circuitos para criar um filtro passa-altas pode ser visto 
na Figura 17. Ele também é formado por um capacitor e um resistor, porém agora 
na configuração oposta à anterior. 
 
 
21 
Figura 17 – Circuito RC de um filtro passa-altas 
 
Fonte: Elaborado com base em Boylestad, 2012. 
O comportamento desse circuito para baixas frequências pode ser visto 
na Figura 18(b). O capacitor em baixa frequência se comporta como um circuito 
aberto, de forma que a entrada não terá conexão com a saída, ou seja, a tensão 
de saída será zero. O mesmo circuito, mas operando em altas frequências, é 
visto na Figura 18(a), em que o capacitor passa a se comportar como um circuito-
circuito e a tensão de saída será igual à tensão de entrada – ou seja, para altas 
frequências não há atenuação do sinal. 
 
Figura 18 – Resposta de um filtro passa-altas RC em (a) alta frequência e (b) 
baixa frequência 
 
(a) (b) 
 
Fonte: Elaborado com base em Boylestad, 2012. 
A equação para determinar a frequência limite entre banda passante e 
banda de atenuação é calculada da mesma maneira que no filtro passa-baixas, 
conforme mostrado em (36): 
 
𝑓𝑐 =
1
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 ∙ 𝐶
 (36) 
 
 
22 
Da mesma maneira, sabendo que a tensão de saída pode ser calculada 
utilizando a equação do divisor de tensão, então ela será como em (37): 
 
𝑉𝑜 =
𝑅 ∙ 𝑉𝑖
𝑅 − 𝑗 ∙ 𝑋𝐶
 (37) 
Então, seguindo os mesmos passos calculados anteriormente, o ganho 
do circuito pode ser definido como (38): 
 
𝐴𝑣 =
𝑉𝑜
𝑉𝑖
=
1
√1 + (
𝑋𝐶
𝑅
)
2
 
(38) 
4.3 Filtro passa-faixa 
Um filtro passa-faixa tem a característica de apresentar uma faixa 
específica, na qual o sinal de saída é máximo e atenua os valores para 
frequência muito mais baixas e muito mais altas. Basicamente, um filtro 
passa-faixa tem o comportamento dos circuitos ressonantes estudados 
anteriormente. A resposta em frequência desse filtro pode ser vista na Figura 19. 
 
Figura 19 – Resposta em frequência de um filtro passa-faixa 
 
Fonte: Elaborado com base em Boylestad, 2012. 
Os circuitos ressonantes estudados anteriormente podem ser vistos 
(agora na modalidade de filtros passa-faixa) na Figura 20Figura 22. Neste 
exemplo, tem-se um circuito RLC série ressonante. 
 
 
23 
Figura 20 – Circuito RLC de um filtro passa-faixa 
 
Fonte: Elaborado com base em Boylestad, 2012. 
Considera-se que 𝑅𝑙 é a resistênciaintrínseca do indutor (em um caso 
ideal pode ser considerada nula). Considerando o momento da ressonância, em 
que 𝑋𝐿 = 𝑋𝐶, o cálculo da tensão máxima de saída é definido como um divisor 
de tensão, como mostrado em (39). 
 
𝑉𝑜 =
𝑅
𝑅𝑙 + 𝑅
∙ 𝑉𝑖 (39) 
Outra maneira de criar um filtro passa-faixa é unindo um filtro 
passa-baixas com um filtro passa-altas, conforme mostrado na Figura 21. 
Figura 21 – Filtro passa-faixa através da união de um filtro passa-altas e um 
passa-baixas 
 
Fonte: Elaborado com base em Boylestad, 2012. 
4.4 Filtro banda de atenuação 
Um filtro banda de atenuação é o oposto do filtro passa-faixa. Esse filtro 
permite que o sinal tenha sua amplitude máxima por toda a faixa de frequências, 
com exceção de uma banda, chamada de banda de atenuação. Um gráfico que 
demonstra o comportamento desse tipo de filtro em relação à frequência é visto 
na Figura 222. 
 
 
24 
Figura 222 – Resposta em frequência de um filtro banda de atenuação 
 
Fonte: Elaborado com base em Boylestad, 2012. 
Uma das maneiras de criar um filtro banda de atenuação é mostrado na 
Figura 233. Segue-se o mesmo pensamento do filtro passa-faixas, mas com 
configuração oposta. 
Figura 233 – Circuito RLC de um filtro banda de atenuação 
 
Fonte: Elaborado com base em Boylestad, 2012. 
Durante a ressonância, a tensão de saída é definida por (40), sendo esta 
a tensão mínima na saída. 
 
𝑉𝑜 =
𝑅
𝑅𝑙 + 𝑅
∙ 𝑉𝑖 (40) 
Outra maneira de criar um filtro banda de atenuação é unindo um filtro 
passa-baixas com um filtro passa-altas, conforme mostrado na Figura 244. 
 
 
25 
Figura 244 – Filtro banda de atenuação através da união de um filtro passa-
baixas e um passa-altas 
 
Fonte: Elaborado com base em Boylestad, 2012. 
O gráfico do sinal de saída em relação à frequência pode ser visto na 
Figura 24. 
FINALIZANDO 
Nesta aula, foram demonstradas diversas ferramentas dentro do domínio 
da frequência, a fim de analisar circuitos que podem operar em diversas 
frequências, com comportamento diferente, dependendo do valor de frequência 
utilizado. 
Quando estamos trabalhando com circuitos em tensão alternada, a 
frequência é uma variável a ser analisada. Capacitores e indutores terão seus 
valores de reatância e indutância modificados conforme a frequência for 
modificada, o que mudará o comportamento do circuito. Utilizando exatamente 
essa característica, foram estudados os filtros passivos, que podem ser muito 
úteis em diversas áreas da eletrônica. 
No geral, a análise de circuitos dependentes da frequência é muito 
importante dentro da engenharia. Estudamos, nesta aula, ferramentas 
importantes para que você venha a projetar circuitos eletrônicos. 
 
 
 
26 
REFERÊNCIAS 
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M, N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 
5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. 
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. 12. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2012. 
NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. 10. ed. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2015.