Aula 01 - Introdução Hiperestática

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Estruturas Hiperestáticas
Profº.: Ivan Santos Dortas
Engenheiro Civil
Especialista em Estruturas de Concreto Armado e Fundações
FANESE - Faculdade de Administração 
e Negócios de Sergipe
➢Conceitos Básicos de Análise Estrutural:
Classificação das estruturas quanto a sua estaticidade;
ASSUNTO
➢Calculo dos deslocamentos em estruturas;
➢Princípio dos Trabalhos Virtuais;
➢Método das Forças: aplicação;
➢Método dos Deslocamentos: aplicação;
➢Método de Cross: aplicação;
➢Simplificação para estruturas simétricas;
✓SORIANO, Humberto Lima. Estática das Estruturas. 
Ciência Moderna, 2010;
✓ALMEIDA, Maria Cascão F. de. Estruturas Isostáticas. 
Oficina de Textos, 2009;
✓BEER, F. P., JOHNSTON, E. R. Jr., Mecânica Vetorial 
para Engenheiros – Estática. 5ª edição. São Paulo: 
Makron, Mcgraw-Hill, 1991;
✓HIBBELER, R.C., Estática Mecânica para Engenharia.
10ª edição. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005;
✓LEET, K. M; UANG, C.M; GILBERT, A.M. 
Fundamentos da Análise Estrutural. São Paulo: 
McGraw-Hill, 2009;
✓MARTHA, Luiz Fernando. Análise de Estruturas: 
Conceitos e Métodos Básicos. Rio de Janeiro: Elsevier, 
2010. 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
✓HIBBELER, Russel C. Structural Analysis. 3ª Ed.
Prentice Hall, 1996;
✓MACHADO JUNIOR, Eloy Ferraz. Introdução à
Isostática. São Carlos: EESC/USP, 2007;
✓MOACIR, Kripka. Análise Estrutural para Engenharia
Civil e Arquitetura: Estruturas Isostáticas. Passo Fundo:
Ed. Universidade de Passo Fundo, 2008;
✓MERIAM, J. L., KRAIGE, L. G., Mecânica – Estática. 4º
edição. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos
Editora S/A, 1999;
✓TARTAGLIONE, Louis C. Structural Analysis. McGraw-
Hill. 1991;
✓SUSSEKIND, José Carlos. Curso de Análise Estrutural,
Vol. 1. 10ª Ed. Rio de Janeiro: Editora Globo, 1993.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
ANÁLISE ESTRUTURAL EM SUAS DISCIPLINAS
CONCEITOS INICIAIS
O processo de um projeto ou verificação estrutural
envolve a determinação de forças internas e de ligações e
de deslocamentos de uma estrutura. Está fase é chamada
de Análise Estrutural.
A fase de análise é normalmente a maior parte do
processo e engloba muitos e diferentes aspectos:
1. É construído um modelo matemático idealizado (em
geral, geometricamente perfeito).
2. Impõem-se carregamentos e outros efeitos ambientais.
3. Prediz-se a performance resultante através da análise
de todos os estágios de carga.
APLICAÇÃO DAS ESTRUTURAS
Ponte Rio-Niterói
Vão central = 300m
APLICAÇÃO DAS ESTRUTURAS
APLICAÇÃO DAS ESTRUTURAS
APLICAÇÃO DAS ESTRUTURAS
➢ Para que uma estrutura cumpra o seu propósito,
distintos objetivos devem ser especificados e
satisfeitos, como por exemplo: segurança,
durabilidade, performance em serviço e conforto
dos usuários.
➢ Além desses, a estética ou aparência da estrutura
deve ser seriamente considerada.
➢ De modo a cumprir com esses e outros objetivos de
projeto, deve-se ter um entendimento aprofundado
do comportamento dos materiais, dos componentes
estruturais e do sistema estrutural como um todo.
APLICAÇÃO DAS ESTRUTURAS
➢ Rupturas localizadas, distorções excessivas, fadiga
do material, flambagem e formação de mecanismos
plásticos em um sistema estrutural são inaceitáveis sob
quaisquer circunstâncias.
➢ Além da segurança contra o colapso, uma estrutura
deve satisfazer os critérios de utilização, isto é, todos
os aspectos do desempenho devem ser aceitáveis para
uso pretendido.
➢ As deformações (deslocamentos) e fissuração devem
ser limitadas ao ponto de não serem notadas e não
comprometerem a utilização.
➢ Vibrações e ruídos acústicos devem ser controlados.
PRINCÍPIOS BÁSICOS
➢ As condições de equilíbrio devem ser necessariamente
respeitadas.
➢ As equações de equilíbrio podem ser estabelecidas com
base na geometria indeformada da estrutura (teoria de
primeira ordem)
➢ Exceto nos casos em que os deslocamentos alterem de
maneira significativa os esforços internos (teoria de
segunda ordem).
TIPOS DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS
➢ Elementos lineares - São aqueles em que o
comprimento longitudinal supera em pelo menos três
vezes a maior dimensão da seção transversal, sendo
também denominados barras pela NBR 6118.
➢ Alguns exemplos são:
✓ Vigas – Elementos lineares
em que a flexão é
preponderante.
✓ Pilares – Elementos lineares
de eixo reto, usualmente
dispostos na vertical, em que
as forças normais de
compressão são
preponderantes.
TIPOS DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS
➢ Elementos de superfície – São aqueles em que uma
dimensão, usualmente chamada espessura, é
relativamente pequena em face das demais pela NBR
6118.
➢ Alguns exemplos são:
✓ Placas – Elementos de
superfície plana, sujeitos
principalmente a ações
normais a seu plano. As
placas de concreto são
usualmente denominadas
lajes. Placas com espessura
maior que 1/3 do vão devem
ser estudadas como placa
espessa.
TIPOS DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS
➢ Elementos de superfície – São aqueles em que uma
dimensão, usualmente chamada espessura, é
relativamente pequena em face das demais pela NBR
6118.
➢ Alguns exemplos são:
✓ Chapas – Elementos de
superfície plana, sujeitos
principalmente a ações
contidas em seu plano. As
chapas de concreto em que
seu vão for menor que três
vezes a maior dimensão da
seção transversal são
usualmente denominadas
vigas-parede.
ESTRUTURAS DE ELEMENTOS LINEARES
➢ Estruturas ou partes de estruturas que possam ser
assimiladas a elementos lineares (vigas, pilares,
tirantes, arcos, pórticos, grelhas, treliças), podem ser
analisadas admitindo-se as seguintes hipóteses.
✓ Manutenção da seção plana após a deformação;
✓ Representação dos elementos por seus eixos
longitudinais;
✓ Comprimento limitado pelos centros de apoio ou
pelo cruzamento com o eixo de outro elemento
estrutural;
ESTRUTURAS DE ELEMENTOS LINEARES
SISTEMAS ESTRUTURAIS
➢ Um sistema estrutural é definido pelo conjunto de
Elementos Estruturais (lajes, vigas, pilares, fundações)
onde deve ter presente em sua concepção tanto uma
visão técnica (Engenharia) como também uma
expressão arquitetônica (Arquitetura).
Lajes
Vigas
Fundações
Pilares
ELEMENTOS ESTRUTURAIS
➢ Lajes são estruturas laminares, onde duas dimensões
são da mesma ordem de grandeza e a terceira
acentuadamente de menor dimensão.
➢ As lajes em um Sistema Estrutural estão, na maioria
das vezes, apoiadas em vigas, podando também, em
certos casos, estarem apoiadas diretamente sobre
pilares.
ELEMENTOS ESTRUTURAIS
➢ Vigas são estruturas reticulares, onde uma das
dimensões é preponderante em relação às outras duas.
➢ As vigas em um Sistema Estrutural podem estar
apoiadas diretamente sobre os pilares como também
sobre outras vigas.
ELEMENTOS ESTRUTURAIS
➢ Pilares são estruturas reticulares, onde uma das
dimensões é preponderante em relação às outras duas.
➢ Os pilares em um Sistema Estrutural estão apoiados nas
fundações.
CARREGAMENTOS
➢ Existem três tipos de carregamento
✓ Concentrado
✓ Distribuído/m
✓ Distribuído/m²
CARREGAMENTO CONCENTRADO
➢ Representa uma força aplicada em um único ponto da
estrutura.
✓ Sobre uma laje: Um móvel no meio da sala.
✓ Sobre uma viga: Reação de uma outra viga.
➢ Exemplos:
CARREGAMENTO CONCENTRADO
➢ Representa uma força aplicada em um único ponto da
estrutura.
✓ Sobre um pilar:
Reação das vigas
que se apoiam no
pilar.
✓ Sobre a fundação:
Carga do pilar que
chega na fundação.
➢ Exemplos:
CARREGAMENTO CONCENTRADO
➢ Caso especial de um momento concentrado.
✓ Reação de apoio em nós engastados.
✓ Caso raro, onde não se é visto com frequência na
prática, porém tem grande importância na teoria de
estruturas.
CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO/M
➢ Representa uma força distribuída sobre uma linha da
estrutura.
✓ Sobre uma laje:
Peso de uma parede
de alvenaria.
✓ Sobre uma viga: Peso de uma parede de alvenaria.
➢ Exemplos:
CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO/M
➢ Representa uma força distribuída sobre uma linha da
estrutura.
✓ Sobre uma viga: Peso de uma parede dealvenaria.
➢ Exemplos:
CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO/M²
➢ Representa uma força distribuída sobre uma superfície
da estrutura.
✓ Sobre uma laje: Peso de pessoas.
➢ Exemplos:
CAMINHAMENTO DOS CARREGAMENTOS
➢ Alguns elementos estruturais podem se apoiar sobre
outros elementos sendo portanto a carga definida pela
reação de um elemento estrutural sobre outro.
➢ Viga: Não muito comum, pode receber a carga de um
pilar (kN), sendo chamada então de viga de transição
(carregamento concentrado)
CAMINHAMENTO DOS CARREGAMENTOS
➢ Viga: Usualmente recebe as reações das lajes (kN/m),
ou seja, as lajes, neste caso, estão apoiadas nas vigas
(carregamento distribuído/m).
➢ Usualmente também, pode receber as reações de outras
vigas (kN), ou seja, as vigas, neste caso, estariam
apoiadas em outras vigas (carregamento concentrado)
CAMINHAMENTO DOS CARREGAMENTOS
➢ Pilar: Raramente, pode receber as reações das lajes
diretamente (kN), sendo então, uma estrutura tipo
cogumelo, sem vigas (carregamento concentrado).
➢ Normalmente, recebe as reações das vigas que nele se
apoiam (kN) (carregamento concentrado).
➢ Planta do projeto arquitetônico
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO DAS VIGAS
DO PAVIMENTO
ESFORÇOS
➢ Seja um sistema de forças externas atuando num corpo
genérico em equilíbrio:
ESFORÇOS
➢ Analisando-se o corpo de forma seccionada, e sabendo-
se que o equilíbrio estático de cada uma das metades é
mantido, verifica-se a existência de um sistema
resultante de forças equilibrantes realizado pela outra
metade do corpo, ao longo da seção P, denominados de
esforços internos:
ESFORÇOS
➢ Decompondo-se os vetores resultantes R e G em
componentes normais e tangenciais ao plano da seção,
obtém-se as Forças N e Q, e os momentos M e T,
conhecidos como Esforços Simples:
ESFORÇOS
➢ Esforço Normal
✓ Soma algébrica das projeções sobre a normal à
seção das forças exteriores situadas de um mesmo
lado da seção; é positivo quando de tração
(tendendo a distender a seção) ou negativo
quando de compressão (encurtando a seção):
ESFORÇOS
➢ Esforço Cortante
✓ Soma vetorial das projeções sobre o plano da
seção das forças exteriores situadas de um mesmo
lado da seção (tende a cortar a seção, promover
o seu deslizamento); é positivo quando as
projeções se orientam nos sentidos dos eixos ou
negativo, caso contrário.
ESFORÇOS
➢ Momento Fletor
✓ Soma vetorial das projeções sobre o plano da
seção dos momentos das forças, situadas de um
mesmo lado da seção, em relação ao seu centro de
gravidade (tende fazer a seção girar sobre um
eixo localizado no seu próprio plano,
comprimindo uma parte e tracionando a
outra); é dito positivo quando orientado no
sentido arbitrado para o eixo, ou negativo, caso
contrário.
ESFORÇOS
➢ Momento Torsor
✓ Soma algébrica dos momentos, em relação a um
eixo perpendicular ao plano da seção e passando
pelo seu centro de gravidade, das forças exteriores
situadas de um mesmo lado da seção (tende a
torcer a seção, fazendo-a girar em tomo de um
eixo que lhe é perpendicular); positivo quando
"sai" da seção ou negativo, caso contrário.
TENSÕES NAS VIGAS
➢ As tensões existentes em uma viga são as seguintes:
✓ tensão de flexão,
✓ tensão de cisalhamento,
✓ tensão normal.
Resumo Esquemático
Geometria + Carregamento
Esforço Interno Aplicado
M V N
Flexão Cortante Normal
Tensão
Flexão Cisalhante Normal
TENSÕES
➢ Tensão Normal
✓ Gerada devido ao esforço normal. Ditas de
compressão quando provocam o encurtamento
do elemento e de tração quando tendem a
provocar o alongamento do elemento.
TENSÕES
➢ Tensão Cisalhante
✓ Gerada devido ao esforço cortante. Tendem a
cortar (cisalhar) o material.
TENSÕES
➢ Tensão de Flexão
✓ A flexão gerada pelo momento fletor gera tensões
normais na seção transversal do elemento.
VÍNCULOS OU APOIOS
➢ Vínculos ou apoios de primeiro gênero
VÍNCULOS OU APOIOS
➢ Vínculos ou apoios de segundo gênero
VÍNCULOS OU APOIOS
➢ Vínculos ou apoios de terceiro gênero
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS QUANTO
AO GRAU DE HIPERESTATICIDADE
➢ Hipostáticas: O número de incógnitas é inferior ao
número de equações de equilíbrio (Instáveis).
• 2 incógnitas
• 3 equações de equilíbrio
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS QUANTO
AO GRAU DE HIPERESTATICIDADE
➢ Isostáticas: O número de incógnitas é igual ao número
de equações de equilíbrio (Estáveis).
• 3 incógnitas
• 3 equações de equilíbrio
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS QUANTO
AO GRAU DE HIPERESTATICIDADE
➢ Hiperestáticas: O número de incógnitas é superior ao
número de equações de equilíbrio.
• 4 ou mais incógnitas
• 3 equações de equilíbrio
OBTENÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS
➢ Sequência de cálculo
✓ Obtenção das cargas atuantes (forças concentradas,
distribuídas, etc);
✓ Cálculo das reações de apoio (Reações horizontais,
verticais e de momento);
✓ Traçado dos diagramas (Esforço normal, esforço
cortante, momento fletor);
✓ Obtenção das tensões atuantes através dos esforços
(Tensões normais devido ao momento fletor e ao
esforço normal, tensões cisalhantes);
✓ Verificação da resistência dos elementos
estruturais.
PROBLEMA ESTRUTURAL
DADOS:
ESTRUTURA
• GEOMETRIA
• SEÇÕES
• LIGAÇÕES AO EXTERIOR
• MATERIAL
AÇÕES
RESULTADOS:
DESLOCAMENTOS
DEFORMAÇÕES
TENSÕES
ESFORÇOS
MODELO FÍSICO 
OU MATEMÁTICO
FORÇAS
➢ FORÇA: Representa a ação de um corpo sobre
outro. E o resultado dessa ação depende da direção e
do sentido em que ela é aplicada, sendo uma grandeza
vetorial.
✓ Ponto de aplicação: é a parte do corpo onde a
força atua diretamente.
✓ Direção: é a linha de atuação da força
(horizontal, vertical, inclinada), que consiste na
reta ao longo da qual a força atua, sendo
caracterizada pelo ângulo que forma com algum
eixo fixo.
➢ A Força é caracterizada por:
FORÇAS
✓ Intensidade: é o valor da força aplicada,
caracterizada por um número. E pode ser
representada graficamente pelo comprimento de
um segmento de reta. As unidades normalmente
utilizadas para medir a intensidade de uma força
são o newton (N) e seu múltiplo, o quilonewton
(kN).
✓ Sentido: é a orientação que tem a força na
direção (esquerda, direita, para cima, para baixo);
sendo indicado por uma seta. É importante, ao
definir uma força indicar seu sentido, pois duas
forças que têm mesma intensidade e direção,
mas sentidos diferentes terão efeitos opostos
sobre o ponto material.
FORÇAS
MOMENTO
➢ A Força tende a alterar o movimento das coisas; o
Momento tende a fazer girar ou a alterar o estado de
rotação das coisas.
➢ O Momento de uma força depende não apenas da
intensidade da força aplicada, mas envolve também a
distância entre o eixo de rotação e a linha de ação ao
longo da qual a força atua.
➢ Momento de uma força: “é o produto da força pela
distância perpendicular da linha de ação da força a
um ponto de referência”.
M = (F) x (d)
MOMENTO
➢ A unidade de Momento no Sistema Internacional de
Unidades (SI) é Newton x metro (Nxm).
➢ O Momento da força pode ser positivo ou negativo. O
sinal segue a seguinte convenção:
✓ Se a Força aplicada tende a
rotacionar o objeto em relação ao
ponto de referência no sentido
horário, teremos momento positivo:
✓ Se a Força aplicada tende a
rotacionar o objeto em relação ao
ponto de referência no sentido anti-
horário, teremos momento
negativo:
MOMENTO
➢ Exemplo 01:
MOMENTO
➢ Exemplo 02:
MOMENTO
➢ Exemplo 03: