Prova 2 - Metodos Matematicos em Biologia I

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Instituto de Biofísica Carlos Chagas Filho
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Métodos Matemáticos em Biologia - P2
03/02/2021
O raciocínio para resolução das questões é tão importante quanto a resposta �nal.
Indique de forma clara os passos da resolução.
Escreva o seu nome e DRE na folha com as respostas
Você não precisa imprimir esta folha
1. Para as funções f(x) = ex
2+4 e g(x) = (3− x)2
(a) (8 pontos) Calcule a primeira derivada de cada uma (f ′(x) e g′(x)).
(b) (8 pontos) Calcule
d [g(x)f(x)]
dx
.
(c) (8 pontos) Calcule h′(4) sabendo que h(y) é a função inversa de g(x) e g(1) = 4.
(d) (5 pontos extra) Calcule a primeira derivada da composição entre as funções, g(f(x)).
2. (10 pontos) Use a regra de L'Hospital pra resolver os limites
(a) lim
x→2
cos(πx)− 1
x2 − 4
(b) lim
t→−∞
t2et (c) (5 pontos extra) lim
x→0+
xx
3. Considere a função f(x) =
2x2 − x+ 2
x2 + 1
, que tem f ′(x) =
x2 − 1
(x2 + 1)2
e f ′′(x) = −2x(x
2 − 3)
(x2 + 1)3
(a) (5 pontos) Determine todas as suas raízes.
(b) (5 pontos) Determine o ponto em que f(x) intercepta o eixo Y .
(c) (5 pontos) Encontre os seus pontos críticos.
(d) (5 pontos) Estude a concavidade da função.
(e) (5 pontos) Classi�que os pontos críticos como máximo ou mínimo locais, ou ponto de in�exão.
4. (10 pontos) A produtividade de uma plantação depende, entre outros fatores, da quantidade de
nitrogênio �xado no solo. Um solo com mais nitrogênio permite que as plantas cresçam mais e
mais rápido, porém nitrogênio em excesso leva a acidi�cação do solo e perda de produtividade.
Espera-se, então, que exista um nível ideal de nitrogênio que permite a máxima produtividade.
Sabendo que a produtividade em função do nitrogênio do solo é dada por
P (N) =
N
N2 + 25
determine qual é nível de nitrogênio ideal.
5. (6 pontos) Use uma aproximação linear de uma função em a = 3 para calcular e4. Sua resposta
pode �car em função de e.
MMB-1 Segunda Prova, Pág. 2 de 2 03/02/2021
6. Para o grá�co abaixo indique, se existir, o valor numérico ou o intervalo (pode marcar o ponto no
grá�co, ou em uma reprodução a mão do grá�co, mas indique de forma clara cada ponto):
−12 −10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10 12
−2
−1
1
2
3
4
x
y
(a) (5 pontos) das regiões onde a derivada da função é positiva e onde a derivada é negativa.
(b) (5 pontos) as regiões com concavidade positiva e com concavidade negativa.
(c) (5 pontos) das assíntotas verticais.
(d) (5 pontos) da assíntota horizontal.
(e) (5 pontos) dos pontos críticos, identi�cando se cada um é máximo, mínimo ou ponto de in-
�exão.
Questão 1 2 3 4 5 6 Total
Pontos 24 10 25 10 6 25 100
Pontos obtidos