Arranjos Atomicos

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Arranjos Atômicos
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Arranjo Periódico de Átomos
„ Sólido:
– constituído por átomos (ou grupo de átomos) que se distribuem de
acordo com um ordenamento bem definido;
– Esta regularidade:
» determina uma periodicidade espacial da distribuição atômica, isto 
é, depois de um certo intervalo espacial, a disposição dos átomos se 
repete.
Um sólido que satisfaz estas condições é chamado cristalino. Um sólido amorfo é 
aquele onde aparentemente os átomos não possuem um ordenamento.
Cristalino Amorfo
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Exemplos:
cristalino metal
amorfo vidros 
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Cristal ideal:
– Construído por intermédio de uma repetição infinita de unidades 
estruturais idênticas no espaço. 
– Os átomos que constituem um sólido podem oscilar em torno de 
sua posição de equilíbrio, mas não são livres para migrar num 
raio maior que seu próprio raio atômico.
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Tipos de Arranjos Atômicos
Se negligenciarmos as imperfeições que um material possui, existem 
quatro tipos de arranjos atômicos:
– Sem ordem:
» Os átomos não possuem ordem, eles preenchem 
aleatoriamente o espaço no qual o material está confinado. 
Este tipo de estado é denominado estado gasoso.
Ex: Ar, He, O, N, H, ...
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– Ordenamento de curto-alcance:
– Um material exibe ordenamento de curto alcance, se o ordenamento dos 
átomos se estende até os vizinhos mais próximos.
Ex: cada molécula de água em equilíbrio 
possui um ordenamento de curto alcance 
devido às ligações covalentes entre os átomos 
de oxigênio e hidrogênio, isto é, cada átomo de 
oxigênio é agrupado a dois átomos de 
hidrogênio formando um ângulo de 
aproximadamente 105o entre as ligações. 105
o
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Vidros:
– Situação similar;
– Quatro átomos de oxigênio são ligados covalentemente a um átomo de 
silício, formando a sílica.
Polímeros:
– Maioria exibe ordenamento de curto alcance.
Os materiais que exibem ordenamento de curto alcance são denominados 
amorfos.
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– Ordenamento de longo-alcance:
– o arranjo atômico se estende através de todo o material;
– os átomos formam um padrão regular, repetitivo, como grades ou 
redes.
Exemplos:
Metais, semicondutores, muitas 
cerâmicas e em alguns casos, 
polímeros.
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Classificação dos materiais baseada
no tipo de ordenamento atômico
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Rede
– Conjunto de pontos, denominados pontos da rede (ou sitios) arranjados 
num padrão periódico tal que as vizinhanças de cada ponto são idênticas.
– Um ou mais átomos são associados a cada sitio da rede (base);
– Cada átomo:
» Ordenamento de curto alcance.
– Vizinhanças idênticas:
» Ordenamento de longo alcance.
A rede difere de material para material em forma e tamanho, dependendo do 
tamanho dos átomos e do tipo de ligação entre eles.
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Rede mais simples:
– cúbica simples (cs ou sc), isto é, os átomos da matriz são dispostos nos vértices 
de um cubo;
O ordenamento é interativo, pois o cristal é formado por um número infinito de 
cubos, um ao lado do outro, nas três direções. 
Esta unidade que se repete no espaço é chamada cela unitária, ou seja, é a 
menor unidade que, quando repetida em uma rede de três dimensões, gera o 
cristal inteiro.
Exemplos de materiais com estrutura cúbica simples são:
Ferro (fase α), 
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CELA UNITÁRIA
(unidade básica repetitiva da estrutura tridimensional)
Cela Unitária
Os átomos são representados como esferas rígidas
26/3/2006 CM I 13
„ Cela unitária
– é o menor agrupamento de átomos que
representa uma estrutura cristalina
– o deslocamento dessa unidade de uma distância
a (ou um múltiplo inteiro de a) leva à uma unidade
equivalente. O mesmo vale para uma distância b.
posição média do 
átomo A
a
b
posição média do 
átomo B
a e b são chamados de 
parâmetros de rede
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Os Sistemas CristalinosOs Sistemas Cristalinos
Os tipos de redes cristalinas tridimensionais estão convenientemente agrupados 
em sete sistemas cristalinos de acordo com os sete tipos convencionais de 
células unitárias:
cúbico, ortorrômbico, tetragonal, monoclínico, romboédrico, triclínico e 
hexagonal.
Para representar os sistemas cristalinos, usamos na representação cartesiana os 
eixos x, y e z e os ângulos α, β e γ, entre os eixos.
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SISTEMAS
CRISTALINOS
DIMENSÕES E
ÂNGULOS
RETÍCULOS DE BRAVAIS
Cúbico a = b = c
α = β = γ = 90º
Simples
Corpo Centrado
Face Centrada
Ortorrômbico a ≠ b ≠ c
α = β = γ = 90º
Simples
Lateral centrada
Face centrada
Tetragonal a = b ≠ c
α = β = γ = 90º
Simples
Corpo Centrado
Monoclínico a ≠ b ≠ c
α = γ = 90º ≠ β
Simples
Lateral Centrada
Romboédrico a = b = c
α = β = γ ≠ 90º
Simples
Triclínico a ≠ b ≠ c
α ≠ β ≠ γ ≠ 90º
Simples
Hexagonal a = b ≠ c
α = β = γ = 120º
Simples
26/3/2006 CM I 16
Em 1848, o cristalógrafo francês A. Bravais mostrou que na 
natureza há 14 redes cristalinas, redes essas que levam hoje seu
nome.
ƒ Sistema Cúbico:
ƒ Sistema Ortorrômbico:
ƒ Sistema Tetragonal:
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ƒ Sistema Monoclínico:
ƒ Sistema Romboédrico: ƒ Sistema Triclínico:
ƒ Sistema Hexagonal:
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AS 14 REDES DE BRAVAISAS 14 REDES DE BRAVAIS
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Parâmetro de redeParâmetro de rede
A distância entre dois átomos da cela unitária que fornece a repetição (ou 
periodicidade) é chamada parâmetro de rede.
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Em estruturas simples, particularmente aquelas com apenas um átomo por ponto da rede, 
nós podemos calcular a relação entre o tamanho aparente de cada átomo e o tamanho da 
cela unitária.
– Direções de empacotamento:
» Direção na cela ao longo da qual os átomos estão em contato contínuo;
Cúbica simples:
r
ao
Neste caso,
ao = 2 r
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Cúbica de face centrada:
Neste caso, os átomos se tocam ao longo da diagonal:
Parâmetro de rede:
Diagonal: 222 ooo aaad =+=
rrrrd 42 =++=
ra
ra
o
o
22
42
=
=Então:
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Cúbica de corpo centrado:
Na cela unitária BCC, os átomos tocam-se segundo a diagonal do cubo:
Parâmetro de rede:
rrrrdc 42 =++=
222 ooo aaadf =+=Diagonal da face:
Diagonal do cubo:
( ) 32 22
22
ooo
o
aaadc
dfadc
=+=
+=
3
4rao =Então:
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Número de átomos numa cela:
– É o número inteiro de átomos presentes na cela unitária;
– Cada vértice (canto), contribui com 1/8 de átomo;
– Cada face, contribui com 1/2 de átomo;
– Cada centro, contribui com 1 átomo;
Exemplos:
Cúbica Simples: 1 Cúbica de Corpo Centrado = 2 Cúbica de Face Centrada: 4
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Número de Coordenação:
– É o número de átomos que tocam um determinado átomo;
– É o número de vizinhos mais próximos;
Cúbica Simples Cúbica Corpo Centrado
Nc: 8
Nc = 6
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Fator de Empacotamento:
– É a fração do espaço ocupado pelos átomos, supondo que eles sejam esferas 
rígidas.
( )( )
( )riacela unitávolume
átomocadavolumecelaátomosnrofe
 
 / .=
Exemplo: cúbica simples
1 :celapor átomos nro.
atômico raio o ér r π
3
4Va :rígida esfera átomo 3=
3
oa :unitária cela volume
3
3
3
41.
fe
:Então
oa
r 


=
π
2r a mas, o =
524,0
6
 fe
:Portanto
== π
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Densidade:
– Densidade Teórica:
( )( )
( )( )Avogadrodenrounitáriaceladavolume
atômicamassacelaátomosnrod
 . 
 / .=
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TABELA RESUMO PARA O SISTEMA 
CÚBICO
Átomos Número de Parâmetro Fator de 
por célula coordenação derede empacotamento
CS 1 6 2R 0,52
CCC 2 8 4R/(3)1/2 0,68
CFC 4 12 4R/(2)1/2 0,74
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SISTEMA HEXAGONAL SIMPLES
„ Os metais não cristalizam no 
sistema hexagonal simples 
porque o fator de 
empacotamento é muito baixo
„ Entretanto, cristais com mais
de um tipo de átomo
cristalizam neste sistema
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Estrutura hexagonal compacta (hcp):
– É um caso específico da estrutura hexagonal;
– Planos alternados de átomos, 
– Plano subseqüente ocupa os vazios dos planos anteriores;
– Razão ca:
» c/a = sqrt(8/3) = 1.633....
– Exemplos:
» Be, Mg, Ti, Re and Nd. 
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26/3/2006 CM I 31
26/3/2006 CM I 32
Transformações Alotrópicas ou Polimórficas:
„ Sólidos que possuem mais de uma estrutura cristalina:
– Alotrópicos ou polimórficos
„ Alotropia:
– Elementos puros;
„ Polimorfismo:
– Geral.
Uma alteração no volume deve acompanhar a transformação durante o 
aquecimento.
Exemplo: Fe:
»Baixas temperaturas: BCC
»Altas temperaturas: FCC
Parâmetros de rede: FCC: 3,591 Å – 4 átomos por cela unitária
BCC: 2,863 Å – 2 átomos por cela unitária
∆V = -1,34 %
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ALOTROPIA DO TITÂNIO
FASE α
Š Existe até 883ºC
Š Apresenta estrutura hexagonal compacta
Š É mole
FASE β
Š Existe a partir de 883ºC
Š Apresenta estrutura ccc
Š É dura
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GRAFITEDIAMANTE
NANOTUBOS DE CARBONO
26/3/2006 CM I 35
Exemplos
„ A 20 oC, o ferro apresenta a estrutura CCC, sendo o raio atômico 
0,124 nm. Calcule o parâmetro de rede a da cela unitária do ferro.
„ Calcule o volume da cela unitária da estrutura cristalina do Zn, 
considerando que este metal tem estrutura HC, com os parâmetros 
de rede a=0,2665 nm e b=0,4947 nm.
„ O cobre tem estrutura CFC e raio atômico 0,1278 nm. Calcule a 
densidade teórica do cobre.
Dado: mCu = 63,54 g/mol.
„ Calcule o raio de um átomo de iridio, que possui estrutura cristalina 
FCC, densidade de 22,4 g/cm³ e peso atômico de 192,2 g/mol.
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Sistemas de ÍndicesSistemas de Índices
„ Coordenadas de Pontos:
A posição de um ponto numa rede cristalina é definida, num sistema de coordenadas 
cartesianas, em termos do número de parâmetros de rede em cada direção. As 
coordenadas são escritas como as três distâncias, separadas por vírgulas.
ax, ay, az
1,0,0
0,0,0
z 0,1,1
0,0,1
1,0,1 1,1,1
0,1,0
y
1,1,0
x 1/2,1,0
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Direções na Cela Unitária
Algumas direções são particularmente importantes numa cela unitária. Por 
exemplo, os metais costumam deformar-se em certas direções ao longo das 
quais os átomos se tocam. Certas propriedades dos materiais podem depender 
da direção na qual ela é medida.
Existe uma notação, chamada índices de Miller que é utilizada para definir tais 
direções.
Procedimento para se encontrar as direções:
a) Usando um sistema de coordenadas cartesianas, encontre a posição dos pontos 
que definem uma determinada direção; 
b) Subtraia as coordenadas do pontos inicial das coordenadas do ponto final;
c) Elimine frações reduzindo para números inteiros;
d) Coloque os números entre colchetes. Se aparecerem números negativos, 
represente-o com uma barra sobre o número.
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Direção C:Direção C:
2 pontos: 0,0,1 e 1/2,1,0
Subtração: 0,0,1 - 1/2,1,0 = -1/2,-1,1
Redução: 2 (-1/2,-1,1) = -1,-2,2
Indices: ]221[
z
0,0,0
1,0,0
0,0,1
1,1,1
Direção B:Direção B:
2 pontos: 0,0,0 e 1,1,1
Subtração: 1,1,1 - 0,0,0 = 1,1,1
Redução: não há
Indices: [1 1 1]y
1/2,1,0
x
Direção A:Direção A:
2 pontos: 0,0,0 e 1,0,0
Subtração: 1,0,0 - 0,0,0 = 1,0,0
Redução: não há
Indices: [1 0 0]
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Alguns pontos são interessantes destacar:
• Uma direção positiva e negativa não são idênticas
não é igual a ]100[ ]001[
Elas representam a mesma linha, mas a direção é oposta
• Uma direção e seus múltiplos são idênticas
é idêntica a ]200[]100[
Isto se deve ao fato da redução
Certos grupos de direções são equivalentes; eles tem seus índices em função da 
maneira que construímos o sistema de coordenadas.
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Por exemplo, num sistema cúbico, a direção [100] é uma direção [010] se nós 
girarmos o sistema de coordenadas de 90o.
Desta forma, nós definimos um conjunto de direções colocados entre 
“brakets” < >, para representar esta família de direções.
A família de direções <100> é:
]010[]100[ ]001[ ]010[]001[ ]100[
A família de direções <110> é:
]110[ ]101[ ]110[]011[]011[ ]101[
]011[ ]101[]011[ ]110[]101[ ]110[
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26/3/2006 CM I 42
Planos na Cela Unitária
Certos planos de átomos num cristal também são significativos. 
Por exemplo, um metal se deforma ao longo de planos de átomos que são 
arranjados mais fracamente que outros.
Possuímos também índices de Miller para representar planos num cristal.
Procedimento para se encontrar as coordenadas dos planos:
„ Identifique os pontos nos quais o plano intercepta os eixos x, y e z em termos do 
número de parâmetros de rede
„ Tome o recíproco destes números;
„ Elimine frações mas não reduza a números inteiros;
„ Coloque os números entre parênteses. Se aparecerem números negativos, 
represente-os com uma barra sobre o número.
26/3/2006 CM I 43
z
x
y
Intersecções:
x = 1, y = 1, z = 1
Inversão:
1 / x = 1, 1 / y = 1, 1 / z = 1
Redução: não há
Indices: ( 1 1 1 )
26/3/2006 CM I 44
x
2
z
y
Intersecções:
x = 1, y = 2, z = ∞
Inversão:
1 / x = 1, 1 / y = ½, 1 / z = 0
Redução:
1 / x = 2, 1 / y = 1, 1 / z = 0
Indices: ( 2 1 0 )
26/3/2006 CM I 45
26/3/2006 CM I 46
26/3/2006 CM I 47
FAMÍLIA DE PLANOS {110}
26/3/2006 CM I 48
26/3/2006 CM I 49
FAMÍLIA DE PLANOS {111}
26/3/2006 CM I 50
26/3/2006 CM I 51
Exemplos
„ Desenhe as seguintes direções na cela unitária cúbica:
a) [100] b) [110] c) [112] d) [110]
e) [321]
„ Desenhe os seguintes planos cristalográficos numa cela unitária 
cúbica:
a) (100) b) (110) c) (221)
26/3/2006 CM I 52
Difração de raios X:
„ A estrutura de um cristal pode ser determinado pela análise de difratograma de raios X.
„ Raios X são radiações eletromagnéticas com comprimento de onda muito curto da 
ordem de ängstron (Å). Os raios X tem comprimento de onda de aproximadamente 0,5 –
2,5 Å.
„ É baseado no princípio de interferência de raios difratados de acordo com a lei de 
Bragg:
nλ = 2 dsenθ
26/3/2006 CM I 53
Difração:
• Quando um feixe de raios X incide sobre um material cristalino, esses raios 
são difratados pelos planos dos átomos ou íons que formam o cristal.
•Difratômetro de raios X
T= fonte de raio 
S= amostra
C= detector
O= eixo no qual a amostra e o 
detector giram
26/3/2006 CM I 54
Para calcularmos a distância interplanar para os sistemas onde α = 
β = γ = 90º usamos a seguinte expressão:
2
2
2
2
2
2hkl
c
l
b
k
a
h
1 d
++
=
Para sistemas cúbicos: a=b=c= ao
20 40 60 80
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
2 θ (graus)
 após 1ª gaseificação
 
I
n
t
e
n
s
i
d
a
d
e
 
(
u
.
a
)
 Tratada termicamente
θ1 = 38,7o (110)
θ2 = 55,8o (200)
θ3 = 70o (211)
26/3/2006 CM I 55
Exemplos
„ Uma amostra de ferro CCC foi colocada num difratômetro de raios X 
incidentes com comprimento de onda λ=0,1541 nm. A difração pela 
família de planos {110} ocorreu para 2θ=44,704 º. Calcule o parâmetro 
de rede do Fe?
„ Uma difração no plano (111) de um monocristal de MgO é produzida 
num difratômetro de raios X. Ela ocorre 1 cm do centro do filme 
fotográfico. Calculeo ângulo da difração 2θ e o ângulo de Bragg θ, 
admitindo que a amostra está localizada a 3 cm do filme fotográfico. 
Obtenha o comprimento de onda produzido pelo raio X na difração de 
primeira ordem, admitindo que o parâmetro de rede do MgO seja 0,420 
nm.
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	Alguns pontos são interessantes destacar:
	Por exemplo, num sistema cúbico, a direção [100] é uma direção [010] se nós girarmos o sistema de coordenadas de 90o.
	Exemplos
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