Aula 10 (Vol 1)

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Séries Numéricas
MÓDULO 1 - AULA 10
Aula 10 – Séries Numéricas
Metas da aula: Definir séries numéricas. Apresentar os primeiros re-
sultados para estabelecer a convergência e a divergência de séries numéricas
bem como exemplos de aplicação dos mesmos.
Objetivos: Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
• Saber resultados básicos estabelecendo a convergência e a divergência
de séries numéricas bem como suas aplicações em exemplos concretos.
Introdução às Séries Numéricas
Nesta aula iniciaremos nosso estudo sobre as séries numéricas. Estas
nada mais são que seqüências (sn) onde o termo geral é escrito na forma
sn = x1 + x2 + · · ·+ xn para alguma seqüência de números reais (xn).
Definição 10.1
Se x = (xn) é uma seqüência em R, então a série gerada por x é a seqüência
s = (sn) definida por
s1 := x1 e sn+1 := sn + xn+1.
Assim, temos
sn = x1 + x2 + · · ·+ xn, para todo n ∈ N.
Os números xn são chamados os termos da série e os números sn são chama-
dos as somas parciais dessa série. Se lim sn existe, dizemos que a série é
convergente e chamamos esse limite a soma dessa série. Se o referido limite
não existe, dizemos que a série s é divergente.
É usual se adotar as notações
∑
xn ou
∞∑
n=1
xn (10.1)
para designar a série (sn) gerada por (xn) como na Definição 10.1.
No caso de uma série
∑
xn convergente é usual também usar-se as
notações em (10.1) para denotar o lim sn. Portanto, as expressões em (10.1)
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ANÁLISE REAL
Séries Numéricas
poderão ser usadas tanto para denotar a série, seja ela convergente ou diver-
gente, como o limite da mesma, no caso em que for convergente. Quando
houver risco de confusão será mencionado explicitamente o significado dessas
expressões no contexto em questão.
Em alguns casos, a seqüência x geradora da série pode estar definida
a partir de um ı́ndice inicial n0 ∈ N ∪ {0} diferente de 1, como n0 = 0, 2, 5,
etc, isto é, x := (xn)
∞
n=n0
. Em tais casos usaremos a notação
∞∑
n=n0
xn
para denotar tanto a série como o seu limite, no caso em que este existe. Por
exemplo,
∞∑
n=0
1
n!
,
∞∑
n=4
n
(n− 1)(n− 2)(n− 3) , etc.
Exemplos 10.1
(a) Você certamente já está bastante familiarizado com as séries geométricas.
Uma tal série é gerada por uma seqüência da forma x := (rn)∞n=0 onde
r ∈ R e, portanto, se escreve
∞∑
n=0
rn = 1 + r + r2 + · · ·+ rn + · · · . (10.2)
Como já foi visto anteriormente, se |r| < 1, então a série converge a
1/(1− r). De fato, se sn := 1 + r + r2 + · · ·+ rn para n ≥ 0, tomando
a diferença entre sn e r vezes sn, obtemos após simplificações
sn(1− r) = 1− rn+1.
Portanto,
sn =
1
1− r −
rn+1
1− r ,
donde segue que ∣
∣
∣
∣
sn −
1
1− r
∣
∣
∣
∣
≤ |r|
n+1
|1− r| .
Como |r|n+1 → 0 quando |r| < 1, conclúımos que a série (10.2) converge
a 1/(1− r) se |r| < 1.
(b) Consideremos a série gerada por ((−1)n)∞n=0:
∞∑
n=0
(−1)n = 1− 1 + 1− 1 + · · · . (10.3)
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Séries Numéricas
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Temos então que sn = 1 se n ≥ 0 é par e sn = 0 se n é ı́mpar; isto é, a
seqüência de somas parciais é (1, 0, 1, 0, . . . ). Como essa seqüência não
é convergente, a série (10.3) é divergente.
(c) Consideremos a série
∑
1/n(n + 1) e investiguemos a existência do
limite
∞∑
n=1
=
1
1 · 2 +
1
2 · 3 +
1
3 · 4 + · · · . (10.4)
O truque para analizar essa série é observar que
1
k(k + 1)
=
1
k
− 1
k + 1
.
Portanto, somando-se essas igualdades de k = 1 até n e notando-se que
os membros à direita forma uma “soma telescópica”, i.e., (a1 − a2) +
(a2 − a3) + (a3 − a4) + · · ·+ (an−1 − an) + (an − an+1), com ak = 1/k,
obtemos
sn =
1
1
− 1
n+ 1
,
donde segue que sn → 1. Portanto, a série (10.4) converge a 1.
Apresentamos a seguir uma condição necessária imediata para a con-
vergência de uma série, que é bastante útil para determinar casos em que há
divergência, porém não é suficiente para determinar convergência.
Teorema 10.1
Se a série
∑
xn converge, então lim xn = 0.
Prova: Pela Definição 10.1 a convergência de
∑
xn significa que lim sn existe.
Agora, xn = sn − sn−1. Com sn e sn−1 convergem ao mesmo limite, xn
converge e lim xn = lim sn − lim sn−1 = 0.
¤
Exemplos 10.2
(a) A série geométrica (10.2) diverge se |r| ≥ 1.
Isso segue imediatamente do fato de que o termo geral rn não converge
a 0 quando |r| ≥ 1.
(b) A série harmônica
∑
1/n diverge.
Esse fato foi visto em aula anterior no Exemplo 8.1 (d) onde mostramos
que s2n ≥ 1+n/2 e, portanto, sn não é limitada. Essa série constitui um
dos mais simples exemplos de que a condição lim xn = 0 não é suficiente
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ANÁLISE REAL
Séries Numéricas
para garantir a convergência da série, já que nesse caso xn = 1/n
satisfaz tal condição.
O seguinte Critério de Cauchy é uma simples reformulação para séries
do Teorema 9.1 homônimo para seqüências. A prova é idêntica à do Teo-
rema 9.1 e, portanto, vamos omitir.
Teorema 10.2 (Critério de Cauchy para Séries)
A série
∑
xn converge se, e somente se, para todo ε > 0 existe N0 = N0(ε) ∈
N tal que se m ≥ n > N0, então
|sm − sn| = |xn+1 + xn+2 + · · ·+ xm| < ε. (10.5)
O próximo resultado é conseqüência imediata do Teorema da Seqüência
Monótona e é de grande utilidade.
Teorema 10.3
Seja (xn) uma seqüência de números reais não-negativos. Então a série
∑
xn
converge se e somente se a seqüência s = (sn) das somas parciais é limitada.
Nesse caso,
∞∑
n=1
xn = lim sn = sup{sn : n ∈ N}.
Prova: Como xn ≥ 0, a seqüência s = (sn) das somas parciais é monótona
não-decrescente, s1 ≤ s2 ≤ · · · ≤ sn ≤ · · · . Pelo Teorema 8.1 (da Seqüência
Monótona), a seqüência s converge se, e somente se, é limitada, em cujo caso
seu limite é igual a sup{sn : n ∈ N}.
¤
Exemplos 10.3
(a) Mostremos diretamente que a série harmônica
∑
1/n não satisfaz o
Critério de Cauchy para séries.
De fato, se m > n temos
sm − sn =
1
n+ 1
+ · · ·+ 1
m
≤ m− n
m
= 1− n
m
.
Em particular, se m = 2n temos s2n − sn ≤ 1/2 para todo n ∈ N, o
que mostra que a série não satisfaz a condição (10.5) no Teorema 10.2
para ε =≤ 1/2.
Uma outra forma engenhosa de mostrar a divergência da série harmônica
é a seguinte prova por contradição. Suponhamos que
∑
1/n seja con-
vergente e ponhamos s =
∑
∞
n=1 1/n. Como tn =
∑n
k=1 1/(2k − 1) <
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Séries Numéricas
MÓDULO 1 - AULA 10
s2n−1 e un =
∑n
k=1 1/(2k) < s2n, temos então que as séries
∑
1/(2n−
1) e
∑
1/(2n) também são convergentes (por quê?). Ponhamos t =
lim tn =
∑
∞
n=1 1/(2n−1) e u = lim un =
∑
∞
n=1 1/(2n). Como un = sn/2
e s2n = tn + un, temos u = s/2 e t = s/2 (por quê?). Agora,
tn − un =
n∑
k=1
(
1
2k − 1 −
1
2k
)
=
n∑
k=1
1
2k(2k − 1) ≥
1
2
,
e, portanto, temos
0 =
s
2
− s
2
= lim tn − lim un ≥
1
2
> 0,
o que nos dá uma contradição, provando que
∑
1/n diverge.
(b) A 2-série
∞∑
n=1
1
n2
é convergente.
Como as somas parciais formam uma seqüência crescente (sn), basta
mostrar que (sn) possui uma subseqüência que é limitada (por quê?).
Seja kn = 2
n−1 e mostremos que (skn) é limitada. Temos sk1 = s1 = 1
e para n > 1
skn =
1
1
+
(
1
22
+
1
32
)
+
(
1
42
+
1
52
+
1
62
+
1
72
)
+ · · ·+
(
1
(2n−1)2
+ · · ·+ 1
(2n − 1)2
)
< 1 +
2
22
+
4
42
+ · · ·+ 2
n−1
(2n−1)2
= 1 +
1
2
+
1
22
+ · · ·+ 1
2n−1
<
∞∑
k=1
(
1
2
)k
= 2.
Logo (skn) é limitada, o que mostra que
∑
1/n2 converge.
(c) A p-série
∞∑
n=1
1
np
converge quando p é um número real com p > 1.
No caso em que p é irracional np := ep log n; a função exponencial ex e
sua inversa log x serão definidas rigorosamente e estudadas mais adiante
neste curso. Por ora, se preferir, você pode pensar que p é racional.
A demonstração é totalmente similar à que foi feita para o caso p = 2.
De novo, vamos mostrar que a subseqüência (snk) é limitada, onde
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CEDERJANÁLISE REAL
Séries Numéricas
nk = 2
k − 1 e sn =
∑n
k=1 1/k
p, e dessa forma provar a convergência da
seqüência crescente sn. Como no caso p = 2, temos
skn =
1
1
+
(
1
2p
+
1
3p
)
+
(
1
4p
+
1
5p
+
1
6p
+
1
7p
)
+ · · ·+
(
1
(2n−1)p
+ · · ·+ 1
(2n − 1)p
)
< 1 +
2
2p
+
4
4p
+ · · ·+ 2
n−1
(2n−1)p
= 1 +
1
2p−1
+
1
(2p−1)2
+ · · ·+ 1
(2p−1)n−1
<
∞∑
k=1
(
1
2p−1
)k
=
1
1− 2−(p−1) .
Portanto, o Teorema 10.3 implica que a p-série converge quando p > 1.
(d) A p-série
∞∑
n=1
1
np
diverge quando 0 < p ≤ 1.
Como np ≤ n quando 0 < p ≤ 1, temos que as somas parciais da p-série
sn =
∑n
k=1 1/n
p são maiores que as somas parciais correspondentes da
série harmônica hn =
∑n
k=1 1/n; sn ≥ hn. Como a seqüência hn →
+∞, o mesmo vale para sn (por quê?), o que prova que a p-série diverge
se 0 < p ≤ 1.
(e) A série harmônica alternada, dada por
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
= 1− 1
2
+
1
3
− · · ·+ (−1)
n
n
+ · · · (10.6)
é convergente.
Ponhamos sn =
∑n
k=1(−1)k+1/k. Temos
s2n =
(
1
1
− 1
2
)
+
(
1
3
− 1
4
)
+ · · ·+
(
1
2n− 1 −
1
2n
)
,
o que mostra que a subseqüência (s2n) é crescente. Da mesma forma,
vemos que a subseqüência (s2n−1) é decrescente, já que
s2n+1 =
1
1
−
(
1
2
− 1
3
)
−
(
1
4
− 1
5
)
− · · · −
(
1
2n
− 1
2n+ 1
)
.
Como 0 < s2n < s2n + 1/(2n + 1) = s2n+1 ≤ 1, conclúımos que essas
duas subseqüências convergem, pois são limitadas inferiormente por
0 e superiormente por 1, e para o mesmo limite, devido a igualdade
s2n + 1/(2n + 1) = s2n+1. Logo a seqüência de somas parciais (sn)
converge, provando que a série harmônica alternada é convergente.
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Testes de Comparação
Em seguida vamos apresentar dois resultados simples que indicam como
determinar a convergência de uma série por meio de comparação com uma
série cuja convergência já esteja estabelecida.
Teorema 10.4 (Teste da Comparação)
Sejam x = (xn) e y = (yn) seqüências em R e sonhamos que para algum
n0 ∈ N se tenha
0 ≤ xn ≤ yn para n > n0. (10.7)
Então:
(i) A convergência de
∑
yn implica a convergência de
∑
xn;
(ii) A divergência de
∑
xn implica a divergência de
∑
yn.
Prova: (i) Suponhamos que
∑
yn seja convergente e, dado ε > 0, seja N1 =
N1(ε) tal que se m > n ≥ N1, então
yn+1 + · · ·+ ym < ε.
Se m > n > N0 := max{n0, N1}, então segue que
0 ≤ xn+1 + · · ·+ xm ≤ yn+1 + · · ·+ ym < ε,
donde segue a convergência de
∑
xn.
A afirmação (ii) é a contrapositiva de (i).
¤
O seguinte resultado é bastante útil em casos em que é dif́ıcil estabelecer
as desigualdades em (10.7).
Teorema 10.5 (Teste da Comparação Limite)
Sejam x = (xn) e y = (yn) seqüências de números estritamente positivos e
suponhamos que existe o seguinte limite em R:
r := lim
(
xn
yn
)
. (10.8)
Temos:
(i) Se r 6= 0 então∑ xn é convergente se e somente se
∑
yn é convergente.
(ii) Se r = 0 e se
∑
yn é convergente, então
∑
xn é convergente.
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CEDERJ
ANÁLISE REAL
Séries Numéricas
Prova: (i) Segue de (10.8) que existe N0 ∈ N tal que 12r ≤ xn/yn ≤ 2r para
n > N0, donde
r
2
yn ≤ xn ≤ 2ryn para n > N0.
Aplicando o Teste da Comparação 10.4 duas vezes, obtemos a afirmação (i).
(ii) Se r = 0, então existe N0 ∈ N tal que
0 < xn ≤ yn para n > N0 (por quê?),
de modo que podemos aplicar diretamente o Teorema 10.4.
Exemplos 10.4
(a) A série
∑
1/(n2 + n+ 1) é convergente.
Claramente temos
0 <
1
n2 + n+ 1
≤ 1
n2
.
Logo a convergência dessa série segue da convergência da 2-série pelo
Teorema 10.4.
(b) A série
∑
1/(n2 − 3n+ 3) é convergente.
De fato, seja xn = 1/(n
2 − 3n + 3) e yn = 1/n2. Observe que não vale
xn ≤ yn. Mas temos
xn
yn
=
n2
n2 − 3n+ 3 =
1
1− (3/n) + (3/n2) → 1.
Logo, podemos aplicar o Teste da Comparação Limite 10.5 para con-
cluir que a série dada converge, como conseqüência da convergência da
2-série.
(c) A série
∑
1/
√
n+
√
n é divergente.
Façamos xn := 1/
√
n+
√
n e yn := 1/
√
n. A série
∑
yn é a
1
2
-série que
é divergente. Temos
xn
yn
=
√
n
√
n+
√
n
=
1
√
1 + 1/
√
n
→ 1.
Logo, segue do Teste da Comparação Limite que a série dada diverge.
(d) A série
∞∑
n=0
1
n!
é convergente. Aqui, usamos a convenção 0! := 1.
Já vimos em aula passada que a seqüência das somas parciais dessa
série,
(
n∑
k=0
1
k!
)
∞
n=0
, converge e seu limite define o número e. Vamos,
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ANÁLISE REAL
Séries Numéricas
(c)
∑
1/(n2 + n+ 2)3/4;
(d)
∑
1/(n3 − n2 + 1)1/3.
6. Seja
∞∑
n+1
xn tal que (xn) é uma seqüência decrescente de números es-
tritamente positivos. Se (sn) denota a seqüência das somas parciais
mostre (agrupando os termos de s2n de dois modos distintos) que
1
2
(x1 + 2x2 + · · ·+ 2nx2n) ≤ s2n ≤
(
x1 + 2x2 + · · ·+ 2n−1x2n−1
)
+ x2n .
Use essas desigualdades para mostrar que
∞∑
n=1
xn converge se, e somente
se,
∞∑
n=1
2nx2n converge.
Esse resultado é muito poderoso e é freqüentemente chamado Teste da
Condensação de Cauchy.
7. Use o Teste da Condensação de Cauchy para estabelecer a divergência
das séries:
(a)
∞∑
n=2
1
n log n
;
(b)
∞∑
n=3
1
n(log n)(log log n)
;
(c)
∞∑
n=4
1
n(log n)(log log n)(log log log n)
.
8. Use o Teste da Condensação de Cauchy para estabelecer a convergência
das séries
∞∑
n=2
1
n(log n)2
,
∞∑
n=3
1
n(log n)(log log n)2
.
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