Relatório - FASORES E ÁLGEBRA DE NÚMEROS COMPLEXOS

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UFC – UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ – CAMPUS SOBRAL 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
DISCIPLINA: CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
PROFESSOR: MARCOS ROGERIO DE CASTRO 
 
 
 
 
PRÁTICA Nº 02 
FASORES E ÁLGEBRA DE NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 
 
 
ALUNO MATRÍCULA 
 
FRANCISCO DENILSON MESQUITA RIBEIRO 400306 
 
 
 
 
 
 
SOBRAL – CE 
2020 
SUMÁRIO 
1. Introdução ................................................................................................................................ 3 
2. Objetivos da Prática ................................................................................................................ 5 
3. Material Utilizado ................................................................................................................... 5 
4. Procedimento Experimental ................................................................................................... 6 
5. Questionário ........................................................................................................................... 25 
6. Conclusão ............................................................................................................................... 27 
7. Referências Bibliográficas .................................................................................................... 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Introdução 
 
Os fasores e os números complexos são duas importantes ferramentas para a 
análise de circuitos CA. Em uma rede linear com excitação senoidal, as grandezas 
variantes no tempo como corrente e tensão podem ser representadas por fasores e o 
parâmetro impedância por um valor complexo. As tensões e correntes senoidais podem 
ser graficamente representadas por fasores em termos de suas magnitudes e ângulos de 
fase. O sistema de números complexos é um meio de expressar os fasores e de operá-los 
matematicamente. 
Um número complexo é definido como: 
𝑎 = ∓𝑥 ∓ 𝑗𝑏 (1) 
 A distinção entre os números reais e imaginários é feita com o operador 𝑗 (𝑗 =
√−1). Em (1) as partes real e imaginária da grandeza complexa a são: 
𝑥 = 𝑅𝑒(𝑎) (2) 
𝑦 = 𝐼𝑚(𝑎) (3) 
A álgebra complexa é uma extensão da álgebra de números reais, com regras 
próprias para adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, extração de raízes e 
logaritmo. 
Um fasor é uma representação gráfica semelhante a um vetor. Os fasores são 
representados em um plano complexo. A projeção do fasor no eixo das abcissas define a 
componente real do fasor. De modo análogo, a projeção do fasor no eixo das ordenadas 
define sua componente imaginária. Um fasor de magnitude ou módulo 𝑟 e direção 𝜃 é 
mostrado na figura 01. 
Figura 01 – Representação de um número complexo na forma vetorial 
 
Fonte: Manual da Prática 
Pode ser observado na figura 01 que existe uma relação entre as partes real 𝑥 e 
imaginária 𝑦 do fasor com seu módulo 𝑟 e ângulo de inclinação 𝜃: 
𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 (4) 
𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃 (5) 
𝑟 = 𝑥 + 𝑦² (6) 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (7) 
Assim, um sinal de tensão/corrente senoidal ou cossenoidal pode ser representado 
por fasores. A amplitude do fasor é igual ao pico da sinusóide (𝑟) e o ângulo de fase igual 
a 𝜃. 
Com base na figura 01 e na equação de Euler ( 𝑒 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃), as quatro 
formas de representar um fasor ou grandeza complexa são: 
Exponencial 
𝑎 = 𝑟 ∙ 𝑒 
Retangular 
𝑎 = 𝑥 + 𝑗 ∙ 𝑦 
Trigonométrica 
𝑎 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃 
Polar 
𝑎 = 𝑟 < 𝜃 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Objetivos da Prática 
 
 Representar ondas senoidais por fasores e números complexos; 
 Realizar operações matemáticas com números complexos; 
 Representar um número em suas formas complexas. 
 
3. Material Utilizado 
 
 Computador; 
 Software: MATLAB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Procedimento Experimental 
 
A prática começou digitando-se os números complexos 𝐴 = −3 + 𝑗 ∗ 4; 𝐵 =
 3 + 𝑗 ∗ 4 e 𝐶 = −3 − 𝑗 ∗ 4 no prompt do MATLAB, como pode ser visto na figura 02. 
 
Figura 02 – Números Complexos 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Em seguida, usou-se as funções real(_) e imag(_) e observou-se que elas retornam, 
respectivamente, a parte real e a parte imaginária dos números, como pode ser visto nas 
figura 03, 04 e 05. 
Figura 03 – Partes real e imaginária de A 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Figura 04 – Partes real e imaginária de B 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Figura 05 – Partes real e imaginária de C 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Em seguida, calculou-se o módulo de A pelo método dos catetos, como pode ser 
visto na figura 06. 
Figura 06 – Módulo de A pelo método dos catetos 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
Depois, usou-se a função abs(_) em A para que fosse comparado seu resultado 
com o resultado do módulo de A pelo método dos catetos. O resultado foi exatamente 
igual, como pode ser visto na figura 07. 
 
Figura 07 – Uso da função abs() 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Em seguida, calculou-se o ângulo de A usando três formas diferentes: 
atan(imag(_)/real(_)); atan2(imag(_),real(_)) e angle(_). Os resultados são mostrados nas 
figuras 08, 09 e 10. Cabe ressaltar que foi preciso fazer a conversão de radianos para 
graus. A diferença entre eles se dá pois o primeiro comando resulta no inverso da tangente 
em radianos, enquanto os outros dois resultam no inverso da tangente no quarto quadrante 
em radianos. 
Figura 08 – Ângulo de A usando atan(imag(_)/real(_)) 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Figura 09 – Ângulo de A usando atan2(imag(_),real(_)) 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Figura 10 – Ângulo de A usando angle() 
 
Fonte: Autoria própria 
 Em seguida, fez-se o mesmo teste com o ângulo de C, no qual foi constatada a 
mesma coisa, como pode ser visto nas figuras 11, 12 e 13. 
 
Figura 11 – Ângulo de C usando atan(imag(_)/real(_)) 
 
Fonte: Autoria própria 
Figura 12 – Ângulo de C usando atan2(imag(_)/,real(_)) 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Figura 13 – Ângulo de C usando angle() 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Depois disso, executou-se algumas operações com os fasores A, B e C definidos 
anteriormente e os resultados deveriam ser expressos nas formas retangular e polar. A 
primeira operação foi A+C como pode ser visto na figura 14. 
Figura 14 – Operação A+C 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A segunda operação foi A+B, como pode ser visto na figura 15. 
Figura 15 – Operação A+B 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A terceira operação foi B+conj(B) como pode ser visto na figura 16. 
Figura 16 – Operação B+conj(B) 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A quarta operação foi A+B-C como pode ser visto na figura 17. 
 
Figura 17 – Operação A+B-C 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A quinta operação foi A*C como pode ser visto na figura 18. 
 
Figura 18 – Operação A*C 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A sexta operação foi A^2 como pode ser visto na figura 19. 
 
Figura 19 – Operação A^2 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A sétima operação foi 1/A como pode ser visto na figura 20. 
 
Figura 20 – Operação 1/A 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A oitava operação foi B/C como pode ser visto na figura 21. 
 
Figura 21 – Operação B/C 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 Em seguida, executou-seoperações de raiz, potenciação e logaritmo. A primeira 
delas foi 4,5 − 𝑗7,79, como se pode ver na figura 22. 
Figura 22 – Operação 4,5 − 𝑗7,79 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
 A segunda operação foi (100 < 60°) , como pode ser visto na figura 23. 
Figura 23 – Operação (100 < 60°) 
 
Fonte: Autoria própria 
 
A terceira operação foi (50𝑒 °) / , como pode ser visto na figura 24. 
Figura 24 – Operação (50𝑒 °) / 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
 
 
 
 
A quarta operação foi 
°
( )
+ ln(8 + 5𝑗), como pode ser visto na figura 25. 
Figura 25 – Operação 
°
( )
+ 𝑙𝑛(8 + 5𝑗) 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em seguida, em um plano complexo, represente os vetores 𝐴 = 5 + 𝑗7, 𝐵 = 3 −
𝑗2 e as operações 𝐴 + 𝐵 e 𝐴 − 𝐵. Primeiro, plotei apenas os dois vetores, como pode se 
ver nas figuras 26, e em seguida as operações. Na figura 27 vê-se o gráfico da primeira 
plotagem. 
Figura 26 – Plotagem vetores e operações 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Figura 27 – Gráfico da plotagem vetores A e B 
 
Fonte: Autoria própria 
 
A plotagem com as operações A+B e A-B pode ser vista na figura 28. 
Figura 28 – Gráfico da plotagem A+B e A-B 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
 
 
Por último, plotou-se o número complexo 𝑧 = 4 < 45º utilizando a forma 
POLAR do MATLAB. As figuras 29 e 30 mostram a plotagem e a figura 31 mostra o 
gráfico resultante. 
 
Figura 29 – Plotagem número complexo z – parte 1 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Figura 30 – Plotagem número complexo z – parte 2 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Figura 31 – Gráfico da plotagem número complexo z 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5. Questionário 
 
01 – Dado o número complexo 𝐴 = 5 < 36,9°, calcule (𝐴∗. 𝐴 + 𝐴∗) e (𝐴 − 𝐴∗). 
 
R: 
Na forma polar, 𝐴∗ = 5 < 36,9°, logo 𝐴∗ ∙ 𝐴 = |5| ∙ |5| < (36,9° + (−36,9°) = 25 <
0°, que na forma retangular seria igual a 25. 
Como 𝑥 = 5cos (36,9°) = 3,9984 e 𝑦 = 5𝑠𝑒𝑛(36,9°) = 3,0021, o número 𝐴 
pode ser representado na forma retangular por 𝐴 = 3,9984 + 𝑖3,0021 e portanto 𝐴∗ =
3,9984 − 𝑖3,0021. 
Assim, 𝐴∗ ∙ 𝐴 + 𝐴∗ = 25 + (3,9984 + 𝑖3,0021 = 18,9984 − 𝑖3,0021. 
E 𝐴 − 𝐴∗ = (3,9984 + 𝑖3,0021) − (3,9984 − 𝑖3,0021) = 0 + 𝑖6,0042. 
02 – Deduza a equação de Euler: 𝑒 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 ± 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃. 
 
R: 
Seja o fasor 𝐴 representado em sua forma retangular trigonométrica: 
𝐴 = |𝐴|(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃) (8) 
As funções 𝑠𝑒𝑛𝜃 e 𝑐𝑜𝑠𝜃 expandidas em série: 
𝐴 = |𝐴| 1 −
!
+
!
−
!
+ ⋯ + 𝑗 𝜃 −
!
+
!
−
!
+ ⋯ (9) 
O fasor 𝐴 pode ser reescrito como: 
𝐴 = |𝐴| 1 + 𝑗𝜃 +
( )
!
+
( )
!
+
( )
!
+
( )
!
+ ⋯ (10) 
Reconhecendo que: 
𝑒 = 1 + 𝑗𝜃 +
( )
!
+
( )
!
+
( )
!
+
( )
!
+ ⋯ (11) 
Tem-se que: 
𝐴 = |𝐴|𝑒 = |𝐴|(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃) (12) 
Com 
𝑒 = (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃) (13) 
De modo análogo tem-se que: 
𝑒 = (𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃) (14) 
 
03 – Mostrar que o operador (𝑐𝑜𝑠𝜃 ± 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃) faz girar qualquer vetor a que é aplicado 
por um fator multiplicador de ±𝜃. 
 
R: 
Sejam 𝐴 = |𝐴|𝑒 e 𝐵 = |𝐵|𝑒 , o produto de 𝐴 e 𝐵 é dado por 
𝐴 ∙ 𝐵 = |𝐴|𝑒 |𝐵|𝑒 
 = |𝐴||𝐵|𝑒 ( ) 
 = |𝐴||𝐵| < (𝜃 + 𝜃 ) (15) 
A equação anterior mostra que se sobre um fasor de 𝐴 = |𝐴|𝑒 aplicarmos um 
fasor 𝐵 de magnitude |𝐵| e ângulo 𝜃 , isto é, 𝐵 = |𝐵|𝑒 = (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃 ), o fasor 
resultante é: 
𝐷 = |𝐴||𝐵|𝑒 𝑒 = |𝐴||𝐵|[cos(𝜃 + 𝜃 ) + 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝜃 + 𝜃 )] (16) 
O fasor 𝐷 tem módulo |𝐴||𝐵| e está avançado de 𝜃 desde a posição de 𝐴 
formando um ângulo com o eixo de referência igual a (𝜃 + 𝜃 ). 
Portanto, o operador 𝑒 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃 operando sobre um fasor 𝐴 faz esse fasor girr 
de um ângulo de +𝜃 desde sua posição inicial. O operador 𝑒 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃 
operando sobre um fasor 𝐴 faz esse fasor girar de um ângulo (−𝜃). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Conclusão 
 
Esta prática realmente cumpriu com o seu objetivo, que era representar ondas senoidais 
por fasores e números complexos, realizar operações matemáticas com números 
complexos e representar um número em suas formas complexas. Aprendeu-se a utilizar 
as funções do matlab para determinar parte real e imaginária de um número complexo, 
calcular o módulo e o ângulo deste número e até mesmo plotá-lo no plano complexo nas 
formas retangular e polar. No pós-laboratório pôde-se deduzir a formula de Euler, como 
também a funcionalidade do operador (𝑐𝑜𝑠𝜃 ± 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃). 
 
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7. Referências Bibliográficas 
 
[1] R. P. Leão, “Manual de Prática de Laboratório de Circuitos Elétricos II”, 
Universidade Federal do Ceará, 2007.