estruturas algebricas 2

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
 MATEMÁTICA
#ATIVIDADE - 2
DISCIPLINA: ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
PROFESSOR: Wilson Espindola Passos					 ANO:	2021
e-mail: wilson.passos@unigran.br
OBS:
 -Deve ser entregue todas as resoluções dos exercícios 
- Os exercicios podem ser resolvidos “á mão” e escaneados para serem postado, cuidar a qualidade da imagem caso opte por fazer desta maneira.
- A atividade 1 deve ser postada como arquivo único, de preferência em PDF para evitar desconfigurações.
QUESTÕES SOBRE TEORIA DE GRUPOS
1- Seja a definição:
Dê 2 exemplos de grupos.
 
2- Seja a definição:
Dê 2 exemplos de grupos abelianos.
1° Exemplo
2° Exemplo;
Elemento neutro = x x + e – 2 = x e – 2 = 0 ؞ e = 2 
 é abeliano
3- Demostre o lema abaixo:
Essa função esta definida, pois, se As=Bs ,então a-1b Є S, logo a-1 Є Sb-1 e Sa-1=Sb-1. A sobrejetividade dessa função é clara. Quanto a injetividade, se As e Bs tem a mesma imagem, então As-1 =Sb-1, logo a-1b Є S donde b Є As e Bs=As 
Em partícula, se Sg é finito, então Gs também é finito e ambos têm o mesmo numero de elementos. Esse numero de elementos é chamado de índice de S em G e denotado por (G:S). quando Sg (e, consequentemente, Gs) é infinito, dizemos que o subgrupo S tem índice infinito, com um subgrupo S G também infinito.
4- 
A primeira linha da tabla se repete na ultima linha, a linha que corresponde ao elemento 5. Note que a primeira coluna se repete também na coluna que corresponde ao elemento 5. Isso significa que o e = 5 é o único elemento neutro dessa operação. 
A tabela é simétrica com relação a diagonal que inicia na parte superior esquerda e termina na parte inferior direita. Logo, a operação é comutativa. 
O elemento neutro e aparece na tabua apenas uma única vez, como resultado da operação 
 5 * 5 =5 = e. isso significa que o 5 é o único elemento invertível e o inverso do 5 é igual a ele mesmo.
5- 
Solução: alguns exemplos; 
 RESTO DA DIVISOADE 12 POR 5 É = 2 
 RESTO DA DIVISOADE 6 POR 5 É = 1 
 RESTO DA DIVISOADE 6 POR 5 É = 1 
 RESTO DA DIVISOADE 7 POR 5 É = 2, ETC... 
	 
	0 
	1 
	2 
	3 
	4 
	0 
	0 
	0 
	0 
	0 
	0 
	1 
	0 
	1 
	2 
	3 
	4 
	2 
	0 
	2 
	4 
	1 
	3 
	3 
	0 
	3 
	1 
	4 
	2 
	4 
	0 
	4 
	3 
	2 
	1 
 
	 
	0 
	1 
	2 
	3 
	4 
	0 
	0 
	1 
	2 
	3 
	4 
	1 
	1 
	2 
	3 
	4 
	0 
	2 
	2 
	3 
	4 
	0 
	1 
	3 
	3 
	4 
	0 
	1 
	2 
	4 
	4 
	0 
	1 
	2 
	3 
6- 
Solução: Como X so tem 3 elementos, então só podem existir 3 funções constantes definidas de X em X: 
Agora, 	observe 	que 	
 
Então obtemos: 
Observando a tabua, vemos que a primeira linha da tabua (o cabeçalho) não se repete em lugar algum; a operação não tem elemento neutro a esquerda. Por outro lado, note que a primeira coluna se repete 3 vezes na tabua; isso significa que a operação tem 3 elementos 
neutros a direita: 
Sendo assim, podemos concluir que não tem elemento neutro. 
7-
Solução: 
Para x, y temos x tornando a operação comutativa. 
Para quaisquer x,y, z 
 L
ogo,
 
o que sinifica 
que 
´é associativa.
 
Supondo que e seja o elemento neutro, temos e para too real não negativo. Elevando a ultima igualdade ao quadrado, obtemos: e2 + x2 = x2 e, entao chegamos a e2 = 0, ou seja, e =0. Assim, o zero é o elemento neutro da operação. Vejamos: 
 pra todo X real não ngativo. 
8-
Solução; 
Para quaisquer é comutativa. 
 
o que significa que * 
não
 
é associativa.
 
Suponhamos que exista um elemento neutro e para essa operação. Então, devemos ter 
escolhendo dois valores distintos pra 
Então
, temos
 
X, 	por 	exemplo, 	substituindo 	na 	equação 	anterior, 	temos: 
 que implicam em e = 0 e 2e = 1 que é um absurdo. 
Logo não existe elemento neutro para essa operação. 
9-
(distributividade a esquerda da 
multiplicação com relação a adição). 
(definição 	de 	quadrado 	e 
comutatividade d multiplicação) 
(associatividade da adição. 
(associatividade da adição) 
 
 (associatividade da adição).
10-
Solução,
1. Para quaisquer (a,b) e (c,d) pertencentes a Z x Z temos (a,b)* (c,d)=(ac,ad+bc)=(Ca,cb+da)=(c,d)*(a,b), logo, * é comutativa
1. Suponhamos que a operação tenha elementos neutro e=(e1,e2). Então, se x=(a,b) for um elemento genérico de Z x Z, temos que e*x= x, isto é, (e1, e2)*(a,b)=(a,b)→(e1a,e1b+e2a)=(a,b)→e1a=a,e2a=b. em particular, escolhendo (a,b)=(1,1), temos e1=1, e1+e2=1 o que implica em e2=0, logo, e=(1,0) é um “candidato” a elemento neutro da operação. Vejamos: e* x=(1,0)*(a,b)=(1.a,1.b+0.a)=(a,b). logo, (1,0) é realmente o elemento neutro da operação.
1. Dado (a,b)Є ZxZ , se (x,y) for o elemento inverso de (a,b), então devemos ter (a,b)*(x,y)=(1,0)= elemento neutro→(ax,ay+bx)=(1,0)→ ax=1,ay+bx=0. Como a e x são inteiros, então ax=1 implica a=1, x=1 ou a=-1, x=-1
1. 1° caso; se a=1 e x=1, então 1.y+b.1=0→y=-b. logo, o inverso de (1,b) é o elemento (1,-b).
1. 2° caso; se a=-1 e x=-1, então -1.y+b.(-1)=0→y=-b, assim, o inverso de (-1,b) é o elemento (-1,-b)
Concluímos então que os elementos invertíveis são da forma (1,b) ou (-1,b), com b Є Z e seus inversos são dados por:(1,b)-1=(1,-b) e (-1,b)-1=(-1,-b).
11-
1. Para quaisquer x,y e Z, temos: f(x+y)=7x+7y=f(x)+f(y) Logo, f é um homomorfismo de Z em Z.
1. Temos f(1)=8, f(2)=15, f(1+2)= f(3)=22 e f(1)+f(2)=23. Logo f(1+2)≠f(1)+f(2); logo f não é homomorfismo.
1. Por exemplo, f(1)= 7, f(3)=63, f(1+3)=f(4)=112 e f(1)+f(3)=70. Logo, f(1+3)≠f(1)+f(3); temos que f não é homomorfismo.
1. Por exemplo, f(-2)= 2, f(2)=2, f(-2+2)=f(0)=0, f(-2)+f(2)= 2+2=4. Logo, f(-2+2)≠f(-2)+f(2). Então f não é homomorfismo.
1. Para quaisquer x,y Є R, temos f(x.y)==f(x).f(y). logo, f é um homomorfismo de G em J
1. Se x,y Є R, temos que:f(x+y)=(2(x+y),3(x+y)).3(2x+2y.3x+3y).
 por outro lado, f(x)+f(y)=(2x,3x)+(2y,3y)=(2x+2y,3x+3y). Logo, f(x+y)=f(x)+f(y), concluímos que f é um homomorfismo.
1. Sejam (a,b) e (c,d) dois elementos genéricos de R X R. temos:f(a,b)+f(c,d)=(4a-5b)+(4c-5d)=4a+4c-5b-5d. ou f((a,b)+(c,d))=f(a+c,b+d)=4(a+c)-5(b+d)=4a+4c-5b-5d.
Logo f((a,b)+(c,d))=f(a,b)+f(c,d); então f é homomorfismo de G em J.
Para quaisquer x Є G e Y= Є G, X+Y= e f(x)+f(y)=TR(x)+TR(y)= (a+d)+(r+u)=a+d+r+u. Por outro lado, f(x+y)=TR(x+y)=(a+r)+(d+u)= a+r+d+u. Logo, f(x+y)=f(x)+f(y). Então f é homomorfismo de grupos