Lista avaliativa de sequencias e series

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Disciplina: MB 403 - Sequências e Séries
Professor: Leandro Gonzaga Fernandes Junior
Lista de Exercícios Avaliativa
Data de entrega: 06/10/2020
1. Calcule, caso exista, limn→∞ bn, sendo bn igual a
a) n+13√n7+2n+1
b)
∫ ∫
An
1√
x2 + y2
dxdy, onde An é a coroa circular 1n2 ≤ x
2 + y2 ≤ 1, com n ≥ 2.
c) n · tg
(
1
n
)
d) n
[
sin
(
1+n3
n2
)
− sin(n)
]
e) n− n2 sin
(
1
n
)
f) n
[
1− cos
(
1
n
)]
g)
n+n2 sin( 1n )
1−n2 sin( 1n )
h) b1 =
√
2, b2 =
√
2
√
2, b3 =
√
2
√
2
√
2, . . ..
i) b1 = 1 e bn+1 = 1 +
√
bn para todo n ≥ 2.
2. Seja (an) uma sequência de números reais. Assuma que lim
n→∞
a2n = a = lim
n→∞
a2n+1. Mostre
que o limite de (an) existe e limn→∞ an = a.
3. Assuma que a série
inf∑
n=0
an é absolutamente convergente. O que podemos inferir sobre
∞∑
n=0
(an)
2?
Assuma que an ≥ 0 para todo n ≥ 0, o que podemos inferir sobre
∞∑
n=0
an
1 + an
?
4. Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou
divergente.
a)
+∞∑
n=1
(−1)n+1 lnn
n
1
b)
+∞∑
n=1
(−1)n+1 3
n
n!
c)
+∞∑
n=1
(
1 + 1n
)2n
en
d)
+∞∑
n=1
nn
n!
e)
∞∑
n=3
1
n lnn[ln(lnn)]p
, onde p é um número real
f)
∞∑
n=1
tg−1(n)
n2 + 1
g)
∞∑
k=1
k5 − 3k4 + 2
2k8 + k − 1
h)
∞∑
k=1
k sin
1
k
i)
∞∑
k=1
arctan
[
1
k3
√
k2 + k + 1
]
j)
∞∑
k=1
k3
3k
5. Seja (an) uma sequência. Mostre que o Teste da Razão é inconclusivo quando lim
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = 1.
6. Em cada caso, responda.
a)
∞∑
k=1
sin k
k
é absolutamente convergente? Condicionalmente Convergente?
b)
∞∑
k=1
sin kx
k
com sin
(
x
2
)
6= 0 é convergente?
c)
∞∑
k=1
cos kx
k
com sin
(
x
2
)
6= 0 é convergente?
Dica para o exercício 6: Use que eix + ei2x + ei3x + · · ·+ einx = e
inx−1
1−e−ix .
Observação: Todas as respostas deverão ser justificadas, caso contrário, serão desconsideradas.
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