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Cálculo IIA -- Argento e Hernández

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Cálculo 2A
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal Fluminense
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
ii
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández CÁLCULO 2A
Sumário
Prefácio ix
1 Integral de�nida 1
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 De�nição formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 O Teorema Fundamental do Cálculo 9
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Aplicações do Teorema Fundamental do Cálculo 17
1 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Integração por substituição 27
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Integração por substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 O Método de Substituição para a Integral De�nida . . . . . . 32
4 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 Integração por partes 39
iii
iv SUMÁRIO
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6 Integrais de Funções Trigonométricas 47
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7 Substituição trigonométrica 53
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8 Integração por frações parciais 61
1 Integração de funções racionais próprias . . . . . . . . . . . . 61
2 Integração de funções racionais impróprias . . . . . . . . . . . 67
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9 Substituições diversas 71
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
10 Volumes de sólidos de revolução usando o método dos discos 79
1 Rotação de região entre o grá�co de uma função e o eixo de
revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2 Rotação de região entre dois grá�cos . . . . . . 87
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
11 Volumes de sólidos de revolução por cascas cilíndricas 93
1 Rotação de região entre dois grá�co em torno de um eixo ver-
tical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández CÁLCULO 2A
SUMÁRIO v
2 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
12 Comprimento de arco 103
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
13 Integral imprópria em intervalos não limitados 109
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
14 Integral imprópria de funções não limitadas 115
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
15 Critério de comparação para integrais impróprias 123
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
16 Introdução às equações diferenciais ordinárias 131
1 Equações Diferenciais Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
17 EDO de primeira ordem 139
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
vi SUMÁRIO
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
18 Teorema de Existência e Unicidade 147
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
19 Equações Diferenciais Homogêneas 155
1 Equações Homogêneas na forma normal . . . . . . . . . . . . . 155
2 Equações Homogêneas na forma diferencial . . . . . . . . . . . 159
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
20 Equações lineares de primeira ordem 163
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
2 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
21 Equações exatas e equações redutíveis às exatas 171
1 Equações exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3 Equações redutíveis às exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
22 Equações de Bernoulli, Ricatti e Clairaut 183
1 Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
2 Equação de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3 Equação de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
23 Aplicações das EDOs de 1ª ordem 195
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández CÁLCULO 2A
SUMÁRIO vii
1 Trajetórias ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
2 Modelagem Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
24 EDOs homogêneas lineares de ordem n ≥ 2 207
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
25 Método da redução de ordem 217
1 Descrição do método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
2 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
26 EDO lineares homogêneas de grau n com coe�cientes cons-
tantes 223
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
2 Grau n=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
3 Grau n ≥ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
27 Método dos coe�cientes a determinar 233
1 Descrição do método dos coe�cientes a determinar . . . . . . . 233
2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
28 Método da variação dos parâmetros 241
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
2 Grau n=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
viii SUMÁRIO
3 Grau n ≥ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
5 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
29 Equações de Euler-Cauchy 253
1 Equações de Euler-Cauchy de segunda ordem . . . . . . . . . 253
2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
3 Equações de Euler-Cauchy de ordem n ≥ 3 . . . . . . . . . . . 258
4