Lista 04

Prévia do material em texto

Lista 4 - Cálculo II
1) Prove que as funções dadas são diferenciáveis.
a)f(x, y) = xy b)f(x, y) = x+ y
c)f(x, y) = x2y2 d)f(x, y) =
1
xy
e)f(x, y) =
1
x+ y
f)f(x, y) = x2 + y2
2) f é diferenciável em (0, 0)? Justi�que.
a)f(x, y) =
x2 − y2
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0.
b)f(x, y) =
x2y
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0.
c)f(x, y) =
x4
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0.
3) Veri�que que a função dada é diferenciável.
a)f(x, y) = ex−y
2
b)f(x, y) = x4 + y3
c)f(x, y) = x2y d)f(x, y) = ln(1 + x2 + y2)
e)f(x, y) = x cos(x2 + y2) f)f(x, y) = arctg(xy)
4) Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justi�que.
a)f(x, y) =
{ xy
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
b)f(x, y) =

x3
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
c)f(x, y) =

xy3
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
d)f(x, y) =
 e
1
x2 + y2 − 1 se x2 + y2 < 1
0 se x2 + y2 ≥ 1
5) Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao grá�co da função dada, no ponto dado.
a)f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1)).
b)f(x, y) = x2 + y2 em (0, 1, f(0, 1)).
c)f(x, y) = 3x3y − xy em (1,−1, f(1,−1)).
d)f(x, y) = xex
2−y2 em (2, 2, f(2, 2)).
e)f(x, y) = arctg(x− 2y) em (2, 12 , f(2,
1
2 )).
f)f(x, y) = xy em
(
1
2
,
1
2
, f
(
1
2
,
1
2
))
.
6) Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) e que seja tangente ao grá�co de
f(x, y) = xy.
7) Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x+ y e tangente ao grá�co de f(x, y) = x2 + y2.
8) z = 2x+ y é a equação do plano tangente ao grá�co de f(x, y) no ponto (1, 1, 3). Calcule
∂f
∂x
(1, 1)
e
∂f
∂y
(1, 1).
9) Determino o plano que seja paralelo ao plano z = 2x+3y e tangente ao grá�co de f(x, y) = x2+xy.
10) Calcule a diferencial
a)z = x3y2 b)z = xarctg(x+ 2y)
c)z = sin(xy) d)u = es
2−t2
e)T = ln(1 + p2 + v2) f)x = arcsen(uv)
11) Seja z = xex
2−y2 .
a) Calcule um valor aproximado para a variação ∆z em z, quando se passa de x = 1 e y = 1 para
x = 1, 01 e y = 1, 002.
b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1, 01 e y = 1, 002.
12) Calcule um valor aproximado para a variação ∆A na área de um retângulo quando os lados variam
de x = 2m e y = 3m para x = 2, 01m e y = 2, 97m.
13) Uma caixa de forma cilíndrica é feita com um material de espessura 0,03m. As medidas internas
são: altura 2m e raio da base 1m. A caixa é sem tampa. Calcule um valor aproximado para o volume do
material utilizado na caixa.
14) A energia consumida num resistor elétrico é dada por P =
V 2
R
watts. Se V = 100volts e R = 10
ohms, calcule um valor aproximado para a variação ∆P em P , quando V decresce 0,2 volt e R aumenta
de 0,01 ohm.
15) Um dos catetos de um triângulo retângulo é x = 3cm e o outro, y = 4cm. Calcule um valor
aproximado para a variação ∆z na hipotenusa z, quando x aumenta 0,01cm e y decresce 0,1cm.
16) Calcule aproximadamente (1, 01)2,03.
17) De�na diferencial de uma função de três variáveis.
18) Calcule ∇f(x, y) sendo
a)f(x, y) = x2y b)f(x, y) = ex
2−y2
c)f(x, y) =
x
y
d)f(x, y) = arctg
(
x
y
)
19) De�na gradiente de uma função de três variáveis. Calcule ∇f(x, y, z) sendo
a)f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2 b)f(x, y, z) = x2 + y2 + z2
c)f(x, y, z) = (x2 + y2 + 1)z
2
d)f(x, y, z) = z arctg
(
x
y
)
20) Seja f(x, y) = x2 − y2. Represente geometricamente ∇f(x0, y0), sendo (x0, y0) =
a)(1, 1) b)(−1, 1)
c)(−1,−1) d)(1,−1)
21) Seja f(x, y) = x2 + y2 e seja γ(t) = (x(t), y(t)) uma curva diferenciável cuja imagem está contida
na curva de nível f(x, y) = 1, isto é, para todo t no domínio de γ, f(x(t), y(t)) = 1 (dê exemplo de uma
tal curva. Seja γ(t0) = (x0, y0). Prove que γ
′(t0) · ∇f(x0, y0) = 0. Interprete geometricamente.
22) Seja f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 e seja γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) uma curva diferenciável cuja ima-
gem esteja contida na superfície de nível x2 + y2 + z2 = 1. Seja γ(t0) = (x0, y0, z0). Prove que
γ′(t0) · ∇f(x0, y0, z0) = 0. Interprete geometricamente.
23) Sejam f(x, y) = y − x2 e γ(t) = (sin t, sin2 t).
a) Veri�que que a imagem de γ está contida na curva de nível y − x2 = 0.
b) Desenhe a imagem de γ.
2
c) Veri�que que para todo t, γ′(t) · ∇f(γ(t)) = 0.
24) Seja f(x, y, z) = x2 + 4y2 + 9z2.
a) Dê exemplo de uma curva γ(t), diferenciáve, cuja imagem esteja contida na superfície de nível
x2 + 4y2 + 9z2 = 1.
b) Veri�que que ∇f(γ(t)) · γ′(t) = 0. Interprete geometricamente.
25) Seja F (r, θ) = f(x, y) onde x = r cos θ e y = r sin θ, sendo f(x, y) uma função diferenciável dada.
Veri�que que
∂f
∂y
(x, y) =
cos θ
r
∂F
∂θ
(r, θ) + sin θ
∂F
∂r
(r, θ).
26) Seja f(x, y) diferenciável em (x0, y0), γ(t) uma curva diferenciável em t0, cuja imagem está contida
no grá�co de f . Seja γ(t0) = (x0, y0, f(x0, y0)). Então mostre que a reta tangente a γ no ponto γ(t0)
está contida no plano tangente ao grá�co de f no ponto γ(t0).
3