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Tópicos de Física Básica 
2006/1 – prof. Marta 
PROVA 1 – SOLUÇÃO - 1 
SEMANA 8 – PRIMEIRA PROVA - SOLUÇÃO 
 
NOME: _____________________________________________________________________ 
 
TÓPICOS DE FÍSICA BÁSICA – 2006/1 – Turma IFA 
PRIMEIRA PROVA – SOLUÇÃO 
 
QUESTÃO 1 (valor: 1,5 pontos) 
Numa experiência, foram determinados os valores da velocidade de um corpo que se move sobre 
uma linha reta em função do tempo. O gráfico abaixo indica os resultados obtidos. 
 
(a) Trace a melhor reta que descreve estes dados. 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-5
0
5
10
15
20
v 
(m
/s
)
t (s)
v = -19.5 * t + 17.4 
 
(b) A partir desta reta, obtenha o valor de ( )0v . 
Da reta traçada, ( ) 170v = m/s. 
(c) Qual a aceleração deste movimento? 
Da reta traçada, 19
15,085,0
0,140,1
t
v
a −=
−
−
=
∆
∆
= m/s. 
(d) Qual a equação que descreve a velocidade como função do tempo? 
( ) 17t19tv +−= , em unidades do SI; observe na figura o ajuste que foi feito usando um 
método mais preciso (regressão). 
(e) Qual a equação para a posição como função do tempo, supondo que no instante inicial 0t = o 
corpo estivesse na posição 20x = m? 
Como o movimento tem aceleração constante, ( ) 2200 t5,9t1720at2
1
tvxtx −+=++= . 
(f) Em que instante o objeto atinge a origem do eixo x? 
( ) 0t5,9t1720tx 2 =−+= para 
[ ] 8,0ou6,2
19
4,3217
205,941717
5,92
1
t 2 −=
±
=××+±
×
= . O instante procurado 
então é 6,2t = s. 
(g) Escreva uma situação física que possa ser representada pelo problema que você acabou de 
resolver. 
Qualquer problema em que o corpo mova-se em linha reta, com aceleração com sentido oposto 
ao da velocidade inicial. 
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PROVA 1 – SOLUÇÃO - 2 
QUESTÃO 2 (valor: 1,5 pontos) 
Um jogador de basquete quer encestar a bola lançando-a de uma altura de 2 m do chão com 
velocidade inicial de 7 m/s. A distância da bola à vertical que passa pelo centro do cesto é de 3 m, e 
o aro do cesto está a 3,05 m de altura do chão. 
(a) Desenhe a situação descrita. 
H
0v
r
h
D
x
y
θ
 
 
(b) Escolha um sistema de coordenadas cartesianas para resolver o problema, desenhe-o na figura e 
escreva as coordenadas cartesianas que descrevem a posição da bola como função do tempo 
supondo que a bola é lançada com uma velocidade que faz um ângulo θ com a horizontal. 
O sistema de coordenadas está desenhado na figura; o movimento da bola (partícula) é 
descrito por: 
tcosv)t(x θ= ο ; θ= ο cosv)t(v x ; 0)t(a x = 
2tg
2
1
tsenvh)t(y −θ+= ο ; tgsenv)t(v y −θ= ο ; g)t(a y −= 
 
(c) Obtenha o valor do ângulo de lançamento. 
Para que a bola atinja a cesta, é necessário que H)Dx(y == . Podemos escrever a equação 
da trajetória substituindo 
θ
=
ο cosv
x
t na expressão para ( )ty : 
 22
222
2
xsec
v2
g
xtgh
cosv
x
g
2
1
cosv
x
senvh)t(y θ−θ+=
θ
−
θ
θ+=
οοο
ο 
Lembrando que θ+=θ 22 tg1sec e considerando o ponto em que a bola atinge a cesta, 
( ) 22
2
Dtg1
v2
g
DtghH θ+−θ+=
ο
 ou a equação de segundo grau para θtg : 
 0
v2
Dg
hHtgDtg
v2
Dg
2
2
2
2
2
=





+−+θ−θ
οο
 ou ( ) 09,005,1tg3tg9,0 2 =++θ−θ 
 
Então 
 6,0ou8,2
8,1
23
9,02
95,19,0493
tg =
±
=
×
××−±
=θ 
e °==θ 708,2arctg ou °==θ 316,0arctg . Para o primeiro ângulo ( °70 ) é mais 
certo que a bola entre na cesta (sem ficar no aro). 
 
θο cosv
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PROVA 1 – SOLUÇÃO - 3 
QUESTÃO 3 (valor: 1,5 pontos) 
Um livro de massa m é pressionado contra uma parede vertical com uma força horizontal de 
módulo F igual ao peso de uma massa de 0,3 kg. São determinados experimentalmente os melhores 
valores para os coeficientes de atrito estático 4,0E =µ e cinético 3,0C =µ entre as superfícies do 
livro e da parede. (a) Faça um desenho da situação descrita. (b) Faça o diagrama das forças que atua 
sobre o livro. (c) Se a massa do corpo for 2,0m = kg, o que acontece – o livro fica parado ou 
desliza? Se desliza, com que aceleração? Por quê? (d) Se a massa do corpo for 8,0m = kg, o que 
acontece – o livro fica parado ou desliza? Se desliza, com que aceleração? Por quê? (e) Qual o 
maior valor da massa do livro para que a pressão consiga impedir que ele deslize pela parede e caia? 
 
(a) (b) 
 
F
r
 
F
r N
r
af
r
P
r
 
As forças que atuam sobre o corpo são a força F
r
(de módulo igual a N3F = ) , a força peso 
gmP
rr
= , resultante da interação gravitacional com a Terra, e as duas componentes normal N
r
 e 
atrito af
r
 da força de contato entre a superfície do bloco e a da parede. Aplicando a segunda lei de 
Newton ao livro, escrevemos amfNgmF a
rrrrr
=+++ . 
Como na horizontal (perpendicular à parede) não há movimento, podemos escrever 
3NF == N. 
(c) Na vertical, considerando o sentido positivo para baixo, temos mafmg a =− . 
Se a massa do corpo for 2,0m = kg, seu peso é 2P = N. 
Se o atrito for estático, sabemos (fenomenologicamente) que 
2,134,0Nf EEST =×=µ≤ N. 
 Logo, o atrito estático máximo é menor que o peso do objeto, e portanto ele desliza. Como há 
deslizamento, o atrito é cinético, 
9,033,0Nf CCIN =×=µ≤ e aceleração do livro é 
( ) 2s/m5,52,09,00,2a =−= para baixo. 
(d) Se a massa do corpo for 8,0m = kg, o peso é de 8N e o corpo desliza para baixo com aceleração 
( ) 2s/m9,88,033,00,8a =×−= . 
(e) Para que o livro não deslize, é necessário que Ngm Eµ≤ ; no caso, 
( ) ( ) ( ) 12,01034,0gFgNm EE =×=µ=µ≤ kg. 
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PROVA 1 – SOLUÇÃO - 4 
QUESTÃO 4 (valor: 1,5 pontos) 
Queremos descobrir quanto vale a força resultante que age sobre um objeto de massa m que 
descreve um movimento circular uniforme de raio R e período T . Apresentamos a seguir uma 
argumentação escrita, e você deve transformá-la em linguagem matemática. Deve tam-bém justificar 
as passagens feitas; se eventualmente houver algum espaço vazio, você deve preenchê-lo. 
O corpo descreve um círculo de raio R . Num intervalo de tempo t∆ pequeno, ele percorre 
um ângulo θ∆ . O seu deslocamento corresponde ao vetor r
r
∆ da figura (desenhe-o). Se o 
ângulo for pequeno, o arco de circunferência se confunde com o segmento de reta 
representado pelo vetor. 
 
ω
θ∆
 
ω
θ∆
r
r
∆
 
rs
r
∆≅∆
 
Podemos escrever que a velocidade, em módulo, é igual ao deslocamento dividido pelo tempo, 
no limite em que o intervalo de tempo vai a zero (ou a taxa de variação da posição com o 
tempo, ou a derivada da posição em relação ao tempo). 
dt
rd
t
r
limv
0t
rr
r
=
∆
∆
=
→∆
 
O módulo do deslocamento tem o tamanho do arco de circunferência: vale o ângulo θ∆ vezes 
o raio R , quando θ∆ é pequeno. θ∆=θ∆=∆≅∆ Rrsr
rr
 
Chamando ω a velocidade angular (ângulo percorrido por intervalo de tempo) podemos 
escrever que o módulo da velocidade vale 
RvR
dt
d
R
t
limR
t
R
lim
t
r
limv
0t0t0t
ω=⇒ω=
θ
=
∆
θ∆
=
∆
θ∆
=
∆
∆
=
→∆→∆→∆
r
r
 
 e que a velocidade tem a direção perpendicular ao raio. 
Usando coordenadas polares planas e os unitários da figura e o resultado anterior podemos 
escrever que θω= ˆRv
r
. 
 
r̂θ̂
r
r
Lembrando que r̂
dt
ˆd
ω−=
θ
 (ou seja, que o vetor unitário θ̂ está girando a 
uma taxa bem determinada), podemos calcular a aceleração a
r
 do corpo no caso em que o 
movimento circular é uniforme de maneira simples. Calcule-a. 
( ) r̂R
dt
ˆd
RˆR
dt
d
dt
vd
a 2ω−=
θ
ω=θω==
r
r
 
A seguir, trace uma figura do movimento e desenhe o vetor força resultante. 
Qual o valor da velocidade angular (em função dos dados do problema, R e T ). 
 
ωv
r
RF
r
 T2t π=∆θ∆=ω 
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PROVA 1 – SOLUÇÃO - 5 
QUESTÃO 5 (valor: 1,5 pontos) 
A
B
C
u
r
 
Considere um rio cujas águas têm velocidade de módulo u como mostrado na figura. A distânciaentre os pontos A e C é D , e a distância entre os pontos A e B também é D . Você rema com 
velocidade de módulo v em relação à água. 
(a) Você vai remando do ponto A até o ponto C e retorna ao ponto A. Calcule, no caminho, a 
velocidade do barco em relação a um observador fixo à Terra tanto na ida quanto na volta. 
Calcule o tempo de percurso. 
(b) Você rema do ponto A até o ponto B. Calcule (e desenhe) a velocidade do barco em relação à 
Terra no caminho de ida e no caminho de volta. Obtenha o tempo de percurso. 
 
 
(a) Visto da Terra, uvVB
rrr
+= . As situações da ida e volta estão representadas abaixo. 
ida 
A
B
C
u
r
v
r
BV
r
 volta 
A
B
C
u
rv
r
BV
r
 
 
 
ida: uvVB += volta: uvVB −= 
 
uv
D
V
D
t
b
AC +
== 
uv
D
V
D
t
b
CA −
== 
 
22CAACACA uv
Dv2
uv
D
uv
D
ttT
−
=
−
+
+
=+= 
(b) As situações da ida e da volta estão representadas nas figuras abaixo. 
A
B
C
u
r
v
r
BV
r
 
A
B
C
u
r
v
rBV
r
 
 
Na ida e na volta, 22B
22
B
2 uvVuVv −=⇒+= 
 
22
b
BAAB
uv
D
V
D
tt
−
=== e 
22ABA uv
D2
T
−
=
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PROVA 1 – SOLUÇÃO - 6 
QUESTÃO 6 (valor: 1,0 pontos) 
Um objeto de massa m– um pêndulo simples – está preso por um fio de comprimento L ao teto de 
uma sala. 
(a) Faça um diagrama das forças que atuam sobre o objeto num instante qualquer de sua trajetória. 
(b) Por que você pode usar a conservação da energia entre dois pontos quaisquer da trajetória do 
corpo? 
(c) Se o corpo é lançado com o fio fazendo um ângulo de °60 com a vertical, qual a maior 
velocidade do corpo? 
 
(a) 
P
r
T
r
 
(b) A força peso é conservativa, e a tração não realiza trabalho (está sempre na direção do fio). 
Logo, a energia é conservada. 
(c) Se a energia se conserva, a energia cinética somada à potencial é constante. O menor valor da 
energia potencial ocorre no ponto mais baixo da trajetória (fio na vertical). No instante inicial, 
( ) 2/LgmcosLLmghgmE =θ−== , e no ponto mais baixo da trajetória, 2/vmE 2MAX= . 
Portanto, 
Lgv2/vm2/Lgm MAX
2
MAX =⇒= 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 7 (valor: 0,5 pontos) 
Escreva as três leis de Newton. 
 
Procure no livro texto de Física 1.