Curso de JuliaLang

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Introdução à linguagem de programação Julia
Prof. Angelo Aliano Filho
UTFPR � Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Primeiro semestre de 2021
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 1 / 151
Sumário
1 Instalação e introdução
2 Operações matemáticas
3 Vetores e matrizes
4 Plotando grá�cos
5 Functions
6 Estruturas de repetição
7 Pacotes especiais
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 2 / 151
Sumário
1 Instalação e introdução
2 Operações matemáticas
3 Vetores e matrizes
4 Plotando grá�cos
5 Functions
6 Estruturas de repetição
7 Pacotes especiais
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 3 / 151
Instalação e introdução
Porque usarmos linguagem Julia?
A computação cientí�ca tem tradicionalmente exigido o mais alto
desempenho possível.
A linguagem de programação Julia é uma linguagem dinâmica
�exível, apropriada para computação cientí�ca e numérica, com
um desempenho comparável às linguagens tradicionais.
Julia apresenta tipagem opcional, despacho múltiplo, e bom
desempenho, alcançado usando inferência de tipo e compilação
just-in-time (JIT)
Julia proporciona facilidade e expressividade para programação
numérica de alto nível, da mesma forma que linguagens como R,
MATLAB, e Python, mas também suporta programação geral.
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 4 / 151
Instalação e introdução
Porque usarmos linguagem Julia?
As justi�cativas mais signi�cativas são:
Open source
Não há necessidade de vetorizar o código para o desempenho; o
código desvetorizado é rápido.
O core da linguagem impõe muito pouco; a base Julia e a
biblioteca padrão são escritas na própria Julia, incluindo operações
primitivas como a aritmética inteira.
Chamar diretamente as funções C (não são necessários invólucros
ou APIs especiais).
Bom desempenho, aproximando-se das linguagens estaticamente
compiladas como a C.
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Instalação e introdução
Sucesso da linguagem Julia atualmente
Mais de 3.500 pacotes registrados
Mais de 35 milhões de downloads
78% de crescimento anual
É útil lembrar também de uma comunidade para discutir e tirar
dúvidas: só acessar: discourse.julialang.org após realizar um
pequeno cadastro
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discourse.julialang.org
Instalação e introdução
Tabela: Crescimento da linguagem Julia - alguma métricas
Total cumulativo Total cumulativo Crescimento
desde 2018 desde 2019
Total de download 1,8 milhão 3,2 milhões +78%
Total de pacotes 1.688 2.462 +46%
Número de novos artigos com citação 93 253 +172%
Fórum (questões) 8.620 16.363 +90%
Número de novos iniciantes 9,626 19,472 +102%
Citações do artigo: 613 1.048 +71%
�A fresh Approach to numerical Computing (2017)�
Outras referências, ver em: [1, 2, 3, 4]
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Instalação e introdução
2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019
0
1
2
3
·104
#
do
w
nl
oa
ds
Figura: Crescimento do uso da linguagem Julia
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Instalação e introdução
C Julia Python MATLAB R
0
10
20
1 1.11 1.22 2.11
23
sp
ee
d
up
em
re
la
çã
o
a
C
Figura: Velocidade da linguagem Julia em comparação com as demais
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Instalação e introdução
Instalação do Julia Professional
Método 1: diretamente do site:
Acesse https://juliacomputing.com/products/juliapro
Escolher o sistema operacional. O acesso dará a versão mais atual
da linguagem (v1.5.0-1).
Fazer um cadastro com e-mail da UTFPR
Descarregar o executável e instalar logo em seguida.
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 10 / 151
https://juliacomputing.com/products/juliapro
Instalação e introdução
Figura: Página de download do JuliaPro
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 11 / 151
Instalação e introdução
Figura: Cadastro no site o�cial do JuliaPro
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 12 / 151
Instalação e introdução
Instalação do Julia Professional
Método 2: acesso a versões mais antigas e instalação em dois passos:
Acessar https://julialang.org/downloads/oldreleases/
Escolher a versão e baixar o executável.
Em minha página pessoal há também (versão 1.0.4): acesse
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/angeloaliano em seguida
na pasta �Linguagem de programação Julia�.
Deveremos em seguida fazer o download do editor ATOM.
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https://julialang.org/downloads/oldreleases/
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/angeloaliano
Instalação e introdução
Figura: Página do software Julia em versões antigas
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 14 / 151
Instalação e introdução
Figura: Página de download do ATOM
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 15 / 151
Instalação e introdução
Figura: Arquivos para instalação da linguagem Julia
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 16 / 151
Instalação e introdução
Instalação do Julia Professional
Método 2: acesso a versões mais antigas e instalação em dois passos:
Acessar https://atom.io/
Faça o download do editor ATOM
Em seguida, rode o executável baixado
Precisamos, agora, con�gurar o ATOM para a linguagem Julia e
escrever os códigos para compilação
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 17 / 151
https://atom.io/
Instalação e introdução
Instalação do Julia Professional
Con�guração do ambiente ATOM:
Abra o ATOM.
Vá em settings �� install para instalar os pacotes para o ATOM
Na caixinha �install Packages� digite uber-juno e dê um enter
para instalar o pacote �uber-juno� clicando em install. Este pacote
serve para con�gurar o ATOM para a linguagem Julia
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 18 / 151
Instalação e introdução
Figura: Con�guração ATOM - passo 1
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 19 / 151
Instalação e introdução
Figura: Con�guração ATOM - passo 2
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 20 / 151
Instalação e introdução
Instalação do Julia Professional
Con�guração do ambiente ATOM:
Depois disso, vá em settings �� packages �� julia-client
Clique em settings
Insira o caminho de onde está intalado o executável
�...\JuliaPro-1.0.4.1\Julia-1.0.4\bin\julia.exe�
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 21 / 151
Instalação e introdução
Figura: Con�guração ATOM - passo 3
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 22 / 151
Instalação e introdução
Primeiros passos
A forma mais fácil de aprender e experimentar com Julia é iniciar
uma sessão interativa �REPL� na linha de comando.
Alternativamente, você pode criar um arquivo e salvá-lo no
formato �.jl� e compilar cada linha selecionando-a e dando
�ctrl+enter� ou pressionar o pequeno triângulo.
É neste arquivo .jl é que podemos criar nossos primeiros programas.
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 23 / 151
Instalação e introdução
Figura: Primeiros passos na linguagem Julia - linha de comando
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 24 / 151
Instalação e introdução
Figura: Primeiros passos na linguagem Julia - via arquivo .jl
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 25 / 151
Operações matemáticas
Primeiros passos
Para sair da sessão interactiva, digite ctrl+d ou digite exit()
Se uma expressão é introduzida numa sessão interativa com um
ponto-e-vírgula, o seu valor não é mostrado. Caso contrário é.
A variável aans está ligada ao valor da última expressão avaliada,
quer seja mostrada ou não
Para avaliar expressões escritas num arquivo fonte.jl, escreva
include("file.jl").
Para limpar o prompt de comando, só digitar ctrl+l
Todo comentário é inserido ao colocarmos #
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 26 / 151
Sumário
1 Instalação e introdução
2 Operações matemáticas
3 Vetores e matrizes
4 Plotando grá�cos
5 Functions
6 Estruturas de repetição7 Pacotes especiais
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 27 / 151
Operações matemáticas
Tabela: Alguns operadores matemáticos
Expressão Nome Descrição
x+y Soma binária Executa adição
x-y Subtração binária Executa subtração
x*y Multiplicação binária Executa multiplicação
x\y Divisão Executa divisão
x/y Divisão inversa Executa divisão inversa
x^y Potenciação Executa a potenciação
x%y Resto da divisão Executa o resto da divisão
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 28 / 151
Operações matemáticas
Efetuando cálculos aritméticos básicos
É recomendável que cada explicação seja acompanhada em tempo real.
Você pode criar um \arquivo1.jl para fazer os testes aritméticos a
seguir.
Números em formato racional são expressos com o comando //.
Por exemplo: 2//3 + 7//13 resulta em 47//39.
Sem as barras duplas a conta é feita em ponto �utuante, ie,
2/3 + 7/13 resulta em 1.205.
Notação in�xa: +(3,4,7) resulta em 14 que o mesmo que 3+4+7
Operação de potência são feita ao usarmos ^. Exemplo: 2^5
resulta em 32
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 29 / 151
Operações matemáticas
Efetuando cálculos aritméticos básicos
Priorização das operações: 1 + 3*2 resulta em 7 ao passo que
(1+3)*2 resulta em 8.
Podemos de�nir/declarar variáveis: exemplo a=2;b=3 quando
compilado (ctrl+enter) resulta armazena o resultado. Quando
compilamos a+b o resultado é 5.
Cuidado: no aquivo .jl compilar linha por linha para evitar erro
not defined
O comando typeof() fornece o tipo da variável de�nida.
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 30 / 151
Operações matemáticas
Efetuando cálculos aritméticos básicos
Algumas constantes pré-de�nidas: pi,e,im
exp(2) é a o mesmo que e2.
Tentamos executar:
F=10
d=5
\theta=30*pi/180
\tau=F*d*cos(\theta)
a="o valor de \tau é $\tau"
(ele reconhece letras gregas como em latex)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 31 / 151
Operações matemáticas
Efetuando cálculos aritméticos vetorizados
Basta inserir um . antes do operador.
Por exemplo, [1,2,3]^3 não é de�nida, ao passo que [1,2,3].^3
efetua o cubo elemento a elemento, produzindo [1,8,27]
Do mesmo modo, se quisermos as raízes quadradas de cada
componente do vetor [1,2,3] damos o comando sqrt.([1,2,3])
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 32 / 151
Operações matemáticas
Tabela: Alguns operadores e testes matemáticos
Operador Nome
== Igualdade
!= Diferente
<,<= Menor, Menor igual
>,>= Maior, Maior igual
isequal(x,y) Testa se x e \verb|y| são iguais
isfinite(x) Testa se x é �nito
isinf(x) Testa se x é in�nito
isnan Testa se x não é um número
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 33 / 151
Operações matemáticas
Tabela: Algumas funções matemáticas
Operador Descrição Operador Descrição
round(x) Arredonda hypot(x,y) Calcula a hipotenusa
round(x),digits=n Arredonda com n casas exp(x) Exponencial natural
floor(x) Arredonda para baixo log(x) Logaritmo natural
ceil(x) Arredonda para cima log(b,x) Logaritmo de base b
abs(x) Calcula o módulo sin,cos,tan,... Funções trigonométricas
sign(x) Determina o sinal sind,cosd,tand,... Funções trigonométricas
sqrt(x) Raiz quadrada com argumento em radiano
cbrt(x) Raiz cúbica Demais funções Rode o pacote SpecialFunctions.jl
Toda aritmética com números complexos é feita bastando considerar
i =
√
−1 com o comando im
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 34 / 151
Operações matemáticas em formato simbólico
Em formato simbólico poderemos efetuar algumas operações
matemáticas; só instalar o pacote SymEngine e depois
using SymEngine
De�nimos das variáveis simbólicas do seguinte modo:
a,b = symbols("x y") ou @vars x y
Por exemplo, de�nimos a expressão simbólica y = x
2+y2
y2+1
do
seguinte modo:
z = (x^2+y^2)/(y^2+1);
Se quisermos encontrar, por exemplo, as derivadas parciais de
ordem 2 desta função entramos com o comando diff:
dzdx = diff(z,x,2)
dzdy = diff(z,y,2)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 35 / 151
Operações matemáticas em formato simbólico
Para quem usa o LATEX, instalar e rodar o pacote Latexify é útil.
Após obtermos dzdx e dzdy, podemos transformar o resultado em
código LATEX:
Cod_Lat = latexify(dfdy)
para termos:
−8 · y2
(1 + y2)2
−
2 ·
(
x2 + y2
)
(1 + y2)2
+
8 ·
(
x2 + y2
)
· y2
(1 + y2)3
+ 2 ·
(
1 + y2
)−1
(eu não �z nada, apenas comandos Julia!)
Podemos também expandir expressões:
z = expand((x+2y)^4)
resulta em 32*x*y^3 + 24*x^2*y^2 + 8*x^3*y + x^4 + 16*y^4
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 36 / 151
Operações matemáticas em formato simbólico
Podemos fazer substituição de expressões simbólicas em outras.
Veja o exemplo:
z = x*y^3
A = expand(A(y=> 1-2x))
resulta em x - 6*x^2 + 12*x^3 - 8*x^4
Outro exemplo:
f(x) = cos(x)*sin(x)
g(x) = diff(f(x),x,3)
subs(g(x),x,pi)
resulta em -4
Substituições múltiplas:
subs(x^2+(y-2)^2, a=>2, b=>3)
resulta em 5.
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 37 / 151
Operações matemáticas em formato simbólico
Podemos trabalhar com matrizes. Veja o exemplo:
A = [symbols("a_$i$j") for i in 1:3, j in 1:4]
que, se convertida em LATEX(latexify(A)) se transforma em: a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
 (1)
Podemos ainda fazer operações com esta matriz:
B = A*[1;2;3;4]
resultando em
3-element Array{Basic,1}:
a_11 + 2*a_12 + 3*a_13 + 4*a_14
a_21 + 2*a_22 + 3*a_23 + 4*a_24
a_31 + 2*a_32 + 3*a_33 + 4*a_34
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 38 / 151
Sumário
1 Instalação e introdução
2 Operações matemáticas
3 Vetores e matrizes
4 Plotando grá�cos
5 Functions
6 Estruturas de repetição
7 Pacotes especiais
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 39 / 151
Vetores e matrizes
Uma matriz é uma coleção ordenada de elementos. É
frequentemente indicada com parênteses retos e os elementos
separados por vírgula.
Em Júlia, as matrizes são utilizadas para listas, vetores, tabelas, e
matrizes.
Uma matriz unidimensional atua como um vector ou lista. Uma
matriz 2-D pode ser usada como uma tabela ou matriz. E matrizes
3-D ou mais são pensadas de forma semelhante como matrizes
multi-dimensionais.
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 40 / 151
Vetores e matrizes
Criando arrays
Aqui uma maneira de criar um array simples de uma dimensão:
a = [1, 2, 3, 4, 5]
Outro exemplo:
s = ["Este", "é", "um", "array", "de", "strings"]
ou ainda um array de funções:
s = [sin, cos, tan]
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 41 / 151
Vetores e matrizes
Criando arrays
Criando arrays com tipos especí�cos:
a = int64[1,2,3,4]
Arrays vazios:
b = Float64[]
Compare os comandos:
[1,2,3,4,5]; [1 2 3 4 5]
no primeiro caso o array tem dimensão 1, na segunda dimensão 2
(1 linha e 5 colunas)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 42 / 151
Vetores e matrizes
Criando arrays
Criando matrizes: basta separar cada linha por ;. Exemplo:
A = [1 2 3; 4 5 6]
resulta numa matriz 2× 3.
Arrays aleatórios: por exemplo, se queremos uma matriz 5× 3
aleatória, podemos usar:
A = rand(5,3)
Podemos criar arrays usando intervalos: a=1:0.1:10 cria um array
com primeiro elemento igual a 0, de 0.1 em 0.1 até chegar em 10.
O mesmo seria produzido usando o comando collect(1:0.1:10)
Podemos dar um incremento negativo: collect(10:-0.2:1)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 43 / 151
Vetores e matrizes
Criando arrays
Outra função útil é range(). Por exemplo:
range(1,length=12,stop=100) cria um vetor de 12 componentes
igualmente espaçadas, iniciando em 1 e terminando em 100. Basta
inserir
collect(range(1, length=12, stop=100))
Podemos calcular 10n para n em um array usando:
exp10.(range(2.0, stop=3.0, length=5))
Note que, no comando collect você não precisa usar um looping
para coletar todos os valores do array.
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 44 / 151
Vetores e matrizes
Criando arrays
Utilizando geradores para criar matrizes:
Por exemplo, se quisermosum array [1,4,9,16,25] basta usar o
comando
[n^2 for n in 1:5]
E podemos usar dois iteradores. Por exemplo:
[r*c for r in 1:5, c in 1:5] produz:
5x5 Array{Int64,2}:
1 2 3 4 5
2 4 6 8 10
3 6 9 12 15
4 8 12 16 20
5 10 15 20 25
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 45 / 151
Vetores e matrizes
Criando arrays
Podemos acrescentar um if na instrução. Por exemplo,
[i^2 for i=1:10 if i <= 5]' produz [1 4 9 16 25]
porque transpomos o array com o apóstrofe '.
Podemos criar uma matriz 2× 3 de zeros introduzindo zeros(2,3).
Se quisermos que ela seja inteira, basta utilizar zeros(Int64,2,3)
Matriz de 1's pode ser criada de maneira similar: ones(2,3)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 46 / 151
Vetores e matrizes
Criando arrays
O comando rand(m,n) cria uma matriz m× n cuja entrada é um
número aleatório entre 0 e 1.
Já rand(1:10,m,n) cria uma matriz m× n cuja entrada é um
número inteiro de 1 a 10.
Para distribuição normal, utilize randn(m,n) com média 0 e desvio
padrão 1.
Comando fill é útil para replicar valores. Experimente
fill(42,9,3)
Podemos também criar arrays de arrays: veja em
a=Array[[1, 2], [3,4]]
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 47 / 151
Vetores e matrizes
Todas as funções disponíveis para trabalhar em matrizes podem
ser utilizadas (se as dimensões o permitirem) como matrizes.
Uma forma rápida de escrever uma matriz é separar os elementos
usando espaços (para fazer linhas) e usar ponto-e-vírgula para
separar as linhas.
Acessando elementos de arrays
[[1, 2, 3] [4, 5, 6]] produz uma matriz 3× 2
[[1, 2, 3], [4, 5, 6]] produz uma matriz um array de array
Para separar os elementos de uma mesma linha podemos omitir as
vírgulas juntamente com [ ]
Assim, [[1 2 3];[4 5 6]] e [1 2 3;4 5 6] geram o mesmo
objeto
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 48 / 151
Vetores e matrizes
Acessando elementos de arrays
Para acessar aos elementos de uma matriz, seguir o nome da matriz
pelo número do elemento entre parênteses retos.
Experimente a=[10,20,30,40] e a[3] resulta em 30
O primeiro elemento da lista é o índice 1; o último é conseguido
com a[end] para dar 40
Podemos fornecer um conjunto de índices, entre parênteses:
a[1,3,4] produz 10,30,40
Pode-se selecionar os elementos com true e false:
a[[true,false,true]] gera 10,30
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 49 / 151
Vetores e matrizes
Acessando elementos de arrays
Se a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] e queremos a segunda coluna, basta
digitar a[:,2]. Se queremos a terceira linha, use a[3,:]
Gere o vetor: r = rand(0:10, 10). Para achar o maior ou o
menor elemento desta lista, basta usar maximum(r) ou minimum(r)
Para determinar o índice onde ocorre o máximo, basta usar o
comando findmax que ele retorna o máximo (primeiro argumento)
e o índice que ele aparece (segundo argumento)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 50 / 151
Vetores e matrizes
Encontrando elementos em arrays
Se quisermos saber se um dado elemento está numa lista, use a
função in(). Exemplo, se a=1:10, então 3 \in a resulta em true
Há um conjunto de funções do tipo ��nd�: findall(),
findfirst() e findlast(), que são usadas para obter indices de
arrays. Vamos exempli�car.
Seja a = [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29].
Primeira ocorrência de um número: findfirst(isequal(13),a)
resulta em 6
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 51 / 151
Vetores e matrizes
Encontrando elementos em arrays
findall() retorna uma array de indices onde a função retorna
true quando aplicada. Exemplo: findall(isinteger,a) retorna
1,...,10 ou ainda findall(a.<= 13) resulta em 1,...,6
Agora, findlast(a .<=13) retorna 6;
Outro exemplo: se b=[0 1 0 0 1], então findlast(b .== 1)
resulta em 5
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 52 / 151
Vetores e matrizes
Outras funções
Precisamos rodar o pacote Pkg.add(Statistics) e em seguida
using Statistics. Suponha a=[1,4,7,-1,3,7]
sum(a) retorna 21
prod(a) retorna -588
mean(a) retorna 3.5
std(a) retorna 3.209
middle(a) retorna 3
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 53 / 151
Vetores e matrizes
Outras funções
Pacote combinatório: Pkg.add(Combinatorics) e em seguida
using Combinatorics.
Então collect(permutations(a)) resulta num array de arrays
com todas as permutações deste conjunto (as 720!)
collect(combinations(a,3)) retorna todas as combinações dos
elementos de a, tomados 3 a 3.
length() retorna o comprimento de um vetor.
size() retorna a dimensão de uma matriz.
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 54 / 151
Vetores e matrizes
Modi�cando o conteúdo de arrays
Seja a=collect(1:10). Para adicionar itens no �nal de um array,
utilize push!(a,20).
Para adicionar um item na frente, use pushfirst!(a,0)
Para inserir um elemento num array em um certo indice, use
splice!(). Suponha a=[1,2,3,5]. Usamos splice!(a,4,23)
resultará em a=[1,2,3,23]
Suponha a=[1,2,3,5], então splice!(a,3:4,3:5) resulta em
a=[1,2,3,4,5]
A mesma função pode ser usada para remover elementos de uma
lista. Suponha a=collect(1:10). Então splice(a,5) resulta na
mesma lista sem o 5
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 55 / 151
Vetores e matrizes
Operações aritméticas com matrizes
Considere A=reshape(1:16,4,4) e B=ones(4,4) e o pacote
LinearAlgebra
Para calcular A+B basta usar A+B
Para calcular AB basta usar A*B
Para calcular AB elemento a elemento, basta usar A.*B
Para calcular a inversa de A (se ela existir), use inv(A)
Para somar 1 em todas as entradas, basta utilizar A .+ 1
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 56 / 151
Vetores e matrizes
Operações aritméticas com matrizes
Se quisermos saber quais elementos de A são menores que 6, basta
utilizar A .< 6.
Podemos multiplicar matriz por vetor se as dimensões são
compatíveis. Se A=reshape(1:12,3,4) e v=collect(1:4) então
A*v é bem de�nida.
O produto interno de dois vetores é usado com o comando dot()
ou digitando \cdot e teclando tab em seguida.
Para calcular A−1v basta usar A\v
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 57 / 151
Vetores e matrizes
Operações aritméticas com matrizes
Se quisermos saber quais são os autovalores de A basta compilar
eigvals(A)
Se quisermos saber quais são os autovetores de A basta compilar
eigvecs(A)
Para determinar a fatoração LU de A basta entrar com
(L,U,P) = factorize(A), onde P é a matriz de permutação.
Se A for simétrica, podemos fazer a fatoração de Cholesky de A
com o comando R = cholesky(A)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 58 / 151
Vetores e matrizes
Concatenando matrizes
Usaremos as funções hcat() (adiciona na horizontal) e vcat()
(adiciona na vertical) para juntar matrizes se suas dimensões
permitirem. Considere A = reshape(1:12, 3, 4) e
B = reshape(100:100:1200, 3, 4)
hcat(A, B) adiciona B na frente de A
hcat(A, B) adiciona B abaixo de A
vec(A) transforma A em um vetor
Seja: a = Array[[1, 2], [3, 4], [5, 6]]. Então hcat(a...)
converte o array de arrays em uma matriz.
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 59 / 151
Vetores e matrizes
Extendendo arrays
Muitas vezes deseja-se criar uma matriz e depois acrescentar-lhe
mais elementos. Embora possa fazer isto com vcat() e hcat(),
esteja ciente de que ambas as operações criam novas matrizes
temporárias e copiam elementos, por isso nem sempre produzem o
código mais rápido.
Uma maneira melhor é usar o push()! Esta é uma operação
e�ciente que alarga a matriz.
Considere o código:
a = []
for i = 1:80
push!(a, i)
end
cria [1,2,...,80]
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 60 / 151
Vetores e matrizes
Extendendo arrays
Para converter o array produzido em uma matriz, basta utilizar
reshape(a,10,:) para ter uma matriz de 10 linha e tantas colunas
que forem necessárias.
push!() não permite trabalhar com elementos bidimensionais,
apenas unidimensionais
det(A) calcula o determinante de A
rank(A) determina o posto de A
nullspace(A) acha a base para o espaço nulo deA
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 61 / 151
Vetores e matrizes
Usando funções em matrizes
Considere A=reshape(1:9,3,3).
sum(A) calcula a soma de todos os elementos de A.
sum(A, dims=(1)) soma cada coluna.
sum(A, dims=(2)) soma cada linha.
mean(A) calcula a média dos elementos de A (podemos considerar
a dimensão também)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 62 / 151
Vetores e matrizes
Usando funções em matrizes
Sejam A = rand(-1:2:1, 3, 3) e B = rand(-2:4:2, 3, 3).
min.(A,B) retorna uma nova matriz cuja componente é menor
elemento correspondente entre A e B
norm(x,p) determina a norma p do vetor x
norm(A,p) determina a norma p da matriz A
p =∞ também funciona!
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 63 / 151
Vetores e matrizes
Sorting arrays
Julia tem uma função sort() �exível que devolve uma cópia ordenada
de um array, e uma versão de sort!() que muda o array para que seja
ordenado. Seja rp=randperm(10) (precisa rodar o pacote Random)
\sort(rp) ordena o vetor em ordem crescente
\sort(rp,rev=true) ordena o vetor em ordem decrescente
Se A=reshape(rand(1:20, 20), 4, 5) então:
I sort(A, dims=(1)) ordena cada coluna
I sort(A, dims=(2)) ordena cada linha
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 64 / 151
Vetores e matrizes
Sorting arrays
A função sortperm() é semelhante à sort(), mas não devolve
uma cópia ordenada da colecção. Em vez disso, devolve uma lista
de índices que poderiam ser aplicados à coleção para produzir uma
versão ordenada.
Seja r = rand(100:110, 10), então sortperm(r) devolve os
indices do vetor r que resultam na ordenação crescente
Efeito pode ser conseguido com uma ordenação decrescente usando
sortperm(r,rev=true)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 65 / 151
Sumário
1 Instalação e introdução
2 Operações matemáticas
3 Vetores e matrizes
4 Plotando grá�cos
5 Functions
6 Estruturas de repetição
7 Pacotes especiais
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 66 / 151
Plotando grá�cos
Para plotar grá�cos, precisamos instalar o pacote Plots e inserir
using Plots; plotly();. Mais detalhes, consultar em
https://docs.juliaplots.org/latest/generated/plotly/.
Podemos plotar uma lista de
valores do seguinte modo: seja
a=rand(1:10,10) então
plot(a) fornece uma poligonal
Criando outro vetor, digamos
b=rand(1:10,10) e dando
plot!(b), inserimos na mesma
imagem anterior a nova
poligonal
Podemos, assim que a �gura for gerada, dar o comando
savefig("nome_da_figura") e salvá-la.
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 67 / 151
https://docs.juliaplots.org/latest/generated/plotly/
Plotando grá�cos
Suponha a=rand(1:10,10) e
b=rand(1:10,10). Se
quisermos plotar as
coordenadas
(ai, bi), i = 1, · · · , 10 (sem
ligá-las) basta utilizar o
comando scatter(a,b)
Se quisermos plotar (i, ai) e
(j, bj) separadamente, usamos
scatter(a) e scatter!(b)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 68 / 151
Plotando grá�cos
Podemos plotar funções na variável x. Seja
f(x) = −7.65 sin(x) + 9.87 sin(2x+ 206), 1 ≤ x ≤ 335
é plotada com comando plot(f,1:365) antes de�nindo que
f(x)=-7.65 \sin(x) + 9.87sin(2x + 206)
e podemos inserir mais funções na mesma tela lembrando de usar o
comando plot!() para a nova função
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 69 / 151
Plotando grá�cos
Customização
Considere x=1:10 e y=rand(10,2)
Agora dê o comando
\verb!plot(x,y,title="two lines",label=["Line 1" "Line 2"],lw=3)!
Como output, obtemos:
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 70 / 151
Plotando grá�cos
Customização
Se quisermos mudar o nome do
eixo x por exemplo, basta
acrescentar
xlabel!(Meu eixo x)
Se quisermos trocar a cor das
linhas, basta acrescentar
color=["yellow" "red"]
Se quisermos alterar as marcas,
acrescente
mark=[:circle :square]
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 71 / 151
Plotando grá�cos
Podemos combinar várias parcelas como sub-quadrantes utilizando
layouts.
Customização
Suponhamos que temos 4
séries com dez pontos cada e
queremos esboça-las uma
abaixo da outra.
Podemos fazer isto dando o
comando
y = rand(10, 4)
plot(x, y, layout = (4, 1))
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 72 / 151
Plotando grá�cos
Podemos combinar várias parcelas como sub-quadrantes utilizando
layouts.
Customização
Suponhamos que temos 4
séries com dez pontos cada e
queremos esboça-las uma
abaixo da outra.
Podemos fazer isto dando o
comando
y = rand(10, 4)
plot(x, y, layout = (2, 2))
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 73 / 151
Plotando grá�cos
Podemos misturar grá�cos de diferentes tipos. Veja:
p1 = plot(x, y) #4 linhas
p2 = scatter(x, y) #Faça só os pontos
p3 = plot(x, y, xlabel = "Este tem label",
lw = 3, title = "Subtitulo")
p4 = histogram(x, y[:,1]) #4 histogramas
plot(p1, p2, p3, p4, layout = (2, 2),legend = false)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 74 / 151
Plotando grá�cos
Customização
Podemos preencher áreas
abaixo de funções. Veja o
código abaixo:
plot(0:0.01:pi,
sin.(0:0.01:pi),
fillrange = 0.0,
fillalpha = 0.5,
fillcolor = :blue
)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 75 / 151
Plotando grá�cos
Podemos fazer histogramas:
x = randn(1000)
p = histogram(x,color="blue")
savefig("hist")
Um grá�co de barras é feito de forma similar, trocando histogram por
bar
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 76 / 151
Plotando grá�cos
Podemos fazer grá�cos em coordenadas polares. Veja:
Customização
Insira os comandos
theta = 0:2*pi/1000:2*pi+2*pi/1000
r=(cos.(4*theta))
plot(theta,r, proj=:polar)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 77 / 151
Plotando grá�cos
Podemos fazer grá�cos em 3D, como curvas vetoriais. Veja:
Customização
Insira os comandos
t=0:pi/200:7*pi
x=cos.(t)
y=sin.(t)
plot3d(x,y,t,lw=2,leg=false)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 78 / 151
Plotando grá�cos
Podemos fazer grá�cos em 3D, como superfícies. Veja:
Customização
Insira os comandos
x=-1:0.01:1
y=-1:0.01:1
h(x,y)=x^2-y^2;
surface(x,y,h)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 79 / 151
Sumário
1 Instalação e introdução
2 Operações matemáticas
3 Vetores e matrizes
4 Plotando grá�cos
5 Functions
6 Estruturas de repetição
7 Pacotes especiais
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 80 / 151
Functions
Em Júlia, uma função é um objeto que mapeia uma conjunto
argumento para valores de retorno.
As funções Júlia não são funções puramente matemáticas, porque
podem ser alteradas e ser afetadas pelo estado global do programa.
A sintaxe básica para de�nir funções em Júlia é:
function nomefuncao(args)
expressao-1
expressao-2
expressao-3
...
expressao-n
end
Esta função aceita os argumentos args e executa cada comando
expressao-i
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 81 / 151
Functions
Um exemplo de function é:
function f(x,y)
x + y
end
f (generic function with 1 method)
Esta função aceita dois argumentos x e y e retorna o valor da
última expressão avaliada, que é x + y.
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 82 / 151
Functions
Existe uma segunda sintaxe, mais concisa, para de�nir uma função
em Júlia.
A sintaxe tradicional da declaração da função demonstrada acima
é equivalente à seguinte �forma compacta de atribuição�:
f(x,y) = x + y
f (generic function with 1 method)
A forma de atribuição, o corpo da função deve ser uma única
expressão, embora possa ser uma expressão com vários argumentos
A função é chamada usando parêntesis: f(2,3) resulta em 5
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 83 / 151
Functions
Passagem de Argumentos
O valor devolvido por uma função é o valor da última expressão
avaliada
A palavra-chave return faz com que uma função retorne
imediatamente o objeto desejado
Exemplo:
function g(x,y)
return (x*y,x + y)
end
Quando chamamos g(2,3) o retorno é o par (6,5)
Angelo Aliano Filho (UTFPR)Linguagem Julia 2021/1 84 / 151
Functions
Outro exemplo
Considere
function hypot(x,y)
x = abs(x)
y = abs(y)
if x > y
r = y/x
return x*sqrt(1+r*r)
end
if y == 0
return zero(x)
end
r = x/y
return y*sqrt(1+r*r)
end
Quando chamamos hypopt(3,4), o retorno é 5
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 85 / 151
Functions
Função dentro de uma função
using Plots
plotly()
function Grafico_polar(theta,r,a,b)
plot(theta,r, proj=:polar)
end
theta = a:0.001:b;
r = cos.(5*theta)
Grafico_polar(theta,r,0,2*pi)
irá desenhar um grá�co em coordenadas polares.
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 86 / 151
Functions
Número variável de argumentos
É possível de�nir funções com argumentos opcionais, para que a
função possa utilizar padrões sensíveis se não forem fornecidos
valores especí�cos. É fornecido um símbolo e um valor por
de�nição na lista de argumentos:
function xyzpos(x, y, z=0)
println("$x, $y, $z")
end
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 87 / 151
Functions
Número variável de argumentos
Quando chamamos esta função, se não fornecermos o terceiro
argumento, a variável z é de�nida em 0 e usa os demais valores
normalmente:
xyzpos(1,2)
1, 2, 0
xyzpos(1,2,3)
1, 2, 3
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 88 / 151
Functions
Variáveis locais e funções
Veja a função:
function teste(a,b,c)
subtotal = a + b + c
end
Inserindo teste(1,2,3) obtemos 6
Porém, ao chamar subtotal aparece o erro
LoadError: UndefVarError: subtotal not defined
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 89 / 151
Functions
Função map
Se já tiver uma função e uma matriz, pode chamar a função para cada
elemento da matriz utilizando o map. Isto chama a função para cada
elemento, recolhe os resultados, e devolve-os num array. Este processo é
chamado de mapeamento.
a=1:10; map(sin, a)
resulta no seno de 1 a 10 alocados em um vetor
Claro que nesse caso teríamos o mesmo resultado com sin.(1:10).
Mas o tempo computacional não seria igual:
@time map(sin, 1:10000);
0.045417 seconds (152.71 k allocations: 7.737 MiB)
@time sin.(1:10000);
0.000162 seconds (10 allocations: 78.484 KiB)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 90 / 151
Sumário
1 Instalação e introdução
2 Operações matemáticas
3 Vetores e matrizes
4 Plotando grá�cos
5 Functions
6 Estruturas de repetição
7 Pacotes especiais
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 91 / 151
Controle de �uxo
Estrutura if
Se estiver habituado a outras linguagens, não se preocupe com o espaço
branco, identação, recuo, parênteses, ponto e vírgula, ou qualquer coisa
do gênero, mas lembre-se de terminar a construção condicional com o
end.
nome = "Julia"
if nome == "Julia"
println("Eu gosto de Julia")
elseif nome == "Python"
println("Eu gosto de Pyton.")
println("Mas eu prefiro Julia.")
else
println("Eu não sei o que gosto.")
end
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 92 / 151
Controle de �uxo
Função if-else
Podemos usar a função ifelse. Ela pode ser usada da seguinte
maneira:
s = ifelse(false, "Alô", "Tchau") * "palavra"
resulta em Tchau palavra
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 93 / 151
Controle de �uxo
Estrutura for
Trabalhar através de uma lista ou um conjunto de valores ou desde um
valor inicial até um valor �nal são todos exemplos de iteração, e a
construção �nal de for-end.
Aqui está a sintaxe padrão para uma simples iteração através de um
range de valores:
for i in 0:10:100
println(i)
end
A variável i toma o valor de cada elemento do array
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 94 / 151
Controle de �uxo
Estrutura for
for cor in ["vermelho", "verde", "azul"] # um array
print(cor, " ")
end
aqui, o range é um array de strings
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 95 / 151
Controle de �uxo
Estrutura for
Pode iterar através de uma matriz 2D, passando por cada coluna, de
cima para baixo. Vejamos um exemplo:
a = reshape(1:100, (10, 10));
for n in a
print(n, " ")
end
correndo cada coluna, passando para a próxima e assim por diante.
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 96 / 151
Controle de �uxo
Estrutura for
Iterando em um array e atualizando-a. Veja o exemplo:
c = [1];
for i in c
push!(c, i)
@show c
sleep(1)
end
que pode ser interrompido com ctrl+c
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 97 / 151
Controle de �uxo
Estrutura for
A variável que passa por cada item - �variável do laço� - existe apenas
dentro do laço, e desaparece assim que o laço termina.
for i in 1:10
@show i
end
julia> i
ERROR: UndefVarError: i not defined
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 98 / 151
Controle de �uxo
Estrutura for
Se quiser lembrar o valor da variável do laço fora dele (por exemplo, se
tiver de sair do laço e precisar de saber o valor alcançado), utilize a
palavra-chave global para determiná-la
for i in 1:10
global quaolonge
if i % 4 == 0
quaolonge = i
end
end
julia> quaolonge
8
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 99 / 151
Controle de �uxo
Estrutura for
De modo semelhante, se declarar uma nova variável dentro de um laço,
ela não existirá uma vez que o laço termine. Neste exemplo, k é criada
dentro:
for i in 1:5
k = i^2
println("$(i) squared is $(k)")
end
julia> k
ERROR: UndefVarError: k not defined
Se quiser saber o valor de k, basta inserir a palavra global antes da
de�nição da mesma
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 100 / 151
Controle de �uxo
Estrutura for
O código a seguir não funciona:
contador = 0
for i in 1:10
contador = contador + i
end
ERROR: UndefVarError: contador not defined
porque counter não foi de�nida como global
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 101 / 151
Controle de �uxo
Estrutura for
Já o código a seguir roda perfeitamente:
contador = 0
for i in 1:10
global contador
contador = contador + i
end
julia> contador
55
porque counter não foi de�nida como global
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 102 / 151
Controle de �uxo
Estrutura for
Este comportamento é porque estamos trabalhando no terminal. É
geralmente melhor, na prática, colocar o seu código dentro de funções,
onde não precisa de marcar variáveis fora do laço como globais:
function f()
contador = 0
for i in 1:10
contador = contador + i
end
return contador
end
julia> contador=f()
55
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 103 / 151
Controle de �uxo
Vejamos os comandos em uma só linha de comando:
[(i, sqrt(i)) for i in 1:10]
(1, 1.0)
(2, 1.4142135623730951)
(3, 1.7320508075688772)
(4, 2.0)
(5, 2.23606797749979)
[(r,c) for r in 1:5, c in 1:2]
(1, 1) (1, 2)
(2, 1) (2, 2)
(3, 1) (3, 2)
(4, 1) (4, 2)
(5, 1) (5, 2)
[x for x in 1:100 if x % 7 == 0]
7
14
21
28
35
42
49
m = rand(0:9, 3, 3);
[i for i in enumerate(m)]
3x3 Array{Tuple{Int64,Int64},2}:
(1, 6) (4, 5) (7, 3)
(2, 4) (5, 0) (8, 7)
(3, 1) (6, 7) (9, 4)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 104 / 151
Controle de �uxo
Estrutura for
Por vezes deseja-se trabalhar em dois ou mais conjuntos ao mesmo
tempo, tomando primeiro elemento de cada conjunto, depois o segundo,
e assim por diante. Isto é possível utilizando a função zip(), bem
conhecida:
for i in zip(0:5, 100:105, 200:205)
println(i)
end
(0,100,200)
(1,101,201)
(2,102,202)
(3,103,203)
(4,104,204)
(5,105,205)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 105 / 151
Controle de �uxo
Estrutura for
As dimensões não precisam coincidir!
for i in zip(0:15, 100:105, 200:205)
println(i)
end
(0,100,200)
(1,101,201)
(2,102,202)
(3,103,203)
(4,104,204)
(5,105,205)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 106 / 151
Controle de �uxo
Estrutura for
Outro exemplo últil:
for i = zip(3:2:7, ["blue" "red" "yellow"])
theta = 0:0.001:2*pi;
r = cos.(i[1].*theta)
display(plot!(theta,r,color=i[2]))
end
Angelo Aliano Filho (UTFPR) LinguagemJulia 2021/1 107 / 151
Controle de �uxo
Estrutura for
Loopings aninhados podem ser compactados:
for x in 1:6
for y in 1:6
if y % 3 == 0
@show (x, y)
end
end
end
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 108 / 151
Controle de �uxo
Estrutura for
...é equivalente a:
for x in 1:6, y in 1:6
if y % 3 == 0
@show (x, y)
end
end
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 109 / 151
Controle de �uxo
Estrutura while
Para repetir algumas expressões enquanto uma condição é verdadeira,
use o while...end:
x = 0;
while x < 4
println(x)
global x = x + 1
end
note a necessidade de colocarmos global para x
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 110 / 151
Controle de �uxo
Estrutura while
Para repetir algumas expressões enquanto uma condição é verdadeira,
use o while...end:
function f()
x = 0;
while x < 4
println(x)
x = x + 1
end
return x
end
Não precisamos de�nir x como global porque inserimos while dentro de
uma function
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 111 / 151
Controle de �uxo
Estrutura while
Exemplo: veri�que quantos termos precisamos adicionar para que
k∑
n=1
(−1)n+1 4
2n− 1
aproxime π com uma precisão de 5 casas decimais.
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 112 / 151
Controle de �uxo
Estrutura while
Fazemos o looping dentro de uma function imprimindo o erro, o
número de iterações e o valor aproximado da série.
function f()
S, k, e = 0, 0, 1
while e > 0.000005
k = k + 1
S = S + ((-1)^(k+1))*4/(2*k-1)
e = abs(((-1)^(k+1))*4/(2*k-1))
end
return (e,k,S)
end
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 113 / 151
Sumário
1 Instalação e introdução
2 Operações matemáticas
3 Vetores e matrizes
4 Plotando grá�cos
5 Functions
6 Estruturas de repetição
7 Pacotes especiais
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 114 / 151
Pacotes especiais � resolução de EDOs
O pacote para resolução de EDOs tem documentação que pode ser
acessada em https://diffeq.sciml.ai/stable/.
Para utilizá-lo, basta rodar Pkg.add("DifferentialEquations")
e using DifferentialEquations
Neste exemplo, resolveremos a equação escalar:
du
dt = f(u, p, t), u(0) = u0 com t ∈ [0, 1] e f(u, p, t) = αu.
Do cálculo, temos que u(t) = u0 exp(αt)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 115 / 151
https://diffeq.sciml.ai/stable/
Pacotes especiais � resolução de EDOs
Primeiro, de�nimos o problema, como a equação, condições iniciais
e o range:
using DifferentialEquations
f(u,p,t) = 1.01*u
u0 = 1/2
ts = (0.0,1.0)
prob = ODEProblem(f,u0,ts)
de�ne automaticamente o solver mais e�ciente de acordo com as
opções de tolerância, número de iterações máximo, etc
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 116 / 151
Pacotes especiais � resolução de EDOs
Depois, controlamos o solver através do comando
sol = solve(prob, Tsit5(), reltol=1e-8, abstol=1e-8)
Demais opções são acessadas em https://diffeq.sciml.ai/
stable/basics/common_solver_opts/#solver_options
Poderemos escolher o solver para a resolução acessando
https://diffeq.sciml.ai/stable/tutorials/ode_example/
#Example-1-:-Solving-Scalar-Equations
Por exemplo, se quiséssemos o método de 5a ordem de Tsitouras
era só entrar com
sol = solve(prob,Tsit5(),reltol=1e-8,abstol=1e-8)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 117 / 151
https://diffeq.sciml.ai/stable/basics/common_solver_opts/#solver_options
https://diffeq.sciml.ai/stable/basics/common_solver_opts/#solver_options
https://diffeq.sciml.ai/stable/tutorials/ode_example/#Example-1-:-Solving-Scalar-Equations
https://diffeq.sciml.ai/stable/tutorials/ode_example/#Example-1-:-Solving-Scalar-Equations
Pacotes especiais � resolução de EDOs
Lidando com a solução encontrada:
Podemos acessar o quinto elemento da solução dando o comando
sol[5] ou obter o oitavo termo de t através de sol.t[8]
De modo geral, as componentes de t e u são acessadas por
[sol.t sol.u]
Elementos da solução sol intermediários são calculados por
interpolação, por exemplo sol(0.456) = 0.7924
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Pacotes especiais � resolução de EDOs
Plotagem dos grá�cos das soluções:
Basta inserir
sing Plots
plotly()
plot(sol,linewidth=5,title="Solução da EDO",
xaxis="Tempo (t)",yaxis="u(t)",label="Minha curva!")
E se você conhece a solução exata:
plot!(sol.t, t->0.5*exp(1.01t),lw=3,ls=:dash,
label="Solução verdadeira!")
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Pacotes especiais � resolução de EDOs
O código completo para resolver este problema, onde u0 = 1/2, é dado
a seguir.
using DifferentialEquations
f(u,p,t) = 1.01*u
u0 = 1/2
ts = (0.0,1.0)
prob = ODEProblem(f,u0,ts)
sol = solve(prob, Tsit5(), reltol=1e-8, abstol=1e-8)
using Plots
plotly()
plot(sol,linewidth=5,title="Solução da EDO",
xaxis="Tempo (t)",yaxis="u(t)",label="Minha curva!")
plot!(sol.t, t->0.5*exp(1.01t),lw=3,ls=:dash,
label="Solução verdadeira!")
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Pacotes especiais � resolução de sistema de EDOs
O problema da mistura ([5]) é de�nido por:
dQ1
dt
=
3
2
− 1
10
Q1 +
3
40
Q2
dQ2
dt
= 3 +
1
10
Q1 −
1
5
Q2
, Q1(0) = 25;Q2(0) = 15.
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Pacotes especiais � resolução de sistema de EDOs
De�nimos uma função para escrever o modelo, como a seguir:
function Mistura!(dQ,Q,p,t)
dQ[1] = p[1] + p[2]*Q[1] + p[3]*Q[2]
dQ[2] = p[4] + p[5]*Q[1] + p[6]*Q[2]
end
De�nimos os dados iniciais e os parâmetros do modelo:
Q0 =[25;15];
ts = (0,40);
p=[1.5;-0.2;3/40;3;0.1;-0.2]
sist = ODEProblem(Mistura!,Q0,ts,p)
@time sol = solve(sist)
Finalmente, mandamos plotar as soluções determinadas:
plot(sol,linewidth=5,label=["Q_1" "Q_2"])
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Pacotes especiais � resolução de sistema de EDOs
Figura: Grá�co das soluções do sistema de EDO resolvido
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 123 / 151
Pacotes especiais � resolução de sistema de EDOs
O problema da mistura ([5]) é de�nido por:
dθ
dt
= ω(t)
dω
dt
= −3
2
g
l
sin θ(t) +
3
ml2
M(t)
, θ(0) = 0.01;ω(0) = 0.
e M(t) = 0.1 sin t.
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Pacotes especiais � resolução de sistema de EDOs
function pendulo!(du,u,p,t)
du[1] = u[2]
du[2] = -3*p[3]/(2*p[1])*sin(u[1]) + 3/(p[2]*p[1]^2)*M(t)
end
p=[1;1;9.81]
theta0 = 0.01
omega0 = 0.0
u0 = [theta0, omega0]
ts = (0.0,10.0)
M(t) = 0.7cos(t)
prob = ODEProblem(pendulo!,u0,ts,p)
sol = solve(prob)
plot(sol,linewidth=2,xaxis="t",label=["theta [rad]"
"omega [rad/s]"],color=["red" "green"],layout=(2,1))
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Pacotes especiais � resolução de sistema de EDOs
Figura: Grá�co das soluções do sistema de EDO não-homogêneo resolvido
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Pacotes especiais � resolução de sistema de EDOs
O modelo SIR ([5]) é de�nido por:
dS
dt
= −βSI
dω
dt
= βSI − γI
dω
dt
= γI
, S(0) = S0; I(0) = I0;R(0) = 0.
onde S + I +R = 1 denotam proporções.
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Pacotes especiais � resolução de sistema de EDOs
O modelo é implementado da seguinte forma:
function SIR!(du,u,p,t)
beta, gama = p
du[1] = -beta*u[1]*u[2]
du[2] = beta*u[1]*u[2] - gamma*u[2]
du[3] = gamma*u[2]
end
p = [0.85;0.15]
u0 = [0.9;0.1;0.0]
tspan = (0.0,50.0)
prob = ODEProblem(SIR!,u0,tspan,p)
sol = solve(prob)
plot(sol,linewidth=2,xaxis="t",layout=(3,1),
color=["red" "green" "blue"],
label=["S(t)" "I(t)" "R(t)"])
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Pacotes especiais � resolução de sistema de EDOs
Figura: Grá�co das soluções do sistema de EDO não-linear resolvido
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 129 / 151
Pacotes especiais � ajuste de curvas
Documentação que pode ser acessada em
https://julianlsolvers.github.io/LsqFit.jl/latest/tutorial/.É a implementação do algoritmo Levenberg-Marquardt.
Rodar Pkg.add("LsqFit") e using LsqFit
Vamos testar um exemplo de ajuste de pontos por uma reta do
tipo yi = β1 + β2xi + εi, com β1 e β2 a serem determinados
Geramos os seguintes dados:
tdata = collect(0:1:20)
ydata = 2*tdata .+ 1 .+ 0.8*randn(length(tdata))
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 130 / 151
https://julianlsolvers.github.io/LsqFit.jl/latest/tutorial/
Pacotes especiais � ajuste de curvas
Em seguida descrevemos nosso modelo usando uma function:
model(x,beta) = beta[1] .+ beta[2].*x;
p0 = [0.5, 0.5]
p0 é o parâmetro inicial para o algoritmo determinar os
parâmetros.
Seguidamente, damos o comando para a determinação do ajuste:
fit = curve_fit(model, tdata, ydata, p0)
param = fit.param
Pronto! os parâmetros foram determinados. De�nindo
f(x) = f(x) = param[1] + param[2]*x podemos plotar os
grá�cos da função ajustada e dos pontos do experimento:
plot(f,0:20,lw=2,)
scatter!(tdata,ydata)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 131 / 151
Pacotes especiais � ajuste de curvas
Figura: Ajuste linear para o conjunto de dados
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 132 / 151
Pacotes especiais � ajuste de curvas
O código completo está apresentado a seguir:
using LsqFit
using Plots
plotly()
tdata = collect(0:1:20)
ydata = 2*tdata .+ 1 .+ 0.8*randn(length(tdata))
model(x,beta) = beta[1] .+ beta[2].*x;
p0 = [0.5, 0.5]
fit = curve_fit(model, tdata, ydata, p0)
param = fit.param
yfit = model(tdata, param)
a = round.(param[1],digits=2)
b = round.(param[2],digits=2)
plot(tdata,yfit,lw=2,label="Dados")
scatter!(tdata,ydata,legend = :outertopright,
label=["$a + $b*x" "dados"])
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 133 / 151
Pacotes especiais � ajuste de curvas
Podemos fazer um ajuste por meio dos quadrados mínimos linear por
meio de uma função quadrática:
f(x) = β1 + β2x+ β3x
2.
Sejam os dados:
xdata = collect(0:0.1:10); n=length(xdata)
ydata = 1 .- 2*xdata .+ xdata.^2 .+ 0.5*rand(-5:5,n)
scatter(xdata,ydata)
Apresentamos o modelo:
model(x,beta) = beta[1] .+ beta[2].*x .+ beta[3].*x.^2;
p0 = [0.5, 0.5, 0.5]
Finalmente determinamos os pontos ajustados:
fit = curve_fit(model, xdata, ydata, p0)
param = fit.param
yfit = model(xdata, param)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 134 / 151
Pacotes especiais � ajuste de curvas
Figura: Ajuste quadrático para o conjunto de dados
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 135 / 151
Pacotes especiais � ajuste de curvas
Agora suponhamos que queremos ajustar um conjunto de pontos ao
modelo não-linear:
f(x) = β1
(
x
β2
)β3−1
exp
(
−
(
x
β2
)β3)
.
Criamos o conjunto de dados:
xdata = [ 15.2; 19.9; 2.2; 11.8; 12.1; 18.1; 11.8; 13.4; 11.5; 0.5;
18.0; 10.2; 10.6; 13.8; 4.6; 3.8; 15.1; 15.1; 11.7; 4.2 ]
ydata = [ 0.73; 0.19; 1.54; 2.08; 0.84; 0.42; 1.77; 0.86; 1.95; 0.27;
0.39; 1.39; 1.25; 0.76; 1.99; 1.53; 0.86; 0.52; 1.54; 1.05 ]
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 136 / 151
Pacotes especiais � ajuste de curvas
Em seguida, criamos uma função para escrever o modelo:
model(x,beta) = beta[1] * ((x/beta[2]).^(beta[3]-1)) .*
(exp.( - (x/beta[2]).^beta[3] ))
Para determinar β, chamamos a função
fit = curve_fit(model, xdata, ydata, [3.0, 8.0, 3.0])
beta = fit.param
para termos os valores ajustados, a saber:
beta_fit = fit.param
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 137 / 151
Pacotes especiais � ajuste de curvas
Figura: Ajuste não-linear para o conjunto de dados
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 138 / 151
Pacotes especiais � integração numérica
Se quisermos calcular uma integral de�nida do tipo
A =
∫ b
a
f(x) dx,
usando aproximações por somas de Riemann, basta utilizar:
A ≈
n∑
k=1
f(x∗i )∆x.
Isso pode ser feito fornecendo os seguintes comandos, supondo
f(x) = e−x
2
, a = 0, b = 10 e n = 100000.
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 139 / 151
Pacotes especiais � integração numérica
O código para isto é apresentado a seguir:
a, b, n = 0, 10, 100000;
deltax = (b-a)/n;
x_estrela = a .+ (0:n) * delta
f(x) = exp(-x^2)
f_em_x = map(f, x_estrela)
@time Int_approx = sum(f_em_x)*deltax
que fornece
∫ 10
0 e
−x2dx ≈ 0.886.
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 140 / 151
Pacotes especiais � integração numérica
Ou simplesmente, instalando o pacote QuadGK e depois using QuadGK,
cujo manual é disponível em
https://juliamath.github.io/QuadGK.jl/latest/ e que implementa
a quadratura de Gauss-Kronrod.
f(x) = exp(-x^2)
@time (integral,err) = quadgk(f, 0, 10, rtol=1e-8)
resultando nos mesmos 0.886. Temos também a opção de controlar o
erro da aproximação.
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 141 / 151
https://juliamath.github.io/QuadGK.jl/latest/
Pacotes especiais � otimização
Instalamos e rodamos o pacote Optm, ver documentação em http://
julianlsolvers.github.io/Optim.jl/v0.9.3/user/minimization/
que implementa diversos algoritmos de otimização não-linear
apresentados nos livros [6, 7]
Otimização irrestrita
Consideremos a função f(x1, x2) = (2x1 − 3)4 + (3x1 − x2)2.
Desejamos encontrar o seu mínimo absoluto. Primeiro, preparamos
uma function em Julia:
function f(x)
return (2x[1] - 3)^4 + (3x[1] - x[2])^2
end
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 142 / 151
http://julianlsolvers.github.io/Optim.jl/v0.9.3/user/minimization/
http://julianlsolvers.github.io/Optim.jl/v0.9.3/user/minimization/
Pacotes especiais � otimização
Otimização irrestrita
Chamamos esta função partindo do ponto inicial (x1, x2) = (0, 0)T :
using Optim
opt = optimize(f, [0.0, 0.0])
println("vetor_ótimo = ", opt.minimizer)
println("f_ótimo = ", opt.minimum)
resulta em
vetor ótimo = [1.5023336961799512, 4.507036749081916]
f ótimo = 1.7462409416808738e-9
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 143 / 151
Pacotes especiais � otimização
Otimização irrestrita
Poderemos trocar o algoritmo, que por default é Nelder-Mead.
Outros tais como Simulated Annealing,
Broyden�Fletcher�Goldfarb�Shanno (BFGS), Gradientes
Conjugados estão disponíveis:
opt = optimize(f, [0.0, 0.0], BFGS())
No primeiro, o número de iterações foi 49, ao passo que neste foram 24!
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 144 / 151
Pacotes especiais � otimização
Otimização box constrained
Quando as variáveis tem um lower and upper bounds.
Consideremos a minimização da mesma f sujeito às restrições
2 ≤ x1 ≤ 5 e 6 ≤ x2 ≤ 10. Preparamos a função-objetivo:
function f(x)
return (2x[1] - 3)^4 + (3x[1] - x[2])^2
end
Nós também preparamos os limitantes para as variáveis:
lb = [2.0; 6.0]
ub = [5.0; 10.0]
x0 = [3.0; 7.0]
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 145 / 151
Pacotes especiais � otimização
Otimização box constrained
Escolhemos o otimizador:
inner_optimizer = BFGS()
E em seguida otimizador:
resultados = optimize(f,lb,ub,x0,
Fminbox(inner_optimizer))
Perguntamos os resultados
resultados.minimizer -->> [2,6]
resultados.minimum -->> 1
results.iterations -->> 7
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 146 / 151
Pacotes especiais � otimização
Otimização em problemas mais gerais
Precisamos instalar e rodar o pacote JuMP cuja documentação é
disponível em https://jump.dev/JuMP.jl/v0.19.0/index.html
Suponhamos que queiramos resolver o seguinte problema de
otimização-não linear:
Min (x1 − 3)3 + (x2 − 4)2
sujeito a
(x1 − 1)2 + (x2 + 1)3 + e−x1 ≤ 1,
Precisamos de duas macros @NLobjective e @NLconstraint para
lidar com as não-linearidades.
Em seguida, construir o modelo de otimização para resolvê-lo.
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 147 / 151
https://jump.dev/JuMP.jl/v0.19.0/index.html
Pacotes especiais � otimização
Otimização em problemas mais gerais
Construimos o modelo (previamente rodar o solver de otimização
não-linear restrito Ipopt):
m = Model(solver=IpoptSolver())
Em seguida de�nir as variáveis, restrições e função-objetivopor
meio de macros:
@variable(modelo, x[1:2])
@NLobjective(modelo,Min,(x[1]-3)^3 + (x[2]-4)^2)
@NLconstraint(modelo,(x[1]-1)^2 + (x[2]+1)^3
+ exp(-x[1]) <= 1)
Em seguida, resolvemos o modelo
optimize!(modelo)
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 148 / 151
Pacotes especiais � otimização
Otimização em problemas mais gerais
Após resolvido, extraímos a solução e o valor ótimo:
println("** Valor mínimo = ",objective_value(modelo))
println("** Solução ótima = ",value.(x))
o que resulta em:
** Valor mínimo = 4.409110764366554
** Solução ótima = [0.49239864764413, -0.4918893479728]
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 149 / 151
Referências I
D. P. Corina, L. S. Jose-Robertson, A. Guillemin, J. High, and
A. R. Braun, �Language lateralization in a bimanual language,�
Journal of Cognitive Neuroscience, vol. 15, no. 5, pp. 718�730, 2003.
J. Bezanson, A. Edelman, S. Karpinski, and V. B. Shah, �Julia: A
fresh approach to numerical computing,� SIAM review, vol. 59,
no. 1, pp. 65�98, 2017.
A. Edelman, �Julia: A fresh approach to technical computing and
data processing,� tech. rep., MASSACHUSETTS INST OF TECH
CAMBRIDGE CAMBRIDGE, 2019.
I. Balbaert, Getting Started with Julia Programming: Enter the
exciting world of Julia, a high-performance language for technical
computing.
Packt Publishing, 2015.
Angelo Aliano Filho (UTFPR) Linguagem Julia 2021/1 150 / 151
Referências II
W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Equações diferenciais elementares
e problemas de valores de contorno.
Guanabara Dois, 1985.
M. S. Bazaraa, H. D. Sherali, and C. M. Shetty, Nonlinear
programming: theory and algorithms.
John Wiley & Sons, 2013.
J. Nocedal and S. Wright, Numerical optimization.
Springer Science & Business Media, 2006.
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	Instalação e introdução
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