FISICA-MEIO-AMBI-AULA-13

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Ciclâmio Leite Barreto
Gilvan Luiz Borba
Rui Tertuliano de Medeiros
Física e Meio AmbienteD I S C I P L I N A
Relatividade
Autores
aula
13
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Barreto, Ciclamio Leite.
Física e meio ambiente / Ciclamio Leite Barreto, Gilvan Luiz Borba, Rui Tertuliano de Medeiros. 
– Natal, RN : EDUFRN, 2006.
316p. : il
ISBN 978-85-7273-334-2
1. Física. 2. Meio ambiente. 3. Sociedade. I. Borba, Gilvan Luiz. II. Medeiros, Rui Tertuliano de. 
III. Título.
CDD 53
RN/UF/BCZM 2006/87 CDU 579
Aula 13 Física e Meio Ambiente 1
Apresentação
A lgumas pessoas gostam muito do gênero literário e cinematográfi co chamado fi cção científica. Nesse sentido, filmes como “De volta para o futuro’’, “Contato’’ e “A Máquina do Tempo’’, que fi zeram muito sucesso, tratam do tempo e da possibilidade 
de “viajarmos’’ através dele. Será que a Ciência de alguma forma trata desses assuntos ou 
consegue nos responder o que é o tempo e o espaço? 
Nesta aula, trataremos um pouco da natureza do espaço e do tempo à luz de conceitos 
elaborados por Newton e por Einstein. Para tanto, vamos começar fazendo uma arqueologia 
da relatividade, recorrendo inicialmente ao trabalho de Galileu Galilei sobre a relatividade do 
movimento, do ponto de vista da Mecânica. 
A relatividade galileana, formalizada nas transformações de Galileu, focaliza a equivalência 
de referenciais inerciais. Tais transformações funcionam muito bem quando tratan de referenciais 
e objetos que se movem com velocidades pequenas em relação a algum referencial em repouso. 
Assim, as situações que podem ser descritas por essas transformações são as compatíveis 
presentes que temos em nosso cotidiano, o que é inteiramente condizente com as leis da Física 
Clássica, entretanto mostra-se insustentável como teoria quando testada em situações que 
envolvam velocidades da ordem da propagação da luz. 
Quando tratamos de velocidade da luz, ou de outras próximas a da luz, operações como 
a adição de velocidades não correspondem ao que se observa na natureza, estando, ainda, 
em desacordo com o previsto se usásemos as transformações de referenciais sugeridas por 
Galileu e adotadas por toda a Física Clássica. 
Diante dessa e de outras difi culdades, Einstein desenvolveu uma nova teoria (publicada 
em 1905) que alterou profundamente nossas concepções sobre espaço e tempo, mas que 
correspondiam a um corpo de conhecimentos capaz de explicar as observações experimentais. 
Esses conhecimentos compõem a chamada teoria da relatividade especial, a qual pode 
ser sintetizada pela frase: espaço e tempo são relativos e matéria é permutável com energia, 
cujo signifi cado estudaremos nesta aula.
Aula 13 Física e Meio Ambiente2
Objetivos
1
2
3
4
5
A invariância das leis físicas
As leis da Física são as mesmas em todo lugar e em todo instante, sendo, portanto, invariantes. 
Essa talvez seja a mais complexa síntese elaborada pela mente humana, correspondendo a 
séculos de elaboração. Podemos dizer que sua gestação se inicia na Física Aristotélica segundo 
a qual as leis da Física dependiam do lugar. Nela, existia a Física Sublunar, que estudava os 
corpos que fi cam abaixo da Lua e a Física Supra-lunar, cujo estudo voltava-se para os corpos 
celestes, os quais eram regidos por leis diferentes daquelas que regem os corpos situados 
aqui na Terra. 
Com Galileu, Kepler e Newton, aprendemos que a Física seria a mesma em todo o 
Universo. Com isso, esse conceito aristotílico de Física deixou de existir. 
Os estudos de Newton reveleram que as leis da Mecânica são as mesmas para todos 
os referenciais inerciais. Por exemplo, ou seja, se fi zermos uma experiência de mecânica 
em qualquer um dos pólos de nossos cursos, e se tal experiência for realizada nas mesmas 
condições, o resultado será o mesmo. Ou, ainda, se uma pessoa realizar um experimento 
qualquer, de mecânica, em, por exemplo, um trem que se move em linha reta com velocidade 
Compreender o princípio da relatividade de Galileu. 
Aprender a operar com as transformações de Galileu. 
Entender os postulados da TRE (teoria da relatividade 
especial). 
Compreender a relatividade da simultaneidade, do 
espaço e do tempo. 
Entender por que os efeitos relativísticos não estão 
ordinariamente manifestos no meio ambiente nem no 
cotidiano.
Aula 13 Física e Meio Ambiente 3
Atividade 1
constante, obterá o mesmo resultado que seria obtido por uma pessoa ao realizar o mesmo 
experimento, nas mesmas condições. 
Entretanto a Física é muito mais que a mecânica, é também eletromagnetismo, 
termodinâmica etc. Nesse sentido, alguns cientistas do fi nal do século XIX acreditavam que 
as leis da Física, e não apenas da mecânica, fossem as mesmas para todos os referenciais. 
Todavia, isso não era o que acontecia, pois quando se usava as transformações de Galileu em 
alguns experimentos de eletromagnetismo, verifi cava-se que o resultado experimental não 
confi rmava a previsão teórica, como se o resultado da experiência dependesse do referencial. 
A ser verdade teal situação deveria existir algum referencial privilegiado em relação ao qual o 
resultado seria verdadeiro e nos outros, falso. 
Tal situação incomodava bastante um jovem, desconhecido (na época) e desempregado 
Físico Alemão chamado Albert Einstein. 
Isso o levou a desenvolver um corpo teórico chamado A teoria da relatividade especial 
(TRE), também conhecida como teoria da relatividade restrita, publicada em 1905, trata da 
invariância das leis da Física (o que signifi ca, por exemplo, que não há mudança na expressão 
analítica, na forma das equações) mediante uma transformação entre referenciais inerciais.
Tente defi nir o que é o espaço e o que é o tempo. Esse assunto será tratado no 
próximo tópico desta aula.
Certamente, você teve bastante difi culdade nessa atividade. Isso se justifi ca pelo fato de 
que ainda hoje muitos cientistas estão estudando em busca de uma resposta satisfatória para 
tais questões. Uma introdução a esses conceitos será feita a seguir.
Aula 13 Física e Meio Ambiente4
Mecânica Clássica e a teoria da 
relatividade de Einstein: uma 
mudança de paradigma
Como você pode estar lembrado, os fundamentos da Mecânica Clássica foramconstruídos principalmente por Galileu Galilei (1564-1642) e Isaac Newton (1642-1727), tendo este formulado defi nitivamente em 1687, na sua obra-prima Philosophiae naturalis 
principia mathematica (Princípios matemáticos da fi losofi a natural), os pressupostos básicos 
da Mecânica Clássica, que você pode estudar em Gazzinelli (2005). 
1) O tempo é absoluto, homogêneo e isotrópico. Nesse sentido, Newton vai conceituar 
tempo da seguinte forma:
“O tempo absoluto, verdadeiro e matemático, por si mesmo e por sua própria 
natureza, fl ui uniformemente sem relação com nada externo; por isso mesmo, é 
chamado de duração.’’ 
O fato de não ter relação com nada externo dá ao tempo newtoniano um caráter de imutabilidade. 
Nessa perspectiva, absoluto signifi ca simplesmente o oposto de relativo, ou seja, 
independência em relação ao observador e ao objeto ou fenômeno observados; homogêneo 
qualifi ca um escoamento uniforme (por exemplo, nossa taxa de envelhecimento é constante); e 
isotrópico diz respeito à invariância em relação a uma inversão no tempo, embora classicamente 
o tempo escoe apenas do passado para o futuro. 
2) O espaço é absoluto, homogêneo, isotrópico e euclidiano. Ao conceituar espaço, diz Newton:
3) O caráter absoluto do espaço consiste em concebê-lo como imóvel e sem nenhuma relação 
com qualquer coisa externa; a sua homogeneidade refere-se à perenidade da similaridade 
“O espaço absoluto permanece constante igual e imóvel, em virtude de sua 
natureza, e sem relação alguma com nenhum objeto exterior...’’
Aula 13 Física e Meio Ambiente 5
de todos os seus pontos; a isotropia tem signifi cado igual em todas as direções; e o caráter 
euclidiano é compreendido pelo fato de que a menor distância entre dois pontos do espaço 
é a linha reta que os une. 
A formalização desses conceitos se dá através das transformações de Galileu, ou seja 
um conjunto de equações que permite relacionar o movimento de objetos a partir quando 
observados de diferentes referenciais inerciais.
Princípio da relatividade de Galileu
Experimentos feitos por diferentes observadores em diferentes referenciais são relacionadas entre si. Eles mediram diferentes deslocamentos, velocidades e acelerações para uma partícula em movimento. Por outro lado, é difícil dizer quem está em repouso 
ou em movimento e em relação a que. 
Vamos começar o estudo da relatividade de Galileu lendo o seguinte diálogo entre dois 
jovens que estão no interior de um ônibus parado em um terminal rodoviário. 
A conversa fl ui bem quando, de repente, um deles, assustado, se senta bruscamente. 
Passado alguns instantes, ele comenta: 
— Que susto! pensei que nosso ônibus estava saindo. Mas, na verdade, saiu o ônibus que 
estava aqui do lado. 
— Não percebi nada, comenta o outro. 
Essa sensação muito comum, já sentida por muitos de nós, representa a relatividade do 
movimento. Isto é, se você começa a olhar fi xamente para a estrada durante um percurso de 
ônibus, e se ele está em linha reta e com velocidade constante, a sensação é a de que as árvores 
ou os postes à margem da estrada estão se movendo e você está parado. 
Do ponto de vista da Física, essa situação pode ser resumida desta forma:
Não existe nenhum experimento capaz de nos fazer distinguir se estamos em 
repouso ou em movimento retilíneo uniforme (MRU).
Portanto, é possível passar da descrição do movimento em um referencial em repouso 
para a descrição em um referencial em movimento retilíneo e uniforme (na verdade, podem 
passar de um referencial para outro qualquer, estaremos tratando disso ao abordarmos as 
teorias da relatividade).
Aula 13 Física e Meio Ambiente6
y s´
0 x
y´ s´
y´ A
V0
0´ x´ x´
y´ s´y s
y´ A
V0
V0 t
0´0 x´ x´x
As transformações de Galileu
Sejam dois referenciais inerciais, um em repouso (S) e um em movimento retilíneo 
uniforme (S') que se move com velocidade v
0
 em relação a S. Vamos supor que S' se move 
na direção x, e que A é um ponto em repouso em relação a S', como mostrado na Figura 1.
Após algum tempo, os dois referenciais coincidem em suas origens, esse instante, que 
chamaremos de t
0
, será nossa origem dos tempos, isto é, t
0
 = 0.
Em um instante posterior t, teremos a seguinte (Figura 2) posição relativa do ponto A.
Numa situação mais geral, consideremos a partícula localizada em um ponto A, como 
mostrado na Figura 2. Descrito por dois observadores, o movimento dessa partícula terá as 
variáveis relevantes relacionadas a cada observador. Um dos observadores utiliza o referencial 
S em que está em repouso. O outro utiliza o referencial S', em que também está em repouso, 
mas esse referencial está em movimento em relação ao referencial S, com uma velocidade u 
na direção positiva do eixo x. O eixo x' do referencial S'coincide em direção com o eixo x do 
referencial S.
Designamos a posição da partícula em relação ao referencial S pela coordenada x e 
sua posição relativa ao referencial S' pela coordenada x'. Se as origens O e O' dos dois 
Figura 1 – Dois referenciais inerciais e um ponto A em repouso em S'
Figura 2 – Posição de A em relação ao referencial S e S'
Aula 13 Física e Meio Ambiente 7
referenciais coincidem em T = 0, então, as coordenadas x e x' são relacionadas entre si 
através da expressão x = x' + v
0
t ou transformação galileana de coordenadas 
x′ = x− v0t
y' = y
z' = z
t' = t
Isso signifi ca que, em um tempo t, o referencial S' é deslocado para a direita por uma 
quantidade v0t.
Além do tempo t(Equação 1d), que é considerado absoluto no contexto newtoniano, sendo 
um só para os dois referenciais, as coordenadas y e z não sofrem alteração, pois estamos 
assumindo deslocamento apenas na direção x.
Observando agora o conjunto de equações das transformações de Galileu, dividimos 
pelo tempo cada um dos termos da equação 1 para chegarmos à equação correspondente à 
transformação de Galileu de velocidades da partícula, como medida pelos dois observadores: 
x′
t
=
x
t
− v0t
t
y′
t
=
y
t
z′
t
=
z
t
ou seja, transformação galileana de velocidades 
v′x = vx − v0
v′y = vy
v′z = vz
em que v'x é a componente x da velocidade da partícula observada em S' e vx é a velocidade 
observada em S. 
Esse último conjunto de equações é conhecido como equações de transformação galileanas. 
Aula 13 Física e Meio Ambiente8
Atividade 2
Embora os observadores nos dois referenciais diferentes meçam diferentes coordenadas 
e velocidades da partícula, eles medirão a mesma aceleração. Assim, vejamos: 
quando v
0
 é constante, isto é, a variação da velocidade v
0
 é nula, a equação 2a pode ser escrita 
como 
Δv′x
Δt
=
Δvx
Δt
− Δv0
Δt
Ou seja, a′x = ax
Procedendo da mesma forma para as equações 2b e 2c, teremos a′y = ay , a′z = az
Estamos supondo ainda que a massa m do objeto é a mesma quando medida em S e em 
S'. Assim,se multiplicamos essas equações por m, teremos: 
ma′x = max =⇒ F ′x = Fx
ma′y = may =⇒ F ′y = Fy
ma′z = maz =⇒ F ′z = Fz
O conjunto de equações 4 mostra que a segunda lei de Newton tem a mesma forma em 
todos os referenciais inerciais. Generalizando, esta é a essência do princípio da relatividade 
newtoniana: as leis da Mecânica são as mesmas em todos os referenciais inerciais. Para 
saber mais sobre esse assunto, leia mais sobre equações de transformação galileanas em 
Young e Freedman (2003a).
Um automóvel viaja em linha reta, na direção ao sul com velocidade constante 
de 60 km/h. Ao mesmo tempo, um caminhão viaja na direção oposta com uma 
velocidade constante de 50 km/h. 
a) Qual é a velocidade do automóvel em relação ao caminhão? 
b) Qual é a velocidade do caminhão em relação ao automóvel? 
(Dica: Considere o caráter vetorial da velocidade em suas respostas).
Aula 13 Física e Meio Ambiente 9
Você certamente obteve respostas diferentes em ambos os casos propostos pela atividade 
1, o que confi rma o que estudamos até agora, não é?
Movimento relativo a altas velocidades
As equações de transformação galileanas são válidas somente se considerarmos 
velocidadesda partícula (relativa a ambos os observadores), que são pequenas se comparadas à 
velocidade da luz no vácuo, cujo valor é c ≈ 3× 108 m/s. Isso signifi ca que nessa abrangência 
de velocidades as previsões quantitativas dessas equações não são corroboradas pelas 
observações ou mensurações. 
Quando a velocidade da partícula em relação a qualquer observador aproxima-se de c, 
essas equações de transformação devem ser substituídas por outras, aquelas que Einstein 
utilizou ao formular sua teoria da relatividade especial. 
Devemos chamar a atenção desde já para o fato de que essas novas equações de 
transformação relativísticas, quando expressas no limite de velocidades ordinárias (v << c), se 
reduzem justamente às equações de transformação galileanas. Esse fato manifesta o famoso 
princípio da correspondência, expresso por Niels Bohr.
Princípio da correspondência de Bohr
O Princípio da Correspondência afirma que se uma teoria antiga descreve 
precisamente uma série de fenômenos físicos, qualquer nova teoria deve, 
necessariamente, explicar esses mesmos fenômenos de acordo com o que 
diz a teoria antiga. Obviamente, a nova teoria explicará outros fenômenos não 
contemplados pela antiga.
Uma pergunta oportuna é: como testar a validade das equações de transformação? 
Em experiências envolvendo partículas que se movem a altas velocidades, tais como elétrons 
e prótons em aceleradores de partículas, muitos produzidos na alta atmosfera terrestre, percebe-se 
que a Mecânica newtoniana falha na descrição da dinâmica dessas partículas velozes. 
Por outro lado, constata-se que as equações de transformação relativísticas da teoria 
de Einstein são bem sucedidas, ou seja, explicam coerentemente os resultados dessas 
experiências. 
Aula 13 Física e Meio Ambiente10
Finalmente, a Mecânica newtoniana não impõe qualquer limite sobre a rapidez de uma 
partícula. Já as equações de transformção relativísticas predizem que as partículas nunca 
podem exceder velocidade da luz . Elétrons e prótons acelerados através de voltagens 
(tensões elétricas) muito altas podem adquirir velocidades próximas à da luz, mas nunca 
alcançam esse valor. Ou seja, até agora, verifi ca-se a completa concordância entre a teoria da 
relatividade de Einstein e os resultados experimentais.
A velocidade da luz
As equações do eletromagnetismo, sintetizadas por James Clerck Maxwell, têm como 
consequência a previsão da existência de ondas eletromagnéticas, incluindo a luz. 
Essa teoria prevê que essas ondas devem se mover com a velocidade de cerca de 3,0x108m/s. 
Mas, 3,0x108m/s em relação a quê? 
O som, por analogia, se move a aproximadamente 330 m/s em relação ao ar. Então, qual 
é a resposta correspondente para a luz (visível) ou qualquer onda eletromagnética? 
Essa resposta se faz necessária para dar consistência às equações do eletromagnetismo 
(as equações de Maxwell), as quais dispensam a existência de um meio para a luz se propagar. 
No século XIX, era natural supor que as ondas eletromagnéticas, a luz visível incluída, seriam 
perturbações de algum meio, o qual foi chamado pelos cientistas de éter luminífero. Com 
isso, asumiam que a luz viaja na velocidade c em relação ao éter, cuja existência deveria ser 
provada. Mas, não conseguia se provar essa existência, levando ao impasse que foi resolvido 
pelo segundo postulado da TRE, que na verdade torna desnecessário a existência do éter, 
propondose a existência do vácuo.
O princípio da relatividade de 
Einstein
Os dois postulados básicos da teoria da relatividade especial (de fato, um princípio e seu 
corolário) foram propostos por Einstein e são enunciados a seguir.
Aula 13 Física e Meio Ambiente 11
Essas afi rmações contradizem fortemente as transformações de Galileu quanto à adição 
de velocidades. Note mais uma vez que não existe um limite superior para a velocidade dos 
objetos dentro da relatividade de Galileu, no entanto, podemos afi rmar que a TRE é uma 
generalização do princípio da relatividade newtoniana. 
Uma conseqüência imediata dos postulados de Einstein pode ser resumida da seguinte 
forma: para preservar a constância da velocidade da luz, torna-se necessário redefi nir os 
conceitos de espaço e tempo absolutos da abordagem newtoniana, ou seja, se a velocidade 
da luz é absoluta, então, o espaço e o tempo devem ser relativos. 
Uma outra conseqüência é que a simultaneidade de eventos passa a depender do referencial, 
ou seja, o que é simultâneo para um observador não o é para outro. E, fi nalmente, a consequência 
mais conhecida (usamos um pouco ela em nossa disciplina Ciências da Natureza e Realidade) é 
a equivalência entre massa e energia, expressa pela famosa equação 
E = mc2
O princípio da simulteneidade
Vamos imaginar um trem partindo da estação. No meio de um vagão, há um observador, 
e um outro permanece na estação, a olhar para esse vagão. 
Imaginemos ainda que as duas portas do vagão estão fechadas e podem ser abertas por 
um controle remoto que está nas maõs do observador que se encontra no vagão. Assim, em um 
dado instante, enquanto o trem se afasta em linha reta da estação, ele aciona o controle remoto 
e observa as duas portas se abrirem simulteneamente. O que verá o observador que se encontra 
na estação ? Ora, ao se afastar, o referido vagão do trem terá uma porta mais próxima e outra 
mais distante da estação. Assim, a luz que vem da porta mais próxima chega antes da porta mais 
distante, logo, para o segundo observador, as portas não se abriram simultaneamente. 
Dando asas a nossa imaginação, suponha que existe um planeta situado a 2006 anos-luz 
da Terra. Então, os cientistas desenvolveram uma máquina capaz de ver os habitantes da Terra. 
Que pessoas eles estariam vendo agora? Eles estariam vendo a Terra como era há 2006 anos, ou 
seja estariam vendo os romanos e tudo mais conforme o tempo dos primeiros cristãos. 
Tudo isso ocorre pelo fato de que a luz se propaga com velocidade fi nita!
O princípio da relatividade – Todas as leis da Física devem ser as mesmas para 
todos os referenciais inerciais.
O princípio da constância da velocidade da luz – A velocidade da luz no vácuo 
tem o mesmo valor em todos os referenciais inerciais, da ordem de c = 3,0x108m/s
Aula 13 Física e Meio Ambiente12
s
luz
t/2
espelho
h
s´
v x t´/2 h
espelho
d/2
A relatividade do tempo
Imaginemos agora a situação em que uma pessoa dentro de um trem movendo-se com 
velocidade constante em linha reta. Tal pessoa realiza um experimento que é observado tanto 
por ela como por um outro observador que se encontra em repouso na estação. Vamos partir 
dos postulados de Einstein, não nos restringindo à suposição de que o tempo deva fl uir do 
mesmo modo no trem e na estação, ou seja, t será o tempo medido na estação (S) e t' será 
o tempo medido em S. Como se relacionam esses tempos? Na teoria de Galileu/Newton, eles 
seriam iguais. Mas, estamos usando agora os postulados de Einstein. 
Para responder a essa questão, observe a Figura 3.
O observador que está no interior do trem irá descrever a altura em função do tempo e 
da velocidade da luz como: 
h =
ct′
2
A partir de S, podemos escrever (lembre do teorema de Pitágoras) 
x2 = h2 + (
d
2
)
2
.
O parâmetro d corresponde à distância percorrida com velocidade v, pelo trem, durante 
o intervalo de tempo segundo o qual a luz foi e voltou do espelho. Podemos escrever d como: 
d
2
=
vt
2
=⇒ d = vt.
O parâmetro x corresponde à distância percorrida pela luz até o espelho, como vista pelo 
observador fora do trem. Ou seja, h =
ct
2
.
Figura 3 – Trem e repouso (S) e trem em movimento (S’)
Aula 13 Física e Meio Ambiente 13
Substituindo as equações 5, 7 e 8 em 6, teremos 
(
ct
2
)2
=
(
ct′
2
)2
+
(
vt
2
)2
,
ou seja, (ct)2 = (ct′)2 + (vt)2.
Que pode ser escrito como (ct
′)2 = (ct)2 − (vt)2.
Dividindo a equação 9 por c, temos (t′)2 = (t)2 −
(v
c
t
)2
.
Colocando t2 em evidência e extraindo a raiz quadrada em ambos os lados da equação, 
chegamos a 
(t′)2 = (t)2
[
1−
(v
c)2]
,
t =
t′√[
1−
(v
c
)2]
O termo 
1√[
1−
(v
c
)2]
que encontramos na equação 10 é chamado de fator relativístico e irá permitir a Lorentz 
escrever um conjunto de transformações que levam seu nome e que contempla o limite superior 
para a velocidade da luz. Por outro lado, a equação 10 mostra que o tempo fl ui de modo 
diferente para cada um dos referenciais, o que está em repouso e o que está em movimento, 
ou seja, acabamos de mostrar que o tempo é relativo. 
Em resumo: relógios em movimento relativo a um observador aparecem atrasados por 
um fator γ. De acordo com um observador estacionário, um relógio em movimento segue mais 
lento do que um relógio idêntico em repouso. 
O tempo próprio é o tempo medido por um relógio em repouso relativo a ambos os 
eventos. Esse efeito é conhecido como dilatação do tempo. 
Como já demostrado, a equação que relaciona o intervalo de tempo Δt medido pelo 
observador em S, com o intervalo de tempo Δt', medido pelo observador em S' que se move 
com velocidade v em relação a S, é: 
Δt =
Δt′√
1− v
2
c2
= γΔt′.
Por outro lado, como demostraremos a seguir, comprimentos de objetos em movimento 
aparecem como contraídos na direção de movimento. Ou seja, além dos intervalos de tempo não 
Aula 13 Física e Meio Ambiente14
serem absolutos, isto é, os intervalos de tempo entre dois eventos dependerem do referencial 
em que são medidos, a distância medida entre dois pontos também depende do referencial.
A relatividade do comprimento
O comprimento próprio de um objeto é defi nido, similarmente ao seu tempo próprio, 
como o comprimento do objeto medido no referencial em que o objeto se acha em repouso. 
Isso não signifi ca o mesmo que a distância entre dois pontos medida ao mesmo tempo. O 
comprimento de um objeto medido em um referencial em que o objeto se acha em movimento 
é sempre menor do que o comprimento próprio. Esse efeito é conhecido como contração de 
comprimento. A relação entre os dois comprimentos medidos é 
L = L′/γ = L′
√
[(1− v
2
c2
)].
De acordo com esse resultado, se um observador em repouso, em relação a um objeto, 
mede seu comprimento como igual a L', um observador móvel com uma magnitude v de 
velocidade relativa ao objeto o achará como sendo mais curto do que é o seu comprimento 
pelo fator 1/γ = (1− v2/c2)1/2.
Vale ressalvar que a contração de comprimento ocorre somente ao longo da direção de 
movimento, permanecendo as dimensões perpendiculares a esta inalteradas.
As transformações de Lorentz
Um evento genérico, como a emissão de um fl ash de luz, é especifi cado por três 
coordenadas espaciais e uma coordenada de tempo. Imagine que um evento ocorrido em 
algum ponto P seja relatado por dois observadores, um em repouso no referencial S e outro 
no referencial S' movendo-se para a direita com uma velocidade de magnitude v, como 
mostrado na Figura 3. 
O observador em S relata o evento com coordenadas espaço-tempo (x, y, z, t), enquanto 
o observador em S' relata o mesmo evento com coordenadas espaço-tempo (x', y', z', t'). 
O que se pretende encontrar é uma relação entre essas coordenadas que seria válida para 
todos os valores de magnitude de velocidade. Já sabemos que as transformações galileanas 
de coordenadas não concordam com a experiência feita para valores de rapidez comparáveis 
à velocidade da luz. 
As equações corretas, que são válidas para magnitudes de velocidade na abrangência de 
v = 0 a v = c e que nos possibilitam transformar algum S em S', são dadas pelas equações 
de transformação de Lorentz (equações de transformação relativísticas): 
Aula 13 Física e Meio Ambiente 15
Atividade 3
x′ = γ(x− vt);
y' = y
z' = z
t′ = γ(t− xv/c2);
sendo o fator relativístico γ, dependente da magnitude v da velocidade, defi nido como 
γ ≡ 1√
1− v
2
c2
= [1− (v/c)2]−1/2.
Em muitas situações que encontraremos na teoria da relatividade, teremos 
a necessidade de lidar matematicamente com o chamado fator relativístico 
γ(v) = 1/[1− (v/c)2]1/2, em que v representa a rapidez de um objeto em 
movimento e c, a rapidez da luz no vácuo, uma constante aproximadamene igual 
a 3,0x108m/s. Freqüentemente, utiliza-se o fator γ(v): para multiplicar um intervalo 
de tempo medido em um referencial, a fi m de obter o correspondente intervalo de 
tempo em outro referencial; ou como divisor de um comprimento medido em um 
referencial, a fi m de obter o correspondente comprimento em outro referencial. 
Com isso, calcule o valor do fator relativístico γ para diversos valores de v: a) 
10 km/h; b) 60 km/h; c) 900 km/h; d) 10 000 km/h; e) 100 000 km/h; f) 200 
000 km/h; g) 290 000 km/h; h) 299 000 km/h. 
Respostas: a) 1.000 000 001; b) 1.000 000 02; c) 1.000 004 5; d) 1.000 556 
019; e) 1.060 660 172; f) 1.341 640 787; g) 3.905 667 329; h) 12.257 667 7.
Aula 13 Física e Meio Ambiente16
Atividade 4
As equações de transformação de Lorentz foram originalmente deduzidas por H. A. 
Lorentz (1853-1928) em 1890. Entretanto, foi Einstein quem reconheceu seu signifi cado físico 
e deu o grande passo ao interpretá-las dentro do arcabouço da teoria da relatividade. 
A forma relativística da transformação de velocidade de acordo com as transformações 
de Lorentz é: 
ux′ =
(ux − v)
[1− (uxv/c2)] .
Aqui, supõe-se que o sistema S' se move com uma velocidade v ao longo dos eixos xx', 
e que ux é a velocidade de um objeto medido no referencial S e u'x é sua rapidez medida no 
referencial S'. 
Na atividade 3, você percebeu que à medida que aumenta a magnitude da velocidade v, 
também aumenta o fator γ, sendo os aumentos em γ cada vez mais dramáticos quanto mais 
v −→ c, de modo que as duas relações L = L′/γ e Δt = γΔt′ transformam comprimentos 
e intervalos de tempo em conformidade com tais variações. Como as magnitudes de velocidade 
que levam γ a se distanciar para mais de γ = 1 são muito elevadas, os efeitos relativísticos não 
se acham ordinariamente manifestos no meio ambiente nem no cotidiano.
Uma aeronave voa de Natal (capital do Rio Grande do Norte) para Campinas 
(interior de São Paulo) uma distância de aproximadamente 3 000 km, com 
velocidade de magnitude constante igual a 300 m/s. 
a) Qual é a duração da viagem para um observador no solo (em Brasília, por 
exemplo)? 
b) E para um observador dentro da aeronave?
Aula 13 Física e Meio Ambiente 17
Atividade 5
A teoria da relatividade geral
T anto a relatividade de Galileu quanto a TRE referem-se a movimento uniforme entre os referenciais. Ao abrir possibilidades de incluir movimento relativo, entre referenciais, que sejam acelerados, Einstein deparou-se com um colossal problema teórico que 
consumiu cerca de dez anos de trabalho árduo, desaguando no que fi cou conhecido como 
teoria da relatividade geral. 
Uma simples “experiência imaginada” conduziu a mente fértil de Einstein a generalizar a sua 
teoria da relatividade especial. Ele raciocinou que, se uma pessoa em queda livre não tivesse de 
se preocupar com a queda em si, poderia realizar uma experiência interessante: retirar pedras de 
seus bolsos e não lançá-las, mas soltá-las simplesmente. Obviamente, as pedras assumiriam o 
mesmo movimento de queda livre, com a mesma aceleração. Cairiam juntas com essa pessoa, 
que diria então que as mesmas, em seu próprio referencial, estariam em repouso. 
Outra experiência imaginada por Einstein: um sinal luminoso que penetra por um orifício 
na parede lateral de um elevador em ascensão uniforme, com velocidade de magnitude 
constante, atinge a parede oposta à mesma altura, mas se a ascensão for acelerada, a luz 
atingirá a parede oposta numa altura distinta. A aceleração atuante sobre o elevador tem como 
efeito desviar o facho de luz da sua trajetória retilínea. 
O mesmo deve então ocorrer quando um raio de luz passar na região onde exista um 
campo gravitacional (que essencialmente precisa ser imenso, a fi m de que sejam observados 
efeitos notáveis), ou seja, os efeitos gravitacionais seriam equivalentes aos efeitos de 
qualquer aceleração. 
Você encontra-se em repousona Terra quando uma espaçonave passa com 
velocidade de magnitude igual a 0,990c (cerca de 2,97x108 m/s) em relação à 
Terra. Um membro da tripulação dessa espaçonave constata que o comprimento 
dela é igual a 400 m. Qual é o correspondente comprimento medido por um 
observador na Terra?
Aula 13 Física e Meio Ambiente18
Um outro exemplo: um cosmonauta no interior de uma espaçonave no espaço sideral 
estica seu braço na horizontal e solta um relógio: 
a) sem nenhum campo gravitacional, o relógio fl utuará entre seus dedos; 
b) se a espaçonave é acelerada na “vertical’’ (em relação ao cosmonauta em pé) com uma 
magnitude igual à da gravidade da Terra, o piso se acelera indo de encontro ao relógio; 
c) se a experiência é realizada com a espaçonave na plataforma de lançamento, na superfície 
do planeta, o relógio cai com a aceleração da gravidade. 
Sem olhar para fora da espaçonave, nem ser avisado onde se encontra, o astronauta não 
pode distinguir entre as situações b e c. 
Assim, mais uma vez, aceleração, nesses contextos seria equivalente à gravitação. 
Idéias como essas conduziram Einstein a desenvolver uma teoria da relatividade em que as 
propriedades do espaço são modifi cadas sempre que há um campo gravitacional. Para ilustrar 
essa situação, imagine um grande lençol preso pelo seu perímetro, com uma pesada esfera 
no centro. Sua superfície deixa de ser plana e horizontal. Uma bola de gude lançada sobre ele 
acabará espiralando em direção ao fundo: essa é uma maneira diferente de cair. 
É justamente assim que um raio de luz cai atraído por um buraco negro, uma incomensurável 
concentração de massa que atrai gravitacionalmente tudo ao seu redor. A teoria da relatividade 
geral é uma teoria que considera as conseqüências formais do uso de referenciais acelerados, 
assim generalizando a teoria da relatividade especial. Quando Einstein a publicou em 1916 sugeriu 
alguns testes experimentais, dentre os mais importantes, destacamos: 
(i) a rotação do eixo do planeta Mercúrio em sua órbita elíptica, conhecida como precessão 
no periélio (palavra que designa o ponto em que o planeta se acha mais próximo ao Sol). 
A teoria da relatividade geral dá uma explicação satisfatória a respeito da precessão no 
periélio de Mercúrio; 
(ii) o desvio gravitacional da luz de estrelas encobertas pelo Sol durante um eclipse total, 
propiciando- lhes observação direta; a comprovação do primeiro teste experimental foi 
realizada em 1919, no município de Sobral, estado do Ceará, Brasil; 
(iii) o deslocamento para o vermelho de origem gravitacional no espectro das estrelas, o que 
corresponde a um aumento no comprimento de onda da luz emitida por uma fonte de 
massa muito elevada. 
Isso só pôde ser comprovado com a tecnologia disponível nos anos de 1960. Mais 
recentemente, as comprovações ocorrem preferencialmente no âmbito de laboratórios 
terrestres. Atualmente, há ainda em órbita um satélite chamado Gravity Probe B (Sonda de 
gravidade B) que coleta dados para análise dos detalhes da deformação topológica do espaço 
que envolve a Terra, causada pela ação do campo gravitacional.
Aula 13 Física e Meio Ambiente 19
Resumo
1
2
3
4
Auto-avaliação
Com que magnitude de velocidade um relógio terá de se mover para funcionar a uma 
taxa que seja metade da taxa de um relógio em repouso?
A que rapidez deve estar um observador para que uma régua de 1 m (medido em um 
referencial em repouso) se apresente com comprimento de 0,5 m?
Uma espaçonave move-se a uma magnitude de velocidade de 0,9c. Se seu 
comprimento é L
0 
quando medido do seu interior, qual é seu comprimento medido 
por um observador no chão?
Se cosmonautas pudessem viajar a v = 0,95c, durante 48 horas medidas em seu 
relógio de bordo, quanto tempo teria passado para um observador que usa seu 
relógio em repouso na terra?
a) Quanta energia própria em joule há em 1 kg de matéria? b) Converta para 
quilowatt-hora (kW-h); c) Estime um uso social dessa energia.
As profundas implicações da relatividade não dizem respeito apenas à luz, 
mas refl etem a natureza fundamental do espaço e do tempo, bem como da 
intercambialidade entre energia e matéria. Nesta aula, você teve um contato 
preliminar com a relatividade, desde as suas manifestações na Mecânica Clássica 
(transformações galileanas), inteiramente compatíveis com o senso comum, 
até surpreendentes efeitos, como: a dilatação no tempo e contração espacial, a 
equivalência entre massa e energia, e mesmo a invariância da velocidade da luz 
no vácuo, todos inerentemente vinculados ao arcabouço teórico da relatividade 
de Einstein.
Aula 13 Física e Meio Ambiente20
Referências
GAZZINELLI, R. Teoria da relatividade especial. São Paulo: Edgard Blücher, 2005.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física I: mecânica: Sears e Zemansky. 10. ed. São Paulo: 
Addison-Wesley, 2003a. cap. 3.
Física IV: óptica e física moderna: Sears e Zemansky. 10. ed. São Paulo: Addison-Wesley, 
2003b. cap. 39.
WOLFSON, R. Simplesmente Einstein: a relatividade desmistifi cada. São Paulo: Globo, 2005.
Anotações
EMENTA
> Ciclamio Leite Barreto
> Gilvan Luiz Borba
> Rui Tertuliano de Medeiros
Física e mensuração. Movimentos e conceitos da mecânica. Relatividade. Temperatura, calor e termodinâmica. 
Ondas, som e audição. Eletricidade e magnetismo. Ondas, luz e visão. Meio ambiente e Física Moderna. 
Aplicações tecnológicas contemporâneas
FÍSICA E MEIO AMBIENTE – INTERDISCIPLINAR
AUTORES
AULAS
01 O meio ambiente e a Física
02 Física e mensuração
03 Movimentos: conceitos fundamentais e descrição
04 Força e movimento
05 Leis da conservação da mecânica I
06 Leis da conservação da mecânica II
07 Teoria cinética dos gases
08 Calor e termodinâmica
09 Ondas, som e audição
10 Eletricidade e magnetismo I
11 Eletricidade e magnetismo II
12 Ondas, luz e visão
13 Relatividade
14 Física moderna e meio ambiente
15 Energia nuclear e seus usos na sociedade
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