sistema primeira ordem

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Resposta Temporal Sistema de 1 ◦ ordem
Daremos inicio pelo estudo da Resposta temporal, que nos permitirá a partir de uma função no
domı́nio da freqüência visualizar sua resposta no domı́nio do tempo, sem cálculos matemáticos com-
plexos.
Sistemas de controle independentes da sua ordem (número de raı́zes da equação caracterı́stica), obe-
decem sempre seu(s) pólo(s) dominante(s), de forma que podemos sempre considerar que um sistema
possui 1 ou 2 pólos dominantes. Quando as raı́zes de um sistema se apresentam complexas e conju-
gadas, teremos dois pólos dominantes e quando o sistema apresentar uma raiz real, naturalmente este
será o pólo dominante.
Consideramos o pólo dominante sempre a aquele que no plano s se apresentar mais a direita de todos,
veja exemplo que segue.
-
6
...........
...............................
...........
...............................
...........
...............................
...........
...............................
...........
...............................
...........
...............................
b
b
b b
@
@
@I
pólo dominante
Im
Re
Plano s b
b
b..........................................
...........
...............................
...........
...............................
...........
.......... .....................
-
6
�
�
�
�
���
��*
...........
..........
pólo dominante
Im
Re
Plano s
.....................
Observe que zeros não interferem no conceito de pólos dominantes, pois estes não levam sis-
temas a perda de estabilidade, que será visto mais adiante.
Portanto baseado no conceito de pólos dominantes, deveremos estudar sistemas de 1o e 2o or-
dem que permitem compreender as respostas temporais obtidas em sistemas de controle.
A resposta de um sistema qualquer sempre apresenta dois componentes, que somados comple-
tam a resposta total. São eles a resposta natural e a resposta forçada.
A resposta natural esta ligada a função de transferência do sistema enquanto a resposta forçada é
ligada a excitação de entrada.
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Exemplo 0.0.1. Dada a função de transferência abaixo de um sistema de 1o ordem, obter sua resposta
temporal e analisar seu resultado.
- -(s+ 2)
(s+5)
G(s)
R(s)= 1
s C(s)
Plano s
Im
Re-2-5
Calculando sua transformada inversa, temos;
C(s) = R(s)G(s) =
1
s
(s+ 2)
(s+ 5)
=
K1
s
+
K2
(s+ 5)
calculando K1 e K2, resulta:
K1 = �s
(s+ 2)
�s (s+ 5)
∣∣∣∣
s=0
=
(s+ 2)
(s+ 5)
∣∣∣∣
s=0
=
2
5
K2 = ���
�(s+ 5)
(s+ 2)
s���
�(s+ 5)
∣∣∣∣
s=−5
=
(s+ 2)
s
∣∣∣∣
s=−5
=
3
5
Finalizando em:
c(t) =
2
5
+
3
5
e−5t
Podemos interpretar a resposta como segue abaixo.
Im
Re-5
Im
Re-2
Im
Re
0
Pólo de entrada Zero do sistema Pólo do sistema
Transformada de Saída
Resposta no domínio do tempo
Resposta forçada Resposta natural
( )
32
5 5
( )
5
C s
s s
= +
+
2 3 5
( )
5 5
t
c et
-= +
3
A partir dos resultados, concluı́mos.
• A função de entrada, impõe um pólo na origem e origina a resposta forçada. Em outras palavras
o pólo devido ao sinal de entrada gerou o degrau de saı́da.
• O pólo da função de transferência gera a resposta natural do sistema (o pólo em s = −5, gerou
e−5t)
• O pólo da função de transferência em −a, gera uma resposta da forma e−at, onde a é a posição
do pólo sobre o eixo real e determina a velocidade de resposta do sistema.
• A composição entre pólos e zeros definem as amplitudes das respostas natural e forçada.
0.1 Sistema de 1o ordem
A partir de um sistema de 1o ordem sem zeros, com uma entrada a degrau unitário e com pólo
em −a, podemos calcular.
( )
a
s a+
Plano s
Im
Re
-a
C(s) = R(s)G(s) =
a
s(s+ a)
Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtemos a resposta temporal que segue:
c(t) = cf(t)︸︷︷︸
forçada
+ cn(t)︸︷︷︸
natural
= 1− e−at
Onde o pólo situado na origem s = 0, gerou a resposta forçada c(t) = 1 e o pólo do sistema s = −a,
gerou a resposta natural e−at
A única variável que um sistema de primeira ordem apresenta é a posição do pólo da função de trans-
ferência −a.
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Desta forma vamos analisar alguns casos particulares do valor de a. para formar importantes
conceitos de controle.
Fazendo t, valores múltiplos de a o valor de c(t) será.
t c(t)
t =
1
a
c(t) = 1− e−1 = 1− 0, 368 = 0, 632
t =
2
a
c(t) = 1− e−2 = 1− 0, 135 = 0, 865
t =
3
a
c(t) = 1− e−3 = 1− 0, 05 = 0, 95
t =
4
a
c(t) = 1− e−4 = 1− 0, 02 = 0, 98
1/a 2/a 3/a 4/a
t(s)
C(final)
tr
ts(5%)
ts(2%)
0
1
0,95
0,98
0,9
0,86
0,62
0,1
Figura 1: Resposta temporal de um sistema de 1o ordem
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Tempo de acomodação ts [seg]
Um conceito bastante importante é o tempo de acomodação de um sistema. Podemos observar pelo
gráfico que, com 3 constantes de tempo (3/a), o sistema atinge 95% de seu valor final e com 4 con-
stantes de tempo (4/a) temos 98% do valor final.
Portanto definimos o conceito de precisão de um sistema como sendo:
Precisão Constante de tempo
2% 4 cte. de tempo (4/a)
5% 3 cte. de tempo (3/a)
Embora este conceito seja definido para um sistema de 1o ordem, ele será válido para sistemas
de qualquer ordem, onde a constante de tempo é definida pela parte real do pólo dominante complexo
conjugado.
Para o sistema de 1o ordem em estudo, temos:
ts(2%) =
4
a
e ts(5%) =
3
a
Tempo de subida tr [seg]
O mesmo conceito utilizado em técnicas digitais onde o tempo de subida é o tempo que um sinal
demora para ir de 10% a 90% de seu valor final, é utilizado em controle, logo podemos calcular:
tr = t90% − t10%
p/ t90% p/ /t10%
0, 9 = 1− e−at 0, 1 = 1− e−at
−0, 1 = −e−at −0, 9 = −e−at
ln 0, 1 =��ln e−at ln 0, 9 =��ln e−at
−2, 31 = −at −0, 11 = −at
t90% =
2, 31
a
t10% =
0, 11
a
tr =
2, 31
a
− 0, 11
a
⇒ tr =
2, 2
a
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Método prático para obtenção de uma função de 1o Ordem.
Muitas vezes, na pratica não existe disponibilidade de tempo para modelar matematicamente um pro-
cesso e obter sua função de transferência. O método que segue é uma aproximação que permite sua
obtenção através da resposta temporal do sistema em estudo, balizando inclusive um possı́vel mode-
lamento efetuado.
Exemplo 0.1.1. Consideraremos um ensaio prático de um forno de aquecimento. Apenas dois pares
de valores foram apontados, no experimento. Após 10 minutos de trabalho registramos a temperatura
de 150oC e uma nova medida após 4 horas de trabalho, registrou 800oC. A partir da equação temporal
não normalizada, mas ajustada para um valor final ̸= 1, temos:
c(t) = cmax
(
1− e−at
)
⇒
150 = 800
(
1− e−600a
)
1− 150
800
= e−600a
0, 8125 = e−600a
ln 0, 8125 = ln e−600a
−0, 2076 = −600a ⇒
a = 3, 46x 10−4 ⇔ cte de tempo = 1
a
= 2.900
Reescrevendo nossa equação temporal e a função de transferência, vem:
c(t) = cmax
(
1− e−at
)
= 800
1− e− t2900
 e C(s) = a(s+ a) = 3, 46x 10−4(s+ 3, 46x 10−4)