AV FINAL

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Disciplina: Fundamentos da Matemática II
Professora: Cleidiane Araújo Semestre: 6º
Estudante:
Avaliação Final- Espelho
Instruções:
1. Esta avaliação contém 10 questões que totalizam 10,0 pontos. Cada questão tem sua
pontuação indicada;
2. Todas as respostas devem ser justificadas e apresentadas de forma organizada;
3. A justificativa deve usar o conteúdo estudado;
4. Questões objetivas não serão pontuadas se não for apresentada a justificativa;
Questão 1: (U.F. São Carlos-SP) A altura média do tronco de certa espécie de árvore,
que se destina à produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte
modelo matemático:
h(t) = 1, 5 + log3 (t+ 1),
com h(t) dado em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu
tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação
até o do corte foi de: (Valor: 1,0)
a) 9
b) 8
c) 5
d) 4
e) 2
Solução: h(t) = 1, 5 + log3 (t+ 1) ⇒ 3, 5 = 1, 5 + log3 (t+ 1)
⇒ 2 = log3 (t+ 1) ⇒ t+ 1 = 32 ⇒ t = 8.
1
Questão 2: Partindo de uma quantidade inicial de Q0 bactérias de uma dada espécie,
após t horas a quantidade existente é Q(t) = Q0 ·2kt, onde k é uma constante. Se a quantia
inicial dobrar em uma hora quanto tempo levará para ser ter 1000000 de bactérias partindo
de uma quantidade inicial de 1000 bactérias? (Considere log 2 = 0, 3) (Valor: 1,0)
a) 6 horas
b) 8 horas
c) 10 horas
d) 12 horas
Solução: Q0 = 1000, Q(1) = 2 ·Q0 ⇒ Q(1) = 2000
Para encontrar k temos 2000 = 1000 · 2k·1 ⇒ 2 = 2k ⇒ k = 1
Assim, Q(t) = 1000000 ⇒ 1000000 = 1000 · 2t ⇒ 1000 = 2t
103 = 2t ⇒ log 103 = log 2t ⇒ 3 log 10 = t log 2 ⇒ 0, 3 · t = 3
⇒ t = 10
Questão 3: Existem alguns esportes em que a sensação de liberdade e perigo convivem
lado a lado. Este é o caso do esqui na neve. Suponha que um esquiador, ao descer uma
montanha, seja surpreendido por uma avalanche que o soterra totalmente. A partir do
instante em que ocorreu o soterramento, a temperatura de seu corpo decresce ao longo
do tempo t (em horas), segundo a função T (t) dada por:
T (t) = 3t +
36
3t
(T em graus Celsius), com t ≥ 0.
Quando a equipe de salvamento o encontra, já sem vida, a temperatura de seu corpo é
de 12 graus Celsius. De acordo com as condições dadas, pode-se afirmar que ele ficou
soterrado por, aproximadamente: (Dica: Utilize a aproximação: log3 2 = 0, 6) (Valor:
1,0)
a) 2 h e 36 minutos
b) 36 minutos
c) 1 h e 36 minutos
2
d) 3 h e 36 minutos
Solução: T (t) = 3t +
36
3t
⇒ 12 = 3t + 36
3t
⇒ 12 = 3
2t + 36
3t
12 · 3t = (3t)2 + 36 ⇒ (3t)2 − 12 · 3t + 36 = 0. Fazendo 3t = x e resolvendo a
equação do 2◦ grau x2 − 12x+ 36, obtemos como resultado x = 6. Dáı,
3t = 6 ⇒ 3t = 2 · 3 ⇒ log3 3t = log3 2 + log3 3 ⇒ t = 0, 6 + 1
t = 1, 6, que equivale a 1 hora e 36 minutos (faça uma regra de três).
Questão 4: O número real a é o menor entre os valores de x que satisfazem a equação
2 · log2 (1 +
√
2x)− log2 (
√
2x) = 3. Então, log2
(
2a+ 4
3
)
é igual a: (Valor: 1,0)
a) 2
b)
3
2
c) 1
d)
1
2
e)
1
4
Solução: 2 · log2 (1 +
√
2x)− log2 (
√
2x) = 3
log2 (1 +
√
2x)2 − log2 (
√
2x) = 3 ⇒ log2
[
(1 +
√
2x)2√
2x
]
= 3
(1 +
√
2x)2√
2x
= 23 ⇒ 1 + 2
√
2x+ 2x2 = 8
√
2x ⇒ 2x2 − 6
√
2x+ 1 = 0
As ráızes desta equação são x =
3
√
2± 4
2
. Assim, a =
3
√
2− 4
2
. Logo,
log2
(
2a+ 4
3
)
= log2
(
2 · 3
√
2−4
2
+ 4
3
)
= log2
3
√
2
3
= log2
√
2 = log2 (2)
1
2 =
1
2
Questão 5: Indique a função trigonométrica f(x) de domı́nio R, Im = [−1, 1] e peŕıodo
π que é representada, aproximadamente, pelo gráfico a seguir:(Valor: 1,0)
3
a) f(x) = 1 + cosx
b) f(x) = 1− sinx
c) f(x) = sin (−2x)
d) f(x) = cos (−2x)
e) f(x) = − cosx
Questão 6: Num triângulo isósceles um dos ângulos mede 30◦ e o seno de outro ângulo
é igual a
√
3
2
. Então a medida do maior ângulo do triângulo é: (Valor: 1,0)
a) 30◦
b) 60◦
c) 90◦
d) 120◦
Solução: sinα =
√
3
2
⇒ α = 60◦ ou α = 120◦. Se um dos ângulos do
triângulo mede 30◦ e sendo o triângulo isósceles, possui dois ângulos internos con-
gruentes. Pela condição de existência do triângulo, ele não pode possuir os três
ângulos internos agudos, logo temos que α = 120◦ (120◦ + 30◦ + 30◦ = 180◦).
Questão 7: A intersecção dos gráficos das funções seno e tangente para 0 < x < π:
(Valor: 1,0)
a) é vazia;
b) contém um único ponto;
c) contém o ponto de abscissa
π
4
;
d) contém mais de um ponto;
Questão 8: Se tan x =
3
4
e π ≤ x ≤ 3π
2
, então o valor de cos x− sinx é: (Valor: 1,0)
a)
7
5
b) −7
5
4
c) −2
5
d)
1
5
e) −1
5
Solução: Utilizando a relação sec2 x = 1 + tan2 x, temos que
tanx =
3
4
⇒ sec2 x = 1 + 9
16
⇒ sec2 x = 25
16
⇒ cos2 x = 16
25
cosx = ±4
5
. Como π ≤ x ≤ 3π
2
, segue que cosx = −4
5
3
4
=
sinx
cosx
⇒ sinx = 3
4
·
(
−4
5
)
⇒ sinx = −3
5
Logo, cos x− sinx = −4
5
−
(
−3
5
)
= −4
5
+
3
5
= −1
5
Questão 9: Se y = cosx ·sin
(π
2
− x
)
+sinx ·cos
(π
2
− x
)
−2 cos
(π
2
− x
)
·sin
(π
2
− x
)
,
então y é igual a: (Valor: 1,0)
a) sin (2x)− 1
b) sin (2x)− cos (2x)
c) cos (2x)− sin (2x)
d) 1− sin (2x)
e) 0
Solução: Utilizando sin
(π
2
− x
)
= cosx, cos
(π
2
− x
)
= sinx
e 2 cosx sinx = sin (2x), temos
y = cosx · sin
(π
2
− x
)
+ sinx · cos
(π
2
− x
)
− 2 cos
(π
2
− x
)
· sin
(π
2
− x
)
= cos2 x+ sin2 x− 2 sinx cosx
= 1− sin (2x)
Questão 10: O número de soluções da equação sin (4x) =
1
2
, compreendidas entre 0 e
2π é: (Valor: 1,0)
a) 16
5
b) 8
c) 4
d) 2
e) 1
Solução: sin (4x) =
1
2
0 ≤ x ≤ 2π ⇒ 4x = π
6
+ 2kπ ou 4x =
5π
6
+ 2kπ
x =
π
24
+
kπ
2
ou x =
5π
24
+
kπ
2
Para x =
π
24
+
kπ
2
, k = 0 ⇒ x = π
24
∈ [0, 2π]
k = 1 ⇒ x = π
24
+
π
2
∈ [0, 2π], k = 2 ⇒ x = π
24
+ π ∈ [0, 2π]
k = 3 ⇒ x = π
24
+
3π
2
∈ [0, 2π], k = 4 ⇒ x = π
24
+ 2π /∈ [0, 2π]
Para x =
5π
24
+
kπ
2
, k = 0 ⇒ x = 5π
24
∈ [0, 2π]
k = 1 ⇒ x = 5π
24
+
π
2
∈ [0, 2π], k = 2 ⇒ x = 5π
24
+ π ∈ [0, 2π]
k = 3 ⇒ x = 5π
24
+
3π
2
∈ [0, 2π], k = 4 ⇒ x = 5π
24
+ 2π /∈ [0, 2π]
Logo, a equação possui 8 soluções no intervalo [0, 2π].
6