3. Matemática - 18

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1ª ET – PROJ. 2022 – MAT 
 O impossível é só mais uma barreira a ser ultrapassada. Bernardo Pestana 1 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
 
DEFINIÇÃO 
Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a 
partir do segundo, é igual ao anterior, somado com uma 
constante chamada razão da progressão aritmética. a1 é o 
primeiro termo da PA e r é a razão da PA. 
Classificação 
➢crescente: é a PA em que cada termo é maior que o anterior. 
É imediato que isto ocorre somente se r > 0. 
➢constante: é a PA em que cada termo é igual ao anterior. É 
fácil ver que isto só ocorre quando r = 0. 
➢decrescente: é a P.A em que cada termo é menor que o 
anterior. Isto somente ocorre se r < 0. 
Termo geral: 
an = a1 + (n – 1).r 
Propriedade: 
( )
2
ca
bc,b,a
+
= 
Soma dos termos: 
2
n).aa(
S n1n
+
= 
Notação especial: 
PA de três termos: (x – r, x, x + r) 
PA de quatro termos: (x – 3y, x – y, x + y, x + 3y) 
PA de cinco termos: (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r) 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. (Unicamp 2020) Considere que (a, b, 3, c) é uma 
progressão aritmética de números reais, e que a soma de 
seus elementos é igual a 8. O produto dos elementos dessa 
progressão é igual a 
a) 30. 
b) 10. 
c) 15.− 
d) 20.− 
 
2. (Ita 2020) A cada aniversário, seu bolo tem uma quantidade 
de velas igual à sua idade. As velas são vendidas em pacotes 
com 12 unidades e todo ano é comprado apenas um novo 
pacote. As velas remanescentes são guardadas para os anos 
seguintes, desde o seu primeiro aniversário. Qual a sua 
idade, em anos, no primeiro ano em que as velas serão 
insuficientes? 
a) 12. 
b) 23. 
c) 24. 
d) 36. 
e) 38. 
 
3. (Ufrgs 2020) Considere o padrão de construção de 
triângulos com palitos, representado nas figuras abaixo. 
 
 
Na etapa n, serão utilizados 245 palitos. Nessas condições, 
n é igual a 
a) 120. 
b) 121. 
c) 122. 
d) 123. 
e) 124. 
 
4. (Fuvest 2020) O cilindro de papelão central de uma fita 
crepe tem raio externo de 3 cm. A fita tem espessura de 
0,01cm e dá 100 voltas completas. 
 
 
Considerando que, a cada volta, o raio externo do rolo é 
aumentado no valor da espessura da fita, o comprimento total 
da fita é de, aproximadamente, 
 
Note e adote: 
3,14.π  
a) 9,4 m. 
b) 11,0 m. 
c) 18,8 m. 
d) 22,0 m. 
e) 25,1m. 
 
5. (Mackenzie 2019) Se 1 4 7 10 N 925,+ + + + + = então 
o valor de N é igual a 
a) 69 
b) 71 
c) 73 
d) 75 
e) 77 
 
6. (Enem 2019) O slogan “Se beber não dirija”, muito utilizado 
em campanhas publicitárias no Brasil, chama a atenção para 
o grave problema da ingestão de bebida alcoólica por 
motoristas e suas consequências para o trânsito. A gravidade 
desse problema pode ser percebida observando como o 
assunto é tratado pelo Código de Trânsito Brasileiro. Em 
2013, a quantidade máxima de álcool permitida no sangue do 
condutor de um veículo, que já era pequena, foi reduzida, e o 
valor da multa para motoristas alcoolizados foi aumentado. 
Em consequência dessas mudanças, observou-se queda no 
número de acidentes registrados em uma suposta rodovia 
nos anos que se seguiram às mudanças implantadas em 
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 O impossível é só mais uma barreira a ser ultrapassada. Bernardo Pestana 2 
 
2013, conforme dados no quadro. 
 
Ano 2013 2014 2015 
Número total de acidentes 1050 900 850 
 
Suponha que a tendência de redução no número de acidentes 
nessa rodovia para os anos subsequentes seja igual à 
redução absoluta observada de 2014 para 2015. 
 
Com base na situação apresentada, o número de acidentes 
esperados nessa rodovia em 2018 foi de 
a) 150. 
b) 450. 
c) 550. 
d) 700. 
e) 800. 
 
7. (Upf 2019) De uma progressão aritmética na de razão r, 
sabe-se que 8a 16= e 14a 4.= Seja nS a soma dos n 
primeiros termos de na , o menor valor de n, de modo que 
nS 220,= é 
a) 12 
b) 11 
c) 14 
d) 16 
e) 18 
 
8. (G1 - cp2 2019) Karen inventou um jogo de cartas com 40 
cartões, cada um com cinco números naturais consecutivos, 
de modo que o 1º cartão tem os números de 1 a 5, o 2º 
cartão deve ter um único número igual ao 1º cartão, o 3º 
cartão deve ter um único número igual ao 2º cartão, e assim 
sucessivamente. 
 
A soma dos cinco números presentes no 30º cartão deste 
jogo é 
a) 589. 
b) 595. 
c) 789. 
d) 795. 
 
9. (G1 - cotuca 2019) João brinca com palitos de fósforo 
montando figuras. Na 1ª etapa, monta um triângulo e, nas 
etapas seguintes, vai acrescentando triângulos conforme a 
sequência representada abaixo. 
 
 
 
O número de palitos de fósforo necessários e suficientes para 
a construção da 10ª etapa é: 
a) 51. 
b) 54. 
c) 57. 
d) 60. 
e) 63. 
 
10. (Enem PPL 2019) Em uma corrida de regularidade, cada 
corredor recebe um mapa com o trajeto a ser seguido e uma 
tabela indicando intervalos de tempo e distâncias entre postos 
de averiguação. O objetivo dos competidores é passar por 
cada um dos postos de averiguação o mais próximo possível 
do tempo estabelecido na tabela. Suponha que o tempo 
previsto para percorrer a distância entre dois postos de 
verificação consecutivos seja sempre de 5 min 15 s, e que 
um corredor obteve os seguintes tempos nos quatro primeiros 
postos. 
 1º posto 2º posto 3º posto 
Tempo 
previsto 
5 min 15 s 10 min 30 s 15 min 45 s 
Tempo 
obtido 
pelo 
corredor 
5 min 27 s 10 min 54 s 16 min 21s 
 
 4º posto 
Último posto 
(final do trajeto) 
Tempo 
previsto 
21min 00 s 1h 55min 30 s 
Tempo 
obtido pelo 
corredor 
21min 48 s 
 
Caso esse corredor consiga manter o mesmo ritmo, seu 
tempo total de corrida será 
a) 1h 55min 42 s. 
b) 1h 56min 30 s. 
c) 1h 59min 54 s. 
d) 2 h 05min 09 s. 
e) 2 h 05min 21s. 
 
TESTE 
 
UEA - SIS 1ª Etapa 2017. Em uma empresa o funcionário 
mais velho tem 62 anos e o mais novo 20 anos. Ordenando 
as idades dos funcionários, do mais novo para o mais velho, 
obtemos uma progressão aritmética de razão 3. Nessa 
empresa, o número de funcionários com mais de 40 anos é 
igual a 
a) 8. 
b) 9. 
c) 10. 
d) 11. 
e) 12. 
 
UEA - SIS 1ª Etapa 2016. Na ordem apresentada, os números 
a seguir formam uma progressão aritmética. 
 
Deste modo, o próximo número dessa progressão será 
a) 1. 
b) 2. 
c) 4. 
d) 6. 
e) 8. 
 
UEA - SIS 1ª Etapa 2016. A sequência (a1, 6, a3, a4, 15, …) é 
uma progressão aritmética e a sequência (1, b2, …) é uma 
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 O impossível é só mais uma barreira a ser ultrapassada. Bernardo Pestana 3 
 
progressão geométrica. Sabendo que a1 = b2, o termo a27 é 
igual a 
a) b4 
b) b5 
c) b6 
d) b7 
e) b8 
 
UEA - SIS 1ª Etapa 2012. Em Manaus, o vício do cigarro 
atinge aproximadamente 140 mil adultos, entre homens e 
mulheres. Contudo, o percentual de fumantes ativos vem 
diminuindo a cada ano. Suponha que o número de pessoas 
que abandonaram o vício em 2009, 2010 e 2011 forme, nessa 
ordem, uma PA crescente de razão 30. Se o número de 
pessoas que abandonaram o vício, somados esses três anos, 
foi 960, o número de pessoas que largaram o vício em 2011 
foi 
a) 300. 
b) 330. 
c) 350. 
d) 370. 
e) 400. 
 
UEA - SIS 1ª Etapa 2018. Camila treinou para uma 
competição de ciclismo percorrendo 10 km no primeiro dia e, 
a partir do segundo dia, percorria 2 500 m a mais do que no 
dia anterior. Se Camila treinou por 21 dias, a distância total 
percorrida por ela nesse período foi 
 a) 
420 km. 
 b) 
485 km. 
 c) 
570 km. 
 d) 
600 km. 
 e) 735 km. 
 
UEA 2018. Em um programa de reabilitação pós-cirurgia, um 
paciente fez caminhadas diárias durante 10 dias seguidos. 
Sabe-se quea cada dia ele caminhava 160 metros a mais que 
no dia imediatamente anterior, e que no primeiro dia ele 
percorreu da distância percorrida no décimo dia. Desse 
modo, no sétimo dia esse paciente percorreu 
a) 1,2 km. 
b) 1,04 km. 
c) 1,12 km. 
d) 2,0 km. 
e) 0,92 km. 
 
UEA - SIS 1ª Etapa 2016. Para um show que aconteceria 
somente às 22h, já na abertura dos portões, às 16h, havia no 
local 1200 pessoas. A partir da abertura dos portões, o público 
aumentou cerca de 1500 pessoas a cada hora. 
 
No horário previsto para o início do show havia no local, 
aproximadamente, 
a) 8700 pessoas. 
b) 10200 pessoas. 
c) 13200 pessoas. 
d) 29700 pessoas. 
e) 39900 pessoas. 
 
UEA 2016. Daniel emprestou R$ 21.250,00 a seu amigo 
Leonardo. O pagamento do valor total emprestado, sem o 
acréscimo de juros, será feito em uma sequência de 10 
parcelas mensais, na qual os valores das parcelas constituem 
uma progressão aritmética crescente de razão r. Se o valor 
da primeira parcela é R$ 1.000,00, a soma dos valores da 
oitava, nona e décima parcelas é igual a 
a) R$ 8.250,00. 
b) R$ 9.000,00 
c) R$ 8.750,00. 
d) R$ 7.800,00. 
e) R$ 8.600,00. 
 
UEA - SIS 1ª Etapa 2015. Determinado tipo de alga, que 
inicialmente ocupava 1,5 m2 de área da superfície de um lago, 
vem crescendo mês a mês, obedecendo à seguinte função 
A(x) = 3 ⋅ 2x–1, sendo A(x) a área da superfície do lago 
ocupada pela alga, em m2, e x o número de meses. Sabendo 
que, no 9o mês, a alga passou a ocupar a área total do lago, 
é correto concluir que o número de meses necessários para 
que essa alga ocupasse da área total desse lago foi 
a) 7. 
b) 6. 
c) 5. 
d) 4. 
e) 3. 
 
UEA 2015. Gabriel desenvolveu um esquema para apostas 
em certo tipo de jogo, no qual os valores apostados em cada 
tentativa estariam em progressão aritmética. Sabe-se que ele 
apostou R$ 50,00 na primeira tentativa, e que a média 
aritmética dos valores apostados nas quatro primeiras 
tentativas foi de R$ 87,50. Nessas condições, o valor da 
aposta na décima quarta tentativa foi igual a 
a) R$ 375,00. 
b) R$ 275,00. 
c) R$ 300,00 
d) R$ 325,00. 
e) R$ 350,00. 
 
UEA 2014. O pirarucu, espécie que só existe na Amazônia, é 
um dos maiores peixes de água doce do Brasil. Apesar de 
ameaçado de extinção, pesquisas recentes permitiram o 
desenvolvimento de sua reprodução em laboratório. 
(Revista Turismo, junho e julho de 2014. Adaptado.) 
No Brasil já existem mais de 200 unidades de produção do 
pirarucu, e a produção de carne do peixe passou de x 
toneladas em 2010 para y toneladas em 2013. Admita que os 
números que representam a produção anual em 2010, 2011, 
2012 e 2013 estejam em progressão aritmética crescente. 
Sabendo-se que a produção de cada ano difere das 
produções dos anos adjacentes em 130 t, e que a tonelagem 
x produzida em 2010 corresponde a 2,5% da tonelagem y 
produzida em 2013, é correto afirmar que o número de 
toneladas produzidas em 2013 foi 
a) 480. 
b) 400. 
c) 260. 
d) 290. 
e) 360. 
 
UEA - SIS 1ª Etapa 2014. O preço de um litro de óleo de 
copaíba aumentou de R$ 30,00, em 2009, para R$ 134,00, 
em 2013. Supondo que o aumento do preço, ano a ano, tenha 
ocorrido em progressão aritmética e que este aumento se 
mantenha na mesma razão nos próximos anos, é correto 
afirmar que o preço de um litro de óleo de copaíba estará 
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aproximadamente 600% maior do que o preço de 2009, no 
ano de 
a) 2014. 
b) 2015. 
c) 2016. 
d) 2017. 
e) 2018. 
 
UEA - SIS 1ª Etapa 2013. O tucumã, fruto de grande valor 
nutricional e bastante consumido no Amazonas, nasce em 
cachos e o número de frutos por cacho varia no decorrer dos 
meses do ano. A maior quantidade de frutos por cacho ocorre 
em janeiro e a menor quantidade em julho. 
(http://tede.inpa.gov.br/tde. Adaptado.) 
 
Suponha que a diminuição do número de frutos por cacho 
ocorra em PA e que um cacho, que contenha 264 frutos em 
janeiro, conterá apenas 156 frutos em julho. 
 
Nessas condições, o número de frutos por cacho no mês de 
maio representaria, em relação ao número de frutos por 
cacho no mês de janeiro, uma diminuição de, 
aproximadamente, 
a) 19%. 
b) 21%. 
c) 23%. 
d) 25%. 
e) 27%. 
 
UEA 2013. Potencialmente, os portos da região Norte podem 
ser os canais de escoamento para toda a produção de grãos 
que ocorre acima do paralelo 16 Sul, onde estão situados 
gigantes do agronegócio. Investimentos em logística e a 
construção de novos terminais portuários privados irão 
aumentar consideravelmente o número de toneladas de grãos 
embarcados anualmente. 
 
 
 
Admita que, na previsão elaborada pela CNI, os números que 
indicam as toneladas de grãos embarcadas anualmente 
estejam em Progressão Aritmética crescente de razão r, na 
qual o primeiro termo é o número de toneladas embarcadas 
em 2012, e o último, o número de toneladas previstas para 
2020. Nessas condições, prevê-se que a quantidade total de 
grãos embarcados, de 2012 a 2020, será, em milhões de 
toneladas, igual a 
a) 254,6. 
b) 273,6. 
c) 290,2. 
d) 268,4. 
e) 243,2. 
 
UEA 2012. Um grupo de amigos apostou 50 reais no concurso 
de número 395 de certa loteria. A partir daí, o valor apostado 
em cada um dos concursos seguintes cresceu em progressão 
aritmética de razão 6, até que atingiu o valor máximo de 170 
reais. Sabendo que o grupo apostou em todos os concursos 
seguintes ao de número 395, sem exceção, pode-se afirmar 
que o valor de 170 reais foi apostado no concurso de número 
a) 412. 
b) 413. 
c) 410. 
d) 416. 
e) 415. 
 
UEA - SIS Conhecimentos Gerais 2011. Instrução: O texto 
refere-se à questão. 
 
 Biojoias (ou ecojoias) são artigos de joalheria que misturam 
gemas e metais preciosos com material orgânico, como 
madeira, fibras de arumã ou casca de pupunheira, e são 
produzidas de forma exclusivamente artesanal. No Pará, o 
Polo Joalheiro São José Liberto, mantido pelo governo 
estadual desde 2002, treina ourives e designers na criação de 
peças que valorizem a cultura amazônica e o ambiente. 
(O Estado de S.Paulo, 24.11.2010.) 
Um ourives desenvolveu um brinco com a forma de um 
triângulo escaleno, cujas medidas dos lados, representadas 
pela sequência L1 , L2 e L3 , estão em PA crescente. 
Sabendo-se que o perímetro do brinco mede 5,4 cm, pode-se 
afirmar que a medida de L2 , em centímetros, vale 
a) 1,8. 
b) 1,9. 
https://www.pensador.com/autor/bernardo_pestana/
https://cdng.estuda.com/sis_questoes/posts/146573_pos.jpg?1502483178
1ª ET – PROJ. 2022 – MAT 
 O impossível é só mais uma barreira a ser ultrapassada. Bernardo Pestana 5 
 
 c) 2,1. 
d) 2,2. 
e) 2,4. 
 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
DEFINIÇÃO 
Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a 
partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma 
constante chamada razão da progressão geométrica. a1 é o 
1º termo e q á a razão da PG. 
Termo geral: 
an = a1 .qn – 1 
a1 é o primeiro termo; 
an é o último termo; 
n é o número de termos; 
q é a razão da PG. 
Propriedade da PG: 
(a, b, c) ⇒ c.ab2 = 
Soma dos termos de uma PG finita: 
1q
)1q.(a
S
n
1
n
−
−
= 
Soma dos termos de uma PG infinita (−1< q < 1): 
q1
a
S 1n
−
= 
Produto dos termos de uma PG: 
2
)1n(n
n
1n q.aP
−
= 
Notação especial: 
PG de três termos: 






xq,x,
q
x
 
PG de quatro termos: 





 2xq,xq,x,
q
x
 
PG de cinco termos: 







2
2
xq,xq,x,
q
x
,
q
x
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1.Calcule o 6° termo da sequência (4, 12, 36...). 
 
2.Calcule o 30° termo da sequência (9, 3, 1...). 
 
3.Determine o número de termos da PG (3, 6, 12...1536). 
 
4.Determine o sexto termo da progressão (5, 15, 45...). 
5.Determine o número de elementos da PG finita (6,12...192). 
 
6.Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1/2, 1...) 
 
7.Calcule a soma dos termos da PG(5, 20...1280). 
 
8.Calcular o produto dos 21 primeiros termos da P.G. (4, 8, 
16, 32...). 
9.Determine o número de termos da PG (128, 64... 1/256). 
 
10.Qual é o número que se deve ser somado a 1, 9 e 15 para 
que se tenha nessa ordem uma PG? 
 
11.Inserindo-se 4 meios geométricos entre K e 3125 obtemos 
uma PG de razão 5, qual o valor de K? 
 
12.Sabendo-se que x – 4, 2x + 4 e 10x – 4 são termos 
consecutivos de uma PG, calcule x de modo que eles sejam 
positivos. 
 
13.Sabendo-se que a sucessão (x – 1, x + 2, 3x, ...) é uma 
PG crescente, determine x. 
 
14.Numa PG tem-se a1 = 3 e a8 = 384. Calcule: 
a) a razão; 
 
b) o terceiro termo. 
 
 
15.Calcule: 
a) a soma dos cinco primeiros termos da PG (2, –6, 18, ...); 
 
b) a soma dos seis primeiros termos da PG ( )...,39,9,33 ; 
 
c) a soma dos 10 primeiros termos da PG (2, 4, 8, 16, ...). 
 
16.Escreva a PG cuja razão é 
2
3
 e a soma dos cinco 
primeiros termos é 422. 
 
 
17.A soma dos termos de uma PG decrescente infinita é 128 
e a razão é 
4
1
. Calcule o segundo termo. 
 
TESTES 
 
1. UEA - SIS 1ª Etapa 2016. A sequência (a1, 6, a3, a4, 15, 
…) é uma progressão aritmética e a sequência (1, b2, …) é 
uma progressão geométrica. Sabendo que a1 = b2, o termo 
a27 é igual a 
a) b4 
b) b5 
c) b6 
d) b7 
e) b8 
 
2. UEA - SIS 1ª Etapa 2018. Um sapo comeu 1 inseto às 8h, 
depois comeu 2 insetos no minuto seguinte, 4 insetos durante 
o próximo minuto, e assim por diante, comendo a cada minuto 
o dobro de insetos que comeu no minuto anterior. Mantendo 
esse ritmo, esse sapo comeu, durante o minuto a partir de 
8h07, um número de insetos igual a 
a) 32. 
b) 64. 
c) 128. 
d) 256. 
e) 512. 
 
3. UEA - SIS 1ª Etapa 2017. Renato começou a colecionar 
moedas. Ele começou com 3 moedas em 3 de julho, 
conseguiu mais 9 moedas no dia 4 de julho, mais 27 moedas 
no dia 5 de julho e a cada dia seguinte conseguia 3 vezes 
mais moedas do que havia conseguido no dia anterior. 
Mantendo esse ritmo, o dia em que a soma das moedas que 
Renato colecionou passou de 1000 foi 
a) 8 de julho. 
b) 2 de agosto. 
c) 16 de setembro. 
d) 12 de outubro. 
e) 15 de novembro. 
 
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4. UEA - SIS 1ª Etapa 2015. Os preços dos produtos A, B e 
C, nesta ordem, formam uma PG de razão 2,5. Sabendo que 
os três produtos juntos custam R$ 195,00, é correto concluir 
que a diferença entre o preço do produto mais caro e o preço 
do mais barato é 
a) R$ 105,00. 
b) R$ 75,00. 
c) R$ 50,00. 
d) R$ 30,00. 
e) R$ 25,00. 
 
5. UFAM PSC 2014/1. Um triângulo equilátero tem a medida 
do lado, seu perímetro e sua área em Progressão 
Geométrica. A área deste triângulo mede: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
6. EA - SIS Conhecimentos Gerais 2011. Imagens de satélite 
mostraram que os números de quilômetros quadrados 
desmatados em certa região, nos anos de 2006, 2007, 2008, 
2009 e 2010 constituem uma PG de 5 termos, cuja soma dos 
três primeiros é 26, e de razão q = 3. A área desmatada em 
2008 foi, em km², igual a 
a) 36. 
b) 30. 
c) 24. 
d) 20. 
e) 18. 
 
7. FAMEMA 202. A progressão geométrica (a1, a2, a3, 
...) tem primeiro termo a1 = 3/8 e razão 5. A progressão 
geométrica (b1, b2, b3, ...) tem razão 5/2. 
 
Se a5 = b4, então b1 é igual a 
a) 25/4 
b) 5 
c) 3/20 
d) 15 
e) 9/2 
 
8. FMP 2019. Uma progressão geométrica tem o seu 
primeiro termo e sua razão iguais a 1/2. 
 
O quinto termo dessa progressão é uma fração que, se escrita 
em forma percentual, é dada por 
a) 6,25% 
b) 31,25% 
c) 3,125% 
d) 32% 
e) 2,5% 
 
9. USS 2019/1. As idades de um jovem, de sua mãe e de 
sua avó estão, nessa ordem, em progressão geométrica de 
razão 9/4. Sabe-se que a avó possui 65 anos a mais que o 
neto. 
 
A idade, em anos, da mãe desse jovem é igual a 
a) 44 
b) 40 
c) 36 
d) 32 
 
10. UNICAMP 2019. A figura a seguir exibe um pentágono em 
que quatro lados consecutivos têm comprimentos a, b, c e d. 
 
11. Se a sequência (a, b, c, d) é uma progressão geométrica 
de razão então tan θ é igual a 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
12. UERJ 2019/1. Os triângulos A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, 
ilustrados abaixo, possuem perímetros p1, p2, p3, 
respectivamente. Os vértices desses triângulos, a partir do 
segundo, são os pontos médios dos lados do triângulo 
anterior. 
 
 
Admita que e 
 
Assim, (p1, p2, p3) define a seguinte progressão: 
a) aritmética de razão = – 8 
b) aritmética de razão = – 6 
c) geométrica de razão = 
d) geométrica de razão = 
 
13. UNICENTRO 2018. A PG é toda sequência de números 
não nulos na qual é constante o quociente da divisão de cada 
termo “a partir do segundo” pelo termo anterior. Esse 
quociente constante é chamado de razão da progressão. 
Assinale a única alternativa correta, após determinar a razão 
de (2, 8,...) 
a) q= 8 
b) q= -2 
c) q= 10 
d) q= 2 
e) q= 4 
 
14. FACERES 2018/1. Uma determinada colônia de bactérias 
possui, em um determinado instante, 20.000 organismos. 
Sabendo que essa população dobra a cada 12 horas, quantos 
organismos haverá depois de decorridos 3 dias? 
a) 1.280.000. 
b) 240.000. 
c) 1.440.000. 
https://www.pensador.com/autor/bernardo_pestana/
https://cpbprova.com.br/sis_questoes/posts/302698_pre.jpg?1531402246&empresa=15388
1ª ET – PROJ. 2022 – MAT 
 O impossível é só mais uma barreira a ser ultrapassada. Bernardo Pestana 7 
 
d) 60.000. 
e) 40.000. 
 
15. IFSulDeMinas 2018/2. Determine x para que a sequência 
forme uma PG. (x–1, x, x+5): 
a) 1 
b) 1,25 
c) 1,5 
d) 1,75 
 
16. EEAR 2018/2. O 6º termo da sequência 2, 8, 32, 128, ... é 
um número cuja soma dos algarismos é 
a) 10 
b) 12 
c) 14 
d) 16 
 
17. EEAR 2018/1. Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ...) de razão q = 2. 
Se a1 + a5 = 272, o valor de a1 é 
a) 8 
b) 6 
c) 18 
d) 16 
 
18. UNIMONTES 1° Etapa 201. Se x é um número real 
positivo, então o valor de x, que torna a 
sequência uma progressão geométrica, é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
LOGARITMOS 
DEFINIÇÃO 
abxalog xb =→= 
sendo b > 0 , a > 0 e a  1 
a = base do logaritmo 
b = logaritmando ou antilogaritmo 
x = logaritmo 
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO 
Sendo b > 0, a > 0 e a  1 e um número real qualquer, 
temos a seguir algumas consequências da definição de 
logaritmo: 
1blogb = 
01logb = 
ab
alogb = 
 
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS 
1.Logaritmo do produto: 
( ) ylogxlogyxlog bbb += 
2.Logaritmo do quociente: 
ylogxlog
y
x
log bbb −=





 
3.Logaritmo da potência: 
xlogyxlog b
y
b = 
 
MUDANÇA DE BASE 
blog
alog
alog
c
c
b = 
EXERCÍCIOS 
 
1.Calcule: 
a) 16log2 
 
b) 16log4 
 
c) 81log3 
 
d) 125log5 
 
e) 100000log10 
 
f) 64log8 
 
g) 
4
1
log2 
 
h) 3log3 
 
i) 16log8 
 
j) 128log4 
 
k) 6log36 
 
l) 01,0log 
 
m) 4log
8
1
 
n) 3log27 
 
o) 125,0log16 
 
p) 27log3 
 
q) 32log
2
1
 
r) 32log4 
 
s) 16log 5,0 
 
t) 5,0log2 
 
u) 01,0log10 
 
v) 5log
5
 
 
w) 
3
4 128log 
 
x) 5 001,0log 
 
y) 243log81 
 
 
https://www.pensador.com/autor/bernardo_pestana/
1ª ET – PROJ. 2022 – MAT 
 O impossível é só mais uma barreira a ser ultrapassada. Bernardo Pestana 8 
 
2.Calcule, aplicando a definição de logaritmo: 
a) 
9
1
log9 
 
b) 625log25 
 
c) 10log 01,0 
 
d) 
2
1
log4 
 
e) 27log
3
 
 
3.Determine o valor de x: 
a) 
2
1
xlog4 = 
 
b) 216logx = 
 
c) 2xlog
2
3 −=
 
 
d) 40081,0logx −= 
 
4.Usando as propriedades operatórias dos logaritmos, 
calcule: 
a) )625.125(log5 
 
b) 816log2 
 
c) 
33 3
381
log 
 
5.Calcule o valor de: 
a) 2log1 33 + 
 
b) 
5log24 
 
 
TESTES 
 
1.(VUNESP) Se 903,08log = e 845,170log = , então 
14log é igual a: 
a) 1,146 
b) 1,164 
c) 1,182 
d) 1,208 
e) 1,190 
 
2.(FEI) Se a2log = e b3log = , escrevendo
27
32
logem 
função de a e b, temos: 
a) 2a + b 
b) 2a – b 
c) 2ab 
d) 2a/b 
e) 5a – 3b 
 
3.(FMU) Sendo a, b e c números reais positivos, 
clog.3blog.
3
1
alog.2 −+ é igual a: 
 
a) )c3
3
b
a2log( −+ 
 
b)
3
32
c
ba
log 
 
c) 
3
2
c
ba
log
+
 
 
d) 
3
32
clog
blog.alog
 
 
e) 
c9
ab2
log 
 
4.(FGV) Se 3
8
1
log x2 = , então o valor de x é: 
a)3 
b)1/3 
c)4 
d)1/4 
e)1/8 
 
5.(PUC) A soma das raízes da equação 32log
5x3x
2
2
=+−
é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
6.(MACK) O valor de 3
100
1 1,0log é: 
a) –1/2 
b) –1/6 
c) 1/6 
d) 1/2 
e) 1 
 
7.(UFPA) O valor do )125(loglog 5
3
1
 é: 
a) 1 
b) –1 
c) 0 
d) 2 
e) 0,5 
 
8.(MACK) O valor de 1010log001,0log32log 1,0
2
1 −+ é: 
a) –13 
b) –13/2 
c) –19/2 
d) –19 
e) –22/3 
 
https://www.pensador.com/autor/bernardo_pestana/
1ª ET – PROJ. 2022 – MAT 
 O impossível é só mais uma barreira a ser ultrapassada. Bernardo Pestana 9 
 
9.(UEL) O valor da expressão 
8log.
64
1
log
01,0log1log
42
3 +
 é: 
a) 4/15 
b) 1/3 
c) 4/9 
d) 3/5 
e) 2/3 
 
10.(ANGLO) O valor da expressão 
E = log 8 + log 35 – log 28 
é: 
a) –5 
b) 5 
c) 1 
d) 10 
e) –16 
 
11.(PUC) log 50 + log 40 + log 20 + log 2,5 é igual a: 
a) 1 
b) 3 
c) 5 
d) 10 
e) 1000 
 
12.(FUVEST) Se 49log= ye 7logx 164= , então x – y 
é igual a: 
a) 7log4 
b) log 7 
c) 1 
d) 2 
e) 0 
 
13.(VUNESP) Se xalog3 = , então 
2
9 alog é igual a: 
a) 2x2 
b) x2 
c) x + 2 
d) 2x 
e) x 
 
14.(FUVEST) Se log 8 = a então log 5 vale: 
a) a3 
b) 5a – 1 
c) 2a/3 
d) 1 + a/3 
e) 1 – a/3 
 
15.(FGV) Consideremos os seguintes dados: log 2 = 
0,3 e log 3 = 0,48. Nessas condições, o valor de log15 é: 
a) 0,78 
b) 1,08 
c) 0,88 
d) 1,18 
e) 0,98 
 
16.(MACK) Se 32m = , então 54log2 é igual a: 
a) 2m + 3 
b) 3m + 1 
c) 6m 
d) m + 6 
e) m + 3 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
DEFINIÇÃO 
A função f:IR+ → IR definida por xlog)x(f a= , com a  1 
e a > 0, é chamada função logarítmica de base a. O domínio 
dessa função é o conjunto IR+ e o contradomínio é IR. 
 
CLASSIFICAÇÃO 
➢Se a > 1 
f(x) é crescente e Im = IR 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1 → y2 > y1 
 
➢Se 0 < a < 1 
f(x) é decrescente e Im = IR 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1 → y2 < y1 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1.Resolva as equações: 
a) ( ) 41xlog2 =+ 
 
b) ( ) 32xxlog 22 =++ 
 
c) ( ) 1xloglog 24 = 
 
d) ( ) 27xlog 21x =++ 
 
2.Resolva as seguintes equações: 
a) 06xlogxlog 3
2
3 =−− 
 
b) 01xlog2xlog 2
2
2 =+− 
 
3.Resolva as equações a seguir: 
a) ( ) 11xlog2log 33 =++ 
 
b) ( ) 6log1xlog3log 222 =−+ 
 
c) ( ) ( ) ( )7x2log13xlog2xlog 222 −+=−+− 
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1ª ET – PROJ. 2022 – MAT 
 O impossível é só mais uma barreira a ser ultrapassada. Bernardo Pestana 10 
 
4.Resolva as equações logarítmicas: 
a) 88log.4xlog x2 =+ 
 
b) 3xlogxlog
22
−=+ 
 
c) 9log1xlog x3 += 
 
d) 25,6xlogxlogxlogxlog 16842 −=+++ 
 
e) ( ) ( ) 2/11xlog1x3log 42 =+−− 
 
f) 2log]xlog)xlog[(log 2 =− 
 
g) 4xlogxlog 327 =+ 
 
5.Resolva as inequações: 
a) ( ) 01xlog5 − 
 
b) ( ) 4log6x2log 33 + 
 
c) ( ) 3logx2log 22 − 
 
d) ( ) 8log1xlog 3,023,0 − 
 
6.Resolva: 
a) ( ) xlog2logx3log
2
1
2
1
2
1 −−
 
b) ( ) 3logxlog1x2log 444 ++ 
 
c) ( ) ( ) 14xlog5xlog 22 −+− 
 
 
7.Resolva as seguintes inequações: 
a) )9x3(log)1x(log
2
1
2
2
1 +− 
b) 5log2
4
3
xxlog 2
2
2
1 −





−− 
c) 2)2xx(log 22 −+ 
 
d) )1x(log)x2(log
2
12 +−
 
e) 1
8
3
xx2log 2
8
5 





−− 
 
f) 0 < 1)3x4x(log 23 +− 
 
g) 2)2x3(log)1x(log
2
1
2
1 −−+−
 
 
h) 4log)1x(log)6xx(log 33
2
3 +−−+ 
i) ( ) 1xlogloglog 3
2
12 








 
j) log4 x – 5 log2 x + 4 < 0 
 
k)
 
02xlog3xlog 3
2
3 +− 
8.Resolva a inequação: 7log)3x2(log 55 − . 
 
9.Resolva a inequação: ( ) 3x28log
3
1 −
. 
10.Resolva a inequação: 1)2x(log)1x(log 1212 −+− . 
 
11.Resolva a inequação: 7log3log )4x()4x( ++  . 
 
12.Resolva a inequação: 
2
1
log78xlog x
2
1 −
. 
 
13.Resolva a inequação, sendo a > 1 e 1a  : 
( ) ( ).1xlog6x2log aa +− 
 
 
TESTES 
 
1. UFAM PSC 2015/1. Com o objetivo de combater a 
proliferação do mosquito transmissor da dengue, estão sendo 
produzidos em laboratório aedes aegyptis machos 
geneticamente modificados. 
 
 Eles possuem dois genes adicionais. Quando são soltos se 
reproduzem com fêmeas que vivem livres na natureza. 
Depois de cruzar elas vão produzir ovos, que se transformam 
em larvas e pupas, mas toda a nova geração de mosquitos 
vai morrer antes de se reproduzir. Com o passar do tempo, a 
população de aedes aegypti diminuirá drasticamente. 
 Supondo que em um determinado bairro após a soltura 
destes mosquitos modificados, a diminuição da população 
de aedes aegypti se dá segundo a 
função , onde N0 indica a população 
inicial de mosquitos (t = 0) e t o tempo medido em meses. 
O tempo necessário para que a população de edes aegypti 
neste bairro se reduza à metade é de: 
Obs. 
Considere ln 2 = 0,7 
a) 2 meses 
b) 2 meses e meio 
c) 3 meses 
d) 3 meses e meio 
e) 4 meses 
 
2. UEA - SIS 1ª Etapa 2014. Ao estudar um exemplar de uma 
espécie de peixe ornamental, os pesquisadores constataram 
que, no 1.° dia de observação, o comprimento do peixe era 
de 2 cm e que, até o 10.° dia de observação, o comprimento 
desse peixe obedeceu à função y = 2 + log2x, sendo y o 
comprimento, em cm, e x o número de dias, com 1 ≤ x ≤ 10. 
Usando log 2 ≅ 0,30 e log 3 ≅ 0,48, é correto afirmar que o 
comprimento do peixe, em cm, no 6.° dia, era 
a) 4,8. 
b) 4,6. 
c) 4,4. 
d) 4,2. 
e) 4,0. 
https://www.pensador.com/autor/bernardo_pestana/
1ª ET – PROJ. 2022 – MAT 
 O impossível é só mais uma barreira a ser ultrapassada. Bernardo Pestana 11 
 
3. UFAM PSC 2013/3. Sejam f :R→R tal que f (x) = sen(x) e 
g :R→R tal que g(x) = cos(x) . A função h :R →R tem sua 
representação gráfica como a seguir. 
 
A lei que melhor representa a função h é dada por: 
a) h(x) = (f (x) )2 + (g (x))2 
b) h(x) = f(x) + (g (x))2 
c) h(x)= (f (x))2 + g(x) 
d) h(x) = f(x) - g (x) 
e) h(x) = (f(x))2 - (g(x))2 
 
4. ENEM 2° Dia 2019. Charles Richter e Beno Gutenberg 
desenvolveram a escala Richter, que mede a magnitude de 
um terremoto. Essa escala pode variar de 0 a 10, com 
possibilidades de valores maiores. O quadro mostra a escala 
de magnitude local (Ms) de um terremoto que é utilizada para 
descrevê-lo. 
 
 
Para se calcular a magnitude local, usa-se a fórmula Ms = 
3,30 + log(A·f), em que A representa a amplitude máxima da 
onda registrada por um sismógrafo em micrômetro (µm) 
e f representa a frequência da onda, em hertz (Hz). Ocorreu 
um terremoto com amplitude máxima de 2 000 µm e 
frequência de 0,2 Hz. 
 
Disponivel em: http://ce jarj cecier) edu.br. Acesso em: 1 fev. 
2015(adaptado). 
 Utilize 0,3 como aproximação para log 2. 
 
De acordo com os dados fornecidos, o terremoto ocorrido 
pode ser descrito como 
a) Pequeno. 
b) Ligeiro. 
c) Moderado. 
d) Grande. 
e) Extremo. 
 
5. IFAL 2019/1. Determine o valor do log 8 (128). 
a) 1/2 
b) 1 
c) 5/3 
d) 2 
e) 7/3 
6. ESA 2018. O valor da 
expressão é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
7. A raiz da equação log x + log x2 + log x3 + .... ... + log x100 = 
15150, onde os logaritmos são considerados na base 10, é 
um número 
a) Primo. 
b) Ímpar. 
c) Múltiplo de 10. 
d) Menor que 140. 
 
8. FAAP 2017. O custo de produção de uma mercadoria é 
dado pela expressão log 3 81 + 25. 
 
Qual é o seu preço de custo? 
a) R$ 32,00 
b) R$ 40,00 
c) R$ 42,00 
d) R$ 36,00 
e) R$ 35,00 
 
9. ESA 2017.Se log x representa o logaritmo na base 10 de x, 
então o valor de k ∈ (0, +∞), tal que log k = 10 - log 5 é: 
a) 109 
b) 5.109 
c) 1010 
d) 2.109 
e) 5.1010 
 
10. UFRGS HIST - MAT 2017. Se log5 x = 2 e log10 y = 4 , 
então log20 é 
a) 2. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 10. 
 
11. EsPCEx 2° Dia 2017. A curva do gráfico abaixo 
representa a função y=log4 x 
 
 
 
A área do retângulo ABCD é 
a) 12. 
b) 6. 
c) 3. 
d) 
e) log46. 
https://www.pensador.com/autor/bernardo_pestana/
https://cdng.estuda.com/sis_questoes/posts/213746_pre.jpg?1523646854
1ª ET – PROJ. 2022 – MAT 
 O impossível é só mais uma barreira a ser ultrapassada. Bernardo Pestana 12 
 
12. EEAR 2017/2. As funções logarítmicas f(x) = log0,4 x e g(x) 
= log4 x são, respectivamente, 
a) crescente e crescente 
b) crescente e decrescente 
c) decrescente e crescente 
d) decrescente e decrescente 
 
13. FAMEMA 2016. Considere as funções f(x) = 3x–k e g(x) = 
log2 x, sendo k um número real. 
Usando log10 2 = 0,30, log10 3 = 0,48 e sabendo que f(g(8)) = 
3, o valor de g(f(5)) é 
a) 4,8. 
b) 5,6. 
c) 5,3. 
d) 3,9. 
e) 4,2. 
 
14. UVA 2016/1. Assinale a propriedade válida sempre 
a) log(a.b) = log a.logb . 
b) log(a + b) = log a + logb. 
c) logm.a = mlog a . 
d) log am = m log a. 
 
15. FPP Inverno Medicina 2016. Um líquido evapora à razão 
de 4% do seu volume a cada hora. O tempo necessário para 
que o volume desse líquido seja ¼ do volume inicial é: 
(Dados: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48) 
a) 18 horas. 
b) 21 horas. 
c) 25 horas. 
d) 28 horas. 
e) 30 horas. 
 
16. IFAL 2016/2. Num determinado mês, a quantidade 
vendida Q de um certo produto, por dia, em uma loja, em 
função do dia d do mês, é representada pela função Q = log2d. 
Qual a quantidade vendida desse produto no dia 16 desse 
mês? 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
 
17. PUC-RS Verão 2016. Observando-se o céu após uma 
chuva, avista-se parte de um arco-íris atrás de uma 
construção. A parte visível poderia ser identificada como a 
representação gráfica da função f dada por f (x) = log x, 
abaixo. 
 
 
A soma dos valores a, b e c, indicados na figura, é 
a) 11,1 
b) 14,5 
c) 14,9 
d) 15,5 
e) 100,1 
18. EsPCEx 2° Dia 2015. Fazendo temos 
que 
primos entre si. 
 
Logo é igual a 
a) 28 
b) 29 
c) 40 
d) 51 
e) 52 
. 
19. UNESP 2015/1. No artigo “Desmatamento na Amazônia 
Brasileira: com que intensidade vem ocorrendo?”, o 
pesquisador Philip M. 
Fearnside, do INPA, sugere como modelo matemático para o 
cálculo da área de desmatamento a função D(t) = D(0) · ek·t, 
em que D(t) representa a área de desmatamento no instante 
t, sendo t medido em anos desde o instante inicial, D(0) a área 
de desmatamento no instante inicial t = 0, e k a taxa média 
anual de desmatamento da região. Admitindo que tal modelo 
seja representativo da realidade, que a taxa média anual de 
desmatamento (k) da Amazônia seja 0,6% e usando a 
aproximação ln2 ≅ 0,69 , o número de anos necessários para 
que a área de desmatamento da Amazônia dobre seu valor, 
a partir de um instante inicial prefixado, é aproximadamente 
a) 51. 
b) 115. 
c) 15. 
d) 151. 
e) 11. 
 
20. ENEM 2° Dia 2019. Charles Richter e Beno Gutenberg 
desenvolveram a escala Richter, que mede a magnitude de 
um terremoto. Essa escala pode variar de 0 a 10, com 
possibilidades de valores maiores. O quadro mostra a escala 
de magnitude local (Ms) de um terremoto que é utilizada para 
descrevê-lo. 
 
 Para se calcular a magnitude local, usa-se a fórmula Ms = 
3,30 + log(A·f), em que A representa a amplitude máxima da 
onda registrada por um sismógrafo em micrômetro (µm) 
e f representa a frequência da onda, em hertz (Hz). Ocorreu 
um terremoto com amplitude máxima de 2 000 µm e 
frequência de 0,2 Hz. 
Disponivel em: http://ce jarj cecier) edu.br. Acesso em: 1 fev. 
2015(adaptado). 
 
 Utilize 0,3 como aproximação para log 2. 
 
De acordo com os dados fornecidos, o terremoto ocorrido 
pode ser descrito como 
a) Pequeno. 
b) Ligeiro. 
c) Moderado. 
d) Grande. 
e) Extremo. 
 
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1ª ET – PROJ. 2022 – MAT 
 O impossível é só mais uma barreira a ser ultrapassada. Bernardo Pestana 13 
 
20. FCMSJF 2018/2. A raiz da equação log x + log x2 + log 
x3 + .... ... + log x100 = 15150, onde os logaritmos são 
considerados na base 10, é um número 
a) Primo. 
b) Ímpar. 
c) Múltiplo de 10. 
d) Menor que 140. 
 
21. ESA 2018. O valor da 
expressão é 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO 
RETÂNGULO 
DEFINIÇÃO 
 
a: hipotenusa; 
b e c: catetos; 
m e n: projeções dos catetos; 
h: altura relativa à hipotenusa. 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
a2 = b2 + c2 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
h2 = m.n 
a.h = b.c 
c2 = n.a 
b2 = m.a 
a = m + n 
 
EXERCÍCIOS 
 
1.Na figura abaixo, determine AB e AD. 
 
2.A figura abaixo representa um retângulo e três 
circunferências, sendo duas idênticas maiores e uma menor 
destacada. Determine o raio da circunferência menor, 
sabendo que A, B, C, D e E são pontos de tangência. 
 
3.Na figura, estão representados dois círculos de raios 5 cm 
e 8 cm, tangentes entre si e tangentes aos lados do retângulo 
ABCD. Determine a medida do lado AD do retângulo. 
 
4.No triângulo retângulo abaixo, determine o valor de x, y, z e 
t. 
 
5.Duas circunferências de raios 6 cm e 8 cm são tangentes 
externamente. Determine a medida de um segmento AB, 
sendo A e B os pontos de tangência da reta AB com as 
circunferências. 
 
 
6.Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A. Sendo AB = 
9 cm e AC = 12 cm, determine x, y, z e t. 
 
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1ª ET – PROJ. 2022 – MAT 
 O impossível é só mais uma barreira a ser ultrapassada. Bernardo Pestana 14 
 
7.Na figura abaixo, determine o valor de x, y e h. 
 
 
8.Determine o valor de x, y, z e w no triângulo retângulo 
abaixo. 
 
 
9.Calcule as medidas b, c e h indicadas no triângulo retângulo 
a seguir: 
 
 
10.Calcule os valores de c, r, x e y do triângulo abaixo. 
 
 
TESTES 
 
1. UFAM PSC 2016/1. Apenas três degraus dão acesso à 
porta de uma escola, sendo que cada um tem 20 cm de altura. 
Para atender portadores de necessidades especiais, será 
construída uma rampa respeitando a legislação em vigor. A 
rampa deve formar, com o solo, um ângulo de 6°, conforme 
mostra a figura a seguir. 
 
 
O comprimento C desta rampa em metros será 
aproximadamente de: 
 
Dados: sen 6° ≈ 0,1045, cos 6° ≈ 0,9945 
a) 5,57 
b) 5,74 
c) 6,53 
d) 8,26 
e) 8,84 
 
2. UEA 2017. Na figura, a reta r intercepta o plano α em P e 
forma com ele um ângulo de 30º. 
 
Se AP = 30 cm, então a menor distância de A ao plano α é 
a) 
b) 30 cm 
c) 
d) 15 cm 
e) 
 
3. UEA - SIS 1ª Etapa 2014. O cupuaçuzeiro é uma fruteira 
nativa da região amazônica e seus frutos (cupuaçu) são muito 
apreciados pelo sabor típico e aproveitados pelas indústrias 
alimentícias e de cosméticos. 
 Para um maior aproveitamento do solo, as mudas dessa 
árvore devem ser plantadas em espaçamentos que variam de 
5 x 5 m até 8 x 8 m em forma de triângulo equilátero. 
(www.ceplac.gov.br. Adaptado.) 
 
 
A figura mostra um espaçamento feito em forma de triângulos 
equiláteros com 8 m de lado, sendo que em cada vértice dos 
triângulos há uma muda. 
 
https://www.pensador.com/autor/bernardo_pestana/
1ª ET – PROJ. 2022 – MAT 
 O impossível é só mais uma barreira a ser ultrapassada. Bernardo Pestana 15 
 
Usando e os dados da tabela, é correto concluir 
que a distância aproximada, em metros, entre as mudas A e 
B é 
a) 25. 
b) 24. 
c) 23. 
d) 22. 
e) 21. 
 
04. UEA 2013. Admita que a área desmatada em Altamira, 
mostrada na fotografia, tenha a forma e as dimensões 
indicadas na figura. 
 
Usando a aproximação ≈ 1,7,pode-se afirmar que a área 
desmatada, em quilômetros quadrados, é, aproximadamente, 
a) 10,8. 
b) 13,2. 
c) 12,3. 
d) 11,3. 
e) 15,4. 
 
5. UEA - SIS 1ª Etapa 2012. A área destinada a uma 
plantação está limitada por um rio, conforme a figura. 
 
 
Dados cos 135º ≅ – 0,70 e sen 135º ≅ 0,70, a distância, AC, 
em km, é, aproximadamente, 
a) 14. 
b) 12. 
c) 10. 
d) 8. 
e) 6. 
 
6. UEA 2012. Em certo hotel de selva, no coração da floresta 
amazônica, cujos bangalôs são construídos sobre palafitas, 
em função do aumento do nível das águas em épocas de 
cheias, há uma torre para observação da flora e da fauna. 
Admita que essa torre vertical seja presa por cabos fixos no 
solo, em um terreno plano horizontal, conforme 
esquematizado na figura. 
Sabendo-se que os pontos A e C estão a 12 m da base da 
torre (ponto B), que cada cabo mede 20 m, e que o ponto D 
está a 3 m do topo da torre, pode-se afirmar que a altura total 
dessa torre é, em metros, igual a 
 
a) 20. 
b) 22. 
c) 24. 
d) 19. 
e) 18. 
 
7. UFAM PSC 2015/1. Fazendo uso do triangulo 
retângulo ABC da figura a seguir, considere as seguintes 
afirmações onde a,b,c∈° e 0 < b < c < a . 
 
 
I. cos2α +sen2β =1 
II. 
III. senα = cosβ 
 
IV. cosα = cosβ 
V. 
 
Assinale a alternativa correta: 
a) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
b) Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas III e V são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas I e V são falsas. 
e) Somente as afirmativas IV e V são falsas. 
https://www.pensador.com/autor/bernardo_pestana/
https://cdng.estuda.com/sis_questoes/posts/146692_pre.jpg?1502714802
https://cdng.estuda.com/sis_questoes/posts/146921_pos.jpg?1502736068
1ª ET – PROJ. 2022 – MAT 
 O impossível é só mais uma barreira a ser ultrapassada. Bernardo Pestana 16 
 
8. EEAR 2019/1. Se ABC é um triângulo retângulo em A, o 
valor de n é 
 
a) 22/3 
b) 16/3 
c) 22 
d) 16 
 
9. ETEC 2019/1. Sem dispor de uma trena de comprimento 
suficiente, um pedreiro determinou a medida do desnível (d) 
de um terreno, valendo-se da propriedade da propagação 
retilínea da luz. 
Observou que, em determinado momento do dia, um muro 
vertical de 1,5 m de altura, construído na parte alta do terreno, 
projetava uma sombra de 0,4 m sobre a parte superior do 
terreno, que era plana e horizontal. No mesmo instante, o 
desnível do terreno projetava sobre a parte mais baixa, 
igualmente horizontal, uma sombra de 1,6 m, conforme a 
figura. 
 
 
 
Com suas observações, foi capaz de deduzir corretamente 
que o desnível do terreno era de 
a) 6,0 m. 
b) 8,0 m. 
c) 10,0 m. 
d) 12,0 m. 
e) 14,0 m. 
 
10. IF Sertão Subsequente 2018. Seja 𝑥 um ângulo agudo de 
um triângulo retângulo. Se o , então o 𝑠𝑒𝑛 𝑥 vale: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
4. UVA 2017/2. Se α é a medida de um ângulo agudo e tgα = 
4 , quanto vale senα ? 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
5. FAG Demais Cursos 2017/1. Um avião levanta voo sob um 
ângulo de 30°. Então, depois que tiver percorrido 500 m, 
conforme indicado na figura, sua altura h em relação ao solo, 
em metros, será igual a: 
Considere sen 30° = 0,50 ou cos 30° = 0,87. 
 
 
 
a) 250 
b) 300 
c) 400 
d) 435 
e) 440 
 
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO 
RETÂNGULO 
 
a: hipotenusa; 
b: cateto oposto ao ângulo; 
c: cateto adjacente ao ângulo. 
c
b
tg
adjecente cateto
oposto cateto
gentetan
a
c
cos
hipotenusa
adjacente cateto
senocos
a
b
sen 
hipotenusa
oposto cateto
seno 
=→=
=→=
=→=
 
ÂNGULOS COMPLEMENTARES 
Propriedade1: O seno de um ângulo é igual ao cosseno de 
seu complementar. 
Propriedade2: A tangente de um ângulo é igual ao inverso 
da tangente de seu complementar. 
RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA 
1xcosxsen 22 =+ 
ÂNGULOS NOTÁVEIS 
31
3
3
tg
2
1
2
2
2
3
cos
2
3
2
2
2
1
sen
604530 
 
https://www.pensador.com/autor/bernardo_pestana/
https://cdn.estuda.com/sis_questoes/posts/248308_pre.jpg?1526934281
1ª ET – PROJ. 2022 – MAT 
 O impossível é só mais uma barreira a ser ultrapassada. Bernardo Pestana 17 
 
EXERCÍCIOS 
 
1.Examine o triângulo retângulo da figura abaixo e calcule o 
valor destas razões: 
 
a) senα; 
b) cosα; 
c) tgα; 
d) senβ; 
e) cosβ; 
f) tgβ. 
 
2.Calcule o valor de x em cada um dos triângulos retângulos. 
 
 
 
3.Calcule x e y. 
 
 
4.Na figura abaixo, qual é a altura do avião em relação 
ao chão? 
 
5.Observe a figura a seguir e responda às questões: 
 
a) Qual é o comprimento da escada? 
 
 
b) Qual é o ângulo formado pela escada e o chão? 
 
 
6.Calcular a altura de um poste visto sob um ângulo de 60º 
por um observador com 1,80m de altura que se encontra a 
10m do poste. 
 
7.Uma rampa lisa de 20 m de comprimento faz um ângulo de 
30º com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe essa 
rampa inteira se eleva verticalmente de quanto? 
 
 
8.Uma escada está encostada na parte superior de um prédio 
de 50m de altura, e forma com o solo um ângulo de 60º. 
Determine o comprimento da escada. 
 
 
9.Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo 
coloca o teodolito a 100 m da base e obtém um ângulo de 30o, 
conforme mostra a figura. Sabendo que a 
luneta do teodolito está a 1,70 m do solo, qual é 
aproximadamente a altura da torre? 
 
10.Calcule a medida x indicada na figura abaixo: 
 
11.Um navio encontra-se a 100 m de um farol. Sabendo que 
o farol é visto do navio sob um ângulo de 30º e desprezando 
a altura do navio, calcule a altura do farol. 
 
 
12.Para alcançarmos o 1º andar de um edifício, subimos uma 
rampa de 6 m que forma com o solo um ângulo de 45º. Qual 
é a altura desse 1º andar? 
 
13.A base de um canteiro de forma retangular tem 50 m de 
comprimento. Sabe-se que a diagonal desse retângulo forma 
com a base um ângulo cuja medida é de 60°. Quanto mede a 
outra dimensão desse retângulo? 
 
 
 
14.Com respeito aos pontos A, B, C, D e E, representados na 
figura abaixo, sabe-se que CD = 2 . BC e que a distância de 
D e E é de 12 m. Qual a distância de A a C, em metros? 
 
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1ª ET – PROJ. 2022 – MAT 
 O impossível é só mais uma barreira a ser ultrapassada. Bernardo Pestana 18 
 
TESTES 
 
1. (UFSM) Um estudante de engenharia vê um prédio do 
campus construído em um terreno plano, sob um ângulo de 
30º. Aproximando-se do prédio mais 40 m, passa a vê-lo sob 
um ângulo de 60º. Considerando que a base do prédio está 
no mesmo nível dos olhos do estudante, então a altura h do 
prédio é igual a: 
a) 330 
b) 320 
c) 10 
d) 310 
e) 28 
 
2.(CEFET) Um jovem curioso, observa da janela do seu 
quarto (A) uma banca de revistas (R), bem em frente ao seu 
prédio, segundo um ângulo de 60º com a vertical. Desejando 
avaliar a distância do prédio à banca, sobe seis andares 
(aproximadamente 16 metros) até o apartamento de um 
amigo seu, e passa a avistar a banca (do ponto B) segundo 
um ângulo de 30º com a vertical. Calculando a distância “d”, 
o jovem deve encontrar, aproximadamente, o valor: 
(Dados: 2 = 1,4; 3 = 1,7) 
a) 8,0 m 
b) 12,4 m 
c) 11,2 m 
d) 13,6 m 
e) 15,0 m 
 
3.(UFJF) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um 
edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento 
para medir ângulos) a 200 m do edifício e mediu o ângulo de 
30º, como indicado na figura a seguir: 
(Utilize 3 = 1,73) 
 
Sabendo que o teodolito está a 1,5 m do solo, pode-se 
concluir que, dentre os valores a seguir, o que melhor 
aproxima a altura do edifício, em metros, é: 
a) 112 
b) 115 
c) 117 
d) 120 
e) 124 
 
4.Uma pessoa encontra-se num ponto localizado na base de 
um prédio. Se ela caminhar 90 metros em linha reta, chegará 
a um ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um 
ângulo de 60°. Quantos metros ela deverá se afastar do ponto 
A, andando em linha reta no sentido de A para B, para que 
possa enxergar o topodo prédio sob um ângulo de 30°? 
a) 150 
b) 180 
c) 270 
d) 300 
e) 310 
 
5.Uma pessoa cujos olhos estão a 1,80 m de altura em 
relação ao chão avista o topo de um edifício segundo um 
ângulo de 30° com a horizontal. Percorrendo 80 m no sentido 
de aproximação do edifício, esse ângulo passa a medir 60°. 
Usando o valor 1,73 para a raiz quadrada de 3, podemos 
concluir que a altura desse edifício é de aproximadamente: 
a) 59 m 
b) 62 m 
c) 65 m 
d) 69 m 
e) 71 m 
 
6.Num projeto hidráulico, um cano com diâmetro externo de 6 
cm será encaixado no vão triangular de uma superfície, como 
ilustra a figura abaixo. Que porção x da altura do cano 
permanecerá acima da superfície? 
cm2 )e
cm
2
 )d
cm
2
3
 )c
cm1 )b
cm
2
1
 )a

 
 
7.Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo sob 
um ângulo de 60º, conforme a figura. 
 
A altura em que se encontra o foguete, após ter percorrido 
12km, é: 
dam3600000 )d
dam36000 )c
dam12000 )b
dam600 )a
 
 
8.Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros 
a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu 
nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de 
Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O 
artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido 
por Brasil, Franca, Argentina, Inglaterra e Itália, para a 
medição do comportamento da camada de ozônio, e sua 
descida se deu após o cumprimento do tempo 
previsto de medição. 
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso 
em: 02 maio 2010. 
 
https://www.pensador.com/autor/bernardo_pestana/
1ª ET – PROJ. 2022 – MAT 
 O impossível é só mais uma barreira a ser ultrapassada. Bernardo Pestana 19 
 
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma 
estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob 
um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical 
do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, 
conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°. 
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? 
a) 1,8 km 
b) 1,9 km 
c) 3,1 km 
d) 3,7 km 
e) 5,5 km 
 
9.Na figura, a seguir, um fazendeiro (F) dista 600 m da base 
da montanha (ponto B). A medida do ângulo BF̂A B é igual a 
30º. 
 
 
Ao calcular a altura da montanha, em metros, o fazendeiro 
encontrou a medida correspondente a: 
2250 )d
3150 )c
2100 )b
3200 )a
 
 
10.Em parques infantis, é comum encontrar um brinquedo, 
chamado escorrego, constituído de uma superfície plana 
inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de 
uma escada que dá acesso à rampa. No parque de certa 
praça, há um escorrego, apoiado em um piso plano e 
horizontal, cuja escada tem 2m de comprimento e forma um 
ângulo de 45º com o piso; e a rampa forma um ângulo de 30º 
com o piso, conforme ilustrado na figura a seguir. 
 
De acordo com essas informações, é correto afirmar que o 
comprimento (L) da rampa é de: 
m25 )e
m24 )d
m23 )c
m22 )b
m2 )a
 
 
11.Em um triangulo retângulo, a metade de um cateto excede 
o outro em 1cm e a hipotenusa excede o maior cateto em 1cm 
também. Sabendo que o perímetro desse triângulo é 30, 
então a medida da tangente do maior ângulo agudo deve ser: 
a) 0,5 
b) 1 
c) 2,4 
d) 3,0 
e) 4,0 
12. ITA 2019. Seja a 
função definida por f(x) = arcsen(x). Então, a 
soma é igual a 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) - 
 
13. UPE 3° Fase 1° Dia 2018. Qual função trigonométrica 
representa o gráfico a seguir? 
 
 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 𝑦 = 2 ∙ cos2x 
 
 
14. UEFS Caderno 2 2015/1. 
 
 
 
Considerando-se a e b os ângulos indicados na figura, em que 
os dois quadrados são congruentes com um lado comum, 
pode-se afirmar que o valor do sen (a + b) é 
https://www.pensador.com/autor/bernardo_pestana/
https://cdn.estuda.com.br/sis_questoes/posts/290185_pre.jpg?1529519735
1ª ET – PROJ. 2022 – MAT 
 O impossível é só mais uma barreira a ser ultrapassada. Bernardo Pestana 20 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
15. EMESCAM 2015/2. Considere a seguinte 
sequência: sen2(x), 1, 1 + cos2(x), ... . 
 
Supondo que os próximos termos sejam determinados com o 
uso da mesma regra desses três primeiros, podemos afirmar 
que a soma dos dez primeiros termos é: 
a) 8 + 40cos2(x); 
b) 10 + 35cos2(x); 
c) 8 + 35cos2(x); 
d) 10 + 35sen2(x); 
e) 10 + 40sen2(x). 
 
16. PUC-RS Inverno 2012. Uma formiga percorre uma 
circunferência trigonométrica partindo de sua origem. Ela 
para no ponto do primeiro quadrante. 
 
O cosseno do arco percorrido pela formiga é 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
17. UNIFENAS Tarde 2018/2. Um topógrafo deseja medir a 
altura de uma árvore; contudo, necessita calcular a tangente 
do ângulo α = 15°. Com os seus conhecimentos, qual é este 
valor? 
 
www.google.com.br/search?biw=1360&bih=662&tbm=isch&sa=1&ei
=YWqUWvPrMujR5gKro53oAw&q=trigonometria+no+triangulo+reta
ngulo 
 
a) 
 
b) 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
18. UNCISAL 2° Dia 2015. O círculo trigonométrico 
 
 Tomemos sobre um plano um sistema cartesiano 
ortogonal xOy. Consideremos a circunferência orientada de 
centro na origem O do sistema, de raio unitário (r = 1) e cujo 
sentido positivo é o anti-horário. Tal circunferência é 
denominada circunferência trigonométrica ou ciclo 
trigonométrico ou ainda círculo trigonométrico. [...] 
Disponível em: 
<http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/mundo_trigon
ometria/teoria/circulo.html>. Acesso em: 21 out. 2014. 
 
Dadas as afirmativas sobre as linhas trigonométricas 
definidas num ciclo trigonométrico, 
 
I. Se x é um número real tal que 0 < x < 1,5, então sen x e cos 
x são os catetos de um triângulo retângulo de hipotenusa igual 
a 1. 
II. Se x é um número real tal que 0 < x < 1,5, então sec x é um 
cateto de um triângulo retângulo de hipotenusa tg x. 
III. Se x é um número real tal que 0 < x < 1,5, então cotg x é 
um cateto de um triângulo retângulo de hipotenusa cossec x. 
 
verifica-se que está(ão) correta(s) apenas 
a) I. 
b) II. 
c) I e II. 
d) I e III. 
e) II e III. 
 
https://www.pensador.com/autor/bernardo_pestana/
http://www.google.com.br/search?biw=1360&bih=662&tbm=isch&sa=1&ei=YWqUWvPrMujR5gKro53oAw&q=trigonometria+no+triangulo+retangulo
http://www.google.com.br/search?biw=1360&bih=662&tbm=isch&sa=1&ei=YWqUWvPrMujR5gKro53oAw&q=trigonometria+no+triangulo+retangulo
http://www.google.com.br/search?biw=1360&bih=662&tbm=isch&sa=1&ei=YWqUWvPrMujR5gKro53oAw&q=trigonometria+no+triangulo+retangulo
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