Resumo - Notação Científica e Conversão de Unidades

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Resumo – Prof. Leandro Neckel 
Básicos, Notação Científica e Conversão de 
medidas via fator unitário – Prof. Leandro Neckel 
NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
A notação científica é uma ferramenta matemática 
utilizada para expressar, de forma breve, valores 
numéricos muito grandes e muitos pequenos. 
Observe o exemplo: 
2000 = 200 ∗ 10 = 20 ∗ 100 = 2 ∗ 1000 
Então: 
2 ∗ 1000 = 2 ∗ 103 
Também, em outro exemplo: 
0.003 =
3
1000
=
3
103
= 3 ∗ 10−3 
E este é o princípio básico de compreensão da 
notação científica. 
Por convenção a notação científica é divida em 
duas partes, sendo que a primeira é formada por 
um valor numérico, entre 1 e 9.99, com duas casas 
decimais, chamada mantissa. A segunda parte é 
uma potência de base 10. No exemplo 
2 ∗ 103 
Temos que 2 é a mantissa e 103 é a potência de 
base 10. Observe mais alguns exemplos: 
254000 = 25400 ∗ 10 = 2540 ∗ 100 = 254 ∗ 1000 
= 25,4 ∗ 10000 = 2,54 ∗ 100000 = 2,54 ∗ 105 
0,693 =
693
1000
=
693
103
= 693 ∗ 10−3 
= 6,93 ∗ 100 ∗ 10−3 = 6,93 ∗ 102 ∗ 10−3 
= 6,93 ∗ 10−1 
Observando desta maneira, a formatação 
numérica é um tanto quanto trabalhosa. Porém, 
existe uma maneira mais rápida de executar a 
conversão. Para tal é necessário seguir alguns 
passos: 
a) Identificar a posição do separador decimal 
no número a converter 
b) Identificar a posição onde a virgula deve 
ficar após a formatação 
c) Contar quantas posições a vírgula deve 
pular para sair de sua posição original até 
chegar na posição final, neste caso, 
considere também a direção na qual o 
deslocamento da vírgula está sendo feito. 
Com isto siga a seguinte regra: 
• Se a vírgula se deslocar para a esquerda, 
conte positivamente o expoente da potência 
de base 10. 
• Se a vírgula se deslocar para a direita, 
conte negativamente o expoente da 
potência de base dez. 
Observe nos mesmos exemplos: 
254000 
Como é um número inteiro, a vírgula (separados 
decimal) está escondida após o último zero: 
254000,0 
Para que a mantissa fique correta, a virgula deve 
estar entre o 2 e o 5, formando então um número 
maior que 1 entre 1 e 9,99. Para isto a virgula deve 
se deslocar 5 vezes para a esquerda entre os 
algarismos, logo, o expoente da potencia de base 
dez deve ser contado positivamente como +5, logo 
254000 = 2,54 ∗ 105 
Idem para o outro exemplo: 
0,693 
A virgula deve estar entre o 6 e o 9, logo, deve se 
deslocar em uma casa para a direita. Assim, a 
contagem do expoente da potência de base dez 
deve ser contado como -1 (negativo). 
0,693 = 6,93 ∗ 10−1 
Em casos quando não é possível obter uma 
mantissa com somente duas casa decimais, é 
necessário, então, executar um arredondamento 
para tal. Observe: 
5268335 = 5,268335 ∗ 106 = 5,27 ∗ 103 
O arredondamento ocorre sempre na segunda 
casa decimal. As regras de arredondamento 
 
 
utilizadas aqui consideradas são as expostas no 
livro Introdução ao Laboratório de Física do 
Piacentinni. 
Para valores menores que 1: 
0,008522 = 8,522 ∗ 10−3 = 8,52 ∗ 10−3 
Existe um caso especial de arredondamento onde 
um certo cuidado extra deve ser tomado, observe: 
0.0003475 = 3,475 ∗ 10−4 
Neste caso, a princípio, não se sabe dizer 
exatamente se devemos arredondar o valor para 
cima (3,48 ∗ 10−4) ou para baixo (3,47 ∗ 10−4). 
Porém, uma olhada rápida no livro citado 
anteriormente nos leva ao seguinte critério: 
quando o algarismo a ser arredondado é igual a 
cinco, como no caso acima, arredonda-se sempre 
para cima, obtendo o algarismo anterior como um 
valor par. Desta forma obtemos: 
0,0003475 = 3,475 ∗ 10−4 = 3,48 ∗ 10−4 
Em um outro exemplo: 
1245 = 1,245 ∗ 103 = 1,24 ∗ 103 
Exemplos e exercícios – escrever os números 
abaixo como notação científica com mantissa de 
duas casas decimais 
• 854 
• 45780000 
• 35689952412 
• 0.25685 
• 0.00004411 
• 0.2255 
• 4125 ∗ 103 
• 0,25896 ∗ 10−2 
• 0,002365 ∗ 104 
ORDEM DE GRANDEZA 
A ordem de grandeza é responsável por passar 
ideia do quão grande ou quão pequeno é o número. 
Está diretamente associada, no caso das notações 
cientificas, com o expoente da potência de base 10. 
Observe os exemplos: 
• Um distância de 1300km tem ordem de 
grandeza de milhares de quilômetros 
• Um tempo cronometrado de 25s tem ordem 
de grandeza de dezenas de segundos 
• A população de São Paulo (11,32 milhões de 
habitantes) tem ordem de grandeza de 
milhões de habitantes. 
O mesmo também serve para valores numéricos 
menores que 1 e maiores que 0, observe 
• Um milímetro é igual a 0,001m, ou seja, um 
milímetro corresponde a um milésimo de 
metro, isto denota sua ordem de grandeza 
• Um micrometro é igual a 0,000001m, ou 
seja, é uma parte entre um milhão de um 
metro, ou ainda, corresponde a um 
milionésimo de metro, o que denota, 
também, sua ordem de grandeza. 
Repare que em todos os casos, a ordem de 
grandeza está diretamente associada com a 
potência de dez em que os valores numéricos 
citados estão encaixados. Se pegarmos o primeiro 
exemplo e convertermos em notação científica 
observaremos diretamente sua ordem de 
grandeza, observe: 
1300𝑘𝑚 = 1,3 ∗ 103𝑘𝑚 
Repare que o 103, no caso o expoente 3 da potência 
de base dez confere com sua ordem de grandeza 
de milhar. 
O interessante é que no S.I. (sistema internacional 
de unidades e medidas) existem padrões de 
nomenclaturas e simbologias para as ordens de 
grandeza mais utilizadas. Observe a tabela a 
seguir: 
 
 
 
(Fonte: Material IFSC) 
Assim compreende-se o motivo das simbologias 
ligadas a unidades de medida. Tomamos como 
exemplo básico o quilograma: (kg). Este k que 
precede o símbolo do grama (g) é um prefixo do S.I. 
que representa uma potência de base dez com 
expoente 3. O nome associado a este símbolo é o 
“quilo” (em português). 
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES E 
MEDIDAS. 
Este sistema, assim comentado, é uma convenção 
de unidades e medidas que serve para 
padronização. Ou seja, o objetivo do mesmo é que 
países de línguas e culturas diferentes trabalhem 
em acordo científico com unidades padronizadas. 
No S.I. as unidades padrões são as seguintes: 
 
(fonte: Material IFSC) 
A partir das unidades padrão é possível, então 
definir outras unidades derivadas assim como 
velocidade, aceleração, força, momento, energia, 
entre uma grande gama de outras. Durante o 
percurso do semestre trabalharemos algumas 
destas. 
TIPOS DE GRANDEZAS 
Trabalhamos, em geral, com dois tipos de 
grandezas somente: vetoriais e escalares. 
Uma grandeza vetorial é aquela que necessita, 
obrigatoriamente, de um sistema de coordenadas 
para ser definido. Em outras palavras, é uma 
grandeza que necessita que a direção e o sentido 
estejam presentes na sua descrição para que a 
mesma seja plenamente compreendida. Bons 
exemplos disto são grandezas como a velocidade, 
aceleração, ou até mesmo a posição de corpos no 
espaço. Todas estas citadas possuem 
interpretação também escalar, porém 
trabalharemos de forma a compreendê-las, 
inicialmente, como vetoriais. Ainda podemos citar 
outras grandezas obrigatoriamente vetoriais 
assim como momentos, torques, campo elétrico, 
campo magnético, entre outros. 
As grandezas escalares são aquelas que se fazem 
entender somente com um valor que demonstra 
sua magnitude. Ou ainda, são aquelas que não 
necessitam de descrição de sentido ou direção 
para serem plenamente compreendidas. Bons 
exemplos disso são grandezas como o tempo, 
energia, temperatura termodinâmica, quantidade 
de matéria, intensidade luminosa, massa, etc. 
CONVERSÃO DE UNIDADES SEGUNDO O MÉTODO 
DO FATOR UNITÁRIO 
A vantagem deste método sobre os demais (regra 
de três, multiplicação simples, divisão, etc) é que 
este garante a conversão correta de unidades de 
maneira simples, não importando a sua natureza. 
É um método que mescla a conversão de valores 
numéricos carregando junto a conversão das 
unidades de medida. 
O nome do método, o fator unitário, vemda 
utilização de uma razão entre duas medidas que 
significam a mesma coisa e, que por este motivo, 
resultam em 1 (unidade). Observe o exemplo: 
1𝑘𝑚 = 103𝑚 
Dividindo os dois lados por 103𝑚, por exemplo 
temos: 
 
 
1𝑘𝑚
103𝑚
=
103𝑚
103𝑚
 
1𝑘𝑚
103𝑚
= 1 
O fator 
1𝑘𝑚
103𝑚
, por ser igual a 1, é chamado fator de 
conversão. Importante é também observar que 
1𝑘𝑚
103𝑚
=
103𝑚
1𝑘𝑚
= 1 
Desta forma, é o fator de conversão se torna 
maleável para conversões de “ida” ou de “volta” em 
um exercício, por exemplo. 
Observe como é possível proceder em uma 
conversão com o exemplo de fator numérico 
fornecido: 
Ex: converter 123.43m para km. Inicia-se com o 
valor a se converter e utiliza-se o fator de 
conversão em uma posição favorável ao 
cancelamento da unidade indesejada, no caso aqui, 
o m (metro) 
123,43𝑚 ∗ (
1𝑘𝑚
103𝑚
) =
123,43 ∗ 1𝑘𝑚
103
 
= 123,43 ∗ 10−3𝑘𝑚 = 0,12343𝑘𝑚 
≈ 0,123𝑘𝑚 
Além de conversões decimais, utilizando a tabela 
dos prefixos do S.I., a o método unitário também 
serve para conversões de unidades não-decimais. 
Observe o exemplo com a conversão de valores de 
tempo. 
Ex: converter 450min para h (horas). Inicialmente 
é interessante investigar o fator de conversão. 
Observe: 
1ℎ = 60𝑚𝑖𝑛 ∴
1ℎ
60𝑚𝑖𝑛
=
60𝑚𝑖𝑛
1ℎ
= 1 
Logo, podemos utilizar o fator 
1ℎ
60𝑚𝑖𝑛
 , invertido ou 
não, conforme a necessidade. Iniciamos com o 
valor inicial de 450min, logo: 
450𝑚𝑖𝑛 ∗ (
1ℎ
60min
) =
450 ∗ 1ℎ
60
 
= 7,5ℎ 
Ainda, o fator de conversão pode ser utilizado em 
conversão de medidas quadráticas ou cúbicas, ou 
seja, para áreas e volumes, que normalmente são 
geradores de confusão entre os estudantes. 
Observe: 
Ex. Converter uma área de 34.5m² para cm². 
Inicialmente poderíamos pensar que, por outro 
método bastaria multiplicar o valor em m² por 100, 
mas é aqui que o erro é cometido. Na conversão de 
unidades lineares, de comprimento no caso, a 
conversão rápida citada é válida. A problemática 
aqui é que não está se convertendo um valor de 
comprimento, mas sim de uma área. 
De qualquer forma, o método é maleável o 
suficiente para garantir a conversão. Precisamos, 
para iniciar o processo, do fator de conversão 
entre m² e cm², porém o mesmo não é conhecido. 
Entretanto, o fator unitário nos confere um 
mecanismo que pode ser utilizado quando tem-se 
potências de fatores de conversão conhecidos, 
como é o caso. Observe: 
1𝑚 = 100𝑐𝑚 
1𝑚
100𝑐𝑚
= 1 
1𝑚
102𝑐𝑚𝑚
= 1 
(
1𝑚
102𝑐𝑚
)
2
= 12 
12𝑚2
104𝑐𝑚2
= 1 
1𝑚2
104𝑐𝑚2
= 1 
Logo temos que 
1𝑚2 = 104𝑐𝑚2 
e isto garante o fator de conversão a ser utilizado: 
34,5𝑚2 ∗ (
104𝑐𝑚2
1𝑚2
) = 34,5 ∗ 104𝑐𝑚2 
= 345000𝑐𝑚2 
O mesmo serve para a conversão de volumes. 
Observe a problemática abaixo: 
Uma caminhão tem seu compartimento de carga 
em formato de um paralelepípedo com 9m de 
comprimento, 3,5m de largura e 4m de altura. 
Deseja-se estimar quantas caixas cúbicas de 25cm 
de aresta cabem dentro do caminhão. 
 
 
Para resolver este problema é necessário 
inicialmente contabilizar o volume do caminhão e 
o volume de cada uma das caixas cúbicas a serem 
transportadas. 
𝑉𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 = 𝑐 𝑙 ℎ 
𝑉𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 = (9𝑚) ∗ (3,5𝑚) ∗ (4𝑚) = 126𝑚
3 
𝑉𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎 = 𝑎
3 
𝑉𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎 = (25𝑐𝑚)
3 = 15625𝑐𝑚3 
Para estimar a quantidade de caixas, inicialmente 
é necessário termos ambas as medidas expressas 
na mesma unidade. Logo, faz-se necessário 
converter o volume do caminhão ou o das caixas. 
Façamos o volume das caixas. 
𝑉𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎 = 15625𝑐𝑚
3 
𝑉𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎 = 15625𝑐𝑚
3 ∗ (
10−2𝑚
1𝑐𝑚
)
3
 
𝑉𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎 = 15625𝑐𝑚
3 ∗ (
10−6𝑚3
1𝑐𝑚3
) = 0,015625𝑚3 
Considerando que as caixas são pequenas perante 
o volume do caminhão é esperado que caibam 
muitas caixas dentro do mesmo. Para fazer esta 
estimativa podemos dividir o volume a ser 
preenchido pelo volume das caixas que 
preencherão o mesmo. Chamaremos isto de 𝑛 
(número de caixas) 
𝑛 =
𝑉𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜
𝑉𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎
=
126𝑚3
0,015625𝑚3
= 8064 𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎𝑠 
Logo, caberão 8064 caixas no caminhão. 
Expressando em notação científica formal temos: 
𝑛 ≈ 8,06 ∗ 103𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎𝑠 
Além da maleabilidade do método em relação a 
medidas quadráticas e cúbicas, entre outras 
potências, o mesmo ainda pode ser utilizado em 
cadeia, ou seja, executando várias conversões ao 
mesmo tempo. Observe o seguinte exemplo: 
Converter 25
𝑘𝑚
ℎ
 para 
𝑚
𝑠
. 
A princípio, segundo o que é possível recordar do 
ensino médio, seria suficiente dividir o valor pelo 
fator 3,6 que obteríamos o resultado em 
𝑚
𝑠
. Mas 
vamos utilizar a conversão em fator comum aqui. 
Primeiro, podemos lembrar dos fatores de 
conversão necessários: 
1𝑘𝑚 = 103𝑚 
1ℎ = 60𝑚𝑖𝑛 = 3600𝑠 
Logo usaremos os seguintes fatores unitários: 
1𝑘𝑚
103𝑚
= 1 
1ℎ
3600𝑠
= 1 
Iniciando a conversão e utilizando os dois fatores 
aos mesmo tempo em uma cadeia de 
multiplicações temos: 
25
𝑘𝑚
ℎ
∗ (
103𝑚
1𝑘𝑚
) ∗ (
1ℎ
3600𝑠
) = 
=
25 ∗ 103
3600
𝑚
𝑠
≈ 6,94
𝑚
𝑠
 
Assim é possível compreender a divisão por 3.6. 
Repare que na segunda linha da conversão temos 
o seguinte fator na multiplicação: 
103
3600
 
Que é igual a 
1000
3600
=
10
36
=
1
3,6
 
Assim temos o inteiro dividido por 3,6, justificando 
a existência do fator 3,6. 
Exemplo – Exercício do livro Física para cientistas 
e engenheiros, Tipler, P.A. - Você é entregador de 
uma empresa de água mineral. Seu caminhão 
carrega 6 plataformas de carga. Cada plataforma 
carrega 60 fardos. Cada fardo possui 24 garrafas 
de um litro de água. O carrinho que você utiliza 
para transportar a água para as lojas tem um 
limite de peso de 250lb (libras). (a) Se um mililitro 
de água tem uma massa de de 1g e um quilograma 
tem o peso de 2,2lb, qual é o peso (massa), em 
libras, de toda água em seu caminhão? (b) Quantos 
fardos completos de água você pode transportar 
no carrinho? 
(a) Aqui pode-se brincar com a ideia de conversão 
via fator unitário em unidades que não são de 
 
 
medida mas sim de contagem. Iniciemos então 
com o caminhão: 
1𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 = 6 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 
1𝑐𝑎𝑚 = 6𝑝𝑙𝑎𝑡 
1𝑐𝑎𝑚
6𝑝𝑙𝑎𝑡
= 1 
As plataformas por si: 
1𝑝𝑙𝑎𝑡 = 60𝑓𝑎𝑟𝑑𝑜𝑠 
1𝑝𝑙𝑎𝑡
60𝑓𝑎𝑟𝑑𝑜𝑠
= 1 
Os fardos por si 
1𝑓𝑎𝑟𝑑𝑜 = 24𝑔𝑎𝑟𝑟𝑎𝑓𝑎𝑠 
1𝑓𝑎𝑟𝑑𝑜
24𝑔𝑎𝑟𝑟𝑎𝑓𝑎𝑠
= 1 
A garrafa por si 
1𝑔𝑎𝑟𝑟𝑎𝑓𝑎 = 1𝑙 = 1000𝑚𝑙 = 1000𝑔 
1𝑔𝑎𝑟𝑟𝑎𝑓𝑎
1000𝑔
= 1 
1𝑔𝑎𝑟𝑟𝑎𝑓𝑎
1𝑘𝑔
= 1 
O quilograma: 
1𝑘𝑔 = 2,2𝑙𝑏 
1𝑘𝑔
2,2𝑙𝑏
= 1 
Utilizando a conversão em cadeia: 
1𝑐𝑎𝑚 ∗
6𝑝𝑙𝑎𝑡
1𝑐𝑎𝑚
∗
60𝑓𝑎𝑟𝑑𝑜𝑠
1𝑝𝑙𝑎𝑡
∗
24𝑔𝑎𝑟𝑟𝑎𝑓𝑎𝑠
1𝑓𝑎𝑟𝑑𝑜
∗
1𝑘𝑔
1𝑔𝑎𝑟𝑟𝑎𝑓𝑎
∗
2,2𝑙𝑏
1𝑘𝑔
= 
6 ∗ 60 ∗ 24 ∗ 1 ∗ 2,2𝑙𝑏 = 19008𝑙𝑏 
Logo, o caminhão carrega 19008lb de água, no 
máximo. 
(b) Para o carrinho temos: 
1𝑐𝑎𝑟𝑟𝑖𝑛ℎ𝑜 = 250𝑙𝑏 
1𝑐𝑎𝑟𝑟𝑖𝑛ℎ𝑜
250𝑙𝑏
= 1 
Logo, usando os mesmos fatores passados temos: 
1𝑐𝑎𝑟𝑟𝑖𝑛ℎ𝑜 ∗
250𝑙𝑏
1𝑐𝑎𝑟𝑟𝑖𝑛ℎ𝑜
∗
1𝑘𝑔
2,2𝑙𝑏
∗
1𝑔𝑎𝑟𝑟𝑎𝑓𝑎
1𝑘𝑔
∗
1𝑓𝑎𝑟𝑑𝑜
24𝑔𝑎𝑟𝑟𝑎𝑓𝑎𝑠
= 
1 ∗ 250 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 1𝑓𝑎𝑟𝑑𝑜
1 ∗ 2.2 ∗ 1 ∗ 24
= 4,73𝑓𝑎𝑟𝑑𝑜𝑠 
Ou seja, é possível carregar no máximo 4 fardos, 
já que o número de fardos está no conjunto dos 
números naturais (positivos e inteiros).