CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III Aula 10

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Cálculo Diferencial e Integral III
Prof(a): Ana Lucia de Sousa
Aula 10
Objetivos
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Determinar uma expansão em Série de Fourier de uma função.
Coeficientes na expansão em série de Fourier
Teorema de convergência de séries de Fourier
SÉRIE DE FOURIER
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A série de Fourier, nomeada em homenagem a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830).
 
A ideia do Fourier é transformar uma função periódica numa soma infinita de senos e cossenos.
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Funções periódicas
Existem funções y = f(x) que repetem valores de y para um determinado acréscimo no valor de x.
Podemos dizer que uma função f de domínio D é periódica se existe um número real P > 0, chamado período de f, tal que f(x) = f(x + P). Ou seja, a função se repete a cada período.
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Podemos dizer que uma função f de domínio D é periódica se existe um número real P > 0, chamado período de f, tal que f(x) = f(x+P). Ou seja, a função se repete a cada período.
Ou seja, função periódica é uma função que se repete a cada período.
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Por exemplo:
A função seno é periódica e seu período é 2π. 
A função cosseno também possui período 2π.
 
Se f(x) tem período T, então podemos escrever f(x) = f(x + T).
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Função par e função ímpar
Uma função f é chamada de par se f(-x) = f(x) e é chamada de ímpar se f(-x) = -f(x), para todo x no domínio.
Vamos entender melhor!
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Função par: f(-x) = f(x) 
Isso significa que os números x e -x possuem a mesma imagem. 
Exemplo
Seja a função f(x) = x2 - 4 com domínio real. 
f(1) = -3 e f(-1) = -3, ou seja 1 e -1 possuem a mesma imagem -3.
Exemplo: A função y = cosx é par, pois
 cos (-x) = cos x 
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Função ímpar: f(-x) = -f(x)
Isso significa que os números x e -x possuem imagens opostas 
Exemplo
Seja a função f(x) = 3x com domínio real. 
f(1) = 3 e f(-1) = -3, ou seja, 1 e -1 têm imagens opostas.
Exemplo: A função y = senx é ímpar, pois
 sen (-x) = - sen x 
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Definição:
Na série de Fourier a função f(x) é escrita como uma série trigonométrica, onde f(x) é definida no intervalo – L < x < L, com período T = 2L.
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Chamamos a f(x) de série de Fourier.
Os termos ao , an e bn são os coeficientes que variam dependendo da função que estamos analisando.
 L é o período da função que queremos representar como uma série.
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Fórmula de Euler-Fourier
Precisamos definir os coeficientes na expansão em série de Fourier do seguinte modo:
   
Definindo a0
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Definindo an
Definindo bn
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Portanto, definiremos Série de Fourier como:
 A serie de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo - L < x < L é:
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sen n = sen(-n) = 0
cos (n) = cos(-n) = (-1)n
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TEOREMA DE CONVERGÊNCIA DE SÉRIES DE FOURIER
Se a função f e sua derivada são contínuas por partes no intervalo -L < x < L, então f é igual a sua série de Fourier em todos os pontos de continuidade. Em um ponto c onde um salto de descontinuidade ocorre em f, a série de Fourier converge para a média
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 Resumindo a convergência desta série de Fourier temos:
Portanto, a série de Fourier converge para f(x) nos pontos de continuidade e para a médias dos limites laterais nos pontos de descotinuidade.
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Analisando o gráfico percebemos que a série de Fourier converge para -1 para -L < x < 0 e converge para 1 para 
0 < x < L. A série converge para zero ( valor médio).
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Atividade
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