harmonicos-esfericos

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Harmônicos Esféricos
Física Matemática
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Sertão
Pernambucano (IF Sertão)
9 pag.
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Harmônicos esféricos
João Vitor Bulhões da Silva
2019
Na área exata, os harmônicos esféricos são funções harmônicas que representam a
variação espacial de um conjunto ortogonal de soluções da equação de Laplace, quando a
solução é expressa em coordenadas esféricas.
Harmônicos esféricos são muito importantes em várias aplicações teóricas e práticas,
particularmente em F́ısica atômica (uma vez que a função de onda do elétron contém
harmônicos esféricos) e na teoria do potencial, tanto no campo gravitacional como na
eletrostática.
A equação de Laplace ou, de forma mais familiar, o laplaciano, em coordenadas car-
tesianas, tem o seguinte formato:
∇2f = ∂f
2
∂x2
+
∂f 2
∂y2
+
∂f 2
∂z2
(1)
Sabendo que f = f(r, θ, φ), podemos escrever o laplaciano em coordenadas esféricas.
∂f
∂x
=
∂f
∂r
∂r
∂x
+
∂f
∂θ
∂θ
∂x
+
∂f
∂φ
∂φ
∂x
(2)
∂f
∂y
=
∂f
∂r
∂r
∂y
+
∂f
∂θ
∂θ
∂y
+
∂f
∂φ
∂φ
∂y
(3)
∂f
∂z
=
∂f
∂r
∂r
∂z
+
∂f
∂θ
∂θ
∂z
+
∂f
∂φ
∂φ
∂z
(4)
Figura 1: Sistema esférico de coordenadas
1
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Teremos que as coordenadas do ponto M será:
x = rsin(θ)cos(φ) (5)
y = rsin(θ)sin(φ) (6)
z = rcos(θ) (7)
É fácil perceber que,
r =
√
x2 + y2 + z2 (8)
E que,
cos(θ) =
z
r
→ θ = cos−1
(
z
√
x2 + y2 + z2
)
(9)
tanφ =
y
x
→ φ = tan−1
(y
x
)
(10)
Dado r, θ e φ podemos mostrar as seguintes derivadas:
•∂r
∂x
=
x
r
•∂r
∂y
=
y
r
•∂r
∂x
=
z
r
•∂θ
∂x
=
1
r
cos(θ)cos(φ)
•∂θ
∂y
=
1
r
cos(θ)sin(φ)
•∂θ
∂x
= −1
r
sin(θ)
•∂φ
∂x
= −1
r
sin(φ)
sin(θ)
•∂φ
∂y
=
1
r
cos(φ)
sin(θ)
•∂φ
∂z
= 0
Substituindo as derivadas anteriores nas equações (2), (3) e (4), obteremos:
∂f
∂x
= sin(θ)cos(φ)
∂f
∂r
+
1
r
cos(θ)cos(φ)
∂f
∂θ
− 1
r
sin(φ)
sin(θ)
∂f
∂φ
(11)
Podemos, então, dizer, a partir da eq. (11), que o operador que age sobre f é,
∂
∂x
= sin(θ)cos(φ)
∂
∂r
+
1
r
cos(θ)cos(φ)
∂
∂θ
− 1
r
sin(φ)
sin(θ)
∂
∂φ
(12)
No cálculo diferencial, uma derivada parcial de segunda ordem pode ser interpretada
da seguinte forma:
∂2
∂x2
=
∂
∂x
∂
∂x
Por seguinte, a eq. (12) terá a decorrente aparência:
∂2
∂x2
=
[
sin(θ)cos(φ)
∂
∂r
+
1
r
cos(θ)cos(φ)
∂
∂θ
− 1
r
sin(φ)
sin(θ)
∂
∂φ
]2
(13)
Logo,
2
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∂2
∂x2
= sin2(θ)cos2(φ)− 1
r2
sin(θ)cos(θ)cos2(φ)
∂
∂θ
+
1
r
sin(θ)cos(θ)cos2(φ)
∂2
∂r∂θ
+
1
r2
cos(φ)sin(φ
∂
∂φ
)−1
r
cos(φ)sin(φ)
∂2
∂r∂φ
+
1
r
cos2(θ)cos2(φ)
∂
∂r
+
1
r
sin(θ)cos(θ)cos2(φ)
∂2
∂θ∂r
− 1
r2
cos(θ)sin(θ)cos2(φ) +
1
r2
cos2(θ)cos2(φ)
∂2
∂θ2
+
1
r2
cos2(θ)cos(φ)sin(φ)
sin2(θ)
∂
∂φ
−
1
r2
cos(θ)cos(φ)sin(φ)
sin(θ)
∂2
∂φ∂θ
+
1
r
sin2(φ)
∂
∂r
− 1
r
sin(φ)cos(θ)
∂2
∂φ∂r
+
1
r2
sin2(φ)cos(θ)
sin(θ)
∂
∂θ
− 1
r2
sin(φ)cos(θ)cos(φ)
sin(θ)
∂2
∂φ∂θ
+
1
r2
sin(φ)cos(φ)
sin2(θ)
∂
∂φ
+
1
r2
sin2(φ)
sin2(θ)
∂2
∂φ2
.
O mesmo procedimento realizado para ∂f
∂x
também deve ser feito em ∂f
∂y
e ∂f
∂z
. Ao
termino, devemos substituir tais expressões na eq. (1), que nos possibilita a escrever o
laplaciano da seguinte forma:
∇2 = ∂
2
∂r2
+
2
r
∂
∂r
+
cos(θ)
r2sin(θ)
∂
∂θ
+
1
r2
∂2
∂θ2
+
1
r2sin2(θ)
∂2
∂φ2
(14)
Que também pode ser escrito como:
∇2 = 1
r2
∂
∂r
(
r2
∂
∂r
)
+
1
r2sin(θ)
∂
∂θ
(
sin(θ)
∂
∂θ
)
+
1
r2sin2(θ)
∂2
∂φ2
(15)
Portanto, o laplaciano em cooordenadas esféricas da função f = f(r, θ, φ) será
∇2f = 1
r2
∂
∂r
(
r2
∂f
∂r
)
+
1
r2sin(θ)
∂
∂θ
(
sin(θ)
∂f
∂θ
)
+
1
r2sin2(θ)
∂2f
∂φ2
= 0 (16)
Usando o método de soluções separáveis para resolver a equação eq. (16), obtemos
que
f(r, θ, φ) = R(r)Y (θ, φ) (17)
Em que R(r) é chamada de equação de onda radial e Y (θ, φ) é a equação de onda
angular.
Substituindo a eq. (17) na eq. (16), iremos obter:
1
r2
Y (θ, φ)
∂
∂r
(
r2
∂R(r)
∂r
)
+
R(r)
r2sin(θ)
∂
∂θ
(
sin(θ)
∂Y (θ, φ)
∂θ
)
+
R(r)
r2sin2(θ)
∂2Y (θ, φ)
∂φ2
= 0
(18)
Ao multiplicar ambos os lados da eq. (18) por r
2
R(r)Y (θ,φ)
, teremos que
3
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1
R(r)
∂
∂r
(
r2
∂R(r)
∂r
)
+
1
Y (θ, φ)sin(θ)
∂
∂θ
(
sin(θ)
∂Y (θ, φ)
∂θ
)
+
1
Y (θ, φ)sin2(θ)
∂2Y (θ, φ)
∂φ2
= 0
(19)
Podemos destacar da eq. (19) que, uma parte só depende da coordenada radial e
a outra de coordeladas angulares. Vamos considerar também que esta mesma equação
aceita a seguinte solução:
1
R(r)
∂
∂r
(
r2
∂R(r)
∂r
)
= l(l + 1)
e
1
Y (θ, φ)
[
1
sin(θ)
∂
∂θ
(
sin(θ)
∂Y (θ, φ)
∂θ
)
+
1
sin2(θ)
∂2Y (θ, φ)
∂φ2
]
= −l(l + 1)
Pois,
l(l + 1)− l(l + 1) = 0
Nos interessa, inicialmente, trabalhar somente com a equação de onda angular. Desta
forma, teremos que
1
sin(θ)
∂
∂θ
(
sin(θ)
∂Y (θ, φ)
∂θ
)
+
1
sin2(θ)
∂2Y (θ, φ)
∂φ2
+ l(l + 1)Y (θ, φ) = 0 (20)
Se, por sua vez, utiliza-se o método de separação de variáveis para esta equação, pode-
se ver que a equação acima admite soluções periódicas nas duas coordenadas angulares (l
é um inteiro). Logo, a solução periódica do sistema anterior depende de dois inteiros (l,m)
e é dada em termos de funções trigonométricas e dos polinômios associados de Legendre:
Y (θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ) (21)
Substituindo (21) em (20), obtemos
1
sin(θ)
Φ(φ)
∂
∂θ
(
sin(θ)
∂Θ(θ)
∂θ
)
+
1
sin2(θ)
Θ(θ)
∂2Φ(φ)
∂φ2
+ l(l + 1)Θ(θ)Φ(φ) = 0 (22)
Multiplicando ambos os lados da eq. (22) por sin
2(θ)
Θ(θ)Φ(φ)
, teremos
sin(θ)
Θ(θ)
∂
∂θ
(
sin(θ)
∂Θ(θ)
∂θ
)
+
1
Φ(φ)
∂2Φ(φ)
∂φ2
+ l(l + 1)sin2(θ) = 0 (23)
É possivel perceber que, na soma, um termo que depende somente de θ e outro somente
de φ. Teremos então que
sin(θ)
Θ(θ)
∂
∂θ
(
sin(θ)
∂Θ(θ)
∂θ
)
+ l(l + 1)sin2(θ) = m2(equação polar) (24)
1
Φ(φ)
∂2Φ(φ)
∂φ2
= −m2(equação azimutal) (25)
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De forma rápida, é possivel notar que a solução da eq. (25) é
Φ(φ) = eimφ.
Sabendo que
Φ(φ) = Φ(φ+ 2π).
Logo, podemos provar que
eimφ = eimφ · eim2π.
eim2π = 1,m ∈ Z = {±1,±2,±3, . . .}
Agora, multiplicamos a equação polar por Θ(θ) e iremos obter:
sin(θ)
∂
∂θ
(
sin(θ)
∂Θ(θ)
∂θ
)
+
[
l(l + 1)sin2(θ)−m2
]
Θ(θ) = 0 (26)
A solução da equação eq. (26) não é tão simples. A solução é
Θ(θ) = APml (cosθ) (27)
em que Pml é a função associada de Legendre, definida por
Pml (x) = (1− x2)|m|/2
(
d
dx
)|m|
Pl(x) (28)
e Pl(x) é o l-ésimo polinômio de Legendre, definido pela fórmula de Rodrigues:
Pl(x) =
1
2ll!
(
d
dx
)|m|
(x2 − 1)l (29)
Para que a fórmula de Rodrigues seja válida, é necessário que l seja um número inteiro
positivo, ou seja, l ∈ N e |m| ≤ l. Em que l é chamado de número quântico azimutal e m
de número quântico magnético.
Finalmente, poderemos mostrar que
Y ml (θ, φ) = Ae
imφPml (cosθ) (30)
Em que Y ml é chamada de função harmónica esférica de grau l e ordem m. A é uma
constante de normalização, θ e φ representam os parâmetros angulares (respectivamente,
o ângulo azimutal ou colatitude e o ângulo polar ou longitude).
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
d3r =r2sin(θ)drdθdφ
então, a condição de normalização se torna
∫
|f |2r2sin(θ)drdθdφ =
∫
|R(r)|2r2dr
∫
|Y (θ, φ)|2sin(θ)dθdφ = 1
.
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É conveniente que R e Y sejam normalizados separadamente:
∫ ∞
0
|R(r)|2r2dr = 1
e
∫ 2π
0
∫ π
0
|Y (θ, φ)|2sin(θ)dθdφ = 1
Logo, a função de onda angular normalizada terá a seguinte aparência:
Y ml (θ, φ) =∈
√
(2l + 1)
4π
(l − |m|)!
(l + |m|)!e
imφPml (cosθ), (31)
em que ∈= (−1)m para m ≥ e ∈= 1 para m ≤ 0. Como provaremos mais adiante, elas
são automaticamente ortogonais, portanto
∫ 2π
0
∫ π
0
|Y ml (θ, φ)| ∗ |Y m
′
l′ (θ, φ)|sin(θ)dθdφ = δll′δmm′ .
Figura 2: Os primeiros harmônicos esféricos Y ml (θ, φ)
A equação de onda radial, da solução da equação de Schroedinger independente do
tempo, em coordenadas esféricas, é dada por:
d
dr
(
r2
dR(r)
dr
)
− 2mr
2
~
[V (r)− E]R(r) = l(l + 1)R(r) (32)
Essa equação ficará mais simples se mudarmos as variáveis: seja
u(r) = rR(r)
tal que, R = u/r, dr = [r(du/dr)− u]/r2, (d/dr)[r2(dR/dr)] = rd2u/dr2, e, portanto,
− ~
2
2m
d2u
dr2
+
[
V +
~
2
2m
l(l + 1)
r2
]
u = Eu. (33)
Essa equação é chamada de redial, ela é idêntica em forma à equação de Schroedinger
unidimensional, mas a aenergia potencial efetiva,
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Vef = V +
~
2
2m
l(l + 1)
r2
,
possui uma peça extra, o chamado termo centrifugo, ~2/2m[l(l + 1)/r2]. Ele tende a
jogar a part́ıcula para fora (para longe da origem), assim como a (pseudo) força centrifuga
o faz na mecânica clássica. Enquanto isso, a condição de normalização se transforma em
∫ ∞
0
|u|2dr = 1
Aplicação: Poço esférico infinito
Aqui iremos deduzir a equação de onda radial e mostrar uma aplicação dos harmônicos
esféricos.
V (r) = 0 −→ r < a,∞ −→ r > a
para r < a
− ~
2
2m
d2u
dr2
+
[
~
2
2m
l(l + 1)
r2
]
u = Eu
.
Logo,
d2u
dr2
=
[
l(l + 1)
r2
− 2m
~2
E
]
u.
Considerando que k2 = 2mE/~2 e que l = 0, teremos
d2u
dr2
= −k2u (34)
O que nos possibilita dizer que a solução da eq. (34) é
u(r) = Asin(kr) + bcos(kr).
Como mostrado anteriormente R(r) = u(r)/r, sendo assim
R(r) =
Asin(kr)
r
+
bcos(kr)
r
Ao fazermos r → 0, teremos que a única solução, para l = 0, é
R(r) =
Asin(kr)
r
. (35)
Pela condição de contorno:
R(a) =
Asin(ka)
a
= 0.
Portanto,
ka = nπ, n ∈ N → k = nπ
a
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logo,
√
2mE
~
a = nπ,
colocando E em evidencia, teremos
En,l=0 =
n2π2~2
2ma2
.
Normalizando u(x), teremos
∫ a
0
|u(x)|2dr =
∫ a
0
|R(r)|2r2dr = 1
∫ a
0
A2sin2(kr)dr =
A2
2
∫ a
0
dr − A
2
2
∫ a
0
cos(2kr)dr = 1,
por fim, teremos que
A =
√
2
a
. (36)
Substituindo a eq. (35) na eq. (35), obtemos:
R(r)n,0 =
√
2
a
sin(
nπ
a
r). (37)
Se usarmos o harmônico esférico Y 00 (θ, φ) =
1√
4π
, obtemos que a equação de onda terá
a seguinta forma:
Ψn,0,0(r, θ, φ) =
√
1
2πa
sin(nπ
2
r)
r
.
A solução geral para qualquer l é a seguinte:
u(r) = Arjl(kr) + Brnl(kr),
em que jl(kr) é a função de Bessel esférica e nl(kr) é a função de Newman esférica, e
elas são expressas repectivamente como
jl(x) = (−x)l
(
1
x
d
dx
)l
sin(x)
x
nl(x) = −(−x)l
(
1
x
d
dx
)l
cos(x)
x
.
Logo, para r → 0, teremos que a solução geral será
R(r) = Ajl(kr)
Condições de contorno: R(a) = 0 → jl(ka) = 0.
Para encontrar k, precisamos encontrar os pontos em que a função de Bessel é igual a
0. E esse pontos são dados por Bnl, que é o n-ésimo zero da função de Bessel de ordem l.
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Figura 3: Plote da função de Bessel de ordem 0 a 4.
Portanto,
k =
Bnl
a
.
Logo, as energias permitidas são:
k2 = 2mE/~2 =
B2nl
a2
Enl =
~
2
2ma2
B2nl.
Então, a função radial
Rnl(r) = Anljl(kr) = Anljl(
Bnl
a
r). (38)
Por fim, com as eqs. (31) e (38), temos a que a função de onda é igual a
Ψnlm(r, θ, φ) = Rnl(r) · Y ml (θ, φ)
Ψnlm(r, θ, φ) = Anljl(
Bnl
a
r)· ∈
√
(2l + 1)
4π
(l − |m|)!
(l + |m|)!e
imφPml (cosθ) (39)
Os estados estacionários tem 3 números quanticos, que são n, m e l, e a energia
depende apenas de n e l.
Referências
D. Griffiths, ”Introduction to Quantum Mechanics”, 2 ed., Pretince-Hall, 2005.
9
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