Gabarito Tópico 3

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Introdução ao Cálculo 
Unidade 1 – Revisão de Matemática Básica 
Tópico 3 – Potenciação e Radiciação 
 
Questão 1: Calcule as seguintes potências. 
Resolução: Para encontrar os valores de cada potência devemos utilizar o seu 
conceito, sempre respeitando as regras de sinais das operações. 
𝑎) 62 = 6 ∙ 6 = 36 
𝑏)(−6)2 = (−6) ∙ (−6) = 36 
𝑐) − 62 = −(6 ∙ 6) = −36 
𝑑) (−2)3 = (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) = −8 
𝑒) − 23 = −(2 ∙ 2 ∙ 2) = −8 
𝑓) 50 = 1 
𝑔) (−8)0 = 1 
ℎ) (
3
2
)
4
=
3
2
∙
3
2
∙
3
2
∙
3
2
=
3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3
2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 
=
81
16
 
𝑖) (−
3
2
)
4
= (−
3
2
) ∙ (−
3
2
) ∙ (−
3
2
) ∙ (−
3
2
) =
3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3
2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 
=
81
16
 
𝑗) (−
3
2
)
3
= (−
3
2
) ∙ (−
3
2
) ∙ (−
3
2
) = −
3 ∙ 3 ∙ 3
2 ∙ 2 ∙ 2 
= −
27
8
 
𝑘) 028 = 0 ∙ 0 ∙ … ∙ 0 = 0 
𝑙) 132 = 1 ∙ 1 ∙ … ∙ 1 = 1 
𝑚) (−1)20 = 1 (o expoente é par, logo a potência é positiva) 
𝑛) (−1)17 = −1 (o expoente é ímpar, logo a potência é negativa) 
𝑜) (−
3
5
)
2
= (−
3
5
) ∙ (−
3
5
) =
3 ∙ 3
5 ∙ 5 
=
9
25
 
 
Questão 2: O valor de [47 ∙ 410 ∙ 4]2 ÷ (45)7 é: 
Resolução:Utilizando as propriedades da potenciação, segue que 
[47 ∙ 410 ∙ 4]2 ÷ (45)7 
= [47+10+1]2 ÷ (45∙7) 
= [418]2 ÷ 435 
= [418∙2] ÷ 435 
= 436−35 = 4. 
Portanto, a alternativa correta é o item d). 
 
Questão 3: Escreva as seguintes expressões na forma mais simples. 
Resolução:Utilizando as propriedades da potenciação temos: 
a) (𝑎 ∙ 𝑏)3 ∙ 𝑏 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐)2 
(𝑎 ∙ 𝑏)3 ∙ 𝑏 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐)2 = (𝑎3 ∙ 𝑏3) ∙ 𝑏 ∙ (𝑏2 ∙ 𝑐2) 
= 𝑎3 ∙ (𝑏3 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏2) ∙ 𝑐2 
= 𝑎3 ∙ (𝑏3+1+2) ∙ 𝑐2 
= 𝑎3 ∙ 𝑏6 ∙ 𝑐2. 
 
𝑏) 
𝑥3 ∙ 𝑦2 ∙ 𝑦5 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥4
𝑦7
 
𝑥3 ∙ 𝑦2 ∙ 𝑦5 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥4
𝑦7
= 
𝑥3 ∙ (𝑦2 ∙ 𝑦5) ∙ 𝑥 ∙ 𝑥4
𝑦7
 
= 
𝑥3 ∙ (𝑦2+5) ∙ 𝑥 ∙ 𝑥4
𝑦7
 
= 
𝑥3 ∙ 𝑦7 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥4
𝑦7
 
=
𝑦7
𝑦7
∙
𝑥3 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥4
1
 
= 77−7 ∙
𝑥3+1+4
1
= 𝑥8. 
 
Questão 4: Sendo 𝑎 = 27 ∙ 38 ∙ 7 e 𝑏 = 25 ∙ 36, o quociente de 𝑎 por 𝑏 é: 
Resolução: O quociente de 𝑎 por 𝑏 é dado por 
𝑎
𝑏
, assim 
𝑎
𝑏
= 
27 ∙ 38 ∙ 7
25 ∙ 36
 
= 
27
25
∙
38
36
∙
7
1
 
= 27−5 ∙ 38−6 ∙ 7 
= 22 ∙ 32 ∙ 7 
= 4 ∙ 9 ∙ 7 = 252. 
Portanto, o item 𝒂) é o correto. 
 
 
Questão 5: Calcule o valor da expressão 
(
2
3
)
−2
− (
1
2
)
−1
+ (−
1
4
)
−2
 
Resolução: Utilizando a propriedade do inverso da potenciação, segue que 
(
2
3
)
−2
− (
1
2
)
−1
+ (−
1
4
)
−2
= (
3
2
)
2
− (
2
1
)
1
+ (−
4
1
)
2
 
= (
3
2
∙
3
2
) − 2 + (−4 ∙ −4) 
= (
9
4
− 2) + 16 
= 
9 − 8
4
+ 16 =
1
4
+ 16 
=
1 + 64
4
=
65
4
. 
 
Questão 6: Simplifique a expressão a seguir. 
3 ∙ (−
1
2
)
2
+
1
4
3 ∙ (−
1
3)
2
−
3
2
 
Resolução:Utilizando as propriedades das operações de potenciação, segue que 
3 ∙ (−
1
2)
2
+
1
4
3 ∙ (−
1
3)
2
−
3
2
=
3 ∙
1
4 +
1
4
3 ∙
1
9 −
3
2
=
3
4 +
1
4
3
9 −
3
2
 
=
4
4
6 − 27
18
=
1
−
21
18
 
= 1 ∙ (−
18
21
) = −
18
21
 
= −
18 ÷ 3
21 ÷ 3
= −
6
7
. 
Portanto, o item correto é 𝒂). 
 
Questão 7: Quando 𝑎 = −
1
3
 e 𝑏 = −3, qual valor numérico da expressão 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2? 
Resolução: Fazendo a substituição na expressão dada, temos 
𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 = (−
1
3
)
2
− (−
1
3
∙ −3) + (−3)2 
=
1
9
− (
3
3
) + 9 
=
3 − 27
27
+ 9 
=
−24
27
+ 9 
=
−24 + 243
27
 
=
219
27
= 
219 ÷ 3
27 ÷ 3
=
73
9
. 
 
Assim, o valor numérico da expressão vale 
73
9
. 
 
Questão 8: Escreva a forma decimal de representar as seguintes potências. 
Resolução: Aplicando as propriedades da potenciação, e após, fazendo as divisões 
temos: 
𝑎) 2−3 = (
2
1
)
 −3 
= (
1
2
)
3
=
1
2
∙
1
2
∙
1
2
=
1
8
= 0,125 
𝑏) 10−2 = (
10
1
)
−2
= (
1
10
)
2
=
1
100
= 0,01 
𝑐) 4−1 = (
4
1
)
−1
=
1
4
= 0,25 
 
Questão 9: Calcule as raízes indicadas. 
Resolução: Decompondo os radicando em fatores primos, segue que 
𝑎) √125
3
= √5 ∙ 5 ∙ 5
3
= √53
3
= 5 
𝑏) √243
5
= √3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3
5
= √35
5
= 3 
𝑐) √36 = √6.6 = √62 = 6 
𝑑) √1
5
= √1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1
5
= √15
5
= 1 
𝑒) √0
6
= √06
6
= 0 
𝑓) √7
1
= √71
1
= 7 
𝑔) √−125
3
= √−5 ∙ −5 ∙ −5
3
= √(−5)3
3
= −5 
ℎ) √−32
5
= √−2 ∙ −2 ∙ −2 ∙ −2 ∙ −2
5
= √(−2)5
5
= −2 
𝑖) √−1
7
= √(−1)7
7
= −1 
 
Questão 10: Fatore e escreva na forma de potência com expoente fracionário. 
Resolução: Decompondo os radicandos em fatores primos e utilizando a propriedade 
de expoente fracionário da potenciação, temos: 
𝑎) √32
3
= √2 ∙ 2 ∙ 2 ⋅ 2 ⋅ 2
3
 = √25
3
= 2
5
3 
𝑏) √25
3
= √52
3
= 5
2
3 
𝑐) √27
4
= √33
4
= 3
3
4 
𝑑) √81
7
= √34
7
= 3
4
7 
𝑒) √512
8
= √29
8
= 2
9
8 
𝑓) √625
8
= √54
8
= 5
4
8 = 5
4÷4
8÷4 = 5
1
2 
 
Questão 11: Calcule a raiz indicada. 
Resolução: Utilizando as propriedades da potenciação, segue que: 
𝑎) √4𝑎2 = √22𝑎2 = 2𝑎 
𝑏) √36𝑎2𝑏6 = √62𝑎2(𝑏2 ⋅ 𝑏2 ⋅ 𝑏2) = 6𝑎𝑏3 
𝑐) √
4
9
𝑎2𝑏4 =
√4
√9
⋅ √𝑎2(𝑏2 ⋅ 𝑏2) =
2
3
⋅ 𝑎𝑏2 =
2𝑎𝑏2
3
 
𝑑) √
𝑥2
100
=
√𝑥2
√100
=
𝑥
10
 
𝑒) √
16𝑎10
25
= √
42(𝑎2 ⋅ 𝑎2 ⋅ 𝑎2 ⋅ 𝑎2 ⋅ 𝑎2)
52
=
√42(𝑎2 ⋅ 𝑎2 ⋅ 𝑎2 ⋅ 𝑎2 ⋅ 𝑎2)
√52
=
4𝑎5
5
 
𝑓) √100𝑥2
4
= √102𝑥2
4
= √102÷2𝑥2÷2
4÷2
= √10𝑥 
𝑔) √121
8
= √112
8
= √112÷2
8÷2
= √11
4
 
 ℎ) √1024𝑥5𝑦10
5
= √(25 ⋅ 25)𝑥5(𝑦5 ⋅ 𝑦5)
5
= 22𝑥𝑦2 = 4𝑥𝑦2 
𝑖) √
1
25
4
=
√1
4
√52
4 =
√12
4
√52
4 = 
√12÷2
4÷2
√52÷2
4÷2 = 
√1
√5
=
1
√5
=
1
√5
⋅
√5
√5
=
√5
√25
=
√5
5
 
𝑗) √
𝑎6
𝑏3
3
= √
𝑎3 ⋅ 𝑎3
𝑏3
3
=
√𝑎3 ⋅ 𝑎3
3
√𝑏3
3 =
𝑎2
𝑏
 
𝑘) √
16𝑥4
𝑦2𝑧6
= √
42(𝑥2 ⋅ 𝑥2)
𝑦2(𝑧2 ⋅ 𝑧2 ⋅ 𝑧2)
=
4𝑥2
𝑦𝑧3
 
 
Questão 12: Efetue as seguintes adições e subtrações que envolvem radicais. 
Resolução: Primeiro devemos decompor os radicandos em fatores primos. Após, 
somar ou subtrair os radicandos semelhantes (com mesmo índice e radicando), em 
seguida, efetuar a soma ou subtração dos fatores externos. 
a) √24 + √54 − √96 + √6 
√24 + √54 − √96 + √6 
= √22 ⋅ 2 ⋅ 3 + √2 ⋅ 32 ⋅ 3 − √22 ⋅ 22 ⋅ 2 ⋅ 3 + √2 ⋅ 3 
= 2√6 + 3√6 − 2 ⋅ 2√6 + √6 
= (2 + 3 − 4 + 1) ⋅ √6 = 2√6. 
 
b) 5√8 + 2√50 − 6√98 + 3√32 
5√8 + 2√50 − 6√98 + 3√32 
= 5√22 ⋅ 2 + 2√2 ⋅ 52 − 6√2 ⋅ 72 + 3√22 ⋅ 22 ⋅ 2 
= 10√2 + 10√2 + (−42 √2) + 12 √2 
(10 + 10 − 42 + 12)√2 = −10√2. 
 
c) √300 + √50 − √162 − √243 
 √300 + √50 − √162 − √243 
= √22 ⋅ 3 ⋅ 52 + √2 ⋅ 52 − √2 ⋅ 32 ⋅ 32 − √32 ⋅ 32 ⋅ 3 
= 10√3 + (5√2 − 9√2) − 9√3 
= −4√2 + √3 . 
 
d) √2
3
+ √16
3
+ √54
3
+ √128
3
 
√2
3
+ √16
3
+ √54
3
+ √128
3
 
= √2
3
+ √23 ⋅ 2
3
+ √2 ⋅ 33
3
+ √2 ⋅ 23 ⋅ 23
3
 
= √2
3
+ 2√2
3
+ 3√2
3
+ 4√2
3
 
= (1 + 2 + 3 + 4)√2
3
= 10√2
3
. 
 
e) √54
3
− √24
3
− √250
3
+ √192
3
 
√54
3
− √24
3
− √250
3
+ √192
3
 
= √2 ⋅ 33
3
− √23 ⋅ 3
3
− √2 ⋅ 53
3
+ √23 ⋅ 23 ⋅ 3
3
 
= 3√2
3
− 2√3
3
− 5√2
3
+ 4√3
3
 
= −2√2
3
+ 2√3
3
. 
 
f) 2√4
3
− 5√4
3
+ 2 
2√4
3
− 5√4
3
+ 2 = −3√4
3
+ 2. 
 
g) 2√80
4
+ 3√405
4
− 3√3125
4
+ 4√5
4
 
2√80
4
+ 3√405
4
− 3√3125
4
+ 4√5
4
 
= 2√24 ⋅ 5
4
+ 3√34 ⋅ 5
4
− 3√54 ⋅ 5
4
+ 4√5
4
 
= 4√5
4
+ 9√5
4
− 15√5
4
+ 4√5
4
 
= (4 + 9 − 15 + 4)√5
4
= 2√5
4
. 
 
Questão 13: Efetue as multiplicações e divisões. 
Resolução: Primeiro devemos verificar se os índices são iguais e após, fazer a 
operação indicada. Caso contrário, faremos operações para deixar os índices iguais e 
após, efetuamos a operação indicada. 
a) √25
3
⋅ √6
2
⋅ √22 ⋅ 32
4
 
√25
3
⋅ √6
2
⋅ √22 ⋅ 32
4
= (√25
3
⋅ √6
2
) ⋅ √2232
4
 
= √210 ⋅ 63
6
⋅ √22 ⋅ 32
4
 
= √(210 ⋅ 63)4 ⋅ (22 ⋅ 32)6
24
 
= √240 ⋅ 612 ⋅ 212 ⋅ 312
24
 
= √264 ⋅ 324
24
 
= √232 ⋅ 312
12
 
√212 ⋅ 212 ⋅ 28
12
 
= 3 ⋅ 4 √28
12
 
= 12 √28÷4
12÷4 
= 12√22
3
. 
 
b) √4 ⋅ 32 ⋅ 2
3
⋅ √4 ⋅ 32 ⋅ 22
2
 
√4 ⋅ 32 ⋅ 2
3
⋅ √4 ⋅ 32 ⋅ 22
2
= √22 ⋅ 32 ⋅ 2
3
⋅ √22 ⋅ 32 ⋅ 22
2
 
= √23 ⋅ 32
3
⋅ √24 ⋅ 32
2
 
= √(23 ⋅ 32)2 ⋅ (24 ⋅ 32)3
3⋅2
 
= √26 ⋅ 34 ⋅ 212 ⋅ 36
6
 
= √218 ⋅ 310
6
 
= √218:2 ⋅ 310:2
6:2
 
= √29 ⋅ 35
3
 
√23 ⋅ 23 ⋅ 23 ⋅33 ⋅ 32
3
 
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3√32
3
= 24√32
3
. 
 
c) √23
10
⋅ √2
2
 
√23
10
⋅ √2
2
= √(23)2 ⋅ 210
10⋅2
 
= √26 ⋅ 210
20
 
= √216
20
 
= √216÷4
20÷4
= √24
5
. 
 
d) √6
2
⋅ √22 ⋅ 32
3
⋅ √23 ⋅ 3
2
 
 √6
2
⋅ √22 ⋅ 32
3
⋅ √23 ⋅ 3
2
= √2 ⋅ 3
2
⋅ √(22 ⋅ 33)2 ⋅ (23 ⋅ 3)3
3⋅2
 
= √2 ⋅ 3
2
⋅ √24 ⋅ 36 ⋅ 29 ⋅ 33
6
 
= √2 ⋅ 3
2
⋅ √213 ⋅ 37
6
 
= √(2 ⋅ 3)6 ⋅ (213 ⋅ 37)2
6⋅2
 
= √26 ⋅ 36 ⋅ 226 ⋅ 314
12
 
= √232 ⋅ 320
12
= 
√232÷4 ⋅ 320÷4
12÷4
 
= √28 ⋅ 35
3
 
= √23 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 33 ⋅ 32
3
 
= 12√22 ⋅ 32
3
. 
 
e) √5 ⋅ √5
3
⋅ √5
4
 
√5 ⋅ √5
3
⋅ √5
4
= √5 ⋅ √54 ⋅ 53
3⋅4
 
= √5 ⋅ √57
12
 
= √512 ⋅ (57)2
2⋅12
 
= √512 ⋅ 514
24
 
= √526
24
 
= √526÷2
24÷2
 
= √513
12
 
= √512 ⋅ 5
12
= 5 √5
12
. 
 
f) √𝑎2
4
÷ √𝑎3
8
 
 √𝑎2
4
÷ √𝑎3
8
= √(𝑎2)8 ÷ (𝑎3)4
4⋅8
 
= √𝑎16 ÷ 𝑎12
32
 
= √𝑎4
32
 
= √𝑎4÷4
32÷4
= √𝑎
8
. 
 
g) √𝑎3 ⋅ 𝑏2
6
÷ √𝑎5 ⋅ 𝑏
4
 
 √𝑎3 ⋅ 𝑏2
6
÷ √𝑎5 ⋅ 𝑏
4
= √(𝑎3 ⋅ 𝑏2)4 ÷ (𝑎5 ⋅ 𝑏)6
6⋅4
 
= √𝑎12 ⋅ 𝑏8 ÷ 𝑎30 ⋅ 𝑏6
24
 
= √𝑎−18÷2 ⋅ 𝑏2÷2
24÷2
 
= √𝑎−9 ⋅ 𝑏
12
= √
𝑏
𝑎9
12
. 
 
h) √𝑥2 ⋅ 𝑦3
4
 ÷ √𝑥 ⋅ 𝑦
3 
√𝑥2 ⋅ 𝑦3
4
 ÷ √𝑥 ⋅ 𝑦
3 = √(𝑥2 ⋅ 𝑦3)3 ÷ (𝑥 ⋅ 𝑦)4
4⋅3
 
= √𝑥6 ⋅ 𝑦9 ÷ 𝑥4 ⋅ 𝑦4
12
= √𝑥2𝑦5
12
. 
 
i) 2 ⋅ √27
6
÷ √9
4
 
 2 ⋅ √27
6
÷ √9
4
= 2 ⋅ √33
6
÷ √32
4
 
= 2 ⋅ √(33)4 ÷ (32)6
6⋅4
 
= 2 ⋅ √312 ÷ 312
24
 
= 2 ⋅ √30
24
 
= 2 ⋅ √1
24
 
= 2 ⋅ 1 = 2. 
 
j) 3√2 ⋅ 5√2
3
⋅
1
3
√2
4
 
3√2 ⋅ 5√2
3
⋅
1
3
√2
4
= 3 ⋅ 5 √23 ⋅ 22
2⋅3
⋅
1
3 
√2
4
 
=
15
3
√(25)4 ⋅ 26
6⋅4
 
= 5 √226
24
 
= 5 √212 ⋅ 2
12
= 10 √2
12
. 
 
k) 3 ⋅ √125
6
÷ 5 ⋅ √25
4
 
3 ⋅ √125
6
÷ 5 ⋅ √25
4
= 3√53
6
÷ 5√52
4
 
=
3
5
√(53)4 ÷ (52)6
6⋅4 
 
=
3
5
√512 ÷ 512
24
 
=
3
5
√50
24
=
3
5
. 
 
Questão 14: Racionalize os denominadores das seguintes frações. 
Resolução: Primeiro devemos multiplicar ambos os termos das frações por um termo 
conveniente. Este termo, chamamos de conjugado. Por exemplo, o conjugado de 
2 + √2 é 2 − √2. 
𝑎) 
2
√5 + 2
 
2
√5 + 2
= 
2
(√5 + 2)
⋅ 
(2 − √5)
(2 − √5)
 
= 
4 − 2√5
2√5 − 5 + 4 − 2√5
 
=
4 − 2√5
−5 + 4
 
=
4 − 2√5
−1
 
= −4 + 2√5. 
𝑏) 
2
(√5 − √3)
 
2
(√5 − √3)
=
2
(√5 − √3)
⋅
(√5 + √3)
(√5 + √3)
 
=
2√5 + 2√3
5 + √15 − √15 − 3
 
=
2√5 + 2√3
2
= √5 + √3. 
𝑐) 
2
2√3 + 1
 
2
2√3 + 1
=
2
2√3 + 1
⋅
2√3 − 1
2√3 − 1
 
=
4√3 − 2
4 ⋅ 3 − 2√3 + 2√3 − 1
 
=
4√3 − 2
12 − 1
=
4√3 − 2
11
. 
𝑑) 
√3
√3 − 1
 
√3
√3 − 1
=
√3
√3 − 1
⋅
√3 + 1
√3 + 1
 
=
3 + √3
3 + √3 − √3 − 1
=
3 + √3
2
. 
𝑒) 
1
3√2 − √3
 
1
3√2 − √3
=
1
3√2 − √3
⋅
3√2 + √3
3√2 + √3
 
=
3√2 + √3
9 ⋅ 2 + 3√6 − 3√6 − 3 
=
3√2 + √3
15
. 
𝑓) 
√2 + 1
√2 − 1
 
√2 + 1
√2 − 1
= 
√2 + 1
√2 − 1
⋅
√2 + 1
√2 + 1
 
=
2 + √2 + √2 + 1
2 + √2 − √2 − 1
 
=
3 + 2√2
1
= 3 + 2√2. 
𝑔) 
13
3√5 − 4√2
 
13
3√5 − 4√2
=
13
3√5 − 4√2
⋅
3√5 + 4√2
3√5 + 4√2
 
=
39√5 + 52√2
9 ⋅ 5 + 12 √10 − 12√10 − 16 ⋅ 2
 
=
39√5 + 52√2
45 − 32
 
=
39√5 + 52√2
13
= 3√5 + 4√2. 
 
ℎ) 
8√5
√2 + √10
 
8√5
√2 + √10
=
8√5
√2 + √10
⋅
√2 − √10
√2 − √10
 
=
8√10 − 8√50
2 − √20 + √20 − 10
 
=
8√10 − 8 √50
−8 
= −√10 + √50.