medidas diretas e indiretas-v3

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PUC Minas 
Departamento de Física e Química – ICEI 
Laboratório de Física 
 
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MEDIDAS DIRETAS E INDIRETAS 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
1.1. Medições Diretas 
 
Imagine que você esteja realizando uma medida qualquer, como, por exemplo, a medida do 
comprimento de uma barra (ver Figura 1). Observe que a menor divisão da régua utilizada é de 1 mm. Ao 
tentar expressar o resultado desta medida, você percebe que ela está compreendida entre 143 mm e 144 mm. 
A fração de milímetro que deverá ser acrescentada a 143 mm terá de ser avaliada, pois a régua não apresenta 
divisões inferiores a 1 mm. 
Para fazer esta avaliação, você deverá imaginar o intervalo entre 143 mm e 144 mm subdividido em 10 
partes iguais, e, com isso, a fração de milímetro, que deverá ser acrescentada a 143 mm, poderá ser obtida 
com razoável aproximação. Na Figura 1 podemos avaliar a fração mencionada como sendo 5 décimos de 
milímetros e o resultado da medida poderá ser expresso como 143,5 mm. 
Observe que estamos seguros em relação aos algarismos 1, 4 e 3, pois eles foram obtidos através de 
divisões inteiras da régua, ou seja, eles são algarismos corretos. Entretanto, o algarismo 5 foi avaliado, isto é, 
você não tem muita certeza sobre o seu valor e outra pessoa poderia avaliá-lo como sendo 4 ou 6, por exemplo. 
Por isto, este algarismo avaliado é denominado algarismo duvidoso. 
 
 
Figura 1: Comprimento 𝑙 de uma barra medido com uma régua milimetrada. O resultado é 𝑙 =
(143,5 ± 0,5) 𝑚𝑚. Os algarismos 1, 4 e 3 são corretos e o algarismo 5 é o duvidoso. A incerteza 
avaliada nesta medição é 0,5 mm, metade da menor divisão da escala da régua. 
 
A partir deste momento, você pode compreender que duas medidas expressas, por exemplo, como 42 
cm e 42,0 cm, não representam exatamente a mesma coisa. Na primeira, o algarismo 2 foi avaliado e não se 
tem certeza sobre o seu valor. Na segunda, o algarismo 2 é correto, sendo o zero o algarismo duvidoso. Do 
mesmo modo, resultados como 7,65 kg e 7,67 kg, por exemplo, não são fundamentalmente diferentes, pois 
diferem apenas no algarismo duvidoso. 
Quando se realiza uma única medida de uma grandeza, a incerteza pode ser encontrada usando-se 
diferentes procedimentos, mas é sempre importante usar-se o bom senso. Uma regra amplamente difundida 
é a de que a incerteza de uma medida isolada (erro de leitura) deve ser a metade da menor divisão da escala 
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do instrumento de medida. Por exemplo, para se medir o comprimento da barra da Figura 1, alguém poderia 
considerar como incerteza, a metade de uma unidade correspondente à menor divisão, ou seja, 0,5 milímetro. 
Assim, a medida do comprimento da barra seria escrita como 𝑙 = (143,5 ± 0,5)𝑚𝑚. O resultado escrito dessa 
maneira indica que há uma incerteza de 0,5 mm na determinação do comprimento da barra. Entretanto, se 
essa régua for usada para medir a altura da porta da sala de aula, é claro que a incerteza não mais poderá ser 
de 0,5 mm. O procedimento de posicionar a régua várias vezes para completar a medida eleva muito a 
incerteza que poderá ser da ordem de centímetro. Portanto, essa regra tão difundida de que a incerteza é a 
metade da menor divisão da escala deve ser usada com muito cuidado. 
É importante reforçar que o desvio ou incerteza avaliada deve contar um ou dois algarismos 
significativos, no máximo. Destaca-se também que o número de casas decimais do desvio ou incerteza avaliada 
deve corresponder à casa decimal do algarismo duvidoso na medida. No exemplo acima, da medida do 
comprimento da barra, 𝑙 = (143,5 ± 0,5)𝑚𝑚: a incerteza possui um algarismo significativo e possui uma casa 
decimal, ao passo que a medida do comprimento possui seu algarismo duvidoso (número 5) justamente na 
primeira casa decimal. 
Quando se usa, por exemplo, um voltímetro analógico ou qualquer instrumento com ponteiro, tem-se 
que prestar atenção se a leitura é estável ou se o ponteiro oscila em torno de um valor. Se o aparelho indicar 
um valor fixo, pode-se considerar como incerteza a própria precisão do instrumento ou, no caso de não se ter 
essa informação, usar uma unidade da menor divisão da escala utilizada [2]. Se houver oscilação, é mais 
razoável calcular a incerteza a partir dos limites desta oscilação: o resultado de uma medida poderá ser 
qualquer valor dentro da faixa de oscilação. Como exemplo, considere que a única informação que um 
operador tem sobre uma medição de uma grandeza é que o seu valor se situa entre os limites 𝑦𝑚𝑖𝑛 e 𝑦𝑚𝑎𝑥. 
Assim, é aceitável supor que 𝑦 pode assumir qualquer valor dentro desse intervalo com igual probabilidade 
(distribuição retangular). Nesse caso, o valor mais provável da grandeza é dado por 
𝑦 = 
𝑦𝑚𝑎𝑥 + 𝑦𝑚𝑖𝑛
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e a incerteza padrão, estimada como desvio padrão dessa distribuição, é dada por 
∆𝑦 = 
𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝑦𝑚𝑖𝑛
2√3
 
O fator √3 decorre da distribuição retangular de probabilidade [2]. 
 
No caso de aparelhos digitais, a avaliação do desvio deverá ser feita como no caso anterior, através dos 
limites de oscilação, se houver oscilação, ou através da própria precisão do instrumento, se não houver 
oscilação. No caso de não se ter a informação da precisão do instrumento, pode-se considerar 3%. 
O desvio relativo é a razão entre a incerteza ∆𝑦 e o valor médio de 𝑦, 
∆𝑦
𝑦
. 
O desvio percentual é o desvio relativo expresso em percentual, 
∆𝑦
𝑦
× 100%. 
 Os desvios percentuais permitem comparar as precisões das medidas, 
 
1.2. Medições Indiretas 
 
É muito comum não ocorrer a medição direta de uma grandeza 𝑦. Nesses casos, o valor da grandeza é 
obtido a partir das medições de 𝑁 outras grandezas físicas e da relação funcional 𝑦 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑁). Ao se 
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expressar o resultado de 𝑦 obtido indiretamente a partir de cálculos, é importante apresentar qual é a incerteza 
associada a esse resultado, ou seja, qual é a consequência da propagação das incertezas. Abaixo segue um 
resumo de algumas regras úteis para determinação do desvio de uma grandeza medida indiretamente [2]. 
i) Se 𝑦 é a soma ou subtração de grandezas a, b, c,… então: 
∆𝑦 = ∆𝑎 + ∆𝑏 + ∆𝑐 + ⋯ 
ii) Se 𝑦 é a multiplicação de uma grandeza 𝑎 por uma constante 𝑘 então: 
∆𝑦 = 𝑘∆𝑎 
iii) Se 𝑦 é a divisão de uma grandeza 𝑎 por uma constante 𝑘 então: 
∆𝑦 = 
∆𝑎
𝑘
 
iv) Se 𝑦 é a multiplicação ou divisão de grandezas 𝑎, 𝑏, 𝑐, … então: 
∆𝑦
𝑦
= 
∆𝑎
𝑎
+
∆𝑏
𝑏
+
∆𝑐
𝑐
+ ⋯ 
v) Se 𝑦 é a potência 𝑛 de uma grandeza 𝑎, então 
∆𝑦
𝑦
= 𝑛
∆𝑎
𝑎
 
 
2. PARTE EXPERIMENTAL 
 
Objetivos: realizar medidas diretas e indiretas; expressar os resultados com suas respectivas incertezas; 
construir uma régua; 
Material utilizado: folha de papel. 
 
PROCEDIMENTO 1: 
 
Construa uma régua de papel seguindo as orientações do tutorial “Régua de papel: faça você mesmo” 
disponibilizado pelo professor ou pelo link: 
 
http://tiny.cc/reguapapel 
 
Atenção: esse tutorial foi baseado nas dimensões de uma folha A4. Portanto, se for utilizar outra folha, atente-
se às suas respectivas dimensões. 
 
 
 
 
http://tiny.cc/reguapapel
http://tiny.cc/reguapapel
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Construa a régua com o máximo de subdivisões possível, obtendo um resultado similar ao da Figura 2. 
 
 
Figura 2: exemplo de régua de papel construída a partir de uma folha de papel A4. 
 
A menor escala da régua da Figura 2 é 1,9 cm. Portanto, a incerteza da medida dessa régua é 0,9 cm. 
 
Responda: 
 
1) Qual é a menor divisão da régua construída? 
2) Qual é a incerteza da medida dessa régua? 
 
 
PROCEDIMENTO 2: objeto com formato de bloco retangular 
 
1) Escolha um objeto com formato de bloco retangular (exemplos: borracha, livro, celular) e meça suas 
arestascom as respectivas incertezas: 
𝐿1 = ________________𝑐𝑚 
𝐿2 = ________________𝑐𝑚 
𝐿3 = ________________𝑐𝑚 
2) Calcule o volume do objeto: 
𝑉𝑏𝑙𝑜𝑐𝑜 = ________________𝑐𝑚
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3) Calcule a incerteza relativa do volume do bloco: 
∆𝑉𝑏𝑙𝑜𝑐𝑜
𝑉
= 
∆𝐿1
𝐿1
+
∆𝐿2
𝐿2
+
∆𝐿3
𝐿3
 
Observação: ∆𝐿 é a incerteza da medida do comprimento. 
 
PROCEDIMENTO 3: objeto com formato cilíndrico 
 
1) Escolha um objeto com formato de um cilindro reto (exemplos: xícara, caneca, jarra de suco). 
 
Caso escolha um objeto oco, como a caneca da Figura 3, por exemplo, meça suas dimensões internas. 
 
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Figura 3: exemplo de objeto com formato de um cilindro reto. 
 
 
2) Meça o diâmetro: 
𝐷 = _____________________𝑐𝑚 
3) Meça a altura: 
𝐻 = _____________________𝑐𝑚 
4) Calcule o volume do objeto: 
𝑉 = 𝜋
𝐷2
4
𝐻 = ____________________𝑐𝑚3 
5) Calcule a incerteza relativa do volume: 
∆𝑉
𝑉
= 2
∆𝐷
𝐷
+
∆𝐻
𝐻
 
Observação: ∆𝐷 e ∆𝐻 são as incertezas do diâmetro e da altura, respectivamente. 
 
 
REFERÊNCIAS: 
 
[1] Guia para expressão da incerteza de medição. 3 ed. Rio de Janeiro: ABNT / INMETRO, 2003. 
[2] CORRADI, Wagner; et al. Física Experimental. Belo Horizonte, ed. UFMG, 2008. 
[3] CAMPOS, Agostinho Aurélio Garcia; ALVES, Elmo Salomão; SPEZIALI, Nivaldo Lúcio. Física experimental 
básica na universidade. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2007.