Apostila de reta versão aluno

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Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATEC 
Curso Superior de Engenharia Civil 
 _______________________________________________________________________________ 
 
 
 
1 
1ª) Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos seguintes 
casos: 
 a)determinada pelo ponto A(1,–2,1) e pelo vetor v

=(3,1,4); 
 b)determinada pelos pontos A(2,-1,3) e B(3,0,–2) ; 
 c)possui o ponto A(1,–2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto B(2,0,1) e pelo vetor diretor 
v

=(2,–2,3); 
 d)possui o ponto M (1,5,–2) e é paralela à reta determinada pelos pontos A(5,–2,3) e B(–
1,–4,3); 
 e)possui o ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação 
2
1z
3
4y
5
2x
:r
−
=
+
=
−
+
; 
 f)possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao vetor v

 = (–2,0,–2); 
 g)possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao vetor v

=(8,3,0); 
 h)possui o ponto A(2, –2,1) e é paralela ao eixo OX ; 
 i)possui o ponto A(8,0,–11) e é paralela ao eixo OZ. 
RESP: a) P=(1,–2,1) +m(3,1,4) , 





+=
+−=
+=
m41z
m2y
m31x
 , 
4
1z
1
2y
3
1x −
=
+
=
−
 , 



+=
+=
9y4z
7y3x
 
b) P=(2,–1,3) +m(1,2,–5) , 





−=
+−=
+=
m53z
m1y
m2x
 , 
5
2z
y3x
−
+
==− , 



+−=
−=
13x5z
3xy
; 
c) P=(1,–2,3) +m(2,–2,3) , 





+=
−−=
+=
m33z
m22y
m21x
 , 
3
3x
2
2y
2
1x −
=
−
+
=
−
, 





=
−−=
y
2
3
z
1yx
 ; 
d) P=(1,5,–2) +m(3,1,0) , 





−=
+=
+=
2z
m5y
m31x
 , 2z ; 5y
3
1x
−=−=
−
 ; 
e) P=(2,1,0) =m(–5,3,2) , 





=
+=
−=
m2z
m31y
m52x
 , 
2
z
3
1y
5
2x
=
−
=
−
−
 , 






+
=
+−
=
2
2z3
y
2
4z5
x
 ; 
 
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2 
f) P=(–6,7,9) =m(1,0,1) , 





+=
=
+−=
m9z
7y
m6x
 , 7 y; 9z6x =−=+ ; 
g) P=(0,0,4) +m(8,3,0) , 





=
=
=
4z
m3y
m8x
 , 4z ; 
3
y
8
x
== ; 
h) P=(2,–2,1) = m(1,0,0) , 



=
−=
1z
2y
 ; 
 i ) P=(8,0,–11) =m(0,0,1) , 



=
=
0y
8x
. 
 
2ª) Determine as equações simétricas da reta que passa pelo baricentro do triângulo de vértices A(3,4,–
1), B(1,1,0) e c(2,4,4) e é paralela à reta suporte do lado AB do triângulo. 
RESP: 
1
1z
3
3y
2
2x
−
−
=
−
=
−
. 
3ª) Os vértices de um triângulo são O (0,0,0) , A(3,4,0) e B(1,2,2). Forme as equações reduzidas da 
bissetriz interna do ângulo A Ô B e determine sua interseção com o lado AB. 
 RESP: 






=
=
z
5
7
y
z
5
7
x
 e 





4
5
,
4
11
,
4
7
P . 
4ª) Os pontos de trisseção do segmento A(4,3,0) e B(–2,–3,3) são M e N. Unindo-os ao ponto 
P(0,–1,0), obtêm-se as retas PM e PN . Calcule o ângulo formado pelas mesmas. 
RESP:  = arc cos 
3
1
 ,  700 31'43,6'' 
5ª) A reta 
3
z
5
4
4
2x
:r =
+
=
−
, forma um ângulo de 300 com a reta determinada pelos pontos 
A(0,−5,−2) e B(1,n−5,0). Calcular o valor de n. RESP: n=7 ou 1 
6ª) Determine as equações da reta r definida pelos pontos A (2,–1,4) e B= 21 rr  , com 





+=
+=
=
−
−
=
−
=
−
m2z
m21y
m3x
:r e 
2
1z
4
3y
2
1x
:r 21 . RESP: 



+=
+−=
2xz
1xy
 
 
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3 
7ª) Determinar as equações paramétricas da reta t, que é perpendicular a cada uma das retas: 
 a) 
2
8z
10
44y2
x:r e 3z
4
y2
2
3x
:s
−
+
=
−
=+=
−
=
−
, e que passa pelo ponto P(2,3,5); 
 b) 
3
z
2-
y-2
4 x:r e 3z3
4
y2
2
2x
:s
−
==++=
−
=
−
, e que passa pelo ponto P(2,–3,1); 
 c) 



+=
−−=
18x10z
3x2y
:r e 






+−
=
−
=
2
27y6
z
2
1y2
x
:s , e que passa pelo ponto P(3,−3,4). 
 RESP: a)t: 





+=
+=
−=
m125z
m53y
m2x
 





+=
+−=
+=
m61z
m73y
m42x
:t)b c) 





+=
+−=
−=
m34z
m133y
m43x
:t 
8ª)Estabeleça as equações, em função de x, da reta traçada pela interseção de r:P=(−6,1,0)+m(1,–1,1), 
com a reta 



+=
−=
5zy
2z3x
:s , e que forma ângulos agudos congruentes com os eixos coordenados. 
RESP: 



+=
+=
6xz
11xy
:t 
9ª) São dadas as retas 



−=
+=
1z2y
1zx
:r e 



−=
+=
5zy
3zx
:s e o ponto A(3,–2,1). Calcule as coordenadas 
dos pontos P e Q pertencentes, respectivamente a r e a s, de modo que A seja o ponto médio do 
segmento PQ. RESP: P(1, –1,0) e Q(5,3,2) 
10ª) Determine o ponto O', simétrico de da origem O dos eixos coordenados, em relação ã reta 
2
4z
1y
1
2x
:r
−
−
=+=
−
−
. RESP: 





3
2
,
3
5
,
3
1
'O 
11ª) Determine as coordenadas de A' simétrico de A (4,0,3), em relação a reta 
4
2z
1y
2
1x
:s
+
=+=
+
. RESP: 





−
21
101
,
21
20
,
21
2
'A 
 
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4 
12ª) Estabeleça as equações paramétricas da reta traçada pelo ponto A(–1, 4,5) e que é perpendicular à 
reta r; P=(–2,1,1) + m(1,–1,2). RESP: 





+=
+=
−=
m5z
m24y
1x
:r 
13ª)Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto A(2,–1,3), e é perpendicular à reta 
1
2z
2
y
3
1x
:s
−
+
==
−
. RESP: P= (2,−1,3)+m(−13,3,−33) 
14ª)Estabeleça as equações da reta s, traçada pelo ponto P(−1,−3,1), que seja concorrente com a reta 



−=
−=
2z2y
1z3x
:r e seja ortogonal ao vetor ( )1,0,2v −= . 
RESP: 
2
1_z
1
3y
1x:s =
−
+
=+ 
 
15ª) Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1) , B(1,1,–3) e 
C(–1,–3,0). RESP: 
58
1745
u.c.