teorico II

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Circuitos Lógicos
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Me. Renan Cardoso Melli
Revisão Textual:
Prof.ª Dr.ª Selma Aparecida Cesarin
Fundamentos de Circuitos Lógicos
Fundamentos de Circuitos Lógicos
 
 
• Apresentar os conceitos e fundamentos de análise, interpretação e aplicação dos elementos 
básicos integrantes de Circuitos Lógicos;
• Conhecer os elementos básicos aplicados na implementação de Circuitos Lógicos.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO 
• Constantes e Variáveis Booleanas;
• Representação de Funções Lógicas;
• Operação de Funções com Formas de Onda nas Entradas;
• Expressões Lógicas ou Equações Booleanas;
• Circuitos Lógicos Digitais e Expressões Lógicas.
UNIDADE Fundamentos de Circuitos Lógicos
Contextualização 
Atualmente, o termo “Digital” é tão comum em nosso vocabulário que nem 
pensamos o que essa palavra realmente significa. 
O termo é derivado da forma com que os computadores realizam operações, 
contando dígitos, e disso se tratam os sistemas microprocessados: computar a 
maior quantidade de dados possível. 
É isso que torna possível o funcionamento de elementos como computadores, 
robôs, médicos eletrônicos, transportes e entretenimento, dentre muitos outros. 
Nesta Unidade, vamos identificar como os Circuitos Digitais interpretam sinais 
de entrada e os transformam em outros tipos de sinais, criando maior conversa-
ção entre dispositivos.
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Constantes e Variáveis Booleanas
A Álgebra Booleana difere da Álgebra comum porque constantes e Variáveis Booleanas 
podem ter apenas dois valores possíveis, 0 ou 1. 
Uma Variável Booleana é uma quantidade que pode, em momentos diferentes, ser 
igual a 0 ou a 1.
Variáveis Booleanas são frequentemente usadas, por exemplo, para representar o 
nível de tensão em um circuito. 
Por exemplo, num dado Sistema Digital, o valor lógico Booleano “0” pode ser atribu-
ído a qualquer valor de tensão na faixa entre 0 a 1,5V, enquanto o valor lógico Booleano 
“1” pode se referir a qualquer valor na faixa entre 3,5 a 5,0V.
Assim, os níveis 0 e 1 Booleanos não representam números reais e sim o estado de 
uma variável, definido como nível lógico. 
Nesse sentido, uma tensão em um circuito digital é interpretada como nível lógico 0 
ou nível lógico 1 de acordo com o seu valor numérico real.
Representação de Funções Lógicas
Um Sistema Digital é composto por uma série de elementos que operam as variáveis 
e constantes Booleanas. Uma forma comum de representarmos esses elementos é utili-
zando uma série de simbologias conhecidas como portas lógicas. A seguir, veremos as 
principais portas lógicas e seus métodos de funcionamento.
Existem três funções lógicas fundamentais: soma (conhecida como “OR”, em Inglês e 
“OU” em Português), multiplicação (“AND”, em INGLÊS e “E” em Português) e inversão 
(“NOT” e “NÃO”, respectivamente). 
A partir delas, outras funções lógicas podem ser derivadas, complementando os ele-
mentos disponíveis para representar as operações lógicas realizadas em circuitos digitais.
A porta lógica AND (E) representa uma operação de produtos entre variáveis. Seu 
funcionamento diz que a saída será 1 somente se todas as entradas operadas pela fun-
ção forem iguais a 1 simultaneamente, nos demais casos, a saída será sempre 0. 
A Figura 1 apresenta, em (a) a representação simbólica da função AND e, em (b), sua 
respectiva Tabela verdade para o tratamento de duas variáveis de entrada A e B:
F igura 1 – Porta Lógica AND (a) e respectiva Tabela verdade da função para duas variáveis (b)
Fonte: Adaptado de TOCCI; WIDMER; MOSS, 2007
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UNIDADE Fundamentos de Circuitos Lógicos
Em Lógica, dizemos que o valor 0 significa FALSO (F) e normalmente é representado 
por um nível de tensão 0V, isto é, um nível baixo de tensão ou BAIXO ou, ainda, LOW. 
Já o valor 1 significa VERDADEIRO (V) e é representado por um nível de tensão 
+VCC, ou seja, um nível alto de tensão ou ALTO ou, ainda, HIGH.
A porta lógica OR (OU) representa uma operação de soma entre variáveis. Seu 
funcionamento diz que a saída será 1 se pelo menos uma das entradas operadas pela 
função for igual a 1.
Sua saída será 0 somente se todas as variáveis operadas pela função forem iguais a 
0 simultaneamente. 
A Figura 2 apresenta, em (a), a representação simbólica da função OR e, em (b), sua 
respectiva Tabela verdade para o tratamento de duas variáveis de entrada A e B:
Figura 2 – Porta Lógica OR (a) e respectiva Tabela verdade da função (b) para duas variáveis
Fonte: Adaptado de TOCCI; WIDMER; MOSS, 2007
A porta lógica NOT (NÃO) representa uma operação de inversão ou complementa-
ção de uma variável. 
Seu funcionamento diz que a saída será o complemento lógico de sua entrada ou, em 
outras palavras, seu estado lógico inverso. 
A Figura 3 apresenta, em (a), a representação simbólica da função NOT e, em (b), sua 
respectiva Tabela verdade para o tratamento de uma variável de entrada A:
Figura 3 – Porta Lógica NOT (a) e respectiva Tabela verdade da função (b) para duas variáveis
Fonte: Adaptado de TOCCI; WIDMER; MOSS, 2007
Complementarmente, a partir da combinação dessas três funções lógicas elementa-
res, é possível obtermos outras duas variações de funções lógicas: as funções NAND 
(NÃO E) e NOR (NÃO OU). 
A Figura 4 apresenta, em (a) e em (c), as respectivas representações simbólicas das 
funções NOR e NAND e, em (b) e em (d), suas respectivas Tabelas verdade para o trata-
mento de duas variáveis de entradas A e B.
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Figura 4 – Porta Lógica NOR (a) e respectiva Tabela verdade da função (b) para duas variáveis.
Porta Lógica NAND (c) e respectiva Tabela verdade da função (d) para duas variáveis
Fonte: Adaptado de TOCCI; WIDMER; MOSS, 2007
Por fim, o conjunto das funções lógicas é completado definindo-se duas variações 
específicas de funções lógicas de soma: a função EX-OR (OU Exclusiva) e a função 
EX-NOR (OU Não Exclusiva ou Coincidência). 
A Figura 5 apresenta, em (a) e em (c), as respectivas representações simbólicas das 
funções EX-OR e EX-NOR e, em (b) e em (d), suas respectivas Tabelas verdade para o 
tratamento de duas variáveis de entradas A e B.
Figura 5 – Porta Lógica EX-OR (a) e respectiva Tabela verdade da função (b) para duas variáveis.
Porta Lógica EX-NOR (c) e respectiva Tabela verdade da função (d) para duas variáveis
Fonte: Adaptado de TOCCI; WIDMER; MOSS, 2007
Em nosso Material Complementar, há um link para um simulador on-line de Circuitos Eletrô-
nicos Digitais, com o qual você poderá montar e testar Circuitos Lógicos de forma intuitiva e 
entender seu funcionamento. 
Não perca esta chance de praticar seus conhecimentos! 
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UNIDADE Fundamentos de Circuitos Lógicos
Operação de Funções com 
Formas de Onda nas Entradas
Na maioria das aplicações, as entradas de uma porta não apresentam níveis estacio-
nários, mas são formas de onda de tensão que variam frequentemente entre os níveis 
lógicos ALTO e BAIXO. No entanto, uma função lógica obedece a operação de uma 
Tabela verdade independente se as entradas recebem níveis lógicos constantes ou níveis 
que variam entre ALTO e BAIXO. 
Vejamos um exemplo para a função AND na Figura 6. A e B são as variáveis de 
entrada que recebem os sinais digitais ao longo do intervalo de tempo t1 a t5:
Figura 6 – Porta Lógica AND submetida a um trem de pulsos
Fonte: FLOYD, 2007
Como se observa no diagrama de estados da Figura 6, o nível lógico da saída X da 
porta lógica acompanha a variação dos estados lógicos nas entradas A e B da função. 
As entradas A e B são nível ALTO (1) durante o intervalo de tempo t1, tornando a 
saída X nível ALTO (1) durante esse intervalo de tempo. 
Durante t2, A vai para nível BAIXO (0), forçando a saída X para nível BAIXO (0) neste 
intervalo. 
Sucessivamente, ao longo dos intervalos t3, t4 e t5, o nível da saída X é atualizado 
à medida que as entradas A e B são atualizadas. Em todos os casos, a saída da função 
obedece às condições previstas na Tabela verdade da porta lógica.
O mesmo raciocínio anterior pode ser aplicado a qualquer funçãológica. Na Figura 7 
a seguir, é exemplificado o comportamento da saída X de uma porta OR de duas entra-
das A e B. 
Para cada instante de transição dos sinais de entrada, observa-se a respectiva alte-
ração no comportamento do nível da saída X, acompanhando às respectivas condições 
previstas para a função OR.
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Figura 7 – Porta Lógica OR submetida a um trem de pulsos
Fonte: FLOYD, 2007
Expressões Lógicas ou Equações Booleanas
George Boole (1815-1864), matemático e filósofo britânico, desenvolveu um Sistema 
Matemático de Análise Lógica conhecido como Álgebra de Boole ou Álgebra Booleana. 
Esse sistema permitiu elaborar expressões conhecidas como funções lógicas, que 
possibilitaram o desenvolvimento da Eletrônica Digital. Para facilitar o tratamento ana-
lítico das diversas funções lógicas possíveis de serem implementadas através de portas 
lógicas, utiliza-se a representação da função lógica por meio de equações Booleanas, 
conforme demonstrado na Tabela 1:
Tabela 1 – Representação das portas lógicas por equações Booleanas
Função Lógica Equação Booleana Correspondente
AND x A B= ⋅
OR x A B= +
NOT x A=
NOR x A B= +
NAND x A B= ⋅
EX-OR x A B= ⊕
EX-NOR x A B= ⊕
Álgebra de Boole
A Álgebra de Boole é formada por um conjunto de regras e Leis aplicadas ao estudo 
e ao desenvolvimento de Circuitos Lógicos. 
Essas regras permitem generalizar a interpretação e a avaliação das propriedades de 
Circuitos Digitais, otimizando as condições de projeto e implementação desses circuitos.
Leis da Álgebra de Boole
Na álgebra Boolena, utilizam-se três das Leis fundamentais da Álgebra convencional: 
as leis comutativas para a adição e multiplicação, as leis associativas para a adição e 
multiplicação e a lei distributiva. 
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UNIDADE Fundamentos de Circuitos Lógicos
Essas leis são aplicadas às análises de circuitos digitais independentemente da quan-
tidade de variáveis presentes no sistema.
• Lei Comutativa: essa Lei diz que a ordem das variáveis na qual a função OR ou a 
função AND é aplicada não faz diferença:
 A B B Ae AB BA+ = + =
• Lei associativa: essa Lei diz que quando é aplicada uma operação OR ou AND em 
mais de duas variáveis, o resultado é o mesmo independente da forma de agrupar 
as variáveis:
( ) ( ) ( ) ( ) A B C A B C e A BC AB C+ + = + + =
• Lei distributiva: essa Lei diz que a operação AND de uma única variável com o 
resultado de uma operação OR aplicada em duas ou mais variáveis é equivalente a 
uma operação OR entre os resultados das operações AND entre uma única variável 
e cada uma das duas ou mais variáveis:
( )A B C AB AC+ = +
Regras da Álgebra Booleana
A Álgebra de Boole apresenta 12 teoremas básicos a partir dos quais as operações 
lógicas entre variáveis são realizadas. 
Os teoremas e propriedades da álgebra Booleana permitem a simplificação de Cir-
cuitos Lógicos.
A Figura 8 reúne estes 12 teoremas fundamentais da álgebra Booleana: 
Figura 8 – As 12 regras fundamentais da álgebra de Boole
Fonte: FLOYD, 2007
Teoremas de De Morgan
De Morgan propôs dois teoremas complementares às regras de Boole que implicam a ve-
rificação de equivalência entre as funções NAND e NOR. O primeiro teorema enuncia que:
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• O complemento de um produto de variáveis é igual a soma dos complementos 
das variáveis:
XY X Y= +
O segundo teorema enuncia que:
• O complemento de uma soma de variáveis é igual ao produto do complemento 
das variáveis:
X Y XY+ =
Vamos utilizar um exemplo conjunto, em que ambos os Teoremas são aplicados na 
mesma simplificação. 
Como simplificar a expressão a seguir para outra que contenha apenas variáveis 
simples invertidas?
( ))(z A C B D= + +
Utilizando o primeiro teorema, fazemos ( )A C X+ = e ( )B D Y+ = e podemos 
reescrever a expressão anterior como:
( ) ( )z A C B D= + + +
Agora que a inversão foi separada, podemos tratar os termos utilizando o segundo 
Teorema para sua simplificação:
z = (AC) + (BD)
Na sequência, cancelamos as inversões duplas e obtemos:
z AC BD= +
De forma semelhante, vejamos mais alguns exemplos da aplicação dos Teoremas de 
De Morgan.
Exemplo 1
z A BC= +
( )z A BC=
z A B C
= = + 
 
( )z A B C= +
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UNIDADE Fundamentos de Circuitos Lógicos
Exemplo 2
( )( )z A BC DEF= +
( ) ( )z A BC D EF= + + +
( ) ( )z ABC DEF= +
( ) ( )z A B C D E F   = + + +  
z AB AC DE DF= + + +
Em nosso Material Complementar, há um link para uma calculadora de funções Booleanas, 
com o qual você poderá praticar técnicas de otimização de expressões Booleanas e avaliar 
sua aprendizagem. 
Será que você consegue otimizar as expressões lógicas tão bem quanto uma calculadora?
Propriedade Universal das Pontas NAND e NOR 
As portas NAND e NOR são elementos lógicos especiais, pois podem ser aplicadas 
como portas universais, ou seja, as portas NAND e NOR podem ser combinadas e mo-
dificadas para realizarem as demais operações lógicas. 
Uma porta NAND pode realizar as funções NOT, AND, OR e NOR. Já uma porta 
NOR pode realizar as operações NOT, AND, OR e NAND. 
A Figura 9 ilustra as associação necessárias para obtenção das funções lógicas a 
partir de portas NAND:
Figura 9 – Obtenção de funções lógicas utilizando-se portas NAND
Fonte: Adaptado de FLOYD, 2007
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De forma semelhante, a Figura 10 ilustra as associação necessárias para a obtenção 
das funções lógicas a partir de portas NOR:
Figura 10 – Obtenção de funções lógicas utilizando-se portas NAND
Fonte: Adaptado de FLOYD, 2007
Circuitos Lógicos Digitais
e Expressões Lógicas
Todo Circuito Lógico executa uma expressão Booleana correspondente e, por mais 
complexo que seja o circuito, ele sempre será composto pela interligação dos blocos 
lógicos básicos apresentados na seção anterior. 
Para obter a expressão lógica equivalente a um circuito digital, é preciso averiguar 
cada uma das operações realizadas com as variáveis presentes no sistema, de acordo 
com a sua precedência no circuito, e aplicar as expressões apresentadas na Tabela 1, 
operação por operação, até completar o circuito. 
Vejamos um exemplo na Figura 11, na qual começamos a análise pelas entradas 
mais à esquerda e, percorrendo o circuito até a saída final, escrevemos a expressão para 
cada porta lógica: 
Figura 11 – Identifi cando a expressão resultante conforme as operações em um circuito lógico
Fonte: TOCCI; WIDMER; MOSS, 2007
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UNIDADE Fundamentos de Circuitos Lógicos
A expressão ([ )x D A B CE= + +  representa a operação da saída x do circuito lógi-
co acima constituído pela combinação de portas lógicas e entradas próprias ao sistema. 
De forma equivalente, é possível obter um circuito lógico a partir de uma dada ex-
pressão.
Por exemplo, para a expressão y AC BC ABC= + + , temos o circuito digital corres-
pondente apresentado na Figura 12:
Figura 12 – Obtendo o circuito lógico resultante a partir de uma expressão Booleana
Fonte: TOCCI; WIDMER; MOSS, 2007
Para finalizarmos esta discussão, observamos que o conjunto de técnicas e métodos 
apresentado ao longo desta Unidade será utilizado para o projeto, simplificação e imple-
mentação dos Circuitos Lógicos na próxima seção. 
É sempre preferível um circuito mais simples para se trabalhar, desde que represente 
a mesma lógica que o circuito original, uma vez que no circuito simplificado há um nú-
mero menor de portas e, portanto, será mais simples implementar e mais barato do que 
o circuito original. 
Além disso, a confiabilidade será melhorada devido ao menor número de ligações, 
diminuindo, assim, uma das causas potenciais de falhas no circuito.
Então, não deixe de exercitar e participar dos fóruns para sanar todas suas dúvidas. 
Nós nos vemos lá.
Abraços!
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Sites
CircuitVerse – Simulador Online e Gratuito de Circuitos Lógicos
https://bit.ly/3mmMXXE
Electronics Course – Calculadora de Álgebra Booleana
https://bit.ly/3muZZ5D
 Livros
Elementos de eletrônica digital
CAPUANO, F. G. Elementosde eletrônica digital. 41.ed. São Paulo: Erica, 2012.
Fundamentos de eletrônica digital: sistemas combinacionais
TOKHEIM, R. Fundamentos de eletrônica digital: sistemas combinacionais. 
Porto Alegre: AMGH, 2013. v. 1.
 Leitura
Introdução do mundo do hardware reconfigurável: Conhecendo as FPGAs
https://bit.ly/3gU5Rnx
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UNIDADE Fundamentos de Circuitos Lógicos
Referências
CAPUANO, F. G. Elementos de eletrônica digital. 41.ed. São Paulo, Erica, 2012. 
 (e-book)
FLOYD, T. Sistemas Digitais: fundamentos e aplicações. 9.ed. Porto Alegre: Book-
man, 2011. (e-book)
TOCCI, R. J.; WIDMER, N. S.; MOSS, G. L. Digital Systems: principles and applications. 
10 ed. New Jersey: Pearson. 2007.
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