Mecanica dos Fluidos_Dinamica

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AI-34D Instrumentação Industrial 
Física 
Mecânica dos Fluidos 
Profa Daniele Toniolo Dias F. Rosa 
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/danieletdias 
danieletdias@utfpr.edu.br 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Tecnologia em Automação Industrial 
Sumário 
• Dinâmica dos Fluidos 
• Característica do Escoamento 
• Linhas de corrente e equação da continuidade 
dos fluidos 
• Princípio de Bernoulli 
• Aplicações 
• Até agora, nosso estudo dos fluidos foi restrito a 
fluidos em repouso (estática dos fluidos). 
• Agora voltaremos a atenção para a dinâmica dos 
fluidos, isto é, o estudo dos fluidos em movimento. 
• Em vez de tentar estudar o movimento de cada 
partícula do fluido em função do tempo, 
descrevemos as propriedades do fluido como um 
todo. 
Característica do Escoamento 
• O escoamento é dito constante ou laminar se cada 
partícula do fluido seguir uma trajetória suave, de 
modo que as trajetórias diferentes das partículas 
nunca se cruzem. 
• Assim no escoamento laminar, a velocidade do 
fluido em qualquer ponto permanece constante no 
tempo 
• Acima de uma determinada velocidade crítica o 
escoamento do fluido torna-se turbulento. 
 
 
 
 
 
• O escoamento turbulento é um escoamento irregular 
caracterizado por regiões de pequenos redemoinhos. 
• Por exemplo, o escoamento da água em um rio torna-
se turbulento nas regiões onde se encontram rochas e 
outras obstruções, frequentemente formando 
corredeiras. 
• O termo viscosidade geralmente é utilizado no 
escoamento de fluidos para caracterizar o grau de 
atrito interno do fluido. 
• Este atrito interno, ou força viscosa, está associado à 
resistência que duas camadas adjacentes do fluido 
opõem ao movimento relativo entre elas. 
• Como a viscosidade representa uma força não 
conservativa, parte da energia cinética de um fluido é 
convertida em energia interna quando camadas do 
fluido deslizam umas sobre as outras. 
• Isso é similar ao mecanismo pelo qual um corpo que 
desliza em uma superfície horizontal áspera 
experimenta uma transformação da energia cinética 
em energia interna. 
 
• Devido a complexidade de um fluido real, consideraremos 
o comportamento de um fluido ideal e as seguintes 
suposições: 
• 1. Fluido não viscoso. O atrito interno é negligenciado. Um 
objeto que se move através do fluido não sofre força 
viscosa. 
• 2. Fluido incompressível. A densidade do fluido é 
considerada constante independente da pressão. 
• 3. Escoamento laminar. Supomos que a velocidade do 
fluido em cada ponto permanece constante. 
• 4. Escoamento irrotacional. No fluxo irrotacional, o fluido 
não tem momento angular em nenhum ponto. Se uma 
pequena roda de pá colocada em qualquer lugar do fluido 
não girar sobre seu centro de massa da roda, então o fluxo 
é irrotacional. 
• A trajetória percorrida por uma partícula 
de fluido em escoamento laminar é 
chamada de linha de corrente. 
• A velocidade da partícula é 
sempre tangente à linha 
de corrente. 
Linhas de corrente e a equação da 
continuidade para fluidos 
• Duas linhas de corrente não podem cruzar-se porque, 
se isso acontecesse, uma partícula poderia seguir uma 
ou outra trajetória no ponto de cruzamento e o 
escoamento não seria laminar. 
• Um conjunto de linhas de corrente, forma o que se 
chama tubo de corrente. 
 
 
 
 
• As partículas não podem fluir para dentro ou para fora 
dos lados deste tubo, porque se isso acontecesse, as 
linhas de corrente se cruzariam. 
• Considere um fluido ideal escoando através de um tubo 
de tamanho não uniforme como na Figura abaixo. 
• As partículas no fluido movimentam-se 
ao longo das linhas de corrente no 
escoamento laminar. Vamos 
analisar a situação usando 
o modelo de sistema não 
isolado em estado 
estacionário. 
• Selecionamos em nosso sistema a região no tubo entre 
o ponto 1 e o ponto 2. 
• Vamos supor que esta região está preenchida com 
fluido em todos os momentos. 
• Imagine que o fluido se desloca uma distância x1 no 
ponto 1 e uma distância no x2 ponto 2, onde sai do 
sistema. 
• O volume de fluido que entra no sistema no ponto 1 é 
A1x1 e o volume que sai no ponto 2 é A2x2. 
• Como o volume de um fluido incompressível é uma 
grandeza conservada, esses dois volumes devem ser 
iguais para que o sistema esteja em estado laminar. 
• Se isso não fosse verdade, o volume de fluido no 
sistema estaria mudando. Assim, 
 
• Vamos dividir a equação anterior pelo intervalo de 
tempo durante o qual o fluido se move: 
 
 
• No limite em que o intervalo de tempo diminui para 
zero, a razão entre a distância percorrida e o intervalo 
de tempo é a velocidade instantânea do fluido, que 
podemos escrever como: 
 
 
• Esta expressão, chamada equação da continuidade para 
fluidos, diz que o produto da área de secção reta pela 
velocidade do fluido em todos os pontos ao longo do 
tubo é uma constante. 
(1) 
• Consequentemente, a velocidade é elevada onde o 
tubo é estreito e baixa onde o tubo é largo. 
• O produto Av, que tem as 
dimensões do volume 
pelo tempo, é chamado 
de vazão volumétrica 
ou fluxo volumar 
(vazão, A.v=constante). 
 
 
• É por isso que um bico ou seu polegar sobre a 
mangueira de jardim permitem 
que você projete a água mais 
longe. Reduzindo a área através 
da qual a água flui, você aumenta 
sua velocidade. Assim você 
projeta a água da mangueira com uma velocidade 
inicial elevada e um maior alcance. 
• Multiplicando a equação da continuidade pela 
densidade, temos a taxa de escoamento de massa ou 
vazão mássica: 
• Quando um fluido se move através de uma região na 
qual muda sua velocidade ou elevação acima da 
superfície da Terra, sua pressão varia em função dessas 
mudanças. 
• Em 1738, o físico suíço Daniel Bernoulli derivou pela 
primeira vez uma expressão que relaciona a pressão à 
velocidade e à altura do fluido. 
 
Princípio de Bernoulli 
• Vamos desenvolver uma representação matemática do 
princípio de Bernoulli, que mostra explicitamente a 
dependência da pressão em relação à velocidade e à 
altura. 
• Considere o escoamento de um fluido ideal através de 
um tubo não uniforme em um tempo t, como na 
Figura abaixo. 
• O sistema escolhido é a secção do fluido que 
inicialmente está entre os pontos 1 e 2 
e a Terra. 
• Está sendo realizado um trabalho sobre o nosso 
sistema pelo fluido externo que está em contato com as 
duas extremidades do fluido no sistema e, 
consequentemente, estão mudando a energia cinética 
e gravitacionaldo sistema. 
• Assim a equação da continuidade para a energia para o 
sistema nesta situação é 
 
• Vamos calcular cada um dos termos desta equação. 
 
(2) 
• Observe que os elementos do fluido com 
comprimentos x1 e x2 da Figura representam a 
única mudança entre a situação inicial e a final. 
• O fluido contido entre esses elementos não sofre 
nenhuma mudança em sua energia cinética ou 
potencial gravitacional. 
• A diferença na energia cinética é aquela entre o 
elemento no ponto 2 e do ponto 1: 
(3) 
Em que m é a massa que entra numa 
extremidade e deixa a outra em um 
tempo t 
• A mudança na energia potencial do sistema fluido-Terra 
é aquela associada com o movimento do elemento do 
fluido situado no ponto 1 até o local no ponto 2: 
 
• Finalmente calculamos o trabalho realizado na seção do 
fluido. O fluido à esquerda do ponto 1 realiza trabalho 
positivo sobre nossa seção porque aplica uma força no 
mesmo sentido que o deslocamento. 
• O fluido à direita do elemento no ponto 2 realiza 
trabalho negativo porque os vetores da força e do 
deslocamento estão em sentidos opostos. O trabalho 
resultante sobre o sistema é: 
(4) 
• Substituímos a força pelo produto da pressão e da área 
de seção transversal do tubo: 
 
• Finalmente reconhecemos o produto da área de seção 
transversal e do deslocamento como o volume dos 
elementos do fluido: 
 
• Usamos agora as equações 3, 4 e 5, substituindo em 2: 
 
 
 
(5) 
• Dividindo cada termo pelo volume V, lembrando que 
=m/V: 
 
• Rearranjando os termos: 
 
• Esta é a equação de Bernoulli aplicada a um fluido 
ideal. 
 
 
(6) 
 
• A equação de Bernoulli é frequentemente é expressa 
como: 
 
• A eq. de Bernoulli diz que a soma da pressão P, da 
energia cinética por unidade de volume e da energia 
potencial gravitacional por unidade de volume tem o 
mesmo valor em todos os pontos ao longo de uma 
linha de corrente. 
• Quando o fluido está em repouso, v1=v2=0 e a eq. (6) 
torna-se: 
 
(7) 
que concorda com a 
Eq. 5 da aula anterior 
• ESCOAMENTO DE UM FLUIDO INCOMPRESSÍVEL Como 
parte de um sistema de lubrificação para máquinas 
pesadas, um óleo de densidade igual a 850 kg/m3 é 
bombeado através de um tubo cilíndrico de 8,0 cm de 
diâmetro a uma taxa de 9,5 litros por segundo. (a) Qual é a 
velocidade do óleo? Qual é a vazão mássica? (b) Se o 
diâmetro do tubo for reduzido a 4,0 cm, quais serão os 
novos valores para a velocidade e vazão volumétrica? 
Considere o óleo incompressível. 
Aplicações 
3 3 
• SOLUÇÃO 
• IDENTIFICAR: o dado fundamental é que o fluido é 
incompressível, então podemos usar a ideia da 
equação da continuidade para relacionar a vazão 
mássica, a vazão volumétrica, a área do tubo de 
escoamento e a velocidade do escoamento. 
• PREPARAR: usamos a definição da vazão volumétrica 
(Av=dV/dt), para encontrar a velocidade v1 na seção de 
8,0 cm de diâmetro. A vazão mássica é o produto da 
densidade e da vazão volumétrica. A equação da 
continuidade para escoamento incompressível, 
Equação (1), permite-nos encontrar a velocidade v2 na 
seção de 4,0 cm de diâmetro. 
• EXECUTAR: (a) a vazão volumétrica dV/dt é igual ao 
produto A1v1, onde A1 é a área da seção reta do tubo de 
diâmetro de 8,0 cm e raio 4,0 cm. Assim, 
 
 
• A vazão mássica é  dV/dt = (850 kg/m3)(9,5 x 10-3 m3/s) 
=8,1 kg/s. 
• (b) Como o óleo é incompressível, a vazão volumétrica 
apresenta o mesmo valor em ambas as seções do tubo. 
Pela Equação (1), 
 
• AVALIAR: a segunda seção do tubo tem a metade do 
diâmetro e um quarto da área de seção reta da primeira. 
Logo, a velocidade deve ser quatro vezes maior na segunda 
seção, o que é exatamente o que o nosso resultado mostra 
(v2 = 4v1). 
• PRESSÃO DA ÁGUA EM UMA CASA A água entra em 
uma casa através de um tubo com diâmetro interno de 
2,0 cm, com uma pressão absoluta igual a 4,0 x 105 Pa 
(cerca de 4 atm). Um tubo com diâmetro interno de 1,0 
cm conduz ao banheiro do segundo andar a 5,0 m de 
altura. Sabendo que no tubo de entrada a velocidade é 
igual a 1,5 m/s, ache a velocidade do escoamento, a 
pressão e a vazão volumétrica no banheiro. 
• SOLUÇÃO 
• IDENTIFICAR: estamos supondo que a água escoe a uma 
taxa constante. O tubo tem um diâmetro relativamente 
grande, então é razoável desprezar o atrito interno. A água 
é bastante incompressível, portanto a equação de Bernoulli 
pode ser aplicada com uma boa aproximação. 
• PREPARAR: os pontos 1 e 2 devem ser colocados no tubo 
de entrada e no banheiro, respectivamente. O problema 
fornece a velocidade v1 e a pressão P1 no tubo de entrada, 
e os diâmetros do tubo 
nos pontos 1 e 2 (por 
meio dos quais calculamos 
as áreas A1 e A2). Fazemos 
Y1 = 0 (na entrada) e 
Y2= 5,0 m (no banheiro). 
As duas primeiras 
variáveis que precisamos 
encontrar são a 
velocidade v2 e a 
pressão P2. 
• Como temos mais de uma incógnita, usamos tanto a 
equação de Bernoulli quanto a equação da 
continuidade para um fluido incompressível. Assim que 
encontrarmos v2, podemos calcular a vazão volumétrica 
v2A2 no ponto 2. 
• EXECUTAR: encontramos a velocidade v2 no banheiro 
usando a equação da continuidade, Equação (1): 
 
 
 
• Conhecemos P1 e v1 e podemos achar P2 pela equação 
de Bemoulli: 
• A vazão volumétrica é 
 
 
• AVALIAR: esta é uma vazão volumétrica razoável para 
uma torneira de banheiro ou chuveiro. Note que, 
quando a torneira está fechada, tanto v1 quanto v2 são 
zero, o termo 1/2(v2
2-v1
2) se anula e a pressão P2 sobe 
para 3,5 x 105 Pa. 
• VELOCIDADE DE EFLUXO A Figura mostra um tanque de 
armazenamento de gasolina com uma seção reta de área A1 
cheio até uma altura h. O espaço entre a gasolina e a parte 
superior do recipiente 
está a uma pressão Po, e a 
gasolina flui para fora através 
de um pequeno tubo de 
área A2. Deduza expressões 
para a velocidade de 
escoamento no tubo 
e para a vazão volumétrica. 
• SOLUÇÃO 
• IDENTIFICAR: podemos considerar o volume inteiro do 
líquido que flui como um único tubo de escoamento 
com atrito interno desprezível. Podemos, portanto, 
aplicar o princípio de Bemoulli. 
• PREPARAR: os pontos 1 e 2 na Figura estão na 
superfície da gasolina e no tubo de saída, 
respectivamente. No ponto 1, a pressão é Po, e no 
ponto 2 é a pressão atmosférica, Patm
. Fazemos Y = 0 no 
tubo de saída, de modo que Y1= h e Y2= 0. Como A1 é 
muito maior do que A2, a superfície superior da 
gasolina escoará muito lentamente,e podemos encarar 
v1 praticamente igual a zero. Encontramos a variável 
procurada, v2, com a Equação (6) e a vazão volumétrica. 
• EXECUTAR: aplicamos a equação de Bemoulli aos 
pontos 1 e 2: 
 
 
 
 
• Usando v1=0 obtemos: 
 
 
 
• A vazão volumétrica será dV/dt=v2A2
. 
• AVALIAR: a velocidade v2, algumas vezes chamada de 
velocidade de efluxo, depende da altura do nível h do líquido 
no tanque e da diferença de pressão (Po - Patm). Se o tanque 
estivesse aberto para a atmosfera em sua parte superior, não 
existiria excesso de pressão: Po= Patm e Po - Patm = 0. Nesse 
caso, 
 
• ou seja, a velocidade de efluxo de uma abertura situada a 
uma distância h abaixo da superfície superior do líquido é a 
mesma velocidade que teria um corpo caindo livremente de 
uma altura h. 
• Esse resultado é conhecido como teorema de Torricelli. Ele 
vale também para uma abertura lateral na parede do 
recipiente situada uma distância h abaixo da superfície 
superior do líquido. Nesse caso, a vazão volumétrica é 
 
• o MEDIDOR DE VENTURI A Figura mostra um medidor 
de Venturi, usado para medir a velocidade de 
escoamento em um tubo. A parte estreita do tubo 
denomina-se garganta. Deduza uma expressão para a 
velocidade de escoamento v1 em termos das áreas das 
seções retas A1 e A2 e da diferença de altura h entre os 
níveis dos líquidos 
nos dois tubos 
verticais. 
• SOLUÇÃO 
• IDENTIFICAR: o escoamento é estacionário, e supomos 
que o fluido seja incompressível e que seu atrito 
interno seja desprezível. Podemos, portanto, aplicar a 
equação de Bernoulli. 
• PREPARAR: aplicamos a equação de Bernoulli à parte 
larga do tubo (ponto 1) e à parte estreita (ponto 2). A 
diferença de altura entre os dois tubos verticais nos dá 
a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2. 
• EXECUTAR: os dois pontos estão na mesma coordenada 
vertical y1 = y2), então aplicamos a Equação (6): 
• Pela equação da continuidade, v2 = (A1/A2)v1, 
Substituindo esse valor na equação e reagrupando, 
obtemos 
 
 
• Conforme o que vimos na aula anterior, a diferença de 
pressão P1 - P2 é também igual a gh, onde h é a diferença 
de altura entre os níveis dos líquidos nos dois tubos. 
Combinando esse resultado com a equação anterior e 
explicitando v1 obtemos 
• AVALIAR: como A1 é maior do que A2, v2 é maior do 
que v1 e a pressão P2 na garganta é menor do que 
P1. Uma força resultante orientada da esquerda 
para a direita acelera o fluido quando ele entra na 
garganta, e uma força resultante orientada da 
direita para a esquerda freia o fluido depois que ele 
sai. 
• Bibliografia: 
 
1. TIPLER, Paul Allen; MOSCA, Gene. Física para 
cientistas e engenheiros. Rio de Janerio: LTC, vol 1. 
 2. SERWAY, Raymond A., JR JEWETT John W. 
Princípios de física. São Paulo: Thomson, vol 2. 
 4. HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. 
Fundamentos de física. Rio de Janeiro, RJ: LTC, vol 2. 
 5. CHAVES, Alaor. Física Básica: Gravitação, Fluidos, 
Ondas, Termodinâmica. Rio de Janeiro: LTC. 
 
Referências