APOSTILA MAS 2021

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE
CATÓLICA DO PARANÁ
MODELAGEM AVANÇADA DE
SISTEMAS
Material produzido pelos Professores Dra. Izabela Patrício Bastos, Dra. Karla Cristiane Arsie
e Me. Luiz Vasconcelos da Silva com a colaboração dos Professores Me. Olimpio de Paula Xavier,
Rosi Mari Portugal e Ma. Vanessa Terezinha Ales para a disciplina de Modelagem Avançada de
Sistemas, dos cursos de Engenharia da Pontifícia Universidade Católica do Paraná.
Temas de estudo da disciplina:
• Retas, planos, cônicas, quádricas e superfícies.
• Funções de várias variáveis, derivadas parciais, diferenciabilidade, vetor gradiente e derivada
direcional.
• Integrais múltiplas.
• Equações diferenciais ordinárias.
• Transformada de Laplace.
• Sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares.
Sumário
1 Retas, planos, cônicas, quádricas e superfícies 6
1.1 Reta no IR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.4 Seções Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Quádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Elipsoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Hiperboloide de uma folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.3 Hiperboloide de duas folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.4 Paraboloide Elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.5 Paraboloide Hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.6 Cone Elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.7 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.9 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Cálculo Diferencial de Funções de Várias Variáveis 27
2.1 Topologia do espaço IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Curvas de Nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2
SUMÁRIO
2.3.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.2 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5.2 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.6.2 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.7 Plano Tangente e Reta Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.7.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.7.2 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.8 Aproximação Linear e Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.8.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.8.2 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.9 Vetor Gradiente e Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.9.1 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.9.2 Reta tangente à curva de nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.9.3 Plano tangente à superfície de nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.9.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.9.5 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.10 Derivada Direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.10.1 Derivada Direcional e Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.10.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.10.3 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.11 Máximos e Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.11.1 Máximos e Mínimos Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.11.2 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.11.3 Máximos e Mínimos Absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.11.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.11.5 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Material produzido por I. P. Bastos, K. C. A. Vieira e L. V. da Silva 3
SUMÁRIO
3 Integrais Múltiplas 93
3.1 Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.1.2 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.2 Mudança de variáveis para as Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.2.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.2.2 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3 Integral Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.3.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.3.2 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.4 Mudança de variáveis de Integral Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.4.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.4.2 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4 Equações Diferenciais Ordinárias 125
4.1 O que é uma Equação Diferencial? Por que estudar? . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2 Classificações das Equações Diferenciais (ED’s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.2.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2.2 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.3 Equações Diferenciais Ordinárias dePrimeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.3.1 Problema de Valor Inicial (PVI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.3.2 Variáveis Separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.3.3 Equações Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.3.4 Equações Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.3.5 Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.3.6 Equações Não Lineares de Primeira Ordem redutíveis a Lineares . . . . . . . 147
4.3.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.3.8 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.4 Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.4.1 Problema de Valor Inicial e de Valor de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.4.2 Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.4.3 Equações Lineares e Homogêneas de Coeficientes Constantes . . . . . . . . . 158
4.4.4 Equações Lineares Não Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.4.5 Método dos coeficientes a determinar (Método de Descartes) . . . . . . . . . 163
4.4.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Material produzido por I. P. Bastos, K. C. A. Vieira e L. V. da Silva 4
4.4.7 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.5 Aplicações de Equações Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.5.1 Crescimento Populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.5.2 Meia Vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.5.3 Cronologia do Carbono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.5.4 Resfriamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.5.5 Circuitos em Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.5.6 Problemas de Misturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.5.7 Movimento Harmônico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.5.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.5.9 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5 Transformada de Laplace 182
5.1 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.1.1 Condição de existência da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 188
5.1.2 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.1.3 Transformadas de derivadas e Solução de EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.1.4 Teoremas de translação, derivada de uma transformação, convolução e fun-
ções periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.1.5 Resolução de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares . . . . . . . . . . . 210
5.1.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.1.7 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Referências 223
Capítulo 1
Retas, planos, cônicas, quádricas e
superfícies
Nesse capítulo faremos um breve resumo a respeito de conceitos importantes para o estudo dessa
disciplina referente ao conteúdo de Geometria Analítica.
Na disciplina de Modelagem e Simulação do Mundo Físico você estudou vetores e suas principais
operações: multiplicação por escalar, multiplicação escalar (ou interna) e multiplicação vetorial (ou
externa). Considere os vetores ~v = (x1, y1, z1) e ~w = (x2, y2, z2) no IR3 e um escalar α ∈ IR. Assim:
1. Módulo do vetor: |~v| =
√
x21 + y
2
1 + z
2
1 .
2. Multiplicação por escalar: α · ~v = α · (x1, y1, z1) = (αx1, αy1, αz1).
3. Multiplicação escalar: ~v • ~w = x1x2 + y1y2 + z1z2 = |~v| · |~w| · cos θ, onde θ é o ângulo entre os
dois vetores.
4. Multiplicação vetorial: ~v × ~w =
∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣∣∣.
Feito essa breve revisão dos principais conceitos começaremos com conceitos novos.
1.1 Reta no IR3
Seja r uma reta que passa pelo ponto P0 = (x0, y0, z0) e é paralela ao vetor ~v = (a, b, c) não nulo.
O vetor ~v é denominado de vetor direção da reta r.
6
CAPÍTULO 1. RETAS, PLANOS, CÔNICAS, QUÁDRICAS E
SUPERFÍCIES
Um ponto P = (x, y, z) pertence à reta r se, e somente se, os vetores P − P0 e ~v são paralelos.
Isto é,
P − P0 = λ~v
ou
P = P0 + λ~v, (1.1)
onde λ ∈ IR. Esta é a equação vetorial paramétrica da reta r no IR3 (λ é chamado parâmetro).
Introduzindo as coordenadas de P , P0 e ~v em (1.1), obtém-se:
x = x0 + λa
y = y0 + λb
z = z0 + λc
(1.2)
que são chamadas de equações paramétricas da reta r.
Em (1.2), isolando o parâmetro λ em cada uma das equações e igualando as expressões, obtém-
se:
x− x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
(= λ) (1.3)
que são denominadas equações simétricas da reta r.
Além disso, das equações simétricas da reta r, (1.3), tem-se duas igualdades independentes entre
si:
y − y0
b
=
x− x0
a
, (1.4)
z − z0
c
=
x− x0
a
. (1.5)
Isolando a variável y da equação (1.4) segue que:
y =
b
a
x− bx0
a
+ y0.
Isolando a variável z da equação (1.5) segue que:
z =
c
a
x− cx0
a
+ z0.
Material produzido por I. P. Bastos, K. C. A. Vieira e L. V. da Silva 7
CAPÍTULO 1. RETAS, PLANOS, CÔNICAS, QUÁDRICAS E
SUPERFÍCIES
Chamando m = b
a
, n = − bx0
a
+ y0, p = ca e q = −
cx0
a
+ z0, segue que as equações reduzidas da reta
r, com variável independente x são representadas por:
r :
{
y = mx+ n
z = px+ q
Pode-se usar como variável independente não só o x, mas também o y, isolando x e z em termos
de y ou então o z, isolando x e y em termos de z.
Exemplo 1. Ache as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A = (1, 3, 0) e é paralela ao
vetor ~v = (3, 4,−1).
Resolução 1. Note que as equações paramétricas da reta são:

x = 1 + 3λ
y = 3 + 4λ
z = 0− 1λ
. Isolando o parâmetro
λ tem-se que:
x− 1
3
=
y − 3
4
=
z
−1
são as equações simétricas da reta.
Exemplo 2. Estabelecer as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos P = (0,−4,−5) e
Q = (1,−2,−2).
Resolução 2. Note que o vetor direção da reta é ~v = Q − P = (1, 2, 3), assim as equações
paramétricas da reta são:

x = 0 + 1λ
y = −4 + 2λ
z = −5 + 3λ
. Isolando o parâmetro λ tem-se que:
x
1
=
y + 4
2
=
z + 5
3
são as equações simétricas da reta.
Da igualdade y+4
2
= x
1
segue que y = 2x − 4 e da igualdade z+5
3
= x
1
segue que z = 3x − 5.
Portanto, as equações reduzidas da reta, usando x como variável independente, são:
r :
{
y = 2x− 4
z = 3x− 5
.
No IR3 duas retar r1 e r2 podem ser:
1. Paralelas: As retas r1 e r2 são paralelas se elas tem a mesma direção. Isto é, se o vetor
direção de uma é múltiplo do vetor direção da outra. Caso elas tenham pelo menos um ponto
em comum, elas são coincidentes.
Material produzido por I. P. Bastos, K. C. A. Vieira e L. V. da Silva 8
CAPÍTULO 1. RETAS, PLANOS, CÔNICAS, QUÁDRICAS E
SUPERFÍCIES
2. Concorrentes: As retas r1 e r2 são concorrentes se elas tem um único ponto em comum.
Isto é, as coordenadas de P = (x, y, z) satisfazem o sistema formado por r1 e r2.
3. Reversas: As retas r1 e r2 são reversas se elas não tem ponto em comum e seus vetores
direção não são múltiplos.
Além disso, podemos verificar as condições de paralelismo e ortogonalidade entre duas retas.
Considere as retas r1 que passa pelo ponto P1 = (x1, y1, z1) e tem o vetor direção ~v1 = (a1, b1, c1) e
r2 que passa pelo ponto P2 = (x2, y2, z2) e tem o vetor direção ~v2 = (a2, b2, c2). Para que as retas r1
e r2 sejam paralelas deve-se ter ~v1 = α~v2, α ∈ IR. E as retas r1 e r2 são ortogonais se os vetores
direção são ortogonais, isto é, ~v1 • ~v2 = 0.
Observação: Duas retas são ortogonais se formam entresi um ângulo reto. E duas retas são
perpendiculares se além de formarem um ângulo reto forem concorrentes, isto é, tem um único
ponto em comum.
1.1.1 Exercícios
1. (RA 01) Obter as equações simétricas da reta que passa pelos pontos A = (1, 3, 2) e B =
(5, 2, 2).
2. (RA 01) A reta r passa pelo ponto P = (1, 2, 0) e tem direção do vetor ~v = 3~i + ~j − ~k.
Determinar as equações reduzidas da reta r (com variável independente x).
3. (RA 01) São dadas as equações paramétricas da reta r :

x = 1 + 2t
y = −2 + 3t
z = −5t
. Obter as equações
simétricas da reta r.
4. (RA 01) Verifique se os pontos P = (4, 2, 0) e Q = (1, 0,−1) pertencem à reta r : x−1
3
= y
2
=
z+1
1
.
5. (RA 01) Determinar o ponto da reta r :

x = 3 + t
y = 1 + t
z = 4− t
que tenha ordenada 5. Pede-se também
o vetor direção da reta r.
6. (RA 01) O ponto A = (0, x, y) pertence à reta determinada pelos ponto P = (1, 2, 0) e
Q = (2, 3, 1). Encontre A.
Material produzido por I. P. Bastos, K. C. A. Vieira e L. V. da Silva 9
CAPÍTULO 1. RETAS, PLANOS, CÔNICAS, QUÁDRICAS E
SUPERFÍCIES
1.1.2 Gabarito
1. r :
{
x−1
4
= y−3−1
z = 2
2. y = x+5
3
; z = −x+1
3
3. x−1
2
= y+2
3
= z−5
4. P ∈ r, Q ∈ r
5. P = (7, 5, 0); ~v = (1, 1,−1)
6. A = (0, 1,−1)
1.2 Plano
O plano é determinado por um ponto e por dois vetores.
Dados P0 = (x0, y0, z0), ~v1 = (l1,m1, n1) e ~v2 = (l2,m2, n2), se o plano α contém o ponto P0 e é
paralelo aos vetores ~v1 e ~v2, então o ponto P = (x, y, z) pertencerá ao plano α se, e somente se, os
vetores P − P0, ~v1 e ~v2 forem coplanares, isto é, se:∣∣∣∣∣∣∣∣
x− x0 y − y0 z − z0
l1 m1 n1
l2 m2 n2
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0. (1.6)
A resolução do determinante representado em (1.6) leva a uma equação linear de três variáveis:
ax+ by + cz + d = 0,
denotada de equação geral do plano.
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CAPÍTULO 1. RETAS, PLANOS, CÔNICAS, QUÁDRICAS E
SUPERFÍCIES
Exemplo 3. Obter a equação do plano que contém os pontos A = (3, 0, 1), B = (2, 1, 1) e
C = (3, 2, 2).
Resolução 3. Considere o ponto P = (x, y, z) pertencente ao plano, como os pontos A, B e C
também pertencem ao plano, então os vetores P − A = (x − 3, y − 0, z − 1), B − A = (−1, 1, 0) e
C − A = (0, 2, 1) são paralelos ao plano e portanto devem ser coplanares, isto é:∣∣∣∣∣∣∣∣
x− 3 y z − 1
−1 1 0
0 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0,
x− 3 + 0− 2(z − 1)− (0− y + 0) = 0
x+ y − 2z − 1 = 0.
Portanto, x+ y − 2z − 1 = 0 é a equação do plano que contém os pontos A, B e C.
Exemplo 4. Determine os pontos de interseção do plano π : 4x + 3y − z − 12 = 0 com os eixos
coordenados.
Resolução 4. • Interseção com o eixo x: nesse caso deve-se encontrar o ponto A = (x, 0, 0)
que pertence ao plano π, isto é, 4x− 12 = 0, logo x = 3 e então A = (3, 0, 0).
• Interseção com o eixo y: nesse caso deve-se encontrar o ponto B = (0, y, 0) que pertence ao
plano π, isto é, 3y − 12 = 0, logo y = 4 e então B = (0, 4, 0).
• Interseção com o eixo z: nesse caso deve-se encontrar o ponto C = (0, 0, z) que pertence ao
plano π, isto é, −z − 12 = 0, logo z = −12 e então C = (0, 0,−12).
Agora vamos encontrar a equação do plano α que passa pelo ponto P0 = (x0, y0, z0) e seja
ortogonal ao vetor ~n = (a, b, c). Observe que ~n é o vetor normal ao plano α.
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CAPÍTULO 1. RETAS, PLANOS, CÔNICAS, QUÁDRICAS E
SUPERFÍCIES
Dedução: Considere P = (x, y, z) um ponto genérico que pertence ao plano α, assim os vetores
P − P0 = (x− x0, y − y0, z − z0) e ~n são ortogonais, isto é,
(P − P0) · ~n = 0,
a (x− x0) + b (y − y0) + c (z − z0) = 0,
ax+ by + cz + (−ax0 − by0 − cz0)︸ ︷︷ ︸
=d
= 0.
Portanto,
ax+ by + cz + d = 0.
Comparando com ~n, verificamos que os coeficientes a, b e c da equação geral do plano são, nesta
ordem, as coordenadas de um vetor normal a esse plano.
Exemplo 5. Determine a equação do plano que passa pelo ponto A = (1, 3, 5) e seja ortogonal ao
vetor ~n = (2, 4, 6).
Resolução 5. Como o vetor ~n = (2, 4, 6) é um vetor normal ao plano então a equação do plano é:
2x+ 4y + 6z + d = 0
e como o ponto A = (1, 3, 5) pertence ao plano segue que:
2(1) + 4(3) + 6(5) + d = 0,
d = −44,
portanto a equação do plano é 2x+ 4y + 6z − 44 = 0.
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CAPÍTULO 1. RETAS, PLANOS, CÔNICAS, QUÁDRICAS E
SUPERFÍCIES
1.2.1 Exercícios
1. (RA 01) Determine a equação geral do plano que contém o ponto A = (3, 0, 1) e é paralelo
aos vetores ~u = (1, 2, 0) e ~v = (0, 3, 1).
2. (RA 01) Achar a equação do plano que passa pelos ponto P = (1, 2, 3) e Q = (1, 2, 0) e tem
a direção do vetor ~v = (2, 0, 3).
3. (RA 01, RA 03) Verifique se o ponto A = (3, 1, 2) pertence ao plano π : 2x+ y − 3z − 1 = 0.
4. (RA 01) Obter os pontos de interseção do plano x+2y−4z+5 = 0 com os eixos coordenados.
5. (RA 01) Determine a equação geral do plano que intercepta os eixo y e z em segmentos de
comprimento 2 e 2 e passa pelo ponto A = (1, 3,−3).
6. (RA 01) Determine o volume do tetraedro limitado pelo plano 3x+ 2y + 2z − 6 = 0.
7. (RA 01) Determine a equação geral do plano que contém o ponto P0 = (0, 1, 3) e seja ortogonal
ao vetor ~n = (3, 2, 5).
8. (RA 01) Determine um vetor unitário perpendicular ao plano
√
2x+ y − z + 5 = 0.
1.2.2 Gabarito
1. 2x− y + 3z − 9 = 0
2. y − 2 = 0
3. A ∈ π
4. A = (−5, 0, 0), B =
(
0,−5
2
, 0
)
e C =
(
0, 0, 5
4
)
5. 2x+ y + z − 2 = 0
6. 3u.v.
7. 3x+ 2y + 5z − 17 = 0
8.
(√
2
2
, 1
2
,−1
2
)
ou o seu oposto
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SUPERFÍCIES
1.3 Cônicas
1.3.1 Elipse
Definição 1. É o conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixados
(focos) é constante.
Formulação matemática: Sejam F1 e F2 dois pontos fixados, P um ponto qualquer e a uma
constante:
d(P, F1) + d(P, F2) = 2a
{
x2
a2
+ y
2
b2
= 1
a2 = b2 + c2
1.3.2 Hipérbole
Definição 2. É o conjunto dos pontos do plano cuja diferença das distâncias a dois pontos fixados
(focos) tem módulo constante.
Formulação matemática: Sejam F1 e F2 dois pontos fixados, P um ponto qualquer e a uma
constante:
|d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a
{
x2
a2
− y2
b2
= 1
c2 = a2 + b2
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SUPERFÍCIES
1.3.3 Parábola
Definição 3. É o conjunto dos pontos do plano equidistantes de um ponto fixado (foco) e de uma
reta fixada (diretriz).
Formulação matemática: Sejam F um ponto fixado, P um ponto qualquer e r uma reta
fixada:
d(P, F ) = d(P, r)
x2 = 2py
1.3.4 Seções Cônicas
Considere um cone no IR3, sua equação é dada por x2
a2
+ y
2
b2
− z2
c2
= 0.
A elipse aparece como interseção do cone com planos não verticais nem paralelos à diretriz:
A hipérbole aparece como interseção do cone com planos verticais:
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CAPÍTULO 1. RETAS, PLANOS, CÔNICAS, QUÁDRICAS E
SUPERFÍCIES
E a parábola aparece como interseção do cone com planos paralelos à diretriz:
1.4 Quádricas
No IR3 temos dois tipos de objetos de nosso interesse: os sólidos e as superfícies.
• Sólidos: objetos de IR3 que possuem volume
• Superfícies: objetos de IR3 que possuem área, mas tem espessura irrelevante.
Os sólidos nos permitem modelar, por exemplo, depósitos de combustíveis, turbinas de aviões
ou carros. As superfícies nos permitem modelar, por exemplo, folhas de papel, membranas ou
lâminas de metal.
No IR3, a equação geral do segundo grau nas variáveis x, y e z é F (x, y, z) = 0, onde:
F (x, y, z) = Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J,
onde os coeficientes dos termos de segundo grau não são todos nulos, de modo que o grau da
equação é 2. O subconjunto Q ∈ IR3, definido por:
Q = {(x, y, z) ∈ IR3;F (x, y, z) = 0}
é chamado superfície quádrica.
Os tipos de superfícies quádricas são:
• Elipsoides.
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CAPÍTULO 1. RETAS, PLANOS, CÔNICAS, QUÁDRICAS E
SUPERFÍCIES
• Hiperboloide de uma folha.
• Hiperboloide de duas folhas.
• Paraboloide elíptico.
• Paraboloide hiperbólico.
• Cones.
• Cilindros.
1.4.1 Elipsoides
A equação que representa o elipsoide de centro na origem é:
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1,
onde a, b, c ∈ IR não são nulos.
Os traços do elipsoide são:
• No plano xy é a elipse: x2
a2
+ y
2
b2
= 1
• No plano yz é a elipse: y2
b2
+ z
2
c2
= 1
• No plano xz é a elipse: x2
a2
+ z
2
c2
= 1
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CAPÍTULO 1. RETAS, PLANOS, CÔNICAS, QUÁDRICAS E
SUPERFÍCIES
Em particular se a = b = c, na equação do elipsoide, temos:
x2 + y2 + z2 = a2,
equação que representa a esfera de centro na origem e raio a.
1.4.2 Hiperboloide de uma folha
A equação que representa o hiperboloide de uma folha de centro na origem é:
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1,
onde a, b, c ∈ IR não são nulos.
Os traços do hiperboloide de uma folha são:
• No plano xy é a elipse: x2
a2
+ y
2
b2
= 1
• No plano yz é a hipérbole: y2
b2
− z2
c2
= 1
• No plano xz é a hipérbole: x2
a2
− z2
c2
= 1
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CAPÍTULO 1. RETAS, PLANOS, CÔNICAS, QUÁDRICAS E
SUPERFÍCIES
As equações:
x2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 1, −x
2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1,
representam também hiperboloides de uma folha. No primeiro caso o eixo do hiperboloide é o eixo
dos y e no segundo caso o eixo dos x. O termo negativo na equação indica o eixo do hiperboloide.
1.4.3 Hiperboloide de duas folhas
A equação que representa o hiperboloide de duas folhas de centro na origem é:
−x
2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 1,
onde a, b, c ∈ IR não são nulos.
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CAPÍTULO 1. RETAS, PLANOS, CÔNICAS, QUÁDRICAS E
SUPERFÍCIES
Os traços do hiperboloide de duas folhas são:
• No plano xy: nenhuma
• No plano yz é a hipérbole: -y2
b2
+ z
2
c2
= 1
• No plano xz é a hipérbole: -x2
a2
+ z
2
c2
= 1
As equações:
x2
a2
− y
2
b2
− z
2
c2
= 1, −x
2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1,
representam também hiperboloides de duas folhas. No primeiro caso o eixo do hiperboloide é o eixo
dos x e no segundo caso o eixo dos y. O termo positivo na equação indica o eixo do hiperboloide.
1.4.4 Paraboloide Elíptico
A equação que representa o paraboloide elíptico de centro na origem é:
x2
a2
+
y2
b2
− z
c
= 0,
onde a, b, c ∈ IR não são nulos. Para c > 0, as parábolas tem a concavidade voltada para cima.
Para c > 0, o paraboloide "abre"para cima. De forma análoga, se c < 0, o paraboloide "abre"para
baixo.
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CAPÍTULO 1. RETAS, PLANOS, CÔNICAS, QUÁDRICAS E
SUPERFÍCIES
Os traços do paraboloide elíptico são:
• No plano xy: o ponto (0, 0, 0)
• No plano yz é a parábola: y2
b2
− z
c
= 0
• No plano xz é a parábola: x2
a2
− z
c
= 0
1.4.5 Paraboloide Hiperbólico
A equação que representa o paraboloide hiperbólico de centro na origem é:
x2
a2
− y
2
b2
− z
c
= 0,
onde a, b, c ∈ IR não são nulos. Para c < 0, as parábolas ( traço no plano yz e xz) tem a concavidade
voltada para baixo.
Os traços do paraboloide hiperbólico são:
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CAPÍTULO 1. RETAS, PLANOS, CÔNICAS, QUÁDRICAS E
SUPERFÍCIES
• No plano xy: um par de retas que se intersectam na origem.
• No plano yz é a parábola: y2
b2
+ z
c
= 0
• No plano xz é a parábola: x2
a2
− z
c
= 0
1.4.6 Cone Elíptico
A equação que representa o cone elíptico de centro na origem é:
x2
a2
− y
2
b2
− z
2
c2
= 0,
onde a, b, c ∈ IR não são nulos.
Os traços do cone elíptico são:
• No plano xy: o ponto (0, 0, 0)
• No plano yz duas retas que se intersectam na origem:y2
b2
− z2
c2
= 0
• No plano xz duas retas que se intersectam na origem: x2
a2
− z2
c2
= 0
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CAPÍTULO 1. RETAS, PLANOS, CÔNICAS, QUÁDRICAS E
SUPERFÍCIES
O traço em um plano z = k paralelo ao plano xy tem a equação:x2
a2
+ y
2
b2
= k
2
c2
, que representa
uma elipse.
1.4.7 Cilindros
O cilindro é uma superfície gerada por meio do movimento de uma linha reta ao longo de uma
curva plana dada enquanto mantida paralela a uma reta fixada. A curva é denominada curva
geradora para o cilindro e a reta é chamada de geratriz. O cilindro de geratrizes paralelas ao eixo
dos z e tendo como curva geradora uma elipse no plano xy centrada na origem, chamado de cilindro
elíptico, tem equação:
x2
a2
+
y2
b2
= 1
onde a, b ∈ IR não são nulos.
Se por exemplo a equação é:
y2
b2
− z
c
= 0,
onde b, c ∈ IR não são nulos, obtemos o chamado cilindro parabólico.
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CAPÍTULO 1. RETAS, PLANOS, CÔNICAS, QUÁDRICAS E
SUPERFÍCIES
Se por exemplo a equação é:
y3
b2
− z
c
= 0
onde b, c ∈ IR não são nulos, obtemos o chamado cilindro cúbico.
1.4.8 Exercícios
1. (RA 03) Ache a natureza das seguintes quádricas e esboce cada uma delas:
(a) 4x2 + 9y2 + z2 = 36
(b) z − 4(x2 + y2) = 0
(c) 4x2 + 9y2 − z2 = 36
(d) x2 − y2 − z2 = 0
(e) x2
36
+ z
2
25
− 4y = 0
(f) x2
36
− z2
25
− 9y = 0
(g) x2 + 16z2 − 4y2 + 16 = 0
(h) x2 − 2x+ y2 + z2 = 0
(i) x2 + y2 = 2y
(j) x2 + y2 = 4x
(k) 9x2 − 18x+ 9y2 + 4z2 + 16z − 11 = 0
2. (RA 01) Determine os valores de k tais que a interseção do plano x+ ky = 0 com a quádrica
y2 − x2 + z2 = 1 seja uma elipse e uma hipérbole, respectivamente.
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CAPÍTULO 1. RETAS, PLANOS, CÔNICAS, QUÁDRICAS E
SUPERFÍCIES
3. (RA 03) Para cada superfície representada a seguir, faça a corresponência e classifique-a.
(a) 9x2 + 4y2 + z2 = 1( ) ..........................................................
(b) x2 − y2 + z2 = 1( ) ..........................................................
(c) y = 2x2 + z2( ) ..........................................................
(d) x2 + 2z2 = 1( ) ..........................................................
(e) z = x2 + y2 − 4( ) ..........................................................
(f) z = x2 − y2( ) ..........................................................
1.4.9 Gabarito
1. (a) elipsoide
(b) paraboloide de uma folha
(c) hiperboloide de uma folha
(d) cone
(e) paraboloide elíptico
(f) paraboloide hiperbólico
(g) hiperboloide de duas folhas
(h) elipsoide
(i) cilindro elíptico
Material produzido por I. P. Bastos, K. C. A. Vieira e L. V. da Silva 25
CAPÍTULO 1. RETAS, PLANOS, CÔNICAS, QUÁDRICAS E
SUPERFÍCIES
(j) cilindro elíptico
(k) elipsoide
2. Para ser elipse deve-se ter k ∈ (−1, 1). Para ser hipérbole deve-se ter k ∈ (−∞,−1)∪ (1,∞).
3. (a) (4) elipsoide
(b) (2) hiperboloide elíptico
(c) (5) paraboloide elíptico
(d) (6) cilindro elíptico
(e) (3) paraboloide elíptico
(f) (1) paraboloide hiperbólico
Material produzido por I. P. Bastos, K. C. A. Vieira e L. V. da Silva 26
Capítulo 2
Cálculo Diferencial de Funções de Várias
Variáveis
Em Modelagem e Simulação do Mundo Físico e Modelagem de Sitemas, trabalhamos com o cálculo
de funções de uma variável. No entanto, no mundo real, quantidades físicas muitas vezes dependem
de duas ou mais variáveis. Sendo assim, neste capítulo estudaremos funções de duas ou mais
varáveis e estenderemos nossas ideias básicas do cálculo diferencial para tais funções. Para iniciar
esse estudo, é importante formalizar alguns conceitos no IRn.
2.1 Topologia do espaço IRn
1. Espaço IRn
Chama-se espaço IRn ou apenas IRn o conjunto de todos os pontos que podem ser representados
por uma n−upla de números reais:
IRn = {p; p = (x1, x2, · · · , xn); xi ∈ IR i = 1, · · · , n}.
obs.: IRn = IR× IR× · · · × IR.
2. Distância
Uma distância em IRn é uma função d : IRn×IRn → IR que associa a cada par (P,Q) ∈ IRn×IRn
um único número real d(P,Q) chamado de distância entre P e Q e tal que, para quaisquerP
e Q em IRn se tenha:
(a) d(P,Q) ≥ 0 e d(P,Q) = 0⇔ P = Q.
(b) d(P,Q) = d(Q,P ).
27
CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
(c) d(P,Q) ≤ d(P,R) + d(R,Q).
Distância Euclidiana:
d : IR2 → IR : d(P,Q) =
√
(xQ − xP )2 + (yQ − yP )2 = ‖(xQ, yQ)− (xP , yP )‖
d : IR3 → IR : d(P,Q) =
√
(xQ − xP )2 + (yQ − yP )2 + (zQ − zP )2 = ‖(xQ, yQ, zQ)− (xP , yP , zP )‖
3. Vizinhança de raio δ
Uma vizinhança de raio δ > 0 do ponto P0 no IRn é o conjunto dos pontos P ∈ IRn tais que
d(P, P0) < δ, em símbolos:
Vδ(P0) = {P ; d(P, P0) < δ}.
obs.: Uma vizinhança de raio δ também é chamada de bola aberta de raio δ e denotado por
Bδ(P0).
4. Ponto Interior
Seja X ⊂ IRn. Diz-se que um ponto P0 é um ponto interior do conjunto X se existir uma
vizinhança de raio δ > 0 do ponto P0 totalmente contida em X.
O conjunto de todos os pontos interiores do conjunto X formam um conjunto chamado de
Interior de X, denotado por IntX.
5. Ponto Exterior
Seja X ⊂ IRn. Diz-se que um ponto P0 é um ponto exterior do conjunto X se existir uma
vizinhança de raio δ > 0 do ponto P0 totalmente contida no complementar de X (XC).
6. Ponto de Fronteira
Seja X ⊂ IRn. Diz-se que um ponto P0 ∈ IRn é um ponto de fronteira do conjunto X se
qualquer vizinhança de raio δ > 0 do ponto P0 ∈ IRn contém pontos do conjunto X e do
complementar de X.
obs.: Os pontos de fronteira formam a fronteira do conjunto X.
7. Ponto Isolado
Seja X ⊂ IRn. Diz-se que um ponto P0 é um ponto isolado do conjunto X se existe uma
vizinhança de raio δ > 0 do ponto P0 tal que Vδ(P0) ∩X = {P0}.
8. Conjunto Discreto
É um conjunto que possui apenas pontos isolados.
Ex.: O conjunto dos números naturais.
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
9. Pontos de Acumulação
Seja X ⊂ IRn. Diz-se que um ponto P0 é um ponto de acumulação do conjunto X se existe
uma vizinhança de raio δ > 0 do ponto P0 tal que Vδ(P0) ∩X − {P0} 6= ∅.
10. Conjuntos Abertos e Fechados
(a) Conjunto Aberto
Seja A ⊂ IRn. A é aberto de todos os seus pontos são pontos interiores, ou seja,
IntA = A.
(b) Conjunto Fechado
Seja F ⊂ IRn. F é fechado se contém todos os seus pontos de fronteira, ou se FC é
aberto.
11. Conjunto Limitado
Seja X ⊂ IRn. Diz-se que o conjunto X é limitado se existe uma vizinhança de raio δ > 0 tal
que Vδ(P0) ⊃ X, para qualquer que seja P0 ∈ X.
12. Conjunto Conexo
Seja X ⊂ IRn. X é conexo se dados dois pontos quaisquer P e Q de X existe uma linha
poligonal unindo P e Q totalmente contida no conjunto X.
13. Região Aberta
É um conjunto conexo e aberto.
2.2 Funções de várias variáveis
A temperatura T em um ponto da superfície da Terra num instante depende da latitude x e
longitude y do ponto. Dessa forma, podemos pensar que T é uma função depende de duas variáveis,
T = f(x, y). Outro exemplo, é o volume de um cilindro, sabendo que V = πr2h, sendo assim o
volume depende do raio da base, r e da altura, h. V = V (r, h) = πr2h.
Definição 4. Uma função de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de
números reais (x, y) um único valor real denotado por f(x, y).
f : D ⊂ IR2 → IR
(x, y) 7→ z = f(x, y)
O conjunto D é o domínio de f e sua imagem é o conjunto de valores possíveis de z.
Essa definição se estende naturalmente a funções de mais variáveis.
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
Exemplo 6. Encontre o domínio e calcule f(3, 2) das funções:
1. f(x, y) = x+y+1
x−1
2. f(x, y) = x ln(y2 − x)
Exemplo 7. Determine o domínio e a imagem da função g(x, y) =
√
9− x2 − y2.
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
Exemplo 8. Determine o domínio da função f(x, y, z) = ln(z − y) + xysen(z).
Definição 5. Se f é uma função de duas variáveis com domínio Df , então o gráfico de f é o
conjunto de todos os pontos (x, y, z) no IR3 tal que z = f(x, y) e (x, y) ∈ D.
Gf =
{
(x, y, z) ∈ IR3; (x, y) ∈ Df e f(x, y) = z
}
Para representá-lo geometricamente, precisamos identificar suas interseções com os planos co-
ordenados e planos paralelos aos coordenados até que tenhamos uma ideia razoável de sua forma.
Exemplo 9. Esboce o gráfico da função:
1. f(x, y) = 6− 3x− 2y
2. g(x, y) =
√
9− x2 − y2
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
Exemplo 10. Determine o domínio e a imagem e esboce o gráfico da função f(x, y) = 4x2 + y2.
2.3 Curvas de Nível
Definição 6. Uma curva de Nível Ck, de uma função z = f(x, y) é o conjunto de todos os pontos
(x, y) ∈ Df tais que f(x, y) = k, em que k ∈ IR ( na imagem de f).
Uma curva de nível f(x, y) = k é o conjunto de todos os pontos do domínio da f nos quais o
valor de f é k, em outras palavras, ela mostra onde o gráfico de f tem altura k.
As curvas de nível f(x, y) = k são apenas traços do gráfico de f no plano horizontal z = k
projetado sobre o plano xy. Assim, se você traçar as curvas de nível da função e visualizá-las
elevadas para a superfície na altura indicada, poderá imaginar o gráfico da função.
Observação 1. O gráfico de f é um subconjunto de IR3. Uma curva de nível é um subconjunto do
domínio da f, portanto um subconjunto do IR2. Um conjunto de curvas de nível de uma função f
é chamado de mapa de contorno de f .
Observação 2. No caso de funções de três (ou mais variáveis), o conjunto dos pontos (x, y, z) ∈ D
tais que f(x, y, z) = k, constante, é chamado de superície de nível de f
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
Exemplo 11. Desenhe curvas de nível das seguintes funções:
1. f(x, y) = 6− 3x− 2y
2. g(x, y) =
√
9− x2 − y2
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
3. h(x, y) = x2 + y2
Exercício 1. Dada a função f(x, y) = 1√
16−x2−y2
, faça o que se pede:
1. Determine e esboce o domínio da função.
2. Encontre a imagem da função.
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
3. Esboce algumas curvas de nível.
Exercício 2. Dada a função f(x, y) = 1
x2−y2 , determine o domínio e a imagem de f .
Exercício 3. Seja f(x, y) = ln(9x2 + y2), faça o que se pede:
1. Determine o domínio e a imagem de f .
2. Descreva e esboce as curvas de nível de f .
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
2.3.1 Exercícios
1. (RA 01, RA 03) Uma empresa fabrica caixas de papelão de três tamanhos: pequena, média
e grande. O custo é de R$2, 50 para fabricar uma caixa pequena, R$4, 00 para uma caixa
média e R$4, 50 para uma caixa grande. Os custos fixos são de R$8.000, 00.
(a) Expresse o custo de fabricação de x caixas pequenas, y caixas médias e z caixas grandes
como uma função de três variáveis: C = f(x, y, z).
(b) Encontre f(3000, 5000, 4000) e interprete-a.
(c) Qual o domínio de f?
2. (RA 01) Seja g(x, y) = cos(x+ 2y).
(a) Calcule g(2,−1).
(b) Determine o domínio de g.
(c) Determine a imagem de g.
3. (RA 01) Seja f(x, y) = 1 +
√
4− y2.
(a) Calcule f(3, 1).
(b) Determine e esboce o domínio de f .
(c) Determine a imagem de f .
4. (RA 01) Determine e esboce o domínio da função.
(a) f(x, y) =
√
x+ y
(b) f(x, y) = ln(9− x2 − 9y2)
(c) f(x, y) =
√
1− x2 −
√
1− y2
(d) f(x, y) =
√
y−x2
1−x2
(e) f(x, y, z) =
√
1− x2 − y2 − z2
5. (RA 03) Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelavam o
crescimento da economia norte-americana durante o período 1899− 1922. Eles consideraram
uma visão simplificada onde a produção é determinada pela quantidade de trabalho e pela
quantidade de capital investido.Apesar de existirem muitos outros fatores afetando o desem-
penho da economia, o modelo provou-se impressionantemente razoável. A função utilizada
para modelar a produção, depois de ajustar os dados de alguns anos, era da forma
P (L,K) = 1, 1L0,75K0,25,
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
onde P é a produção total, L a quantidade de trabalho e K a quantidade de capital investido.
Verifique que a produção dobrará se a quantidade de trabalho e a de capital investido forem
dobradas.
6. (RA 01) Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
(a) f(x, y) = (y − 2x)2
(b) f(x, y) = x3 − y
(c) f(x, y) =
√
x+ y
(d) f(x, y) = ln(x2 + 4y2)
(e) f(x, y) = yex
(f) f(x, y) =
√
y2 − x2
7. (RA 01, RA 03) Faça o esboço do mapa de contorno e do gráfico das funções f(x, y) = x2+9y2
e g(x, y) =
√
36− x2 − 9y2 e compare-os.
2.3.2 Gabarito
1. (a) f(x, y, z) = 2, 5x+ 4y + 4, 5z + 8000
(b) R$53500, 00
(c) Df = IR3+
2. (a) 1
(b) IR2
(c) [−1, 1]
3. (a) 1 +
√
3
(b)
{
(x, y) ∈ IR2;−2 ≤ y ≤ 2
}
(c) [1, 3]
4. (a)
{
(x, y) ∈ IR2; y ≥ −x
}
(b)
{
(x, y) ∈ IR2; x2
9
+ y2 < 1
}
(c) [−1, 1]× [−1, 1]
(d)
{
(x, y) ∈ IR2; y ≥ x2, x 6= ±1
}
(e)
{
(x, y, z) ∈ IR3;x2 + y2 + z2 ≤ 1
}
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
5. Encontre P (2L, 2K)
6. (a) y − 2x =
√
k, retas.
(b) y = x3 − k, cúbicas.
(c) y = k −
√
x, meia parábola deitada.
(d) x2 + 4y2 = ek, elipses.
(e) y = ke−x, exponenciais.
(f) y2 − x2 = k2, hipérboles.
7. Ambos tem elipses como curva de nível, no entanto a f começa com a elipse de raio zero e
cresce infinitamente, sendo assim o seu gráfico é um parabolóide elíptico com concavidade
para cima, enquanto que g começa com a elipse de raio 6 e vai diminuido até o raio zero,
sendo assim o seu gráfico é uma semi-elipsoide.
2.4 Limite e Continuidade
Nesta seção trabalharemos com os conceitos de limite e continuidade para funções de duas variáveis.
A maioria dos conceitos e propriedades que serão abordados aqui foram estendidos dos conceitos
já vistos de limite e continuidade para funções de uma variável, como você viu na disciplina de
Modelagem e Simulação do Mundo Físico e pode rever na pré-aula.
Definição 7. Sejam f : D ⊂ IR2 → IR uma função cujo domínio D é um conjunto aberto, (x0, y0)
um ponto de acumulação de D e L um número real. Definimos:
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L ⇔ Dado � > 0 existe δ > 0 tal que
‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ ⇒ |f(x, y)− L| < �.
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
Propriedade 1. As propriedades de limite podem ser utilizadas para facilitar o calculo do limite
de funções de duas variáveis, são elas:
1. (Teorema do Confronto) Se f(x, y) ≤ g(x, y) ≤ h(x, y) para ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ e se
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L = lim
(x,y)→(x0,y0)
h(x, y) então lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x, y) = L.
2. Se lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = 0 e se |g(x, y)| ≤ M, para ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ, onde M, δ > 0 são
reais fixados então
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)g(x, y) = 0.
3. lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L⇔ lim
(h,k)→(0,0)
f(x0 + h, y0 + k) = L
4. Se lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L1 e lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x, y) = L2 então
(a) lim
(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y)± g(x, y)] = L1 ± L2
(b) lim
(x,y)→(x0,y0)
kf(x, y) = kL1, k constante.
(c) lim
(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y)g(x, y)] = L1 · L2
(d) lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)
g(x, y)
=
L1
L2
, L2 6= 0.
Exemplo 12. Calcule, caso exista, os seguinte limites:
1. lim
(x,y)→(0,0)
x3
x2 + y2
2. lim
(x,y)→(0,1)
x− xy + 3
x2 + 5xy − y3
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
3. lim
(x,y)→(0,0)
x2 − xy√
x−√y
4. lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
Testes dos caminhos para a não existência de um limite: Se uma função f tem limites
diferentes ao longo de dois caminhos distintos no domínio da f quando (x, y) se aproxima de (x0, y0)
então
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) não existe.
Mas atenção: Se os limites de f sobre dois caminhos distintos contidos em D, passando por
(x0, y0) forem iguais a L, não é possível concluir que lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L.
Justifique essa afirmação!
Lembre-se de que em uma variável, lim
x→x0
f(x) = L se, e somente se, lim
x→x−0
f(x) = lim
x→x+0
f(x) = L.
Há, neste caso, apenas duas formas de aproximação de x para x0, pela esquerda e pela direita.
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VARIÁVEIS
Exemplo 13. Se f(x, y) = y
x
, então o lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) existe?
Exemplo 14. Verifique, utilizando caminhos, que lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
não existe.
Observação 3. Para avaliar alguns limites também podemos usar mudança polar, a saber,
{
x = r cos θ
y = rsenθ
.
Exemplo 15. Calcule, usando mudança polar, os seguinte limites:
1. lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
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VARIÁVEIS
2. lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2 + y2
Definição 8. Uma função f : D ⊂ IR2 → IR é contínua em (x0, y0) se:
1. (x0, y0) ∈ D;
2. lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) existe;
3. lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0).
Observação 4. Quando uma função é continua em todos os pontos do seu domínio, dizemos
simplesmente que f é contínua.
Exemplo 16. A função constante f(x, y) = k é contínua?
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VARIÁVEIS
Exemplo 17. A função primeira projeção identidade f(x, y) = x é contínua?
Observação 5. Funções com apenas uma regra sempre são contínuas no seu domínio.
Exemplo 18. Seja f(x, y) =
{
x3
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
. Verifique se f é contínua em (0, 0).
Exemplo 19. Seja f(x, y) =
{
x2−y2
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
. Verifique se f é contínua em (0, 0).
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
2.4.1 Exercícios
1. (RA 01) Calcule os limites abaixo, se existirem. Caso não exista, justifique.
(a) lim
(x,y)→(0,0)
3x2y
x2 + y2
(b) lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
(c) lim
(x,y)→(0,0)
x− 3y
x2 + y2
(d) lim
(x,y)→(0,0)
xcos(
1
y
)
(e) lim
(x,y)→(0,0)
x2sen2(y)
x2 + 2y2
(f) lim
(x,y)→(0,0)
(x2 + y2) ln(x2 + y2)
2. (RA 01) Sabendo que 1− x2y2
3
< arctg(xy)
xy
< 1, calcule lim
(x,y)→(0,0)
arctg(xy)
xy
.
3. (RA 01, RA 03) Seja f(x, y) =
{
3x2y
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
. Verifique que f é contínua.
4. (RA 01, RA 03) Seja f(x, y) =
{
x2y3
2x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
1 se (x, y) = (0, 0)
. Verifique que f não é contínua.
5. (RA 01, RA 03) Seja f(x, y) =
{
xy
x2+xy+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
. Verifique que f não é contí-
nua.
6. (RA 01) A função f(x, y) = x+y
x−y é contínua no ponto (0, 0)?
2.4.2 Gabarito
1. (a) 0
(b) não existe (usar mudança polar)
(c) não existe
(d) 0 (Teorema do confronto)
(e) 0 (Teorema do confronto)
(f) 0 (usar mudança polar e depois L’Hôpital)
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
2. 1 (Teorema do confronto)
3.
4.
5.
6. não é contínua
2.5 Derivadas Parciais
Para definirmos as derivadas parciais de uma função de duas ou mais variáveis vamos recorrer a
definição que trabalhamos em Modelagem e Simulação do Mundo Físico.
Considere uma função z = f(x, y) e (a, b) ∈ Df , fixando y = b, seja g(x) = f(x, b). Note que g
é uma função com apenas uma variável x. Se g tem derivada em a então a derivada parcial de
f em relação a x em (a, b) é:
g′(a) =
∂f
∂x
(a, b) = fx(a, b),
onde
g′(a)= lim
h→0
g(a+ h)− g(a)
h
= lim
h→0
f(a+ h, b)− f(a, b)
h
= fx(a, b).
De maneira análoga, fixando x = a, seja g(y) = f(a, y), então a derivada parcial de f em
relação a y em (a, b) é:
g′(b) =
∂f
∂y
(a, b) = fy(a, b),
onde
g′(b) = lim
h→0
g(b+ h)− g(b)
h
= lim
h→0
f(a, b+ h)− f(a, b)
h
= fy(a, b).
Regra para determinar as derivadas parciais:
1. para determinar fx, considere y constante e derive f(x, y) em relação a x;
2. para determinar fy, considere x constante e derive f(x, y) em relação a y;
Interpretação das derivadas parciais:
Lembre-se que z = f(x, y) é uma superfície S no IR3 (gráfico de f). Se f(a, b) = c, então o
ponto P = (a, b, c) está na superfície S. Ao fixar y = b, restringimos nossa atenção à curva C1,
essa curva é o gráfico da função g(x) = f(x, b), de modo que a inclinação da reta tangente T1 em
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
P é g′(a) = fx(a, b). Da mesma forma, a curva C2 é o gráfico da função g(y) = f(a, y) em que tem
a inclinação da reta tangente T2 é g′(b) = fy(a, b). Sendo assim, as derivadas parciais fx(a, b) e
fy(a, b) são as inclinações das retas tangentes em (a, b, c) aos cortes C1 e C2 de S nos planos y = b
e x = a, respectivamente.
Exemplo 20. Considere a função f(x, y) = x3 + x2y3 − 2y2, calcule fx(2, 1) e fy(2, 1).
Exemplo 21. Se f(x, y) = 4 − x2 − 2y2, determine fx(1, 1) e fy(1, 1) e interprete esses números
como inclinações.
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
Exemplo 22. Encontre as derivadas parciais da função f(x, y) = 2y
y+cosx
.
Exemplo 23. Encontre as derivadas parciais da função f(x, y) = sen
(
2y
1+y
)
.
Exemplo 24. Se x2 + y2 + z2 = 1, então calcule ∂z
∂x
e ∂z
∂y
.
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VARIÁVEIS
Exemplo 25. Se x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1, então calcule ∂z
∂x
e ∂z
∂y
.
Exemplo 26. Se yz − ln z = x+ y, então calcule ∂z
∂x
e ∂z
∂y
.
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
Exemplo 27. Se f(x, y) =
{
x3−y2
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
, calcule ∂f
∂x
(0, 0) e ∂f
∂y
(0, 0).
Exemplo 28. A lei de um gás ideal confinado é PV = 8T , onde P é a pressão em N/cm2, V é o
volume em cm3 e T é a temperatura em graus. Se o volume do gás é de 150cm3 e a temperatura é
de 100o. Faça o que se pede:
1. Determine a taxa de variação da pressão em relação à temperatura para o volume fixo de
150cm3. Interprete o resultado encontrado.
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
2. Verifique que a variação do volume em relação à pressão para a temperatura fixa de 100o
diminui a uma razão de 28, 13cm3/N .
Derivadas de ordem superior: Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais
fx e fy são funções de duas variáveis, sendo assim, podemos considerar novamente suas derivadas
parciais, que são chamadas de derivadas parciais de segunda ordem. Portanto, se z = f(x, y),
usamos a seguinte notação:
(fx)x =fxx =
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂x2
=
∂2z
∂x2
(fx)y =fxy =
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂y∂x
=
∂2z
∂y∂x
(fy)x =fyx =
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂x∂y
=
∂2z
∂x∂y
(fy)y =fyy =
∂
∂y
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂y2
=
∂2z
∂y2
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
Exemplo 29. Encontre as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y) = x cos y + yex.
Exemplo 30. Encontre as derivadas parciais de segunda ordem da função u(x, y) = ln
(√
x2 + y2
)
.
E verifique que a função u é solução da equação de Laplace uxx + uyy = 0.
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VARIÁVEIS
Teorema 1. Teorema de Clairaut-Schwarz: Suponha que f seja definida numa bola aberta D que
contenha (a, b). Se as funções fxy e fyx forem ambas contínuas em D (f de classe C2 em D), então
fxy(a, b) = fyx(a, b).
Observação 6. Nos exemplos anteriores é possível observar que fxy = fyx, mas isso nem sempre
é válido. Um exemplo é a função
f(x, y) =
{
xy3
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
,
onde fxy(0, 0) = 1 e fyx(0, 0) = 0. Caso queira resolver esse exemplo você pode consultar o livro:
Guidorizzi, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Volume 2. Editora LTC.
2.5.1 Exercícios
1. (RA 01) Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
(a) f(x, y) = y5 − 3xy
(b) f(x, y) = x4y3 + 8x2y
(c) f(x, t) = e−t cos(πx)
(d) f(x, t) =
√
x ln t
(e) z = (2x+ 3y)10
(f) z = tg(xy)
(g) f(x, y) = x
(x+y)2
(h) f(x, y) = xy
2. (RA 01) Use derivação implícita para encontrar ∂z
∂x
e ∂z
∂y
.
(a) x2 + 2y2 + 3z2 = 1
(b) x2 − y2 + z2 − 2z = 4
(c) ez = xyz
(d) yz + x ln z = z2
3. (RA 01) Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
(a) f(x, y) = x3y5 + 2x4y
Material produzido por I. P. Bastos, K. C. A. Vieira e L. V. da Silva 52
CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
(b) f(x, y) = xy
x−y
4. (RA 01) Se f(x, y, z) = xy2z3 + arcsen(x
√
z), calcule fxzy. (Dica: escolha a ordem que dá
menos trabalho.)
5. (RA 01, RA 03) O potencial elétrico no ponto (x, y, z) é dado por V (x, y, z) = x√
x2+y2+z2
onde
V é dado em volts e x, y e z em cm. Determine e interprete a taxa de variação instantânea
de V em relação à distância em (1, 2, 3) na direção do:
(a) eixo x.
(b) eixo y.
(c) eixo z.
6. (RA 01, RA 03) Mostre que a função produção de Cobb-Douglas P (L,K) = 1, 1L0,75K0,25
satisfaz a equação
L
∂P
∂L
+K
∂P
∂K
= P.
7. (RA 01, RA 03) Verifique se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace
uxx + uyy = 0. (Dica: verifique se as derivadas da função satisfazem a equação.)
(a) u = x2 + y2
(b) u = x2 − y2
(c) u = x3 + 3xy2
(d) u = ln
(√
x2 + y2
)
(e) u = e−x cos y − e−y cosx
2.5.2 Gabarito
1. (a) fx = −3y, fy = 5y4 − 3x
(b) fx = 4x3y3 + 16xy, fy = 3x4y2 + 8x2
(c) fx = −πe−tsen(πx), ft = −e−t cos(πx)
(d) fx = ln t2√x , ft =
√
x
t
(e) ∂z
∂x
= 20(2x+ 3y)9, ∂z
∂y
= 30(2x+ 3y)9
(f) ∂z
∂x
= y sec2(xy), ∂z
∂y
= x sec2(xy)
(g) fx = y
2−x2
(x+y)4
, fy = − 2x(x+y)3
Material produzido por I. P. Bastos, K. C. A. Vieira e L. V. da Silva 53
CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
(h) fx = yxy−1, fy = xy lnx
2. (a) ∂z
∂x
= − x
3z
, ∂z
∂y
= −2y
3z
(b) ∂z
∂x
= − x
z−1 ,
∂z
∂y
= y
z−1
(c) ∂z
∂x
= yz
ez−xy ,
∂z
∂y
= xz
ez−xy
(d) ∂z
∂x
= − z ln z
yz+x−2z2 ,
∂z
∂y
= − z2
yz+x−2z2
3. (a) fxx = 6xy5 + 24x2y, fxy = 15x2y4 + 8x3 = fyx, fyy = 20x3y3
(b) fxx = 2y
2
(x−y)3 , fxy = −
2xy
(x−y)3 = fyx, fyy =
2x2
(x−y)3
4. fxzy = fyxz = 6yz2
5. (a) 13
14
√
14
volts/cm
(b) − 1
7
√
14
volts/cm
(c) − 3
14
√
14
volts/cm
6. Verifique se as derivadas parciais da função satisfazem a equação
7. (a) Não
(b) Sim
(c) Não
(d) Sim
(e) Sim
2.6 Diferenciabilidade
Em Modelagem e Simulação do Mundo Físico vimos a definição de diferenciabilidade para função
de uma variável:
Definição 9. f : IR → IR é diferenciável se, e somente se, existe lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
= a, que
é equivalente à
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)− ah
|h|
= 0.
Essa definição nos diz que para uma função de uma variável se ela admite derivada então ela
é diferenciável, agora para funções de duas variáveis isso nem sempre é verdade. Se faz necessário
definir cuidadosamente o que é uma função diferenciável.
Material produzido por I. P. Bastos, K. C. A. Vieira e L. V. da Silva 54
CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
Definição 10. Sejam f : D ⊂ IR2 → IR, D aberto em IR2 e (x0, y0) ∈ D. Então f é diferenciável
em (x0, y0) se existir a, b ∈ IR tais que
lim(h,k)→(0,0)
f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ah− bk
‖(h, k)‖
= 0.
Observação 7. ‖(h, k)‖ =
√
h2 + k2.
Teorema 2. Se f é diferenciável em (x0, y0), então f é contínua em (x0, y0).
Observação 8. Se f não é contínua, então f não é diferenciável.
Teorema 3. Seja f : D ⊂ IR2 → IR, D aberto em IR2. Se f é diferenciável em (x0, y0), então f
admite derivadas parciais, onde
a = fx(x0, y0) e b = fy(x0, y0).
Demonstração 1. Se f é diferenciável no ponto (x0, y0), então vale o limite da definição (10).
Fazendo k = 0, segue que
lim
h→0
f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)− ah
|h|
= 0,
isto é,
lim
h→0
f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)
h
= a.
Observe que esse limite é a definição de derivada parcial em relação a x no ponto (x0, y0), portanto,
a = fx(x0, y0).
De maneira análoga, fazendo h = 0 no limite da definição 10 segue que:
lim
k→0
f(x0, y0 + k)− f(x0, y0)− bk
|k|
= 0,
isto é,
lim
k→0
f(x0, y0 + k)− f(x0, y0)
k
= b,
portanto b = fy(x0, y0)
Observação 9. Se f não admite pelo menos uma das derivadas parciais, então f não é diferen-
ciável.
A partir da definição e dos teoremas de diferenciabilidade podemos pensar na seguinte ordem
para verificar se uma função é diferenciável:
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
1. f é contínua em (x0, y0)? Se sim, continue. Se não, então f não é diferenciável em (x0, y0).
2. f admite derivadas parcias em (x0, y0)? Se sim, continue. Se não, então f não é diferenciável
em (x0, y0).
3. O limite da definição (10) é igual a zero? Se sim, então f é diferenciável em (x0, y0). Se não,
então f não é diferenciável em (x0, y0).
Teorema 4. Se as derivadas parciais de f existirem próximo ao ponto (x0, y0) e forem contínuas
em (x0, y0), então f é diferenciável em (x0, y0).
Observação 10. Vale reforçar, que se as derivadas parciais não forem contínuas no ponto, não é
possível dar nenhuma garantia quanto a diferenciabilidade de f .
Com esse teorema podemos verificar a diferenciabilidade da seguinte maneira:
1. f é contínua em (x0, y0)? Se sim, continue. Se não, então f não é diferenciável em (x0, y0).
2. f admite derivadas parcias em (x0, y0)? Se sim, continue. Se não, então f não é diferenciável
em (x0, y0).
3. fx e fy são contínuas em (x0, y0)? Se sim, então f é diferenciável em (x0, y0). Se não, continue.
4. O limite da definição, (10), é igual a zero? Se sim, então f é diferenciável em (x0, y0). Se não,
então f não é diferenciável em (x0, y0).
Exemplo 31. Verifique que f(x, y) = xexy é diferenciável no IR2.
Observação 11. Caso você queira estudar um pouco mais sobre os conceitos de diferenciabilidade
você pode consultar o livro: Guidorizzi, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Volume 2. Editora
LTC.
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
2.6.1 Exercícios
1. (RA 01, RA 03) Prove que as funções dadas são diferenciáveis no seu domínio.
(a) f(x, y) = xy
(b) f(x, y) = x2y2
(c) f(x, y) = 1
x+y
(d) f(x, y) = x+ y
(e) f(x, y) = x2 + y2
(f) f(x, y) = 1
xy
2.6.2 Gabarito
1. Todas as funções são diferenciáveis no seu domínio.
(a) Df = IR2
(b) Df = IR2
(c) Df =
{
(x, y) ∈ IR2; y 6= −x
}
(d) Df = IR2
(e) Df = IR2
(f) Df =
{
(x, y) ∈ IR2;x 6= 0 e y 6= 0
}
2.7 Plano Tangente e Reta Normal
O objetivo desta seção é encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de
uma função diferenciável.
Figura 2.1: Plano tangente ao gráfico de uma função
Material produzido por I. P. Bastos, K. C. A. Vieira e L. V. da Silva 57
CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
Dado o ponto (x0, y0, z0), onde z0 = f(x0, y0), ou seja, o ponto (x0, y0, z0) pertence ao gráfico de
f . A equação geral de um plano que passa por este ponto é
a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0,
que é equivalente a
a
c
(x− x0) +
b
c
(y − y0) + (z − z0) = 0,
ou ainda
z = z0 −
a
c
(x− x0)−
b
c
(y − y0).
Chamando −a
c
= A e − b
c
= B temos
z = z0 + A(x− x0) +B(y − y0).
Fixando y = y0 temos a equação da reta tangente
z = z0 + A(x− x0),
onde, como visto anteriormente, A que é o coeficiente angular é ∂f
∂x
(x0, y0),
A =
∂f
∂x
(x0, y0).
Fixando x = x0 temos a outra reta tangente
z = z0 +B(y − y0),
onde, como visto anteriormente, B que é o coeficiente angular é ∂f
∂y
(x0, y0),
B =
∂f
∂y
(x0, y0).
Desta forma, a equação do plano fica
z − z0 =
∂f
∂x
(x0, y0)(x− x0) +
∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0).
Com isto, podemos então definir:
Definição 11. Seja f uma função diferenciável no ponto (x0, y0). O plano
z − f(x0, y0) =
∂f
∂x
(x0, y0)(x− x0) +
∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0).
denomina-se plano tangente ao gráfico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)).
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
Observação 12. Escrevendo a equação do plano da seguinte forma ∂f
∂x
(x0, y0)(x−x0)+∂f∂y (x0, y0)(y−
y0)− z = −f(x0, y0) conseguimos ver os coeficientes de x, y e z e assim, temos o vetor normal do
plano
~n =
(
∂f
∂x
(x0, y0),
∂f
∂y
(x0, y0),−1
)
.
Sabendo o vetor normal do plano segue então a definição da reta normal ao gráfico de f :
Definição 12. A reta que passa pelo ponto (x0, y0, f(x0, y0)) e é paralela ao vetor normal é deno-
minada reta normal ao gráfico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) cuja a equação é dada por
(x, y, z) = (x0, y0, f(x0, y0)) + λ
(
∂f
∂x
(x0, y0),
∂f
∂y
(x0, y0),−1
)
, λ ∈ IR.
Exemplo 32. Seja f(x, y) = 3x2y− x. Determine as equações do plano tangente e da reta normal
no ponto (1, 2, f(1, 2)).
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
Exemplo 33. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + y e tangente ao gráfico de
f(x, y) = x2 + y2.
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
2.7.1 Exercícios
1. (RA 01) Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada
no ponto dado:
(a) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1))
(b) f(x, y) = 3x3y − xy em (1,−1, f(1,−1))
(c) f(x, y) = xex2−y2 em (2, 2, f(2, 2))
(d) f(x, y) = yln(x) em (1, 4, f(1, 4))
2.7.2 Gabarito
1. (a) z = 4x+ 2y − 4 e (x, y, z) = (1, 1, 2) + λ(4, 2,−1) λ ∈ IR
(b) z = −8x+ 2y + 8 e (x, y, z) = (1,−1,−2) + λ(−8, 2,−1) λ ∈ IR
(c) z = 9x− 8y e (x, y, z) = (2, 2, 2) + λ(9,−8,−1) λ ∈ IR
(d) z = 4x− 4 e (x, y, z) = (1, 4, 0) + λ(4, 0,−1) λ ∈ IR
2.8 Aproximação Linear e Diferencial
No exemplo 32 encontramos o plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = 3x2y − x no ponto
(1, 2, 5) que é z = 11x+ 3y − 12. Portanto, a função linear de duas variáveis
L(x, y) = 11x+ 3y − 12
é uma boa aproximação de f(x, y) quando (x, y) está próximo de (1, 2).
A função L é chamada de linearização de f em (1, 2) e a aproximação
f(x, y) ≈ 11x+ 3y − 12
é denominada aproximação linear de f em (1, 2).
Generalizando,
L(x, y) =
∂f
∂x
(x0, y0)(x− x0) +
∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0) + f(x0, y0)
é a linearização de f no ponto (x0, y0).
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
Exemplo 34. Determine a aproximação linear da função f(x, y) = ln(x − 3y) em (7, 2) e use-a
para aproximar f(6.9, 2.06).
Definição 13. Seja f : D ⊂ IR2 → IR diferenciável em (x0, y0) ∈ D e considere a transformação
linear T : IR2 → IR dado por
T (h, k) =
∂f
∂x
(x0, y0) · h+
∂f
∂y
(x0, y0) · k.
Esta transformação denomina-se diferencial de f em (x0, y0).
Observação 13. T (h, k) informa a variação que f sofre quando passa do ponto (x0, y0) para
(x0 + h, y0 + k).
Notação:
• dz = T (h, k) - variação aproximada de f
• ∆z = f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0) - variação real de f
• dx = h
• dy = k
Com esta notação o diferencial pode ser escrito como
dz =
∂f
∂x
(x0, y0) · dx+
∂f
∂y
(x0, y0) · dy.
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
Exemplo 35. Calcule o diferencial de z = x2y.
Exemplo 36. Seja f(x, y) = x2 + 3xy − y2. Encontre dz, se x varia de 2 para 2, 05 e y varia de 3
a 2, 96 compare os valores de dz e de ∆z.
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
Exemplo 37. Suponha que uma lata em formato cilíndrico seja projetada para ter um raio de 5cm
e uma altura de 20cm, mas que o raio e a altura estejam com erros de dr = 0, 003 e dh = −0, 01.
Calcule a variação aproximada resultante no volume da lata.
2.8.1 Exercícios
1. (RA 01, RA 03) Explique por que a função é diferenciável no ponto dado e faça então a
linearização da função neste ponto.
(a) f(x, y) = x√y (1, 4)
(b) f(x, y) = ex cos(xy) (0, 0)
(c) f(x, y) = sen(2x+ 3y) (−3, 2)
(d) f(x, y) = 2x2 + y2 (1, 1)
2. (RA 01, RA 03) Determine a aproximação linear da função f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2 em
(3, 2, 6) e use-a para aproximar
√
(3, 02)2 + (1, 97)2 + (5, 99)2. Verifique se é uma boa apro-
ximação comparando com o valor da função no ponto.
3. (RA 01) Calcule o diferencial de:
(a) z = x3y2
(b) z = sen(xy)
(c) u = es2−t2
(d) T = ln(1 + p2 + v2)
4. (RA 01, RA 03) Calcule um valor aproximado para a variação ∆A na área de um retângulo
quando os lados variam de x = 2m e y = 3m para x = 2, 01m e y = 2, 97m. Verifique se é
uma boa aproximação comparando com o valor exato da variação da área.
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
5. (RA 01) Se R é a resistência de três resistências conectadas em paralelo, com valores R1, R2
e R3 então
1
R
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
.
Se as resistências medem em ohms R1 = 25Ω, R2 = 40Ω e R3 = 50Ω, com precisão de 0, 5%
em cada uma, estime o erro máximo no cálculo da resistência equivalente de R.
2.8.2 Gabarito
1. (a) L(x, y) = 2x+ 1
4
y − 1
(b) L(x, y) = x+ 1
(c) L(x, y) = 2x+ 3y
(d) L(x, y) = 4x+ 2y − 3
2. 6, 98
3. (a) dz = 3x2y2dx+ 2x3ydy
(b) dz = ycos(xy)dx+ xcos(xy)dy
(c) du = 2ses2−t2ds− 2tes2−t2dt
(d) dT = 2p
1+p2+v2
dp+ 2v
1+p2+v2
dv
4. dA = −0, 03
5. dR = 0, 059Ω
2.9 Vetor Gradiente e Regra da Cadeia
Definição 14. Se f admite derivadas parciais no ponto (x0, y0), então o vetor gradiente de f no
ponto (x0, y0) é:
∇f(x0, y0) = (fx(x0, y0), fy(x0, y0)) .
Exemplo 38. Se f(x, y) = x2 + y2, encontre ∇f(1, 1).
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
Exemplo 39. Se f(x, y, z) = xy + y2 + xz, encontre ∇f(1, 1, 2).
2.9.1 Regra da Cadeia
Como vimos em Modelagem e Simulação do Mundo Físico, a regra da cadeia é a regra para derivar
funções compostas. Lembrando, se y = f (g(x)), y = f(u) e u = g(x), então pela regra da cadeia:
y′ = f ′ (g(x)) g′(x) = dy
du
du
dx
. Aqui isso continua valendo, no entanto a composição é um pouco
diferente.
Considere a função
f : D ⊂ IR2 → IR
(x, y) 7→ z = f(x, y)
e a curva no plano
γ : IR → IR2
t 7→ γ(t) = (x(t), y(t))
.
Observe que γ é uma curva no plano que associa um parâmetro t a um par ordenado (x, y).
Assim, considere a seguinte composição F (t) = f ◦ γ(t) = f (γ(t)) = f (x(t), y(t)), então sua
derivada em relação a variável t é:
F ′(t) = ∇f (γ(t)) • γ′(t) = (fx (x(t), y(t)) , fy (x(t), y(t))) • (x′(t), y′(t)) =
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
.
Exemplo 40. Se f(x, y) = xy e γ(t) = (t3, t2), calcule F ′(t), se F (t) = f (γ(t)).
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
Exemplo 41. Se z = x2y, x = et2 e y = 2t+ 1, calcule dz
dt
.
Exemplo 42. Se z = exseny, x = st2 e y = s2t, calcule ∂z
∂t
e ∂z
∂s
.
Exemplo 43. Um carro A esta viajando para o norte na rodovia 16, e um carro B está viajando
para oeste na rodovia 83. Os dois carros se aproximam da interseção dessas rodovias. Em um certo
momento, o carro A está a 5km da interseção viajando a 65km/h, ao passo que o carro B está
a 12km da interseção viajando a 78km/h. Qual a taxa de variação da distância entre os carros
nesse instante? Interprete o resultado encontrado.
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
2.9.2 Reta tangente à curva de nível
Considere a função
f : D ⊂ IR2 → IR
(x, y) 7→ z = f(x, y)
diferenciável em D. Seja γ uma curva de nível de f , isto é, f (γ(t)) = k, onde k é uma constante
∀t.
Note que ∇f(x0, y0) é perpendicular a curva de nível γ. De fato:
Considere a função composta
F (t) = f (γ(t)) = k,
derivando em relação a variável t pela regra da cadeia, segue que
F ′(t) = ∇f (γ(t)) • γ′(t) = 0,
para todo t. Sendo assim, ∇f (γ(t0)) • γ′(t0) = 0, isto é, ∇f (x0, y0) • γ′(t0) = 0. Portanto,
∇f (x0, y0) é perpendicular a γ no ponto γ(t0) = (x0, y0).
Dizemos que ∇f (x0, y0) é um vetor normal à curva de nível γ no ponto (x0, y0). Assim,
a reta tangente à curva de nível γ no ponto (x0, y0) é:
∇f (x0, y0) • [(x, y)− (x0, y0)] = 0
(condição de ortogonalidade entre os vetores ∇f(x0, y0) e (x, y) − (x0, y0) que deve ser satisfeita
para que o ponto (x, y) pertença à reta tangente).
Usando ∇f (x0, y0), obtemos também a equação da reta normal à curva de nível γ no ponto
(x0, y0):
(x, y)− (x0, y0) = λ∇f (x0, y0) , ∀λ ∈ IR
(condição de paralelismo entre os vetores ∇f(x0, y0) e (x, y)− (x0, y0) que deve ser satisfeita para
que o ponto (x, y) pertença à reta normal).
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
2.9.3 Plano tangente à superfície de nível
De maneira análoga à seção anterior, considere a função
f : D ⊂ IR3 → IR
(x, y, z) 7→ w = f(x, y, z)
diferenciável em D. Seja r uma superfície de nível de f , isto é, f (r(t)) = k, onde k é uma constante
∀t.
Note que ∇f(x0, y0, z0) é perpendicular a curva de nível r. De fato:
Considere a função composta
F (t) = f (r(t)) = k,
derivando em relação a variável t pela regra da cadeia, segue que
F ′(t) = ∇f (r(t)) • r′(t) = 0,
para todo t. Sendo assim, ∇f (r(t0)) • r′(t0) = 0, isto é, ∇f (x0, y0, z0) • r′(t0) = 0. Portanto,
∇f (x0, y0, z0) é perpendicular a r no ponto r(t0) = (x0, y0, z0).
Dizemos que∇f (x0, y0, z0) é um vetor normal à superfície de nível r no ponto (x0, y0, z0).
Assim, o plano tangente à superfície de nível r no ponto (x0, y0, z0) tem equação vetorial dada por:
∇f (x0, y0, z0) • [(x, y, z)− (x0, y0, z0)] = 0,
a partir dessa equação podemos obter a sua forma geral ou cartesiana.
A reta normal à superfície de nível r no ponto (x0, y0, z0) tem equação vetorial dada por:
(x, y, z)− (x0, y0, z0) = λ∇f (x0, y0, z0) , ∀λ ∈ IR,
a partir dessa equação podemos obter as formas paramétrica e simétrica da reta normal.
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
2.9.4 Exercícios
1. (RA 01) Encontre o vetor gradiente da função:
(a) f(x, y) = ex2−y2
(b) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2
2. (RA 01) Utilize a regra da cadeia para encontrar dz
dt
ou dw
dt
.
(a) z = x2 + y2 + xy, x = sent, y = et
(b) z = cos (x+ 4y), x = 5t4, y = 1
t
(c) z =
√
1 + x2 + y2, x = ln t, y = cos t
(d) z = arctg
(
y
x
)
, x = et, y = 1− e−t
(e) w = xey/z, x = t2, y = 1− t, z = 1 + 2t
(f) w = ln
(√
x2 + y2 + z2
)
, x = sent, y = cos t, z = tgt
3. (RA 01, RA 03) Seja g(t) = f(3t, 2t2 − 1), faça o que se pede:
(a) Calcule g′(t).
(b) Calcule g′(0), se fx(0,−1) = 13 .
4. (RA 01, RA 03) O raio de um cone circular reto aumenta a uma taxa de 1, 8cm/s, enquanto
que sua altura está decrescendo à taxa de 2, 5cm/s. A que taxa o volume do cone está
mudando quando o raio vale 120cm e a altura 140cm? Interprete o valor encontrado.
5. (RA 01, RA 03) A temperatura em um ponto(x, y) é T (x, y), medido em ◦C. Uma formiga
caminha de modo que sua posição após t segundos é dada por x =
√
1 + t, y = 2 + t
3
, onde x
e y são medidos em centímetros. Se Tx(2, 3) = 4 e Ty(2, 3) = 3, mostre que temperatura está
subindo a uma taxa de 2oC/s no caminho da formiga após três segundos.
6. (RA 01) Considere a função f(x, y) = x3y3 − xy e a curva de nível γ(t) = (x(t), y(t)) tal que
f(x(t), y(t)) = 6. Determine a equação da reta tangente a curva de nível γ no ponto (1, 2).
7. (RA 01) Considere y = g(x) uma função dada implicitamente pela equação y3 +xy+x3 = 3x.
Determine as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de g no ponto (1, 1).
8. (RA 01) Encontre a reta tangente à curva x2 − xy + y2 = 7 no ponto (−1, 2).
9. (RA 01) Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto (−2, 1,−3) ao
elipsoide x2
4
+ y2 + z
2
9
= 3.
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CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
10. (RA 01) Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície xyz + x3 +
y3 + z3 = 3z no ponto (1,−1, 2).
11. (RA 01, RA 03) Mostre que o elipsoide 3x2+2y2+z2 = 9 e a esfera x2+y2+z2−8x−6y−8z+24
se tangenciam no ponto (1, 1, 2).
12. (RA 01) Encontre as equações do plano tangente e da reta normal à x2+y2−2xy−x+3y−z = 4
no ponto (2,−3, 18).
13. (RA 01) Encontre as equações paramétricas da reta tangente à curva de interseção das su-
perfícies x+ y2 + z = 2 e y = 1 no ponto (1, 1, 0).
2.9.5 Gabarito
1. (a) ∇f(x, y) =
(
2xex
2−y2 ,−2yex2−y2
)
(b) ∇f(x, y, z) =
(
x√
x2+y2+z2
, y√
x2+y2+z2
, z√
x2+y2+z2
)
2. (a) dz
dt
= et (cos t+ sent+ 2et) + 2sent cos t
(b) dz
dt
= −20t3sen
(
5t4 + 4
t
)
+ 4
t2
sen
(
5t4 + 4
t
)
(c) dz
dt
= ln t
t
√
1+ln2 t+cos2 t
− sent cos t√
1+ln2 t+cos2 t
(d) dz
dt
= − 1−e−t
1−2e−t+e−2t+e2t +
1
1−2e−t+e−2t+e2t
(e) dw
dt
= 2te1−t/1+2t − t2e1−t/1+2t
1+2t
− (2t
2−2t3)e1−t/1+2t
1+4t+4t2
(f) dw
dt
= sent cos3 t− sent cos3 t+ tgt
3. (a) g′(t) = ∇f(3t, 2t2 − 1)3 +∇f(3t, 2t2 − 1)4t
(b) g′(0) = 1
4. ≈ 25622, 4cm3/s
5.
6. 2x+ y − 4 = 0
7. x+ 4y − 5 = 0
8. −4x+ 5y + 14 = 0
9. 3x− 6y + 2z + 18 = 0; (x, y, z) = (−2, 1,−3) + λ
(
−1, 2,−2
3
)
, λ ∈ IR
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10. x+ 5y + 8z − 12 = 0; (x, y, z) = (1,−1, 2) + λ (1, 5, 8), λ ∈ IR
11. Mostre que o elipsoide e a esfera tem o mesmo plano tangente no ponto (1, 1, 2), use plano
tangente à superfície de nível.
12. 9x− 7y − z = 21, x−2
9
= y+3−7 =
z−18
−1
13.

x = 1− t
y = 1
z = t
2.10 Derivada Direcional
Vimos que as derivadas parciais
∂f
∂x
(x0, y0) = lim
h→0
f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)
h
e
∂f
∂y
(x0, y0) = lim
k→0
f(x0, y0 + k)− f(x0, y0)
k
representam as taxas de variações de f no sentindo positivo dos eixos x e y, ou seja, nas direções
e sentido dos versores ~i e ~j.
Suponha que queiramos determinar as taxas de variação de f no ponto (x0, y0) na direção e
sentido de um vetor unitário arbitrário (a, b).
Desta forma, a variação de f na direção ~u = (a, b) entre os pontos (x0, y0) e (x0 + at, y0 + bt) é
f(x0 + at, y0 + bt)− f(x0, y0)
‖(x0 + at, y0 + bt)− (x0, y0)‖
.
Note que ‖(x0 + at, y0 + bt)− (x0, y0)‖ =
√
a2t2 + b2t2 = |t|
√
a2 + b2︸ ︷︷ ︸
1
= |t| .
Definição 15. O limite
∂f
∂~u
(x0, y0) = lim
t→0
f(x0 + at, y0 + bt)− f(x0, y0)
t
quando existe e é finito, denomina-se derivada direcional de f no ponto (x0, y0) e na direção do
vetor unitário ~u = (a, b).
Observação 14. ∂f
∂x
(x0, y0) e ∂f∂y (x0, y0) são, respectivamente, as derivadas direcionais de f no
ponto (x0, y0) nas direções i = (1, 0) e j = (0, 1).
Exemplo 44. Seja f(x, y) = x2 + y2. Calcule ∂f
∂~u
(1, 1), onde ~u é o versor de
a)~v = (−1, 1)
b)~v = (1, 2)
c)~v = (2, 2)
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2.10.1 Derivada Direcional e Gradiente
Teorema 5. Sejam f : D ⊂ IR2 → IR, D aberto, (x0, y0) ∈ D e ~u = (a, b) um vetor unitário. Se
f(x, y) for diferenciável em (x0, y0), então f admitirá derivada direcional em (x0, y0), na direção ~u
e
∂f
∂~u
(x0, y0) = ∇f(x0, y0) • ~u.
Exemplo 45. Calcule ∂f
∂~u
(1, 2) onde f(x, y) = x2 + xy e ~u é o versor de ~v = (1, 1).
Exemplo 46. Sejam f(x, y) =
{
x3
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
e ~v = (1, 1).
a) Calcule, pela definição, ∂f
∂~u
(0, 0) onde ~u é o versor de ~v.
b) Calcule ∇f(0, 0) • ~u
c) Por que os valores encontrados em a) e b) são diferentes?
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Teorema 6. Seja f : D ⊂ IR2 → IR, D aberto, diferenciável em (x0, y0) e tal que ∇f(x0, y0) 6= 0.
Então, o valor máximo de ∂f
∂~u
(x0, y0) ocorre quando ~u for o versor de ∇f(x0, y0), isto é, ~u =
∇f(x0,y0)
‖∇f(x0,y0)‖ e o valor máximo de
∂f
∂~u
(x0, y0) é ‖∇f(x0, y0)‖.
Demonstração 2. Como f é diferenciável temos que ∂f
∂~u
(x0, y0) = ∇f(x0, y0) • ~u. Lembrando da
definição de produto escalar temos
∂f
∂~u
(x0, y0) = ∇f(x0, y0) • ~u = ‖∇f(x0, y0)‖ ‖~u‖ cos(θ),
onde θ é o ângulo entre ∇f(x0, y0) e ~u. Por ~u ser unitário temos então
∂f
∂~u
(x0, y0) = ‖∇f(x0, y0)‖ cos(θ).
∂f
∂~u
(x0, y0) terá o valor máximo quando cos(θ) = 1, ou seja, θ = 0, o que significa que ~u é versor de
∇f(x0, y0). E ainda, o valor máximo é ∂f∂~u(x0, y0) = ‖∇f(x0, y0)‖.
Observação 15. A partir do teorema anterior podemos ter o valor mínimo da f e a direção e o
sentido que isto ocorre. Note que pela demonstração, o valor mínimo ocorrerá quando cos(θ) = −1,
ou seja, θ = 180o, o que significa que ~u é oposto ao gradiente, logo ~u é o versor de −∇f(x0, y0) e
o valor mínimo é ∂f
∂~u
(x0, y0) = −‖∇f(x0, y0)‖.
Exemplo 47. Seja f(x, y) = x2y.
a) Determine ~u de modo que ∂f
∂~u
(1, 1) seja máximo.
b) Qual o valor máximo de ∂f
∂~u
(1, 1)?
c) Estando em (1, 1), qual a direção e sentido deve-se tomar para que f cresça mais rapidamente?
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Exemplo 48. Admita que T (x, y) = x2 + 3y2 represente uma distribuição de temperatura no plano
xy : T (x, y) é a temperatura no ponto (x, y) (supondo T em oC e x,y em cm).
a) Estando em (2, 1
2
) qual a direção e sentido de maior crescimento de temperatura? Qual a
taxa de crescimento nesta direção?
b) Estando em (2, 1
2
) qual a direção e sentido de maior decrescimento de temperatura? Qual a
taxa de decrescimento nesta direção?
c) Estando em (2, 1
2
) qual a direção segundo qual a temperatura permanece constante?
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2.10.2 Exercícios
1. (RA 01) Calcule ∂f
∂~u
(x0, y0), sendo dados:
(a) f(x, y) = x2 − 3y2, (x0, y0) = (1, 2) e ~u o versor de (2, 1).
(b) f(x, y) = ex2−y2 , (x0, y0) = (1, 1) e ~u o versor de (3, 4).
(c) f(x, y) = xey + cos(xy), (x0, y0) = (2, 0) e ~u o versor de (3,−4).
2. (RA 01) Seja f(x, y) =
{
y3
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
. Calcule ∂f
∂~u
(0, 0), onde ~u = (a, b) e
verifique que ∂f
∂~u
(0, 0) 6= ∇f(0, 0) • ~u.
3. (RA 01) Seja f(x, y, z) = xsen(yz).
(a) Determine o gradiente de f
(b) Determine a derivada direcional de f no ponto (1, 3, 0) na direção do vetor ~v = (1, 2,−1).
4. (RA 01, RA 03) Determine as direções e sentidos em que a derivada direcional de f(x, y) =
x2 + sen(xy) no ponto (1, 0) tem valor 1.
5. (RA 01) Seja f(x, y) = x2 + xy + y2. Calcule ∂f
∂~u
(1, 1), onde ~u aponta na direção e sentido de
máximo crescimento da f no ponto (1, 1).
6. (RA 01, RA 03) Encontre as direções nas quais f(x, y) = x2
2
+ y
2
2
(a) cresce mais rapidamente no ponto (1, 1)
(b) decresce mais rapidamente no ponto (1, 1)
(c) tem variação zero no ponto (1, 1)
7. (RA 03)