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Porque precisamos ensinar lógica e como devemos ensiná-la? 
Mária Bakó∗ 
 
Tradução parcial do texto: 
BAKÓ, Mária. Why we need to teach logic and how can we teach it? Disponível em: 
<http://www.cimt.plymouth.ac.uk/journal/bakom.pdf>. Acesso em: 30 jun. 2009. 
 
Tradutora: Cibele Alves da Silva Reis (Turma S71-2009.1, Engenharia da Computação, DAINF-UTFPR) 
Revisão da tradução: Adolfo Gustavo Serra Seca Neto (DAINF-UTFPR) 
Data: 30 de junho de 2009 
 
1. Introdução 
 Em nossa opinião, ao ensinar matemática, pensar em algoritmos tem uma 
desvantagem em relação a pensar logicamente. Estudantes aprendem uma vasta 
quantidade de fórmulas e quando aplicar cada uma delas. Então se um estudante 
encontra problemas similares, ele pode facilmente resolvê-los, porém terá uma maior 
dificuldade para resolver problemas a ele desconhecidos, mesmo que possua todo o 
conhecimento necessário para resolvê-lo. 
 Os problemas de geometria têm uma característica em comum: não podem ser 
resolvidos sempre da mesma maneira. Em casos como este, colocar os dados em 
fórmulas prontas não é o suficiente, é necessário combiná-los e aplicar alguns teoremas 
conhecidos. Isso é problemático para os alunos, portanto, eles podem ter resultados 
ruins em geometria mesmo que sejam bons em outras partes da matemática. Como 
sabemos, desde Euclides, a geometria é um sistema lógico: axiomas, teoremas e provas. 
Então, a resolução da geometria sem um prévio conhecimento lógico é um “acaso”. 
 Ensinar lógica geralmente significa ensinar os conectivos, as tabelas da verdade 
e os diagramas de Venn. Logo ensinamos algoritmos e fórmulas novamente. Esses 
algoritmos não têm aplicação prática nos ensinamentos de matemática, portanto as 
escolas não ensinam todo o conteúdo de lógica. Precisamos ensinar lógica de uma 
maneira diferente, desenvolver nos alunos o pensamento lógico já existente e melhorá-
lo pela prática de exercícios. 
 Este artigo está organizado da seguinte maneira: primeiro mostramos exercícios 
que incluem lógica na matemática do ensino médio (seção 2). Após isso, nós fazemos 
um levantamento sobre os problemas que a negligência de ensinar lógica causa (seção 
3). Então colocamos em tópicos o que nós achamos que é preciso ensinar (seção 4). E 
finalmente mostramos como melhorar a educação com jogos de computador (seção 5) e 
charadas (seção 6). 
 
(...) 
 
5. Jogos de computador 
 
 De acordo com Baron, é sempre problemático fazer com que os alunos se 
motivem, especialmente no caso da matemática. Por isso, é proveitoso fazer com que o 
ensino de matemática seja mais motivador pela escolha de bons jogos. Os resultados de 
pesquisas em diferentes países mostram que a utilização dos jogos nas lições de casa 
não são perda de tempo: com o ensino de xadrez os estudantes mostram maior 
desempenho em várias matérias. Durante essa e a próxima seção mostraremos quais 
jogos podem ser úteis no desenvolvimento do raciocínio lógico. 
 O poder de compreensão dos estudantes e a velocidade de seus pensamentos 
variam muito, logo eles necessitam trabalhar sozinhos também. Em relação a isso, os 
computadores são ferramentas muito úteis. Nós recomendamos os jogos listados abaixo 
para alunos do ensino fundamental, e de acordo com nossas experiências, todos gostam 
de jogá-los. 
 
 Nonogram: É preciso colorir algumas partes de um quadriculado para formar 
uma imagem. Os números de acordo com as linhas e colunas denotam partes contínuas 
dela. 
 
 Sherlock: Este jogo é baseado na charada conhecida como o enigma de 
Einstein, ou a charada da Zebra. No enigma original havia cinco casas de cores 
diferentes, donos de nacionalidades distintas, animais de estimação diferentes, que 
bebiam bebidas diferentes e fumavam cigarros de marcas distintas. Há mais de uma 
dúzia de condições sobre as cores, nacionalidades, etc. e é preciso descobrir de quem é a 
Zebra. 
 
 Sokoban: As caixas devem ser empurradas para os locais marcados. O problema 
é que os objetos só podem ser empurrados, e não puxados. A fase acaba quando todas as 
caixas estão em locais marcados. 
 
 Campo minado (Minesweeper): As minas devem ser marcadas. Em alguns 
lugares você pode achar o número de minas vizinhas. O jogo acaba quando todas e 
somente as minas forem marcadas. 
 Jogos de paciência: Se no começo a posição de todas as cartas é conhecida, 
então o jogo é baseado em lógica, e não sorte. 
 
 Crianças gostam desse tipo de jogo e simultaneamente elas desenvolvem sua 
habilidade e pensamento lógico, pois é preciso fazer longas reflexões antes de cada 
passo. Quando nós mostramos esses jogos pela primeira vez, é comum mostrar alguns 
passos ou ainda explicá-los a elas. 
 Após isso nós podemos deixá-las jogar (primeiro em nossa companhia) e 
perguntar o porquê de cada passo tomado. Estudantes necessitam colocar sua linha de 
raciocínio em palavras, e então entender as razões dos outros e achar eventuais erros. A 
resolução de problemas simples não só melhora a capacidade lógica, mas também a de 
debater. 
 Certamente os alunos são diferentes, alguns deles podem resolver problemas 
rápida e facilmente, já outros levam um tempo maior. Na resolução de problemas 
simples, eles nem sempre obterão êxito, então, após certo tempo eles precisarão 
começar a trabalhar sozinhos. Os exemplos citados são excelentes para casa, mas 
durante as aulas o computador é melhor porque aponta imediatamente os erros. Se os 
avisos não forem suficientes, o professor pode ajudar. 
As características marcantes dos jogos de lógica são que para que estes sejam 
resolvidos, é necessário muito raciocínio, e todos os jogadores podem ter sucesso. 
 
6. Charadas 
 
 Charadas certamente são mais antigas que jogos de computador. Um jogo de 
palavras cruzadas, no qual palavras são dadas, mas suas posições são desconhecidas, é 
popular na Hungria. Cada edição do jornal Füles tem uma charada, e algumas vezes 
mais de uma. 
 A revista matemática Abacus da Hungria freqüentemente tem enigmas em que 
algumas pessoas sempre falam a verdade e outras sempre mentem. Esse tipo de 
problema é bem conhecido, muitos livros de exercício contêm tais enigmas. O mais 
famoso desse gênero pertence à Smullyan. Ele escreveu inúmeros livros no mesmo 
estilo, mas os problemas dos outros livros são geralmente variantes do primeiro. Os 
primeiros exercícios do livro tratam de truques de macacos, mas ao decorrer das 
charadas, o leitor consegue entender o famoso teorema de Gödel, o qual é o matemático 
mais importante do século vinte. 
 
 
6.1 Charadas simples 
 
Os primeiros problemas desse livro podem ser resolvidos por uma criança 
pequena: 
Um homem estava olhando para um retrato. Alguém perguntou a ele, “De quem 
é a foto que você está olhando?”, então ele respondeu: “irmãos e irmãs eu não 
tenho, mas o pai desse homem é filho de meu pai”. (“O pai desse homem” 
significa, certamente, o pai do homem no retrato.) De quem é o retrato que o 
homem estava olhando? [Smu78, Puzzle 4] 
A charada não é difícil, mas um número significativo de pessoas chega à 
resposta errada de que o homem está olhando seu próprio retrato. Assim como nos jogos 
de computador, é interessante discutir a resolução desse tipo de exercício. 
Com o enigma a seguir nós podemos começar um longo debate: 
Por bala irresistível de canhão, devemos entender uma bala de canhão que bate 
e passa por tudo que estiver em seu caminho. Por placa imóvel, devemos 
entender uma placa que não pode ser derrubada ou movida. Então o que 
acontece se uma bala irresistível de canhão bate em uma placa imóvel? [Smu78, 
Puzzle 6] 
O fato mais surpreendente é solução que diz que a existência de uma bala 
irresistível de canhão exclui a existência de uma placa imóvel e vice-versa. Com esse 
exemplo podemos introduzir o conceito de contradição, até mesmo mostramos o 
significado de um paradoxo. 
 
 
6.2 Enigmas de trapaceiros e cavaleirosO livro de Smullyan tem vários enigmas de cavaleiros e trapaceiros, desde os 
simples até os mais complexos. Quase todos podem resolver esse aqui: 
Existe uma enorme variedade de enigmas sobre uma ilha em que alguns 
habitantes chamados de “cavaleiros” sempre contam a verdade, e os 
“trapaceiros” sempre mentem. 
Toma-se como verdade que todo habitante desta ilha é “cavaleiro” ou 
“trapaceiro”. Três dos habitantes, A, B e C estavam juntos em um jardim. Um 
estranho passou e perguntou a A, “Você é um cavaleiro ou um trapaceiro?”. A 
respondeu, mas de forma confusa, de tal modo que o estranho não entendeu o 
que ele disse. Então o estranho perguntou a B, “O que A disse?”. B respondeu, 
“A disse que ele era um trapaceiro.”. Nesse momento, C disse, “Não acredite 
em B, ele está mentindo!”. A pergunta é: o que B e C são? [Smu78, Puzzle 26] 
Esse tipo de charada é geralmente utilizado nos cursos introdutórios de lógica 
em faculdades. Em nossa opinião, eles também poderiam ser utilizados no ensino 
médio. Após resolver uma charada bem escolhida, podemos introduzir os operadores 
lógicos. Os fatos ensinados se tornarão familiares se ensinarmos como eles podem ser 
utilizados a formalizar e resolver charadas. 
Ao usar o método de Smullyan é possível formalizar os enigmas em lógica 
proposicional. Como exemplo o enigma anterior pode ser descrito com a seguinte 
fórmula: 
(A ≡ X) ∧ (B ≡ (A ≡ ¬ A)) ∧ (C ≡ ¬ B) 
Onde X corresponde à resposta de A. Baseado no conceito da tabela da verdade 
é possível introduzir conceitos de tautologia, leis lógicas e conseqüências lógicas. Nós 
podemos aplicar a conseqüência lógica imediatamente, uma vez que conseguiremos 
resolver o enigma anterior (B é cavaleiro ou trapaceiro) se soubermos que B ou ¬B é 
conseqüência lógica da fórmula anterior. 
Para resolver uma charada é necessário que surjam perguntas como: “O que eu 
devo dizer?” ou “O que eu devo perguntar?”. 
À primeira vista, algumas charadas não têm solução, como esta que segue: 
Você é habitante da ilha de cavaleiros, trapaceiros e normais. Você está 
apaixonado por Margozita, a filha do rei, e quer se casar com ela. Porém, o rei 
não quer que sua filha se case com um normal. Então ele diz a ela: “Querida, 
você realmente não devia se casar com um normal, você sabe. Os normais são 
muito caprichosos, imprevisíveis e não confiáveis. Com um normal você nunca 
saberá o que pensar; um dia ele fala a verdade, no outro ele mente. Como isso 
pode ser bom? Agora... Um cavaleiro é totalmente confiável, e com ele você 
sempre saberá como se posicionar, o que pensar. Um trapaceiro é tão bom 
quanto um cavaleiro, pois a única coisa que você deve fazer é acreditar 
exatamente no oposto do que ele dirá, logo você saberá o que realmente 
acontece sempre. Portanto, eu acredito que um homem deve manter seus 
princípios. Se ele prefere sempre falar a verdade, deixe-o falar somente a 
verdade. Se ele prefere mentir, deixe que ele ao menos seja consistente em 
relação a isso. Mas esses normais sem valor não minha querida, eles não são 
para você!”. 
Agora, suponha que você é de fato não-normal, portanto você tem uma chance. 
Entretanto, você deve convencer o rei de que você não é um normal, caso 
contrário ele não deixará que você se case com a filha dele. Você tem a 
permissão de uma audiência com o rei e você pode falar a ele quantas sentenças 
você quiser. O problema tem duas partes: 
(a) Qual é o menor número de sentenças verdadeiras que você pode falar para 
que o rei se convença de que você não é um normal? 
(b) Qual é o menor número de sentenças falsas que você pode falar para que o 
rei se convença de que você não é um normal? 
O primeiro enigma de trapaceiros e cavaleiros pode ser resolvido pela checagem 
de todos os casos. Nesse caso precisamos achar uma fórmula desconhecida. O que é um 
grande desafio para os estudantes. O fato é, que um exemplo como este tem poucas e 
igualmente boas soluções, e a questão é como nós podemos dar todas as soluções e 
mostrar que não existem outras? A prática em responder tal pergunta é rentável em 
outras partes da matemática. O artigo [Asz01] contém o algoritmo para resolver tais 
exemplos, o qual usa as tabelas da verdade. 
Os enigmas de Smullyan são interessantes, portanto o fato de podermos resolver 
todos eles com simples artifícios é conhecimento de valor. Com esses métodos, nós 
podemos chegar a soluções extras que não aparecem no livro, então os estudantes 
podem perceber que lógica não é algo abstrato, inútil, mas sim uma ferramenta muito 
útil. 
 
(...) 
 
REFERÊNCIAS 
 
[Asz01] ASZALÓS, László. Automated Solution of the Riddle of Dracula and Other 
Puzzles. In: GORÉ, Rajeev; LEITSCH, Alexander; NIPKOW, Tobias (eds.). Proc. Int. 
Joint Conf. on Automated Reasoning (IJCAR'01), pages 1-10, Siena, Junho de 2001. 
 
[Smu78] SMULLYAN, R. M. What is the name of this book? The riddle of Dracula 
and other logical puzzles. Prentice-Hall, Inc., 1978.