GEOMETRIA ESPACIAL 1

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Geometria 
espacial
APÊNDICE
UNIDADE 1
1U1 - Elementos básicos da geometria espacial
UNIDADE 1: Elementos básicos da geometria espacial
Gabarito 1. Faça valer a pena
1. Alternativa Correta: B
Resposta Comentada: 
A alternativa correta é “Somente as alternativas I, III, IV e V estão 
corretas”. Dentre as afirmações apresentadas, a única incorreta é 
“Se dois planos têm uma reta em comum, então eles são secantes”. 
Para que essa afirmação fosse correta, deveríamos ter a seguinte 
frase: Se dois planos têm uma ÚNICA reta em comum, então esses 
planos são secantes. Se não tivermos a unicidade, os planos podem 
ser coincidentes, e daí teríamos infinitas retas em comum.
2. Alternativa Correta: C
Resposta Comentada: 
A alternativa correta é “reversas”, porque os segmentos AB e FG 
estão em planos distintos, o que caracteriza que são retas reversas. 
Observe que não existe um plano que contenha as duas retas ao 
mesmo tempo, o que descarta as demais alternativas. Vale destacar 
que algumas pessoas marcariam a alternativa “perpendiculares”, 
pois “enxergam” o ângulo reto formado entre elas. Isso valeria se 
elas estivessem em um mesmo plano, como é o caso, por exemplo, 
das retas AB e BC.
3. Alternativa Correta: E
Resposta Comentada:
A alternativa correta é “Se r e s são reversas, então r s∩ =∅ ”, uma 
vez que as condições apresentadas nas outras alternativas não são 
completamente corretas; são requisitos ditos necessários, mas não 
suficientes para torná-las corretas. Para que uma condição seja 
aceita matematicamente, esta deve ser necessária e suficiente, ou 
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
2 U1 - Elementos básicos da geometria espacial
seja, ela deve realmente acontecer e não deve necessitar de 
complementos para ser verdadeira. 
Na alternativa “ r s∩ =∅⇒ r e s são reversas” (lê-se: r interseção 
com s é vazia), podemos ter retas paralelas.
Na alternativa “ r s∩ =∅⇒ r e s são paralelas”, podemos obter 
retas reversas. 
Na alternativa “Para que duas retas r e s sejam reversas, basta termos 
r s∩ =∅ ”, falta mencionar que as retas devem estar em planos 
distintos. Já na alternativa “Para que duas retas r e s sejam paralelas, 
basta termos r s∩ =∅ ”, falta a informação de que as retas devem 
ter um plano em comum.
Gabarito 2. Faça valer a pena
1. Alternativa Correta: C 
Resposta Comentada: 
A alternativa correta é: “Uma reta e um plano secantes têm um 
único ponto comum”. Na alternativa: “Uma reta e um plano que 
têm pontos em comum são concorrentes”, não há a unicidade do 
ponto em comum, ou seja, podemos ter mais de um ponto em 
comum, e a reta estaria contida no plano. A alternativa: “Se uma reta 
é paralela a um plano, ela é paralela a qualquer reta desse plano” 
também está incorreta, pois as retas do plano podem ser reversas 
à reta paralela ao plano. Já a alternativa: “Se um plano é paralelo a 
uma reta, qualquer reta do plano é reversa a essa reta paralela” está 
errada pelo motivo já exposto, isto é, podemos ter retas no plano 
paralelas à reta. Por fim, a alternativa: “Se duas retas distintas são 
paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si” está errada, 
porque essas duas retas distintas podem ser concorrentes.
2. Alternativa Correta: B 
Resposta Comentada: 
A alternativa correta é: “Se dois planos são secantes, então uma reta 
de um deles pode ser reversa a uma reta do outro plano”, porque há 
a afirmação de que uma reta pode ser reversa. Na alternativa: “Se dois 
planos são secantes, então qualquer reta de um deles é concorrente 
com o outro plano”, o erro está na afirmação de que qualquer reta é 
3U1 - Elementos básicos da geometria espacial
secante, uma vez que pode haver retas reversas. Na alternativa: “Dois 
planos paralelos distintos têm um ponto em comum”, o erro já está 
explicado no texto-base. Já na alternativa: “Se dois planos distintos são 
paralelos, então uma reta de um deles pode ser concorrente a uma reta 
do outro plano”, não existe a possibilidade de uma reta ser concorrente 
a outra, sendo dois planos paralelos. Por fim, na alternativa: “Se dois 
planos distintos são paralelos, então toda reta de um deles é paralela a 
qualquer reta do outro plano”, o erro consiste em afirmar que as retas 
são paralelas, tendo em vista que elas podem ser reversas.
3. Alternativa Correta: E 
Resposta Comentada: 
A alternativa correta é: “Se dois planos distintos são paralelos, uma reta 
de um e uma reta do outro são reversas ou paralelas”, porque aponta as 
duas condições de retas que estão em planos paralelos. A alternativa: 
“Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos” 
está errada, pois os planos podem ser secantes. O mesmo erro ocorre 
na alternativa: “Se dois planos são paralelos a uma reta, então são 
paralelos entre si”. Na alternativa: “Se um plano contém duas retas 
paralelas a um outro plano, então esses planos são paralelos”, o erro 
consiste na mesma situação; basta imaginarmos os planos secantes, 
cuja interseção é uma reta, nos quais temos infinitas retas pertencentes 
a um plano que são paralelas a essa interseção; além disso, afirmar 
que duas retas são paralelas não garante que são distintas. Por fim, na 
alternativa: “Se um plano contém duas retas distintas paralelas a um 
outro plano, então esses planos são paralelos”, o erro já foi exposto.
Gabarito 3. Faça valer a pena
1. Alternativa Correta: E 
Resposta Comentada: 
A alternativa correta é: “A projeção ortogonal de um ponto sobre 
um plano é um ponto”. A alternativa: “A projeção ortogonal de uma 
reta sobre um plano é uma reta” está incorreta, porque a reta pode 
ser perpendicular ao plano, o que implicaria que sua projeção seria 
um ponto. De modo análogo, a alternativa: “A projeção ortogonal 
de um segmento sobre um plano é sempre um segmento” também 
está incorreta. Já a alternativa: “A projeção ortogonal de um triângulo 
4 U1 - Elementos básicos da geometria espacial
sobre um plano é sempre um triângulo” está incorreta, uma vez que 
esse triângulo pode estar perpendicular ao plano, o que resultaria em 
um segmento de reta. Por fim, a alternativa: “Se dois segmentos são 
congruentes, então suas projeções ortogonais sobre qualquer plano 
são congruentes” está incorreta, tendo em vista que um dos segmentos 
pode ser perpendicular ao plano e, assim, sua projeção seria um ponto.
2. Alternativa Correta: D 
Resposta Comentada: 
A alternativa correta é: “Se dois planos são perpendiculares, então 
eles são secantes”. A alternativa: “Se dois planos são secantes, então 
eles são perpendiculares” está incorreta, pois os planos podem ser 
oblíquos. A alternativa: “Se dois planos são perpendiculares, então 
toda reta de um deles é perpendicular ao outro” está incorreta, 
porque a reta pode ser paralela ao plano. Já a alternativa: “Se dois 
planos são perpendiculares a um terceiro, então eles são paralelos” 
está incorreta, uma vez que esses planos podem ser paralelos ou 
secantes. Por fim, a alternativa: “Se uma reta é perpendicular a um 
plano, por ela passa um único plano, perpendicular ao plano dado” 
está incorreta, pois por uma reta passam infinitos planos, e todos 
eles seriam perpendiculares ao plano que é perpendicular à reta.
3. Alternativa Correta: C
Resposta Comentada: 
A alternativa correta é: “A distância de um ponto P ao plano a é a 
distância de P ao ponto P´ de interseção de a com a reta r, 
perpendicular a a por P.” A alternativa: “A distância entre um 
ponto e um plano é a distância entre o ponto e qualquer ponto do 
plano” está incorreta, pois a distância é medida pelo segmento 
perpendicular ao plano que passa pelo ponto, e não por um ponto 
qualquer. De modo análogo, a alternativa: “A distância entre um 
ponto e o plano é a reta perpendicular ao plano pelo ponto” está 
incorreta, porque a reta é infinita, deveria ser um segmento de reta. 
Já a alternativa: “A distância entre uma reta e um plano paralelos é 
a distância entre um ponto qualquer do plano e a reta” está 
incorreta, uma vez que, paracalcularmos essa distância, devemos 
considerar a perpendicular. Por fim, a alternativa: “A distância entre 
uma reta e um plano paralelos é a distância entre um ponto 
qualquer da reta e um ponto qualquer do plano” também está 
incorreta, já que novamente devemos considerar a perpendicular.