Relatório: Ondas Estacionárias em uma Corda

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Ondas Estacionárias em uma Corda 
Introdução 
 No mundo atual, a relevância do estudo 
aprofundado da ondulatória torna-se evidente ao 
analisarmos nossa estrita dependência dessas para 
comunicações, trabalho e lazer (alimentação 
elétrica), acústica, entre inúmeros outros 
processos cotidianos que envolvem ondas. 
 Um efeito importante da propagação de 
ondas, é quando se tem duas ondas de amplitudes 
e frequências idênticas se propagando em sentidos 
opostos. O resultado disso, ou seja, a superposição 
delas, é, no meio, um padrão estacionário de 
amplo aproveitamento, e de fácil reconhecimento 
aos olhos (imagem 1). Por exemplo, ondas 
estacionárias são utilizadas em eletrodomésticos 
como o forno de microondas. No entanto, no 
intuito de estudar e entrar em contato com o 
conceito de ondas estacionárias, iremos analisar o 
mesmo fenômeno, desta vez de uma forma mais 
prática e acessível, sob uma corda tensionada. 
Imagem (1) 
Objetivos 
 Com o auxílio dos materiais, ferramentas e 
infraestrutura fornecida pelo laboratório de física 
da Universidade Federal de Minas Gerais, iremos 
realizar montagens que permitam a formação do 
padrão estacionário de ondas, realizando medidas 
indiretas consistentes que, ao final, nos permita 
através do desenvolvimento de um arcabouço 
matemático, encontrar a velocidade de 
propagação da onda no meio (corda). 
Materiais 
 1 Balança; 
 1 Corda com densidade linear de massa 
específica; 
2 Pesos de massas distintas; 
1 Vibrador mecânico (gerador de 
vibrações); 
1 Gerador de áudio (permite a regulagem 
da frequência do sinal sonoro); 
1 Multímetro capaz de medir frequência 
(maior precisão em relação ao próprio gerador); 
Métodos 
Afixamos a corda em duas extremidades 
horizontais. De um lado, ela é submetida ao 
gerador de vibrações. Oposto a isso, tem-se uma 
polia que servirá de apoio da corda, ao sustentar o 
peso. Assim, produz-se sob a corda tensionada 
uma vibração de baixa amplitude (gerador de 
vibrações mecânico). A montagem está ilustrada 
na imagem (2). 
Imagem (2) 
Na imagem (2), vemos claramente o 
gerador mecânico de vibrações (a direita, no alto), 
a polia e o peso (a esquerda), e o gerador de áudio 
senoidal (abaixo, com mostrador digital). 
Dada a montagem, e de conhecimentos 
sobre a propagação de ondas na corda, sabemos 
ser válida a relação (1), obtida através das leis de 
Newton, portanto, sabemos previamente que para 
cada massa utilizada teremos velocidades de 
propagação (𝑉) distintas na corda, uma vez que a 
variação dos pesos produz também uma variação 
na tensão (𝑇), tornando – para uma mesma corda, 
ou seja, densidade linear de massa (𝜇) constante – 
𝑉 e 𝑇 diretamente proporcionais. 
𝑉 = √
𝑇
𝜇
 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (1) 
Assim, avançando com o desenvolvimento 
de relações matemáticas e dando prosseguimento 
a realização do experimento, vimos a partir da 
imagem (1) que para um padrão estacionário, o 
comprimento (𝐿) da corda deve ser um múltiplo 
inteiro de meio comprimento de onda (𝜆). Assim, 
obtemos as relações (2) e (3), que nos serão úteis 
posteriormente. 
𝐿 = 𝑛 ∙
𝜆
2
 . : 𝜆 =
2𝐿
𝑛
 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (2) 
𝑉 = 𝜆 ∙ 𝑓 =
2𝐿
𝑛
∙ 𝑓 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (3) 
A prática se baseia majoritariamente no 
resultado da relação (3). Com essa relação em 
mãos, podemos coletar pares (𝑛, 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎) e a 
partir de softwares, obter dados que nos permitam 
encontrar a velocidade de propagação da onda, 
através dessa relação linear dada por (4). 
𝑉 =
2𝐿
𝑛
∙ 𝑓 . : 𝑓 =
𝑉
2𝐿
∙ 𝑛 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (4) 
Coletamos então os pares ordenados e 
inserimos nas tabelas (1) e (2) a seguir. 
𝑛(𝑎𝑑𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) 𝑓(ℎ𝑒𝑟𝑡𝑧) 
1 5,7 
2 11,3 
3 18,0 
4 23,0 
5 28,8 
6 34,7 
7 43,3 
8 49,6 
Tabela (1) referente ao sistema composto pela 
corda de densidade linear 𝜇 = (3,3 ± 0,2)𝑔/𝑚 , 
comprimento 𝐿 = 190 ± 1 𝑐𝑚 e massa 𝑚 = 98,1 ±
0,5 𝑔. 
𝑛(𝑎𝑑𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) 𝑓(ℎ𝑒𝑟𝑡𝑧) 
1 7,7 
2 15,9 
3 23,9 
4 32,1 
5 39,9 
6 48,0 
7 55,2 
8 63,9 
Tabela (2) referente ao sistema composto pela corda de 
densidade linear 𝜇 = (3,3 ± 0,2)𝑔/𝑚 , comprimento 
𝐿 = 190 ± 1 𝑐𝑚 e massa 𝑚 = 201,7 ± 0,5 𝑔. 
 Informando tais dados ao SciDAVis 
(software de regressão linear), o mesmo nos 
retorna os seguintes gráficos e informações 
(imagens 3 e 4). 
Imagem (3) 
Imagem (4) 
Resultados 
 Podemos inferir dos gráficos acima 
(imagens 3 e 4) que a relação entre 𝑛 e 𝑓 se 
aproxima bastante de uma função linear, como já 
era esperado, pela relação (4). Dessa forma: 
𝑦(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑥 + 𝐵 
𝑓(𝑛) =
𝑉
2𝐿
∙ 𝑛 
{𝐴 =
𝑉
2𝐿
 
Para ambas as relações, 𝐵 não é 
identicamente nulo (analogamente a relação 4), 
mas sua contribuição para a função é baixa à 
medida que 𝑛 aumenta. A presença de coeficiente 
linear (𝐵) na relação dada pelo software pode ser 
fruto de imprecisões de medidas, resistência e/ou 
atrito entre partes móveis da montagem, entre 
outros fatores, como por exemplo, na 
determinação da relação (1), aproxima-se sin 𝜃 ≈
𝜃. 
Para a primeira montagem do experimento 
(𝑚 = 98,1 ± 0,5 𝑔), para encontrarmos a 
incerteza associada á velocidade, utilizaremos a 
expressão de incerteza padrão combinada dada 
por (5). 
𝑢𝑐
2(𝑦) = ∑ (
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
)
2
∙ 𝑢2(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (5) 
Dessa forma, sendo: 
𝑉 = 2𝐿 ∙ 𝐴 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠, 
Δ𝑉2 = (2𝐴)2 ∙ Δ𝐿2 + (2𝐿)2 ∙ Δ𝐴2 
Portanto: 
Δ𝑉𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 0,62
𝑚
𝑠
 𝑒 𝑉𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 23,67
𝑚
𝑠
 
Portanto: 
𝑉𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = (23,67 ± 0,62) 
𝑚
𝑠
 
De forma análoga, chegamos ao valor da 
velocidade de propagação na segunda montagem 
(𝑚 = 201,7 ± 0,5 𝑔), com a corda mais 
tensionada. 
Δ𝑉𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 = 0,17
𝑚
𝑠
 𝑒 𝑉𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 = 30,31
𝑚
𝑠
 
Novamente: 
𝑉𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 = (30,31 + 0,17) 
𝑚
𝑠
 
Tendo em mãos a velocidade de 
propagação da onda na corda, através da relação 
(1), podemos determinar novamente a densidade 
linear de massa 𝜇, de uma forma independente da 
primeira (𝜇 =
𝑚
𝐿
 𝑒 Δ𝜇 = (
1
𝐿
) ∙ Δ𝑚). Assim, 
𝑉 = √
𝑇
𝜇
 . : 𝜇 =
𝑇
𝑉2
 
Sendo a tração (𝑇) uma força causada para 
equilibrar, na corda, a ação da força peso (𝑃 =
𝑚𝑔), portanto, para o peso menor: 
𝜇 =
𝑚𝑔
𝑉2
 
Δ𝜇2 = (
𝑔
𝑉2
)
2
∙ Δ𝑚2 + (−
2𝑚𝑔
𝑉3
)
2
∙ Δ𝑉2 
Δ𝜇 = 0,09
𝑔
𝑚
 𝑒 𝜇 = 1,71
𝑔
𝑚
 
Logo: 
𝜇 = (1,71 ± 0,09)
𝑔
𝑚
 
Analogamente para o peso maior: 
Δ𝜇 = 0,03
𝑔
𝑚
 𝑒 𝜇 = 2,15
𝑔
𝑚
 
Novamente: 
𝜇 = (2,15 ± 0,03)
𝑔
𝑚
 
Conclusão 
 Dessa forma, com um experimento simples 
fomos capazes de analisar variáveis importantes 
relacionadas a ondulatória, determinar fórmulas 
matemáticas que regem o fenômeno de ondas 
estacionárias, e analisar visualmente o padrão 
estacionário. Fomos capazes também de encontrar 
a velocidade de propagação da onda na corda, e 
vimos que as fórmulas (1) e (3) são 
qualitativamente equivalentes (para uma mesma 
corda – 𝜇 constante - 𝑉 e 𝑇 são proporcionais, e, 
portanto, a corda tracionada com um peso maior 
possui uma velocidade de propagação maior). 
𝑉𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = (23,67 ± 0,62) 
𝑚
𝑠
 
𝑉𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 = (30,31 + 0,17) 
𝑚
𝑠
 
Determinamos a partir de duas maneiras 
distintas também, a densidade linear de massa da 
corda utilizada (𝜇). 
𝜇1 = (3,30 ± 0,20)
𝑔
𝑚
 
Determinado a partir da fórmula 𝜇 =
𝑚
𝐿
 
𝜇2 = (1,71 ± 0,09)
𝑔
𝑚
 
Determinado a partir do experimento com 
menor massa. 
𝜇3 = (2,15 ± 0,03)
𝑔
𝑚
 
Determinado a partir do experimento com 
maior massa. 
 Apesar de termos encontrado valores 
matematicamente compatíveis (mesma ordem de 
grandeza), os valores diferem entre si de maneira 
considerável. Atribuímos a essa inconsistência 
novamente fatores que não foram considerados 
durante a análise mecânica do processo (atrito), 
processos comoa distensão da corda elástica 
durante tensionamento (o que explicaria em parte 
a redução da densidade durante os experimentos, 
uma vez que a distensão aumentaria o 
comprimento dela, para uma mesma massa), entre 
outros fatores. 
 Em suma, vimos em prática muitos 
ensinamentos teóricos, e como as grandezas 
características de ondas se relacionam neste 
padrão. Atingimos também o objetivo de 
determinar a velocidade de propagação da onda 
no meio (corda elástica).