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ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
1.1. INTRODUÇÃO 
 
A Estatística pode ser considerada como um método 
quantitativo que se preocupa em coletar, organizar, analisar e interpretar 
um conjunto de observações, visando a tomada de decisões. 
Pode-se dizer que toda ciência que manipula dados 
experimentais necessita de Estatística como método de análise destes 
dados, para que o pesquisador possa tirar conclusões que tenham 
validade científica. 
Na área de Engenharia, a aplicação de Estatística é muito 
vasta, estando presente principalmente no estudo do controle estatístico 
de qualidade industrial, onde as técnicas de controle têm evoluído e 
proporcionado resultados importantes. 
Para ilustrar, suponha-se um processo produtivo onde ao se 
fabricar certa peça, uma de suas dimensões é planejada em 5 cm com 
desvio padrão de 0,02 cm. Um conjunto de 36 peças fabricadas forneceu 
uma média de 4,95 cm; podemos dizer que elas estão dentro da 
especificação desejada? O comprimento médio verdadeiro é menor que 
5 cm? O número de peças observadas é suficiente para se obter 
conclusões acerca de toda produção? Pode-se constatar uma série de 
indagações cujas respostas serão possíveis graças aos métodos 
desenvolvidos mais adiante. 
O estudo que será desenvolvido pode ser dividido em quatro 
partes: Estatística Descritiva, Probabilidades, Amostragem e Inferência 
Estatística. A Estatística Descritiva se preocupa apenas em organizar e 
descrever um conjunto de observações. O estudo da Amostragem vai 
possibilitar o conhecimento das principais técnicas de obtenção de 
amostras bem como suas aplicações. O estudo de Probabilidades será 
necessário para que se possa desenvolver os principais métodos de 
Inferência Estatística. A Inferência Estatística vai possibilitar a tomada 
Estatística descritiva 
 
2 
 
de decisões acerca de populações (conjunto de elementos que tem pelo 
menos uma característica de interesse em comum). No exemplo 
ilustrado anteriormente, as 36 peças retiradas da produção representam 
uma amostra da população de todas as peças produzidas, de maneira que 
somente com a aplicação dos métodos de Inferência Estatística poderão 
ser respondidas àquelas indagações. 
Inicialmente não haverá a preocupação em diferenciar se um 
conjunto de observações corresponde a uma amostra ou população, já 
que essa distinção só será necessária a partir do estudo da Amostragem. 
 
 
 
1.2 TIPOS DE VARIÁVEIS ESTATÍSTICAS 
 
Na descrição ou análise de um conjunto de dados estatísticos, 
pode-se associar a eles certos tipos de variáveis, pois o tratamento 
matemático exigido e o método estatístico a ser utilizado dependem 
dessa variável. Pode-se considerar dois tipos de variáveis: qualitativas e 
quantitativas. 
As variáveis qualitativas estão associadas a uma característica 
que denota qualidade ou atributo. Alguns exemplos de variáveis 
qualitativas são: cor dos olhos dos operários de certa indústria (azuis, 
castanhos, verdes, etc), desempenho dos operários (ótimo, bom, sofrível, 
etc), qualidade dos produtos (defeituosos, perfeitos, recuperáveis, etc). 
As variáveis quantitativas estão associadas a valores 
numéricos, podendo ser discretas ou contínuas. Uma variável é dita 
discreta quando o número de valores possíveis for finito ou infinito 
enumerável. Como exemplos de variáveis discretas pode-se citar: 
número de peças produzidas por uma indústria, número de defeitos 
encontrados em seus produtos, número de dias que choveu durante o 
mês de março em certa localidade, etc. A variável contínua é aquela que 
pode, ao menos teoricamente, assumir qualquer valor entre dois valores 
possíveis dessa variável. Alguns exemplos de variáveis contínuas são: 
comprimentos dos parafusos fabricados por certa máquina, tempos 
gastos pelos operários para realizar certa tarefa, resistência à ruptura dos 
cabos produzidos por certa companhia, etc. Costuma-se dizer, de uma 
maneira quase geral, que as variáveis discretas estão associadas às 
contagens e as variáveis contínuas às medições. 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 
 
3 
 
1.3 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS 
 
Um conjunto de observações de certo fenômeno, não estando 
adequadamente organizado, fornece poucas informações de interesse ao 
pesquisador. 
Para se obter informações de interesse, sobre o fenômeno em 
estudo, deve-se agrupar as observações em tabelas ou gráficos 
convenientemente construídos. O tipo de tabela ou gráfico utilizado é 
função do tipo de variável que representa o fenômeno de interesse. 
Considere a variável discreta X, representando o número de 
componentes eletrônicos defeituosos em cada lote de 500 componentes 
produzidos. Foram inspecionados 50 lotes fornecendo os seguintes 
valores para X: 
 
 
 
Com essas observações, pode-se construir uma tabela onde os 
 
Tabela 1.1- Distribuição de freqüências 
 
xi fi 
0 2 
1 3 
2 4 
3 7 
4 12 
5 10 
6 8 
7 3 
8 1 
Total 50 
5 3 2 1 4 5 5 6 7 4 
6 5 4 5 3 6 7 7 5 5 
4 6 6 4 2 3 0 5 6 3 
8 4 4 4 3 0 1 3 2 4 
1 4 5 4 6 2 5 6 4 3 
Estatística descritiva 
 
4 
 
valores de X, que serão representados por xi, estão dispostos em 
correspondência com suas freqüências (fi) respectivas, como mostra a 
distribuição de freqüências dada pela Tabela 1.1. 
A distribuição de freqüências da Tabela 1.1 está representada 
graficamente na Figura 1.1 através de um diagrama de freqüências por 
pontos. Esse diagrama mostra claramente que a variável (discreta) toma 
somente valores isolados. 
 
 
 
Figura 1.1 – Diagrama por pontos 
 
 
A Tabela 1.2 mostra as freqüências acumuladas, sendo a 
freqüência acumulada de um ponto igual à freqüência desse ponto 
somada com as freqüências de todos os valores menores que o ponto 
considerado. 
A Tabela 1.2 pode ser representada graficamente através do 
diagrama de freqüências acumuladas como mostra a Figura 1.2. 
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
f
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 
 
5 
 
Tabela 1.2 - Distribuição de freqüências acumuladas 
 
xi fai 
0 2 
1 5 
2 9 
3 16 
4 28 
5 38 
6 46 
7 49 
8 50 
 
 
 
Figura 1.2 - Diagrama de freqüências acumuladas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2 Diagrama de freqüências acumuladas 
 
 
 
 
Considere agora uma variável contínua Y representando as 
medidas de um ângulo tomadas por um topógrafo. Foram realizadas 50 
medidas, fornecendo os resultados: 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
10
20
30
40
50
60
x
fafa 
Estatística descritiva 
 
6 
 
 
 
Como a variável Y é contínua, os dados serão agrupados em 
classes ou categorias. Um critério utilizado na determinação do número 
de classes (k) é através da fórmula empírica de Sturges 
 
k = 1 + 3,32 log n (1.1) 
 
onde n representa o total de observações. 
A amplitude (h) de cada classe será dada por 
 
k
a
h  (1.2) 
 
onde “a” representa a amplitude total das observações, definida como a 
diferença entre o maior e o menor valores observados. 
No caso do exemplo proposto, obtém-se 
 
750log32,31 k 
 
'2
7
'13
7
'105'235
h 

 , 
 
portanto, a tabela de freqüências, teráos dados distribuídos em 7 classes 
de amplitudes iguais a 2’. Assim obtém-se a Tabela 1.3. 
50 10’ 50 16’ 50 17’ 50 14’ 50 15’ 
50 18’ 50 12’ 50 21’ 50 23’ 50 19’ 
50 11’ 50 16’ 50 14’ 50 16’ 50 17’ 
50 16’ 50 17’ 50 11’ 50 16’ 50 13’ 
50 12’ 50 22’ 50 15’ 50 20’ 50 18’ 
50 21’ 50 17’ 50 21’ 50 18’ 50 15’ 
50 16’ 50 19’ 50 12’ 50 16’ 50 13’ 
50 19’ 50 23’ 50 14’ 50 19’ 50 14’ 
50 14’ 50 18’ 50 15’ 50 16’ 50 18’ 
50 15’ 50 20’ 50 17’ 50 18’ 50 10’ 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 
 
7 
 
Tabela 1.3 - Distribuição de freqüências com limites aparentes 
 
Classes fi 
5º10’ |- 5º12’ 4 
5º12’ |- 5º14’ 5 
5º14’ |- 5º16’ 10 
5º16’ |- 5º18’ 13 
5º18’ |- 5º20’ 10 
5º20’ |- 5º22’ 5 
5º22’ |- 5º24’ 3 
Total 50 
 
A notação 50 10’ |- 50 12’ é idêntica a [50 10’, 50 12’) e 
significa um intervalo que inclui o limite inferior 50 10’ e exclui o limite 
superior 50 12’, ou seja, é um intervalo fechado à esquerda e aberto à 
direita. De forma análoga, 50 10’ - 50 12’ ou (50 10’, 50 12’) representa 
um intervalo que exclui os dois limites. 
Outra discussão que merece certa atenção é quanto aos limites 
de classe. Na construção da tabela, utilizou-se os limites aparentes que 
geralmente não correspondem ao significado real das observações. No 
caso do exemplo dado, nota-se que os dados foram arredondados para 
minutos, portanto um ângulo de '115'4,115  estaria situado na 
primeira classe, enquanto que '125'7,115  estaria localizado na 
segunda classe. Partindo desse raciocínio, pode-se falar em limites reais 
 
Tabela 1.4 - Distribuição de freqüências com limites reais 
 
Classes fi 
5º09,5’ |- 5º11,5’ 4 
5º11,5’ |- 5º13,5’ 5 
5º13,5’ |- 5º15,5’ 10 
5º15,5’ |- 5º17,5’ 13 
5º17,5’ |- 5º19,5’ 10 
5º19,5’ |- 5º21,5’ 5 
5º21,5’ |- 5º23,5’ 3 
Total 50 
Estatística descritiva 
 
8 
 
de classe, como mostra a Tabela 1.4. 
Muitas vezes, existe interesse em trabalhar com a freqüência 
relativa  i'f de determinada classe. Essa freqüência é definida pelo 
quociente entre a freqüência de classe  if e o número total de 
observações ou freqüência total  n . Assim, tem-se 
 
n
f
'f ii  (1.3) 
 
Para a terceira classe do exemplo considerado tem-se 
2,0
50
10
'f 3  , 
 
ou seja, 20% das medições apresentam resultados contidos no intervalo 
50 14’ |- 50 16’. 
A representação gráfica da Tabela 1.3 é dada pelo histograma 
de freqüências. O histograma de freqüências é uma representação 
gráfica onde cada classe é representada por um retângulo, cuja base é 
igual à amplitude de classe correspondente, e a área é proporcional à 
freqüência de classe. A Figura 1.3 mostra o histograma de freqüências 
para os dados da Tabela 1.3. 
 
Figura 1.3 - Histograma de freqüências 
0
5
10
15
5º10' 5º12' 5º14' 5º16' 5º18' 5º20' 5º22' 5º24'
Classes
F
re
q
ü
ê
n
ci
a
s
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 
 
9 
 
Outra representação gráfica de interesse para uma variável 
contínua é o polígono de freqüências acumuladas. Esse gráfico é obtido, 
marcando-se no eixo das abcissas os valores da variável (em termos de 
limite de classe) e no eixo das ordenadas as freqüências acumuladas 
correspondentes. 
Na Tabela 1.5 os dados estão dispostos em correspondência 
com as freqüências acumuladas. 
 
Tabela 1.5 - Freqüências acumuladas 
 
Classes fi 
5º10’ |- 5º12’ 4 
5º12’ |- 5º14’ 9 
5º14’ |- 5º16’ 19 
5º16’ |- 5º18’ 32 
5º18’ |- 5º20’ 42 
5º20’ |- 5º22’ 47 
5º22’ |- 5º24’ 50 
 
O histograma de freqüências acumuladas correspondente à 
Tabela 1.5 está representado na Figura 1.4. 
 
Figura 1.4 - Polígono de freqüências acumuladas 
0
10
20
30
40
50
60
5º10' 5º12' 5º14' 5º16' 5º18' 5º20' 5º22' 5º24' 
Classes
F
re
q
. 
a
cu
m
u
la
d
a
s
Estatística descritiva 
 
10 
 
1.4 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
Uma forma mais sintética de descrever um conjunto de dados 
pode ser feita através de um valor único, que representa em termos 
“médio” todo conjunto. Esse valor tende a se localizar no centro do 
conjunto de dados, sendo conhecido como medida de tendência central. 
As medidas de tendência central mais conhecidas e que serão 
estudadas a seguir são: a média aritmética, a mediana e a moda. 
 
 
1.4.1 Média aritmética 
 
A média aritmética x de um conjunto de n valores x1, x2, ... , 
xn, é definida por 
 
n
x
n
n
1i i
x
x




 (1.4) 
 
Se x1, x2, ... , xk, ocorrerem com as freqüências f1, f2, ..., fk, 
respectivamente, a média aritmética será dada pela expressão 
 
n
fx
f
fx
k
1i i
f
k
1i i
x
i
f
x









 (1.5) 
 
Caso os dados sejam distribuídos em classes, os valores x1, x2, 
..., xk, corresponderão aos pontos médios das k classes. O ponto médio xi 
da i-ésima classe pode ser definido como a média aritmética entre os 
limites inferior (Li) e superior (Ls) da classe i considerada, ou seja, 
 
2
LsLi
i
x

 (1.6) 
 
Entre as propriedades da média aritmética, as principais são: 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 
 
11 
 
(1a) A soma algébrica dos desvios de um conjunto de 
números, em relação à média aritmética desse conjunto, é zero. 
(2a) A soma dos quadrados dos desvios de um conjunto de 
números, em relação a um número qualquer a, é um mínimo quando e 
somente quando a = x . 
 
Exemplos: 
 
(1) Foram feitas 10 medidas do tempo (em segundos) gasto por um 
operário para efetuar certa tarefa, obtendo-se: 
 
15 13 10 14 15 15 14 14 12 13 
 
que fornece um tempo médio 
 
5,13
10
135
n
x
x 

 segundos. 
 
(2) Foram inspecionados 30 aparelhos fabricados por certa indústria, 
obtendo-se os seguintes números de defeitos por aparelho: 
 
 1 0 2 0 1 1 4 0 2 3 2 2 1 0 0 
0 2 1 1 0 0 4 2 1 0 0 0 0 1 2 
 
resultando na distribuição de freqüências 
 
Tabela 1.6 - Distribuição de freqüências 
 
Número de defeitos fi 
0 12 
1 8 
2 7 
3 1 
4 2 
 
Estatística descritiva 
 
12 
 
O número médio de defeitos será 
 
1,1
30
33
30
42312718012
n
fx
x 



 
 
(3) Seja agora a distribuição de freqüências dada pela Tabela 1.3. 
 
Tabela 1.7 - Cálculo da média 
 
Classes f x fx 
5º10’ |- 5º12’ 4 5º11’ 20º044’ 
5º12’ |- 5º14’ 5 5º13’ 25º065’ 
5º14’ |- 5º16’ 10 5º15’ 50º150’ 
5º16’ |- 5º18’ 13 5º17’ 65º221’ 
5º18’ |- 5º20’ 10 5º19’ 50º190’ 
5º20’ |- 5º22’ 5 5º21’ 25º105’ 
5º22’ |- 5º24’ 3 5º23’ 15º069’ 
Total 50 - 250º844’ 
 
 
'175'88,165
50
'844250
n
fx
x 



 . 
 
1.4.2 Mediana 
 
A mediana Me de um conjunto de n valores ordenados x1, x2, 
... , xn, é representada pelo valor central do conjunto, ou seja, pelo 
elemento de ordem (n+1)/2 para n ímpar ou pela média aritmética dos 
dois valores de ordem n/2 e (n/2)+1 para n par. 
Portanto, a mediana do conjunto 
 
5 7 9 13 17 19 20 
 
já ordenado, é igual ao valor central 13, pois n = 7 é ímpar. O conjunto, 
também ordenado 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 
 
13 
 
3 7 8 10 12 15 
 
tem mediana igual a 9, ou seja, é a média aritmética entre os valores 8 e 
10, pois n = 6 (par). 
A mediana é útil principalmente quando o conjunto de dados 
é muito influenciado pelos extremos, refletindo aqui com mais 
fidelidade que a média aritmética a medida de tendência central 
correspondente. 
Para os dados da Tabela 1.6, com n = 30 (par), o elemento de 
ordem n/2 é igual a 1 e o elemento de ordem (n/2)+1 também é igual a 
1, portanto a mediana é Me = (1+1)/2 = 1. 
No caso de dados agrupados em classes de freqüências, a 
mediana Me pode ser calculada pela expressão (deduzida a partir do 
histograma de freqüências) 
 
h
f
f'P
LiMe
Me
a (1.7) 
 
onde: Li é o limite inferior da classe mediana (em umadistribuição de 
freqüências chama-se classe mediana à classe que contém a mediana); 
P = n/2 é a posição da classe mediana; 
af' é a freqüência acumulada da classe vizinha anterior à classe 
mediana; 
fMe é a freqüência da classe mediana; 
h é a amplitude do intervalo da classe mediana. 
 
Geometricamente, a mediana Me é o valor da variável que 
divide o histograma em duas partes de áreas iguais. 
Como exemplo, será calculada a mediana da distribuição de 
freqüências dada pela Tabela 1.3. Para esses dados, tem-se que 
 
P = n/2 = 50/2 = 25 
 
(o 25o valor, em ordem crescente, está localizado na 4a classe, sendo esta 
a classe mediana). Assim, obtém-se 
 
Estatística descritiva 
 
14 
 
'165Li  , 19af'  , 13Me
f  , '2h  , 
 
logo 
 
'175'92,165'2
13
1925
'165Me 

 . 
 
1.4.3 Moda 
 
A moda Mo de um conjunto de n valores x1, x2, ... , xn, é 
representada pelo valor que ocorre o maior número de vezes. Um 
conjunto de valores pode não apresentar moda, como também, a moda 
poderá não ser única. 
O conjunto 
 
3, 5, 7, 7, 7, 8, 10, 
 
tem moda 7 (conjunto unimodal), enquanto que o conjunto 
 
5, 7, 9, 10, 15, 20, 
 
não tem moda (denominado de conjunto amodal). O conjunto poderá 
apresentar mais de uma moda, por exemplo, 
 
3, 5, 7, 7, 7, 8, 10, 10, 10, 15, 20, 
 
tem duas modas, 7 e 10, sendo esse conjunto denominado de bimodal. 
Para os dados da Tabela 1.6 a moda é representada pelo valor 
zero (valor de maior ocorrência), sendo esse conjunto unimodal. 
No caso de dados agrupados em classes de freqüências, a 
moda Mo pode ser calculada pela expressão (deduzida a partir do 
histograma de freqüências). 
 
h
'ff'
'f
LiMo

 (1.8) 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 
 
15 
 
onde: Li é o limite inferior da classe modal (em uma distribuição de 
freqüências chama-se de classe modal à classe de maior freqüência); 
f' é a freqüência absoluta de classe imediatamente anterior à 
classe modal; 
'f é a freqüência absoluta de classe imediatamente posterior à 
classe modal; 
h é a amplitude de intervalo de classe modal. 
 
Como exemplo, considere a distribuição de freqüências da 
Tabela 1.3. A classe modal é aquela de freqüência igual a 13, portanto 
 
'165Li  , 10f'  , 10'f  , '2h  
 
que substituindo na expressão (1.8) resulta 
 
'175'2
1010
10
'165Mo 

 . 
 
 
1.5 MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
As medidas de tendência central, como foi visto, dão uma 
idéia de todo o conjunto, através de um valor único. Mas elas são 
insuficientes para descrever mais detalhadamente o comportamento de 
todo o conjunto, como será visto em seguida. 
Considere os tempos, de três máquinas semelhantes, para 
executar certa operação industrial. Foram tomados os tempos (em 
segundos) de 5 operações para cada máquina, fornecendo os resultados 
 
 
 
Máquina A: 10, 10, 10, 10, 10; 
Máquina B: 11, 10, 9, 11, 9; 
Máquina C: 3, 4, 5, 20, 18. 
 
Calculando a média aritmética para cada máquina, obtém-se 
 
Estatística descritiva 
 
16 
 
10xxx CBA  s, 
 
ou seja, o tempo médio para executar a operação é o mesmo pra as três 
máquinas. Mas, observando mais detalhadamente os três grupos obtidos, 
pode-se notar que se distribuem diferentemente em relação à média (10 
s), como mostra a Figura 1.5. 
 
 
Figura 1.5 - Dispersão dos dados em torno da média 
 
 10 
Máquina A: t 
 9 11 
Máquina B: t 
 3 4 5 18 20 
Máquina C: t 
 
 
Para uma análise quantitativa dessa maior ou menor variação 
(ou dispersão) do conjunto de valores em torno do valor médio, deve-se 
estudar as medidas de dispersão. As principais são: a amplitude, a 
variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação. 
 
 
1.5.1 Amplitude 
 
Amplitude ou amplitude total (a) de um conjunto de n valores 
x1, x2, ... , xn é definida pela diferença entre o maior valor (xmáx.) e o 
menor valor (xmín.) do conjunto, ou seja, 
 
.mín
x
.máx
xa  (1.9) 
 
Para o exemplo das máquinas, resulta 
 
Máquina A: a = 10 – 10 = 0 s 
Máquina B: a = 11 – 9 = 2 s 
Máquina C: a = 20 – 3 = 17 s 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 
 
17 
 
Suponha que outra máquina D forneça os seguintes resultados 
 
10, 10, 10, 3, 20, 
 
onde a = 20 – 3 = 17 s. Nota-se que as máquinas C e D apresentam uma 
mesma amplitude, apesar dos conjuntos de valores serem bem 
diferentes. Desta forma, verifica-se que a amplitude tem o grave 
inconveniente de depender somente de valores extremos do conjunto, 
desprezando os valores intermediários. Assim, a amplitude não pode 
fornecer uma idéia precisa quanto à dispersão. 
 
 
1.5.2 Variância 
 
A variância (s2) de um conjunto de n valores x1, x2, ... , xn é a 
média aritmética dos quadrados dos desvios desses valores em relação à 
sua média aritmética, ou seja, 
 
n
n
1i
2
)x
i
x(
2
s



 (1.10) 
 
Se x1, x2, ... , xk ocorrem com as freqüências f1, f2, ... , fk, 
respectivamente, a variância será dada pela expressão (1.11). 
As expressões que foram apresentadas devem ser utilizadas 
para calcular a variância de uma população, pois, no caso de amostras, 
deve-se substituir, nessas expressões, o denominador n por n – 1. A 
justificativa para essa substituição será apresentada no capítulo 4. 
 
 
n
k
1i
2
)x
i
x(
i
f
k
1i i
f
k
1i
2
)x
i
x(
i
f
2
s









 (1.11) 
 
A variância para os dados da máquina B será dada por 
Estatística descritiva 
 
18 
 
0,1
15
2
)109(
2
)1011(
2
)109(
2
)1010(
2
)1011(2
B
s 



 
enquanto que para a máquina C será 
 
5,68
15
2
)1018(
2
)1020(
2
)105(
2
)104(
2
)103(2
C
s 



 
 
A expressão (1.11) pode ser utilizada para calcular a variância 
para os dados agrupados em intervalos de classe desde que xi represente 
o ponto médio de cada um desses intervalos. Como exemplo pode-se 
calcular a variância dos dados da Tabela 1.3. 
 
 
Tabela 1.8 - Cálculo da variância 
 
Classes f x 2)xx(f  
5º10’ |- 5º12’ 4 5º11’ 138,2976 
5º12’ |- 5º14’ 5 5º13’ 75,2720 
5º14’ |- 5º16’ 10 5º15’ 35,3440 
5º16’ |- 5º18’ 13 5º17’ 0,1872 
5º18’ |- 5º20’ 10 5º19’ 44,9440 
5º20’ |- 5º22’ 5 5º21’ 84,8720 
5º22’ |- 5º24’ 3 5º23’ 112,3632 
Total 50 - 491,2800 
 
 
Nesse exemplo, trabalhou-se com a média '88,165x  e 
considerando-se os dados como “amostra”, obtém-se 
 
 
2
'026,10
150
2800,4912
s 

 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 
 
19 
 
Notar que a unidade de variância é expressa pelo quadrado da 
unidade da variável em estudo. Em virtude do problema da unidade, é 
inconveniente o uso prático da variância. Para contornar o problema da 
unidade, define-se o desvio padrão. 
 
 
1.5.3 Desvio padrão 
 
O desvio padrão (s) é definido como a raiz quadrada positiva 
da variância. No caso do exemplo anterior, o desvio padrão será 
 
'17,3026,10s  
 
 
1.5.4 Coeficiente de variação 
 
O coeficiente de variação (cv) é uma medida adimensional de 
dispersão, sendo definida como o coeficiente entre o desvio padrão (s) e 
a média ( x ), ou seja, 
 
x
s
cv  (1.12) 
 
O coeficiente de variação pode ser expresso em percentagem,sendo uma medida relativa de dispersão em relação ao seu valor médio. 
Assim, quando se deseja comparar as dispersões de 2 conjuntos de 
dados com médias bem diferentes, deve-se utilizar o coeficiente de 
variação, pois, o mesmo, leva em consideração a ordem de grandeza dos 
mesmos. 
Supondo que um conjunto de dados tem média 30x1  cm e 
desvio padrão 3s1  cm, enquanto um outro conjunto tem média 
80x 2  cm e desvio padrão 4s2  cm. Nota-se que em termos 
absolutos, a dispersão do primeiro conjunto é menor que do segundo 
conjunto, pois, s1 < s2. Mas, em termos relativos, o primeiro conjunto 
possui coeficiente de variação 
Estatística descritiva 
 
20 
 
 
10,0
30
3
x
s
cv
1
1
1  ou 10%, 
 
enquanto que o segundo conjunto 
 
05,0
80
4
x
s
cv
2
2
2  ou 5%, 
 
portanto, cv1 > cv2, ou seja, a dispersão relativa do primeiro conjunto é 
maior do que do segundo conjunto. 
 
 
1.6 ASSIMETRIA 
 
 A assimetria é definida como o grau de desvio, ou 
afastamento de simetria, de uma distribuição. Quantitativamente, o grau 
de desvio ou afastamento pode ser determinado pelas medidas 
denominadas de coeficiente do momento de assimetria e coeficiente de 
assimetria de Pearson. 
O coeficiente do momento de assimetria (a3) é uma medida 
adimensional definida como o quociente entre o terceiro momento 
centrado na média (m3) e o cubo do desvio padrão, ou seja, 
 
3
3
3
s
m
a  (1.13) 
 
O momento de ordem r (mr) centrado na média, de um 
conjunto de n valores x1, x2, ... , xn é definido pela quantidade 
 
n
)xx(
m
n
1i
r
i
r



 (1.14) 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 
 
21 
 
que no caso de dados agrupados em classes de freqüências, a expressão 
(1.14) fica sendo 
n
)xx(f
f
)xx(f
m
k
1i
r
ii
k
1i
i
k
1i
r
ii
r









 (1.15) 
 
Para r = 1 (momento de primeira ordem) verifica-se que 
 
m1 = 0, (1.16) 
enquanto que, para r = 2, 
 
m2 = s2 (1.17) 
 
Para a3 = 0, tem-se uma distribuição simétrica, caso contrário, 
a distribuição é dita assimétrica. Quando a3 < 0, a distribuição é dita 
alongada à esquerda, sendo denominada de negativamente assimétrica, 
enquanto que, para a3 > 0, a distribuição é alongada à direita, sendo 
denominada de positivamente assimétrica. Na Figura 1.6 pode-se 
verificar os três casos. 
 
 
Figura 1.6 - Assimetria nula, negativa e positiva 
 a3 = 0 a3 < 0 a3 > 0 
 
Como exemplo, considere os dados da Tabela 1.3, onde o 
desvio padrão já calculado resultou em '17,3s  e o terceiro momento 
centrado da média (m3) será calculado a seguir. 
Estatística descritiva 
 
22 
 
 



 .781,0
50
05281,39
n
)xx(f
m
3)'(
3
ii
3 
 
Portanto, o coeficiente do momento de assimetria será 
 
.02,0
)17,3(
781,0
a
33


 
 
Tabela 1.9 - Cálculo do terceiro momento 
 
Classes f x 3)xx(f  
5º10’ |- 5º12’ 4 5º11’ -813,18989 
5º12’ |- 5º14’ 5 5º13’ -292,05536 
5º14’ |- 5º16’ 10 5º15’ -66,44672 
5º16’ |- 5º18’ 13 5º17’ 0,02246 
5º18’ |- 5º20’ 10 5º19’ 95,28128 
5º20’ |- 5º22’ 5 5º21’ 349,67264 
5º22’ |- 5º24’ 3 5º23’ 687,66278 
Total 50 - -39,05281 
 
 
O coeficiente de assimetria de Pearson (A), é outra medida 
adimensional de assimetria, sendo definida pela expressão 
 
s
Mox
A

 (1.18) 
 
No caso dos dados da Tabela 1.3, onde 
 
'88,165x  , '175Mo  e '17,3s  , 
 
resulta 04,0
'17,3
'175'88,165
A 

 . 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 
 
23 
 
Como os valores de a3 e A estão muito próximos de zero, a 
distribuição da Tabela 1.3 é praticamente simétrica. 
 
 
1.7 CURTOSE 
 
 
A curtose é definida como o grau de achatamento de uma 
distribuição, considerado usualmente em relação à distribuição normal 
(distribuição teórica que será objeto de estudo no capítulo 2). Com 
relação ao achatamento, a distribuição normal é dita mesocúrtica. As 
distribuições mais achatadas que a normal são ditas platicúrticas, 
enquanto que as menos achatadas que a normal são ditas leptocúrticas. 
A Figura 1.7 mostra os três casos de curtose, utilizando a 
representação através de curvas de freqüências (aproximação de uma 
curva ao histograma de freqüências). 
 
 
 
Figura 1.7 - Distribuições quanto à curtose 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A principal medida de curtose é proporcionada pelo 
 
 
 
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Mesocúrtica
Leptocúrtica
Platicúrtica
Estatística descritiva 
 
24 
 
O coeficiente do momento de curtose (a4) é definido pelo 
quociente entre o quarto momento centrado na média e o quadrado da 
variância, ou seja, 
 
4
4
22
4
4
s
m
)s(
m
a  (1.19) 
 
O coeficiente do momento de curtose é uma medida 
adimensional de curtose, sendo a4 = 3 para a distribuição normal, a4 < 3 
para as distribuições platicúrticas e a4 > 3 para as distribuições 
leptocúrticas. 
Na prática, só tem sentido calcular a curtose para as 
distribuições simétricas ou pelo menos aproximadamente simétricas. 
Como exemplo da determinação do coeficiente do momento 
de curtose, considere os dados da Tabela 1.3. 
 
Tabela 1.10 - Cálculo do quarto momento 
 
Classes F x 4)xx(f  
5º10’ |- 5º12’ 4 5º11’ 4781,557 
5º12’ |- 5º14’ 5 5º13’ 1133,175 
5º14’ |- 5º16’ 10 5º15’ 124,920 
5º16’ |- 5º18’ 13 5º17’ 0,003 
5º18’ |- 5º20’ 10 5º19’ 201,996 
5º20’ |- 5º22’ 5 5º21’ 1440,651 
5º22’ |- 5º24’ 3 5º23’ 4208,496 
Total 50 - 11890,798 
 
 
O quarto momento centrado na média será 
 
4)'(
4
ii
4 816,237
50
798,11890
n
)xx(f
m 



, 
 
proporcionando o coeficiente de curtose 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 
 
25 
 
37,2
)026,10(
816,237
a
24
 . 
 
Como a4 < 3, a distribuição dada pela Tabela 1.3 é do tipo 
platicúrtica. 
 
 
1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
 
01. Uma amostra de 7 corpos de prova de concreto forneceu as 
seguintes resistências à ruptura: 
 
340, 329, 337, 348, 351, 360 e 354 kg/cm2. 
 
Calcular a média, mediana, moda, variância, desvio padrão e coeficiente 
de variação. 
 
02. O tempo necessário para se realizar certa operação industrial foi 
cronometrado (em segundos), sendo feitas 40 determinações. 
 
 
45 37 39 48 51 40 53 49 
39 41 45 43 45 34 45 35 
41 57 38 46 46 58 57 36 
58 35 31 59 44 57 45 44 
38 43 33 56 47 48 44 49 
 
 
Construa a tabela de freqüências, o histograma de freqüências e o 
polígono de freqüências acumuladas. 
 
 
 
03. Foram realizadas 50 determinações do tempo de vida de certo 
componente eletrônico, obtendo-se a distribuição de freqüências: 
 
Estatística descritiva 
 
26 
 
Tempo (horas) Freqüências 
1200 |- 1300 1 
1300 |- 1400 3 
1400 |- 1500 11 
1500 |- 1600 20 
1600 |- 1700 10 
1700 |- 1800 3 
1800 |- 1900 2 
 
Calcular a média, a moda, a mediana, o desvio padrão, o coeficiente de 
momento de assimetria, o coeficiente de assimetria de Pearson e o 
coeficiente de momento de curtose, interpretando os resultados obtidos. 
 
04. Foram realizadas 30 determinações de densidade de certo metal, 
resultando a distribuição de freqüências. 
 
 
Densidade (g/cm3) Freqüências 
19,0 |- 19,1 4 
19,1 |- 19,2 5 
19,2 |- 19,3 8 
19,3 |- 19,4 7 
19,4 |- 19,5 3 
19,5 |- 19,6 3 
 
 
Qual a densidade média do metal? Quais os limites razoáveis para a 
determinação da densidade média? Com relação à curtose, como você 
considera essa distribuição? Essa distribuição tem assimetria negativa 
ou positiva? 
 
05. Uma amostra de metal, que se presume seja ouro, é examinada 
mediante 10 determinações da densidade, obtendo-se: 
EstatísticaBásica para os Cursos de Engenharia 
 
27 
 
 
19,0 19,4 19,2 18,9 19,5 19,1 19,0 18,8 18,9 19,4 g /cm3. 
 
Determinar a densidade média, a amplitude total, o desvio padrão e o 
coeficiente de variação. 
 
06. Classificar cada uma das seguintes variáveis (qualitativa, 
quantitativa discreta ou contínua): 
 
 
a) População: válvulas fabricadas por certa indústria; 
Variável: número de válvulas defeituosas em cada lote de 100 
válvulas. 
 
 
b) População: cabos fabricados por certa companhia; 
Variável: tensão de ruptura. 
 
 
c) População: funcionários de certa empresa; 
Variável: grau de estudo. 
 
 
d) População: televisão de certa marca; 
Variável: opinião dos compradores acerca da qualidade. 
 
 
e) População: lâmpadas elétricas fabricadas por certa indústria; 
Variável: tempo de vida. 
 
 
07. Para os dados da Tab. 1.1 (pág. 3), calcular: a média aritmética, a 
moda, a mediana, a amplitude, o desvio padrão, a variância, o 
coeficiente de variação, o terceiro e o quarto momentos centrados na 
média. 
 
Estatística descritiva 
 
28 
 
08. A tabela seguinte representa uma distribuição de freqüências dos 
diâmetros externos das tubulações fabricadas por certa companhia 
(amostra 200 tubos): 
 
Diâmetros externos (mm) Freqüências 
20,1 |- 20,2 10 
20,2 |- 20,3 25 
20,3 |- 20,4 30 
20,4 |- 20,5 35 
20,5 |- 20,6 45 
20,6 |- 20,7 25 
20,7 |- 20,8 15 
20,8 |- 20,9 10 
20,9 |- 21,0 5 
 
 
 
a) Construir o histograma de freqüências. 
b) Calcular a média e o desvio padrão desses diâmetros. 
c) Qual o valor do diâmetro externo, que ao menos teoricamente, deve 
ocorrer com mais freqüência? 
d) Qual a mediana dessa distribuição? Interpretar. 
e) Qual a % de tubos cujos diâmetros externos estão compreendidos 
entre sx  e sx  ? 
f) Calcular o coeficiente de assimetria de Pearson e interpretar o 
resultado.