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ANÁLISE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA III Aula 9: Transformação de Laplace Apresentação Nesta aula, apresentaremos a de�nição, a notação de transformada de Laplace. Em seguida, utilizaremos a teoria aprendida anteriormente nas disciplinas de cálculo para trabalhar com transformada de Laplace. Por �m, trabalharemos com as transformadas de Laplace para resolver problema de valor inicial. Objetivos De�nir a transformada de Laplace; Resolver problema de valor Inicial. Pierre-Simon Marquis de Laplace Pierre-Simon Marquis de Laplace (1749-1827) nasceu na França e era matemático, físico e astrônomo. Fonte: Wikipedia Pierre-Simon Marquis de Laplace formulou a equação de Laplace, a transformada de Laplace que recebeu seu nome, e que aparece em vários ramos da Física e da Matemática. A transformada de Laplace também pode ser utilizada na resolução de equações diferenciais, e é extensamente utilizada em Engenharia elétrica e Engenharia química. Ela vem como ferramenta para que obtenhamos a solução de uma equação diferencial ordinária (EDO) de coe�cientes constantes através da resolução de uma equação algébrica. Transformada de Laplace A transformada de Laplace de uma função f (t) de�nida para todo número real t ≥ 0 é a função F (s), é uma transformada integral. Isto é, ela é da forma: A transformada de Laplace F (s) existe tipicamente para todos os números reais s > a, onde a é uma constante que depende do comportamento de crescimento de f (t), o que veremos mais à frente detalhadamente. F(s) = ∫ β αk(s, t)f(t)dt. A função k(s,t) é chamada de núcleo da transformada. Atenção Para trabalharmos com a transformada de Laplace, necessitaremos do conhecimento de integral, principalmente de integral imprópria. Ambos os conhecimentos foram aprendidos nas disciplinas de cálculo. Começaremos, portanto, de�nindo as transformadas de Laplace. javascript:void(0); De�nição de transformada de Laplace Seja: f : [0, + ∞) → ℝ Quando a transformada de Laplace da função 𝑓(𝑡) é denotada e de�nida pela seguinte equação? F(s) = ∫0∞e − stf(t)dt Se a integral imprópria converge, pelo menos para algum valor de S. é o que de�nimos anteriormente como o núcleo da transformada de Laplace. Notação: Usaremos a seguinte notação para de�nir as Transformadas de Laplace: k(s, t) = e − st F(s) = L{f(t )} Processo da transformada de Laplace É importante saber que também é chamada transformada de Laplace unilateral de 𝑓(𝑡). A transformada existe se a integral imprópria converge para algum valor de S. A �gura a seguir, simboliza o processo da transformada de Laplace: L{f(t )} = F(s) = ∫ 0 ∞e − stf(t)dt ∫ 0 ∞e − stf(t)dt Teorema Se 𝛼 e 𝛽 são constantes, então para todo 𝑆 tal que as transformadas tanto de 𝑓 quanto de 𝑔 existam. L{ αf(t) + βg(t )} = αL{f(t )} + βL{g(t )} Observe que a transformada de Laplace é uma transformação linear. Isto é: L = [f + g] = L[f] + L[g] L[kf] = kL[f] Propriedades que já existiam no conteúdo estudado de Cálculo. Proposições Agora vamos lembrar outro conteúdo aprendido na disciplina de Cálculo que também se aplica às transformadas de Laplace. De�nição Uma função 𝑓 é contínua por partes em um intervalo [𝛼,𝛽] se o intervalo puder ser particionado em um número �nito de subintervalos: Tais que (ti, ti+ 1), α = t0 < t1 < . . . < tn = β 1 𝑓 é contínua em cada subintervalo aberto: (ti, ti+ 1) 2 São �nitos os limites laterais, pois existem: lim t→ t +i f(t) e lim t→ t −i f(t), 0 ≤ i ≤ n − 1 Uma função é de ordem exponencial [0,∞) em se existem constantes 𝑐 > 0 e 𝑘 tais que |f(t)| ≤ c e , para todo t ϵ (0,∞)⌢Dom .kt f Exemplo Veri�que se a função f(t) = cost é de ordem exponencial em [0,∞). A função f(t) = cost é de ordem exponencial em [0,∞) pois para 𝑐=1 e 𝑘=0 , temos: | f(t) | = | cost | ≤ c ekt = 1, ∀t > 0. Podemos a�rmar que, se a função for contínua por partes e de ordem exponencial, então a transformada de Laplace estábem de�nida para todos os valores de 𝒔 maiores do que uma certa constante 𝒌. O teorema que veremos a seguir formaliza esta ideia. Teorema (*) Suponha que: 𝑓 seja contínua por partes no intervalo [0,𝑥] para qualquer 𝑥 > 0; Existam c,k,m ϵ ℝ com c > 0, m ≥ 0 tais que |f(t)| ≤ c e quando t ≥ m. Então, a transformada de Laplace existe para 𝑠 > 𝑘. kt L{f(t )} = F(s) = ∫ 0 ∞e − stf(t)dt Corolário: Se 𝒇(𝒕) satisfaz as hipótese do teorema anterior, então podemos concluir que lim s→ ∞F(s) = 0 Teorema: Se 𝑓 (𝑡) e 𝑔 (𝑡) satisfazem as hipóteses do teorema (∗) 𝑒 𝐹 (𝑠) = 𝐿 { 𝑓 } = 𝐿 {𝑔} = 𝐺 (𝑠) para todo 𝑠 > 𝑎 (para algum a), então, 𝑓 (𝑡) = 𝑔 (𝑡) exceto nos pontos de descontinuidade. Atenção Existem funções que não satisfazem o teorema (*) e ainda assim possuem transformadas de Laplace. Veremos mais adiantes esses casos. Transformada inversa de Laplace Sabemos que, quando a equação L{y}=ϕ(s) puder ser resolvida para 𝑦 (𝑡), a solução é essencialmente única. Esta solução se chama transformada inversa de Laplace da função ϕ(s). Notação: L {ϕ(s)} A transformada inversa pode ser vista como um operador linear. Seja: Vimos que para , certo? Podemos, então, escrever: De forma mais simples, podemos escrever: −1 ϕ(s) = F1(s) + F2(s) L{f1(t) = F1(s )} L{f2(t )} = F2(s) s > s0, L{f1(t) + f2(t )} = L{f1(t )} + L{f2(t )} = ϕ L − 1{F1(s) + F2(s )} = L − 1{ ϕ(s )} = f1(t) + f2(t) = L{ − 1F1(s )} + L{ − 1F2(s )} L − 1 [ F + G ] = L − 1 [ F ] + L − 1 [ G ] e L − 1 [ k F ] = k L − 1 [ F ] Representação grá�ca da transformada inversa Podemos simbolizar a transformada inversa pela �gura: Saiba mais Para �xar os conteúdos tratados, clique aqui para acessar alguns exercícios. Teorema do deslocamento Se L{f(t)}=F(s) existe para s > a e se c ϵ ℝ, então: A transformada de Laplace da função e f(t) para 𝑠 > 𝑎 + 𝑐 e é dada por L {e f(t)}=F(s-c). Reciprocamente, se f(t)=L , então: e f(t)=L {F(s-c)}. Para 𝑠 — 𝑐 > 𝑎, temos: ct ct -1 ct -1 F(s − c) = ∫ 0 ∞e − ( s− c ) tf(t)dt = ∫ 0 ∞e − st[e − ctf(t)]dt = L{e − ctf(t )} O teorema nos diz que uma translação no eixo 𝒔 corresponde a uma multiplicação da função em 𝒕 por uma exponencial. javascript:void(0); Mudança de escala Se L{f(t)}=F(s) existe para 𝑠 > 𝑎 ≥ 0 e se 𝑐 > 0, então: A transformada de Laplace da função 𝑓(𝑐𝑡) existe para 𝑠 > 𝑎𝑐 e é dada por Exemplo Calcule L{f(t)}, com f(t) = sen 2t. Como portanto: L{f(ct )} = 1 c F( s c ) F(s) = L{sen t} = 1 s2 + 1 , s > 0; L{sen 2t} = 1 2 F s 2 = 1 2 1 s 2 2 + 1 = 1 2 4 s2 + 4 = 2 s2 + 4 , s > 0( ) ( ) Exemplo Determine L {G}(s)}, onde Reescreveremos a função G(s). Como Então podemos escrever: -1 G(s) = 1 s2 − 4s + 5 G(s) = 1 s2 − 4s + 5 = 1 s2 − 4s + 4 + 1 = 1 (s − 2)2 + 1 . F(s) = L{sen t} = 1 s2 + 1 , s > 1 (Esta transformação é idêntica a 𝐿{𝑠𝑒𝑛 2𝑡} feita anteriormente, portanto o aluno deverá fazer como exercido). L − 1{G(s)} = L − 1{F(s − 2)} = e2tsent. Teorema Caso 1: Suponha que: 1 𝑓 seja contínua por partes no intervalo [0, 𝑥] para qualquer 𝑥> 0; 2 Existem 𝑐, 𝑘, 𝑚 € 𝑅 com 𝑐 > 0, 𝑚≥0 , tais que |𝑓(t)| ≤ 𝑐 e quando k≤ m. kt Então, a transformada de Laplace da função -t𝑓(t) existe para 𝑠 > 𝑘 e é dada por: De forma geral, temos: L{ − tf(t)} = d ds L{f(t)} = d ds F(s) L ( − t)nf(t) = dn dsn L{f(t)} = dn dsn F(s){ } Essa propriedade é útil para se encontrar uma transformada inversa quando é mais fácil trabalhar com a derivada da transformada do que com a própria transformada. Exemplo Determine Observe Portanto, Transformação inversa: Portanto, L − 1{arctg(1 /s)} G(s) + arctg(1 /s) e g(s) = L − 1{G(s) }. L{ − tg(t)} = d ds G(s) = − 1 s2 1 + 1 s2 = − 1 s2 + 1 . − tg(t) = L − 1 − 1 s2 + 1 = − sen t.{ } g(t) = L − 1{arctg(1 /s)} = (sen t) / t. Teorema Caso 2: Suponha que: 1 𝑓 seja contínua em [0, 𝑥] e que 𝑓’ seja contínua por partes no intervalo [0, 𝑥] para qualquer 𝑥> 0; 2 Existem 𝑐, 𝑘, 𝑚 € 𝑅 com 𝑐 > 0, 𝑚≥0 , tais que |𝑓(t)| ≤ 𝑐e quando t ≤ m. kt Então, a transformada de Laplace da função 𝑓'(t) existe para 𝑠 > 𝑘 e é dada por: Podemos escrever: L f ′ (t) = sL{f(t)} − f(0) = sF − f(0){ } L f ″ (t) = sL f ′ (t) − f ′ (0) = s2L{f(t)} − sf(0) − f ′ (0){ } { } Este resultado pode ser generalizado para derivadas de ordem superior. Sua demonstração pode ser encontrada na bibliogra�a. Teorema Caso 3: Suponha que: 1 𝑓, 𝑓', ..., f sejam contínuas em [0, 𝑥] e que f seja contínua por partes no intervalo [0, 𝑥] para qualquer 𝑥> 0; (n-1) (n) 2 Existem 𝑐, 𝑘, 𝑚 € 𝑅 com 𝑐 > 0, 𝑚≥0, tais que | f(t) ≤ c ekt, . . . , | f ′ (t) | ≤ c ekt, . . . , | f (n− 1 ) (t) | ≤ c ekt quando t ≤ m. Então, a transformada de Laplace da função 𝑓 (t) existe para 𝑠 > 𝑘 e é dada por:(n) L f (n ) (t) = snL{f(t)} − sn− 1f(0) − sn− 2f ′ (0) − . . . − sf (n− 2 ) (0) − f (n− 1 ) (0){ } Exemplo Determine L{t } Do teorema, temos: Portanto, n L dn dtn f(t) = L{n !} = n !L{1} = n ! s , s > 0{ } L dn dtn f(t) = snL{f(t)} − sn− 1f(0) − sn− 2f ′ (0) − ⋅ ⋅ ⋅ − sf (n− 2 ) (0) − f (n− 1 ) (0) L tn = L dn dtn f(t) sn = n ! s sn = n ! sn+ 1 , s > 0 { } { } { } Teorema Seja: Então: Lembre-se: Portanto: F(s) = L(f(t)) L ∫ t 0f(x)dx = F(s) s , se s > 0.( ) Se g(t) = ∫ 0 t f(x)dx, então g ′ (t) = f(t) (propriedade de integral) F(s) = L(g ′ (t)) = sL(t)) Saiba mais Existem na literatura várias tabelas de transformadas de Laplace. Pesquise, procure conhecê-las para facilitar na resolução de exercícios desse tema. Problema de valor inicial O objetivo agora é aplicar a teoria de transformação de Laplace para resolução de problemas de valor inicial. Exemplo: Seja o problema de valor inicial (PVI) dado por: Temos do teorema estudado que: Portanto, podemos escrever: y ″ − y ′ − 6y = 0 y(0) = 2 y ′ (0) = − 1{ L y ′ (t) = s L{y(t)} − y(0)L y ′ (t) = s2 L{y(t)} − sy(0) − y ′ (0){ } { } L y ″ − y ′ − 6y = L y ″ (t) − L y ′ (t) − 6L{y(t)} = L{0} = 0L y ″ − y ′ − 6y = (s2 − s − 6)L{y(t)} − 2s + 1 + 2 = 0 Y(s) = L{y(t)} = 2s − 3 s2 − s − 6 { } { } { } { } Atividade Antes de encerrar nossos estudos, vamos fazer uma atividade de reforço. Determine a série de Fourier da função: f(x) + x π , se 0 < x < π 2 − x π , se π < x < 2π{ Notas Referências BOYCE, William E.; BRENNAN, James R. Equações diferenciais: uma introdução a métodos modernos e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2008. DIACU, Florin. Introdução a equações diferenciais: teoria e aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2004. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. MUNEM, Mustafa A; FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1978. THOMAS, George B. Cálculo – volume 2. Pearson, 2003. ZILL, Dennis G. Equações diferenciais. Vol. 1. São Paulo: Pearson, 2008. Próximos passos Transformada de Laplace. Explore mais Pesquise na internet, sites, vídeos e artigos relacionados ao conteúdo visto. Em caso de dúvidas, converse com seu professor online por meio dos recursos disponíveis no ambiente de aprendizagem.
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