Cálculo Diferencial e Integral III Transformada de Laplace

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AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
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ATIVIDADE 
TUTOR 
 
 
 
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III 
Teleaula: 04 
 
Título: Transformada de Laplace 
 
Prezado(a) tutor(a), 
 
A aula atividade tem a finalidade de promover o autoestudo das competências e 
conteúdos relacionados à Unidade de Ensino: Transformada de Laplace. Oriente os 
alunos seguindo todas as orientações indicadas e estimule-os a tirar as dúvidas que 
surgirem. 
 
Bom trabalho! 
 
 
 
Resolução de exercícios 
 
Questão 1 
Por meio da avaliação de integrais impróprias é possível identificar a transformada de 
Laplace de diversas funções, desde que as integrais sejam convergentes. 
Considere a função de uma variável real definida por 
𝑓(𝑡) = 𝑡𝑒−2𝑡 
Determine a transformada de Laplace para a função 𝑓 empregando a definição de 
transformada, por meio do cálculo da integral imprópria correspondente. 
Gabarito: 
Sabemos que ℒ{𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)
∞
0
𝑑𝑡, sendo assim, 
ℒ{𝑡𝑒−2𝑡} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑡𝑒−2𝑡
∞
0
𝑑𝑡 = ∫ 𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑒−2𝑡
∞
0
𝑑𝑡 = lim
𝐴→∞
∫ 𝑡𝑒−2𝑡𝑒−𝑠𝑡
𝐴
0
𝑑𝑡
= lim
𝐴→∞
∫ 𝑡𝑒−(2+𝑠)𝑡
𝐴
0
𝑑𝑡 (I) 
 
 
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No cálculo da integral: 
∫ 𝑡𝑒−(2+𝑠)𝑡 𝑑𝑡 
devemos aplicar a técnica de integração por partes. Considerando: 
𝑢 = 𝑡 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 
𝑑𝑣 = 𝑒−(2+𝑠)𝑡𝑑𝑡 → 𝑣 = −
1
2 + 𝑠
𝑒−(2+𝑠)𝑡 
segue que: 
∫ 𝑡𝑒−(2+𝑠)𝑡 𝑑𝑡 = −
𝑡
2 + 𝑠
𝑒−(2+𝑠)𝑡 +
1
2 + 𝑠
∫ 𝑒−(2+𝑠)𝑡 𝑑𝑡
= −
𝑡
2 + 𝑠
𝑒−(2+𝑠)𝑡 − (
1
2 + 𝑠
)
2
𝑒−(2+𝑠)𝑡 + 𝐶 
Assim, 
∫ 𝑡𝑒−(2+𝑠)𝑡
𝐴
0
𝑑𝑡 = −
𝐴
2 + 𝑠
𝑒−(2+𝑠)𝐴 − (
1
2 + 𝑠
)
2
𝑒−(2+𝑠)𝐴 + (
1
2 + 𝑠
)
2
 
Portanto, de (𝐼), temos que: 
ℒ{𝑡𝑒−2𝑡} = lim
𝐴→∞
[−
𝐴
2 + 𝑠
𝑒−(2+𝑠)𝐴 − (
1
2 + 𝑠
)
2
𝑒−(2+𝑠)𝐴 + (
1
2 + 𝑠
)
2
] = (
1
2 + 𝑠
)
2
 
ou seja, 
ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) = (
1
2 + 𝑠
)
2
 
 
Questão 2 
As propriedades das Transformadas de Laplace permitem a comparação entre 
diferentes funções, auxiliando, inclusive, na resolução de problemas de valor inicial 
envolvendo equações diferenciais ordinárias. 
Considere a função de uma variável real dada por 
𝑓(𝑡) = 2𝑒−5𝑡senh(3𝑡) − 𝑒2𝑡 cos(2𝑡) + 𝑒−𝑡 
Determine a transformada de Laplace associada à função 𝑓(𝑡). 
Observação: A função senh(𝑥) corresponde à função seno hiperbólico, a qual pode ser 
associada à função exponencial da seguinte forma: senh(𝑥) =
𝑒𝑥−𝑒−𝑥 
2
. 
Gabarito: 
Sabemos que: 
 
 
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ℒ{𝑒−𝑡} =
1
𝑠 + 1
; ℒ{cos(2𝑡)} =
𝑠
𝑠2 + 4
; ℒ{senh(3𝑡)} =
3
𝑠2 − 9
 
Além disso, pelo primeiro teorema da translação segue que 
ℒ{𝑒𝑘𝑡𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠 − 𝑘) 
se ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠). Considerando essas informações e a linearidade da Transformada 
de Laplace segue que: 
ℒ{𝑓(𝑡)} = 2ℒ{𝑒−5𝑡senh(3𝑡)} − ℒ{𝑒2𝑡 cos(2𝑡)} + ℒ{𝑒−𝑡}
= 2 (
3
(𝑠 + 5)2 − 9
) − (
𝑠
(𝑠 − 2)2 + 4
) + (
1
𝑠 + 1
)
=
6
𝑠2 + 10𝑠 + 16
−
𝑠
𝑠2 − 4𝑠 + 8
+
1
𝑠 + 1
 
Portanto, a Transformada de Laplace da função 𝑓(𝑡) é dada por 
ℒ{𝑓(𝑡)} =
6
𝑠2 + 10𝑠 + 16
−
𝑠
𝑠2 − 4𝑠 + 8
+
1
𝑠 + 1
 
 
Questão 3 
Para o estudo das transformadas inversas de Laplace, um dos conceitos muito utilizado 
é a expansão em frações parciais, o que permite a decomposição de uma razão de 
polinômios em uma soma de frações envolvendo polinômios com menores graus, 
permitindo a utilizando das informações sobre as principais transformadas de Laplace. 
Em relação a esse tema, determine a expansão em frações parciais do seguinte termo: 
3𝑥 − 1
𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
 
Gabarito: 
Devemos determinar 𝐴, 𝐵 e 𝐶 tais que: 
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥 − 3
+
𝐶
𝑥 + 1
=
3𝑥 − 1
𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
 
Assim, note que: 
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥 − 3
+
𝐶
𝑥 + 1
=
𝐴(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) + 𝐵𝑥(𝑥 + 1) + 𝐶𝑥(𝑥 − 3)
𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
 
=
𝐴(𝑥2 − 2𝑥 − 3) + 𝐵(𝑥2 + 𝑥) + 𝐶(𝑥2 − 3𝑥)
𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
=
(𝐴 + 𝐵 + 𝐶)𝑥2 + (−2𝐴 + 𝐵 − 3𝐶)𝑥 + (−3𝐴)
𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
 
 
 
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E assim, 
3𝑥 − 1
𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
=
(𝐴 + 𝐵 + 𝐶)𝑥2 + (−2𝐴 + 𝐵 − 3𝐶)𝑥 + (−3𝐴)
𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
 
Comparando os termos obtemos: 
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 0 
−2𝐴 + 𝐵 − 3𝐶 = 3 
−3𝐴 = −1 
Resolvendo o sistema linear podemos obter: 
𝐴 =
1
3
 𝐵 =
2
3
 𝐶 = −1 
Portanto, 
3𝑥 − 1
𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
=
1
3
⋅
1
𝑥
+
2
3
⋅
1
𝑥 − 3
−
1
𝑥 + 1
=
1
3𝑥
+
2
3(𝑥 − 3)
−
1
𝑥 + 1
 
 
Questão 4 
Na resolução de um problema de valor inicial por meio de Transformadas de Laplace, 
um pesquisador obteve a seguinte função 
𝐹(𝑠) =
𝑠2 − 𝑠 + 10
(𝑠 − 1)(𝑠2 + 4)
 
que corresponde à Transformada de Laplace de uma função 𝑓(𝑡). 
Com base nas propriedades da transformada e transformada inversa de Laplace, 
determine a transformada inversa de Laplace da função 𝐹(𝑠). 
Gabarito: 
Empregando a expansão em frações parciais obtemos: 
𝐹(𝑠) =
𝑠2 − 𝑠 + 10
(𝑠 − 1)(𝑠2 + 4)
=
𝐴
𝑠 − 1
+
𝐵𝑠 + 𝐶
𝑠2 + 4
 
de onde obtemos o sistema de equações lineares: 
{
𝐴 + 𝐵 = 1
𝐶 − 𝐵 = −1
4𝐴 − 𝐶 = 10
 
com solução 𝐴 = 2, 𝐵 = −1 e 𝐶 = −2. 
Logo, 
𝐹(𝑠) =
2
𝑠 − 1
+
−𝑠 − 2
𝑠2 + 4
=
2
𝑠 − 1
−
𝑠
𝑠2 + 4
−
2
𝑠2 + 4
 
 
 
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Sendo assim, pela linearidade da Transformada Inversa de Laplace obtemos: 
ℒ−1{𝐹(𝑠)} = 2ℒ−1 {
1
𝑠 − 1
} − ℒ−1 {
𝑠
𝑠2 + 4
} − ℒ−1 {
2
𝑠2 + 4
} 
Portanto, 
𝑓(𝑡) = ℒ−1{𝐹(𝑠)} = 2𝑒𝑡 − cos(2𝑡) − sen(2𝑡) 
 
Questão 5 
As transformadas de Laplace podem ser aplicadas na resolução de um problema de valor 
inicial, permitindo a conversão da equação diferencial em uma equação algébrica. 
Sabendo que as transformadas de Laplace são operadores lineares e que 
ℒ{𝑦′} = 𝑠ℒ{𝑦} − 𝑦(0) 
resolva o seguinte problema de valor inicial empregando as transformadas de Laplace: 
{
𝑦′ − 3𝑦 = 𝑒2𝑡
𝑦(0) = 1
 
Gabarito: 
A transformada de Laplace é um operador linear. Assim, aplicando-a na resolução da 
EDO teremos 
ℒ{𝑦′ − 3𝑦} = ℒ{𝑒2𝑡} 
Sabemos que ℒ{𝑒2𝑡} =
1
𝑠−2
. Então, 
ℒ{𝑦′ − 3𝑦} =
1
𝑠 − 2
 
ℒ{𝑦′} − 3ℒ{𝑦} =
1
𝑠 − 2
 
𝑠ℒ{𝑦} − 𝑦(0) − 3ℒ{𝑦} =
1
𝑠 − 2
 
(𝑠 − 3)ℒ{𝑦} − 1 =
1
𝑠 − 2
 
(𝑠 − 3)ℒ{𝑦} =
1
𝑠 − 2
+ 1 =
1
𝑠 − 2
+
𝑠 − 2
𝑠 − 2
=
𝑠 − 1
𝑠 − 2
 
ℒ{𝑦} =
𝑠 − 1
𝑠 − 2
⋅
1
𝑠 − 3
=
𝑠 − 1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
 
Podemos aplicar frações parciais na fatoração da última expressão obtida da seguinte 
forma: 
𝑠 − 1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
=
𝐴
𝑠 − 2
+
𝐵
𝑠 − 3
=
(𝐴 + 𝐵)𝑠 + (−3𝐴 − 2𝐵)
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
 
 
 
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de onde segue que 𝐴 = −1, 𝐵 = 2 e, portanto, 
𝑠 − 1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
= −
1
𝑠 − 2
+
2
𝑠 − 3
 
Logo, 
ℒ{𝑦} = −
1
𝑠 − 2
+
2
𝑠 − 3
= −
1
𝑠 − 2
+ 2 ⋅
1
𝑠 − 3
 
Como ℒ{𝑒2𝑡} =
1
𝑠−2
 e ℒ{𝑒3𝑡} =
1
𝑠−3
 obtemos 
ℒ{𝑦} = −ℒ{𝑒2𝑡} + 2ℒ{𝑒3𝑡} = ℒ{−𝑒2𝑡 + 2𝑒3𝑡} 
Portanto, a solução do PVI será dada por 
𝑦(𝑡) = −𝑒2𝑡 + 2𝑒3𝑡 
 
Questão 6 
As transformadas de Laplace podem ser empregadas também na resolução de 
problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais ordinárias de 2ª ordem, 
associadas a condições iniciais para a função em estudo e sua derivada de 1ª ordem. 
Com base nesse tema, determine a solução para o seguinte problema de valor inicial 
empregando transformadas de Laplace: 
{
𝑦′′ + 16𝑦 = 𝑓(𝑡)
𝑦(0) = 0
𝑦′(0) = 1
 
onde 
𝑓(𝑡) = {
𝑐𝑜𝑠(4𝑡) , 0 ≤ 𝑡 < 𝜋
0, 𝑡 ≥ 𝜋
 
Observação: para a resolução desse problema é necessário considerar as propriedades 
envolvendo transformadas de Laplace e funções descontínuas. Além disso, sabendo que 
a função degrau unitário seja definida por 
𝑢(𝑡 − 𝑐) = {
0, 0 ≤ 𝑡 < 𝑐
1, 𝑡 ≥ 𝑐
 , 𝑐 ≥ 0 
então podemos representar 𝑓(𝑡) em função da função degrau unitário por 
𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(4𝑡) − 𝑐𝑜𝑠(𝑡 − 𝜋)𝑢(𝑡 − 𝜋) 
Gabarito: 
Pelo segundo teorema da translação, associado às Transformadas de Laplace, sabemos 
que: 
 
 
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ℒ{𝑦′′} + 16ℒ{𝑦}= ℒ{𝑓(𝑡)} 
𝑠2ℒ{𝑦} − 𝑠𝑦(0) − 𝑦′(0) + 16ℒ{𝑦} = 1 +
𝑠
𝑠2 + 16
−
𝑠
𝑠2 + 16
𝑒−𝜋𝑠 
(𝑠2 + 16)ℒ{𝑦} = 1 +
𝑠
𝑠2 + 16
−
𝑠
𝑠2 + 16
𝑒−𝜋𝑠 
ℒ{𝑦} =
1
𝑠2 + 16
+
𝑠
(𝑠2 + 16)2
−
𝑠
(𝑠2 + 16)2
𝑒−𝜋𝑠 
Consequentemente, 
𝑦 = ℒ−1 {
1
𝑠2 + 16
} + ℒ−1 {
𝑠
(𝑠2 + 16)2
} − ℒ−1 {
𝑠
(𝑠2 + 16)2
𝑒−𝜋𝑠} 
𝑦 =
1
4
ℒ−1 {
4
𝑠2 + 16
} +
1
8
ℒ−1 {
8𝑠
(𝑠2 + 16)2
} −
1
8
ℒ−1 {
8𝑠
(𝑠2 + 16)2
𝑒−𝜋𝑠} 
𝑦 =
1
4
𝑠𝑒𝑛(4𝑡) +
1
8
𝑡 𝑠𝑒𝑛(4𝑡) −
1
8
(𝑡 − 𝜋) 𝑠𝑒𝑛(𝑡 − 𝜋) 𝑢(𝑡 − 𝜋) 
Portanto, a solução para o PVI apresentado é dada por 
𝑦(𝑡) = {
1
4
sen(4𝑡) +
1
8
𝑡 sen(4𝑡), 0 ≤ 𝑡 < 𝜋
2 + 𝜋
8
sen(4𝑡), 𝑡 ≥ 𝜋
 
 
 
 
Elaborando uma apresentação 
 
Após o estudo das equações diferenciais ordinárias e das transformadas de Laplace, para 
sintetizar o conteúdo que foi estudado, elabore uma apresentação de slides envolvendo 
os principais tópicos estudados nas unidades 3 e 4 do material. 
Para isso, você pode utilizar os modelos disponíveis no Canva, cujo endereço de acesso 
é www.canva.com (acesso em 21 jun. 2022), os quais são gratuitos e podem ser 
utilizados facilmente a partir de um cadastro rápido, ou outro aplicativo ou software já 
conhecido. 
Indique, nessa apresentação, os principais conceitos e exemplos que possam favorecer 
a compreensão dos assuntos estudados. Se necessário, consulte outros materiais, como 
livros de Equações Diferenciais disponíveis na Biblioteca Digital. 
Compartilhe a sua produção com seu tutor e colegas! 
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Oriente os alunos a destacarem, nessa apresentação, conceitos relativos à definição de 
equação diferencial ordinária, classificações, exemplos, estratégias de resolução, bem 
como os principais conceitos associados às transformadas de Laplace. 
Estimule os alunos a explorarem outros recursos na elaboração de materiais, como o 
Canva, ou o Google Apresentações, por exemplo, bem como pesquisar outros recursos 
que possam ser utilizados na construção do material indicado, instigando também o 
compartilhamento desses materiais.