fudamentos elementares da matematica - prova

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Curso: Fundamentos Elementares de Matemática (2020.1)
Professor: Filipe Dantas
Prova 3 (Fundamentos de Matemática)
1. Considere a família de conjuntos (An)n∈N onde, para cada n ∈N, An = {−n,n}. Assinale a alternativa correta:
a)
∞⋃
n=1
An =Z e
∞⋂
n=1
An = {0};
b)
∞⋃
n=1
An =Z\{0} (isto é, o conjunto dos números inteiros não-nulos) e
∞⋂
n=1
An =;;
c)
∞⋃
n=1
An =Z e
∞⋂
n=1
An =;;
d)
∞⋃
n=1
An =Z\{0} (isto é, o conjunto dos números inteiros não-nulos) e
∞⋂
n=1
An = {0};
e) Todas as alternativas acima estão incorretas.
2. Considere a função f :R→R, dada por f (x) = 2x3 −3. Mostre que f é invertível e calcule f −1 :R→R.
3. Sejam f : [0,+∞) → R e g : Z×Z→ Z dadas por f (x) = x2 +1 e g (n,m) = n2 +m. Então, assinale a alternativa
correta com respeito à injetividade, sobrejetividade e bijetividade:
a) f e g são apenas injetivas;
b) f não é nem injetiva e nem sobrejetiva e g é apenas sobrejetiva;
c) f e g são apenas sobrejetivas;
d) f é apenas injetiva e g é apenas sobrejetiva;
e) f é apenas sobrejetiva e g é apenas injetiva;
f) f e g são bijetivas;
g) f e g não são nem injetivas e nem sobrejetivas;
h) Todas as alternativas acima estão incorretas.
4. Seja A o conjunto de todas as funções f : Z→ Z. Considere a relação R em A dada da seguinte forma: f R g
quando existir um número C ∈ R tal que f (x)− g (x) = C , para todo x ∈ Z. Mostre que R é uma relação de
equivalência.
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5. Considere a relação R no conjunto R dada por: x R y quando x y = 1. Determine se R é reflexiva, simétrica e/ou
transitiva.
“A matemática, vista corretamente, possui não apenas verdade, mas também suprema beleza - uma beleza fria e
austera, como a da escultura.”
(Bertrand Russel)
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