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Vetores
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
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Vetores
Representação
de um vetor
Direção
Módulo 
Comprimento total do vetor
, || || ou (dependendo do contexto)
Representação
Direção
O vetor está na direção da linha tracejada
Sentido
O sentido é dado pela seta
Sentido
Origem
extremidade
Conceito de vetores
Vetores paralelos ()
São vetores que possuem a mesma direção!
Vetores Ortogonais ( 
Vetores ortogonais ou perpendiculares são vetores 
que formam um ângulo de 90 graus entre si
Vetor Oposto
Dois vetores são opostos se eles possuem o mesmo módulo e direção, 
mas apontam para sentidos contrários
 e são opostos
Oposto de 1 é -1
Analogia com número opostos
Oposto de e - 
Colocamos o sinal de menos
na frente do vetor para obtermos
o seu vetor oposto 
- 
(lemos o sinal de menos
como “oposto de”)
- 
(lemos “oposto do vetor ”)
Então
Dois vetores opostos se anulam!
A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Decidir se é
verdadeira ou falsa cada opção
 ( )
 ( )
 ( )
 ( )
 ( )
| ( )
| ( )
Vetor soma ou vetor resultante
Mesma direção e sentido
Exemplo: sejam os vetores mostrados abaixo. Trace o vetor soma e calcule o seu módulo
Regra da soma de vetores com a mesma direção e sentido: juntamos os vetores, posicionando a origem de um vetor
com a extremidade de outro vetor. O vetor soma ou vetor resultante começa na origem do primeiro vetor da soma e 
termina na extremidade do último vetor.
Vetor soma ou vetor resultante
Mesma direção e sentido opostos
Exemplo: sejam os vetores mostrados abaixo. Trace o vetor soma e calcule o seu módulo
ou
Juntamos os vetores colocando a origem de um vetor com a extremidade do outro vetor. O vetor soma ou
resultante começa na origem do primeiro vetor da soma e termina na extremidade do último vetor.
O módulo do vetor resultante é igual
ao módulo do vetor de maior 
comprimento
menos o módulo do vetor de menor
comprimento para o resultado final
ser positivo
Vetor soma ou vetor resultante
Vetores em direções diferentes 
Regra da soma poligonal
Juntamos os vetores colocando a origem de um vetor com a extremidade de outro vetor. O vetor soma ou
resultante começa na origem do primeiro vetor da soma e termina na extremidade do último vetor.
Exemplo:
Trace o vetor soma, ou seja 
Início
Fim
Soma Poligonal  - Dois ou mais vetores
Exemplo: três forças atuam num corpo aplicadas nas direções A, B e C conforme indicam os vetores na figura. Use a regra da soma poligonal para indicar o vetor resultante das três forças.
Determinar o vetor nas figuras 
a) ∴ 𝑥 
Vetor soma ou vetor resultante
Vetores ortogonais
Regra do paralelogramo
Sejam dois vetores não paralelos
Vamos aplicar a regra da soma poligonal,
ligando os vetores, posicionando-os em sequência
 (extremidade de um vetor na origem do outro
Vetor)
 
Obtendo o vetor soma ou resultante
Traçamos o vetor soma partindo da origem do
 primeiro vetor e terminando na extremidade do 
Segundo vetor
 
Regra do soma poligonal
Primeiro juntamos
as origens dos dois vetores
Projetamos os vetores
para desenhamos um 
paralelogramo
Traçamos o vetor soma 
começando na origem do 
Vetores e terminando na outra
 extremidade)
Vetor soma ou vetor resultante
Vetores ortogonais
Módulo do vetor resultante
Aplicando o teorema de Pitágoras ao 
Triângulo retângulo
Hipotenusa
cateto
cateto
Módulo do vetor resultante
A direção e sentido do vetor resultante é dado
pelo 
hipotenusa
Sully, o Herói do Rio Hudson
https://www.youtube.com/watch?v=9n6hcBc4bgE
https://www.youtube.com/watch?v=pp_tpmwAU_A
Exercício
Um avião decola do aeroporto de New Jersey e percorre 10 km para o norte e depois 5 km para o leste até fazer um pouso de emergência no rio Hudson. Um helicóptero de resgate partindo do mesmo aeroporto deve ser enviado ao local do acidente pelo caminho mais rápido.
Trace o vetor deslocamento do avião para o norte e para o leste. 
b) Trace o vetor deslocamento do avião de resgate (use a regra da soma poligonal e do paralelogramo para traçar o vetor deslocamento resultante). Calcule a distância percorrida pelo avião de resgate? Em qual direção (ângulo com relação ao norte) está indo o avião de resgate ?
Vetor Resultante – Dois vetores ortogonais
Módulo do vetor resultante
Pitágoras
Qual a distância percorrida pelo avião?
10 km, N
5 km, L
10 km
5 km
R
10 km
5 km
R
 20 km
Qual a distância percorrida pelo avião de resgate?
R
ou
Soma poligonal
Regra 
 do paralelogramo
15
Vetor Resultante – Dois vetores ortogonais
Em qual direção se dirigiu o avião de resgate?
10 km
5 km
R
Cateto Oposto 
Cateto Adjacente
Hipotenusa
H
 
Qual é o ângulo cuja tangente é igual a 0,5?
 
16
Resultante de vetores (vetores paralelos ou ortogonais) 
Legenda
O avião A, B ou C chegará primeiro?
Vento de cauda
Vento contrário
Vento lateral (transverso)
A
B
C
Soma vetorial - O vetor velocidade Resultante descreve a trajetória do avião
Vetor soma ou vetor resultante
Vetores em direções diferentes 
Regra do paralelogramo (caso geral)
Sejam dois vetores não paralelos
Primeiro juntamos as origens dos vetores no 
mesmo ponto 
Obtendo o vetor soma ou resultante
2) Vamos completar o paralelogramo na figura, 
projetando os respectivos vetores nos lados que estão
 faltando para fechar o paralelogramo
Qualquer quadrilátero: retângulo, quadrado e o paralelogramo clássico
Paralelogramo
3) Traçamos o vetor soma começando na origem do vetores
 e terminando na outra extremidade do paralelogramo 
(diagonal maior do paralelogramo)
início
 
Módulo do vetor Soma (caso geral)
onde é o ângulo entre os dois vetores da soma vetorial!
O que acontece com essa expressão quando ? Trace o vetor resultante nessa situação 
19
Exemplo 1
Uma patinadora se encontra na origem do sistema de coordenadas cartesiano e, durante sua apresentação, desloca-se para o leste por 3 metros, e em seguida percorre 10 km na direção e sentido que faz 60 com o eixo . 
a) Represente geometricamente a soma vetorial do trajeto da patinadora. Ao final do trajeto, em que ponto do sistema de coordenadas a patinadora está localizada? 
b) Qual é a distância da patinadora do final do trajeto à origem do sistema de coordenadas?