Zeros de funções reais

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DETERMINAR ZEROS DE FUNÇÕES REAIS OU CÁLCULO DE RAÍZES 
DE FUNÇÕES 
 
 
Métodos numéricos para a resolução de equações não lineares do tipo (x)f = 0 
 
Um número real é um zero da função ou uma raíz da função se ξ (x)f (ξ) .f = 0 
 
Como obter raízes reais de ?(x)f 
 
Por ser praticamente impossível achar os zeros exatamente, temos que nos contentar em 
encontrar aproximações, mas estas aproximações são “boas” a menos de limitações de 
máquina, como a quantidade de dígitos na mantissa no número. 
 
Ideia central dos métodos 
 
A partir de uma aproximação inicial para a raíz refinar essa aproximação através de um 
processo interativo. 
 
Fase I: ​localização ou isolamento das raízes, que consiste em obter um intervalo que 
contém a raíz: 
 
a, ]ξ ∈ [ b 
 
Fase II: refinamento, que consiste em melhorar sucessivamente as aproximações iniciais 
até obter uma aproximação com uma precisão prefixada.ξ 
 
Método iterativo 
 
Na fase I:​ obter o intervalo que contém a raíz 
i) usar as técnicas do C.D.I (Cálculo Diferencial Integral) para localizar as abcissas dos 
pontos onde a curva corta o eixo x. 
ii)​ a partir da equação obter a equação equivalente.(x)f = 0 
 
(x) (2)f 1 = f 2 
 
Os pontos de interseção dos gráficos serão as raízes procuradas.(x) e f (x)f 1 2 
iii) ​usar programas que traçam gráficos de funções. 
 
Exemplo de (ii) 
Considere e determinar (x) , x =f = x 2 − x
1 / 0 (x)f = 0 
 
 x 2 = x
1 
 . xx 2 = 1
 
 
x = √3 1 
Neste caso, a função tem apenas uma raíz que é .ξx = 1 → = 1 (x) f = x 2 − x
1 ξ = 1 
 
Os métodos (fase de refinamento) 
➔ Bissecção (mais simples) 
➔ Newton Raphson (tangentes) 
➔ Secantes 
 
 
Método da Bissecção 
 
É baseado no Teorema do Valor Intermediário: 
“Seja uma função contínua num intervalo Se , então existe pelo(x)f a, ]. [ b (a)f (b) f < 0 
menos um ponto entre e que seja raiz de x = ξ a b (x)."f 
 
Ideia Geral:​ a partir do intervalo onde se localiza a raiz reduzir pela metade em cadaa, ][ b ξ 
iteração, a amplitude do intervalo que contém a raiz até atingir a pressão requerida. 
 
Algoritmo do método da Bissecção 
 
Seja contínua em e tal que (x) f a, ][ b (a) . f (b)f < 0 
 
1.Dados iniciais 
a) intervalo a, ][ b 
b) precisão ξ 
 
2. Se então é q.q FIMb ) ( − a < ξ x a, ],x∈ [ b 
3. K = 1 
4. (a)M = f 
5. x = 2
a+b 
6. Se faça . Vá para o passo 8.. f (x) ,M > 0 a = x 
7. b = x 
8. Se então é q.q. FIMb ) ( − a < ξ x a, ]. x∈ [ b 
9. Volte para o passo 5..K = K + 1 
 
Terminando o processo, teremos um intervalo .a, ][ b < ξ 
Tomamos como aproximação para a raiz exata.x = 2
a+b 
 
A convergência do método da Bissecção 
 
1) contínua em (x) f a, ][ b 
2) (a) . f (b) f < 0 
 
Método de Newton Raphson (tangentes) 
 
O estimador do zero da função feita a partir da reta tangente a função em um valor(x) y = f 
inicial estimado . x 0 
Supondo essa aproximação para a raiz de , no ponto passa uma única x 0 (x)f x , f (x )( 0 0 
reta tangente, que é a derivada de em . Esta reta tangente corta o eixo x na(x) f x 0 
coordenada , definindo o ponto ( . x 1 , f (x ))x 1 1 
Por este ponto também passa uma tangente que corta o eixo x em que define x 2 
 e assim se repete o processo até obter a precisão desejada.x , f (x ))( 2 2 
 
A iteração é dada por: 
 x k+1 = x k −
f (xk)
f (x )′ k
 
 
É necessário que seja derivável e que e sejam contínuas nos postos das(x) f (x) f (x) f ′ 
iterações