AULA - Raízes de Funções - Cálculo Numérico

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Raízes das Funções
Professor. Sandro Curió
Disciplina: Cálculo Numérico
Notável Mestre
RAÍZES DE FUNÇÕES
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
➢ Identificar funções algébricas e funções transcendentes.
➢ Utilizar o método gráfico para determinar uma aproximação para uma raiz de uma
função.
➢ Utilizar o método da bisseção para determinar uma aproximação para uma raiz de uma
função.
Contextualização : Você está projetando um tanque esférico para armazenar água para
uma pequena vila em uma região em desenvolvimento. O volume de líquido que ele
armazena pode ser calculado por
𝑽 = 𝝅𝒉𝟐
𝟑𝑹 − 𝒉
𝟑
𝟐
Onde V é o volume 𝑚3 , h é a profundidade da água
no tanque 𝑚 ,𝑅 é o raio do tanque 𝑚 .
Se R = 3 m, até que profundidade o tanque deve
estar cheio para que ele armazene 30𝑚3?
Em muitos problemas de Ciência e Engenharia há a necessidade de se determinar um
número 𝛼 para o qual uma função 𝑓 𝑥 se anula ou seja, 𝑓 𝛼 = 0.
Este número é chamado raiz da equação 𝑓 𝑥 = 0 ou zero da função 𝑓 𝑥 .
Vamos tratar somente das raízes reais, embora as equações possam apresentar raízes
complexas.
Graficamente as raízes reais são representadas por abscissas dos pontos onde uma curva
intercepta o eixo x.
Para se obter essas raízes a ideia é partir de uma aproximação inicial para a raiz e, em
seguida, refinar essa aproximação através de um processo iterativo, isto é:
➢ Fase I: Localização ou isolamento das raízes, que consiste em obter um intervalo que
contenha somente uma raiz da equação 𝑓 𝑥 = 0;
➢ Fase II: Refinamento, que consiste em, escolhidas as aproximações iniciais no intervalo
encontrado na Fase I, melhorar a aproximação até que o grau de exatidão seja
alcançado.
Fase I: Isolamento das Raízes
Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função f(x).
Na análise teórica usamos frequentemente o teorema:
Teorema de Bolzano: Seja f(x) uma função contínua num intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b)
têm sinais contrários, ou seja, f(a).f(b) < 0, então existe pelo menos uma raiz 𝛼 de f no
intervalo ]a,b[.
Nesse caso pode-se tomar como primeira aproximação para a raiz 𝛼 o valor:
𝛼0 =
𝑎 + 𝑏
2
Graficamente 
Nos gráficos as raízes estão representadas por 𝜉, 𝜉1, 𝜉2 𝑒 𝜉3.
Observação 
Se f’(x) existir e preservar o sinal em ]a,b[ então este intervalo contém uma única raiz da
função f(x).
Proposição: Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável no intervalo (a,b).
i) Se f’(x) > 0 para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 então f é crescente em [a,b];
ii) Se f’(x) < 0 para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 então f é decrescente em [a,b];
Interpretação Geométrica
Coeficientes angulares, das retas tangentes, sempre positivos.
x
f’(x) > 0 f é crescente
Interpretação Geométrica
Coeficientes angulares, das retas tangentes, sempre negativos.
x
f’(x) < 0 f é decrescente
Exemplos:
1) 𝑓 𝑥 = −𝑥2 − 𝑥 − 5
2) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 + 2
3) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 − 𝑥
4) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑙𝑛𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 − 𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑥2𝑙𝑛𝑥
Observação (2.1.2): 
Uma forma de se isolar as raízes de f(x) usando os resultados anteriores é tabelar f(x) para
vários valores de x e analisar as mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada nos
intervalos em que f(x) mudou de sinal.
Exemplos:
1) Achar uma primeira aproximação 𝛼0 para a única raiz 𝛼 da função polinomial
𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥 − 3.
Observando o gráfico de f(x), vê-se que 1,5 é um valor próximo da raiz 𝛼 de f. Assim
sendo, pode-se tomar 𝛼0 = 1,5.
2) Pesquisar as raízes da função ℎ 𝑥 = 𝑥3 − 7𝑥 + 1.
.
3) Pesquisar as raízes da função 𝑔 𝑥 = 𝑥𝑙𝑛𝑥 − 3.
Outro recurso que se utiliza para o isolamento de raízes é transformar a equação f(x) = 0 
numa equivalente da forma g(x) = h(x) e buscar a interseção das duas funções, pois neste 
caso: 𝑓 𝑥 = 0 ⟺ 𝑔 𝑥 = ℎ(𝑥)
4) Pesquisar as raízes da função 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1 + 𝑙𝑛𝑥.
Fase II: Refinamento 
Método da Bissecção
Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a,b], com a < b e f(a).f(b) < 0. Suponha que
𝛼, seja a única raiz da equação f(x) = 0 nesse intervalo.
O método da bissecção consiste em diminuir o tamanho do intervalo [a,b] que contém a raiz
𝛼, por meio de divisões sucessivas do intervalo [a,b] ao meio e, em seguida, verificar em
qual das metades a raiz se encontra.
Inicialmente, divide-se [a,b] ao meio, obtendo-se 𝛼0 =
𝑎+𝑏
2
, havendo assim, dois
subintervalos 𝑎, 𝛼0 𝑒 [𝛼0, 𝑏] a serem considerados.
Se 𝑓 𝛼0 = 0 então 𝛼0 é a raiz. Caso contrário, verifica-se:
Se os sinais de𝑓 𝑎 𝑒 𝑓 𝛼0 coincidirem, então redefinimos a = 𝛼0;
Se os sinais de 𝑓 𝑏 𝑒 𝑓 𝛼0 coincidirem, então redefinimos b = 𝛼0;
Se acontecer a primeira situação, a raiz 𝛼 pertence ao subintervalo 𝛼0, 𝑏 e, se acontecer
a segunda, a raiz 𝛼 pertence ao subintervalo [𝑎, 𝛼0] .
Seguindo, o novo intervalo [𝑎1, 𝑏1] que contém a raiz 𝛼 é dividido ao meio,
encontrando-se 𝛼1=
𝑎1+𝑏1
2
.
O processo é repetido até que seja obtida uma aproximação para a raiz exata em 𝛼,
que é desconhecida, com a tolerância 𝜀 > 0 desejada.
Na figura tem-se uma ilustração do método da bissecção para i = 0,1.
Convergência 
O método da bissecção gera uma sequência convergente de soluções aproximadas para
a raiz 𝛼, se f é contínua em [a,b], com f(a).f(b) < 0.
Estimativa para o número de iterações
Para se obter uma raiz da equação f(x) = 0, no intervalo [a,b], pelo método da
bissecção, com erro relativo menor do que 𝜀, o número mínimo n de iterações a serem
efetuadas deve satisfazer:
𝑛 >
log 𝑏 − 𝑎 − 𝑙𝑜𝑔 𝑎 − 𝑙𝑜𝑔𝜀
𝑙𝑜𝑔2
Exemplos:
1) Deseja-se obter a raiz da função 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥 − 3, que está no intervalo [1,2], com
erro relativo menor do que 𝜀 ≤ 0.03, o número mínimo n de iterações necessárias deve
satisfazer:
2) Seja𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥. Encontrar a raiz aproximada da equação f(x) =0, localizada no
intervalo [0,1], com erro relativo menor do que 𝜀 ≤ 0,2. Calcule o número mínimo de
iterações.
Atividade de Aprendizagem
Seja ℎ 𝑥 = 𝑥3 − 7𝑥 + 1. Encontrar a raiz aproximada da equação f(x) = 0, localizada no
intervalo [0,1], com erro relativo menor do que 𝜀 ≤ 0,2.
Finalização
Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑙𝑛𝑥 − 3. Encontrar a raiz aproximada da equação f(x) = 0, que se encontra no
intervalo (2,3), com erro relativo menor do que 𝜀 ≤ 0,03.
BIBLIOGRAFIA 
RUGGIERO, M. A. G. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionais. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil.
OBRIGADO(A)
Notável Mestre Disciplina Cálculo NuméricoProf. Sandro Curió