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Estatística Aplicada
Tema 3 – Assimetria e Curtose.
Profª Ivonete Melo de Carvalho
1° Bloco
Para início de conversa
Curva polida
• Para um conjunto de dados que esteja sendo
estudado, além dos gráficos que você já estudou
(histograma, polígono de frequência e ogiva),
outro tipo de curva que pode ser elaborado
recebe o nome de curva de frequência ou curva
polida.
Curva de frequência x curva polida
• O polígono de frequência determina ou
mostra ao leitor (pesquisador) a imagem real
do fenômeno estudado;
• A curva de frequência demonstra a
tendência do estudo em elaboração.
• A curva polida é a
resultante de um grande
número de dados, sem
os vértices da linha
poligonal.
Graficamente
Analisando a figura
• Linha azul:polígono de frequências.
• Linha vermelha: curva polida.
• A curva polida não está “centralizada” no
plano cartesiano. Esta deslocada para o
lado esquerdo de quem lê a figura, por esse
motivo dizemos que
ela é uma figura
assimétrica.
Simetria e assimetria
•Simetria é uma propriedade geométrica dos
elementos, contudo para a Estatística,
assimetria nada mais é do que o grau de
desvio (afastamento da simetria) de uma
distribuição de dados.
• Para distribuições assimétricas,
a média tende a situar-se do
mesmo lado da moda (na
cauda mais longa).
Distribuição Assimétrica à Direita (ou 
Assimetria Positiva)
Distribuição Assimétrica à Esquerda 
(ou Assimetria Negativa)
Distribuição Simétrica
Medida de assimetria
Coeficiente de Pearson
Uma medida de assimetria é proporcionada
pela diferença entre a média e a moda. Ela
pode ser tomada sem dimensão por meio de
uma divisão por uma medida de dispersão,
como o desvio padrão.
s
)amodx(*3assimetria 
Classificação
• Média = Mediana = Moda: distribuição
simétrica;
• Média < Mediana < Moda: distribuição
assimétrica negativa;
• Média > Mediana > Moda:
distribuição assimétrica
positiva.
2° Bloco
Continuando
Curtose
• Uma curva pode ser mais ampla ou mais
compacta; mais alongada ou mais
achatada. Interessa à estatística estudar o
quanto uma curva poder ser alongada.
• Curtose é o grau de
achatamento de uma
distribuição, considerado
em relação a uma
distribuição normal.
Coeficiente de curtose
• Pode-se determinar o coeficiente de
curtose, que dá o grau de achatamento da
curva de uma distribuição, por meio da
seguinte fórmula (conhecendo os valores
dos quartis e dos percentis):
)PP(*2
QQ
k
1090
13



Classificação
K = 0,263 mesocúrtica Achatamento normal
K > 0,263 platicúrtica Mais achatada
K < 0,263 leptocúrtica Mais alongada
Graficamente
Curva normal
• Para desenhar a curva normal (curva em
formato de sino) a equação utilizada é:
• onde:
• y representa a ordenada;
• e = 2,71828;
• π= 3,1416;
• µ= representa a média da população;
• σ= representa o desvio padrão.



















2x*5,0
e
2*
1y
Graficamente
3° Bloco
Vamos praticar?
Exercício 1
(AFRF–2002–2):
O atributo do tipo contínuo X, observado como
um inteiro, numa amostra de tamanho 100
obtida de uma população de 1000 indivíduos,
produziu a tabela de frequências seguinte:
Classes Freqüência (fi)
29,5 – 39,5
39,5 – 49,5
49,5 – 59,5
59,5 – 69,5
69,5 – 79,5
79,5 – 89,5
89,5 – 99,5
4
8
14
20
26
18
10
Continua
Para a distribuição de freqüências do atributo
X, sabe-se que:
     500.682.14fi*XXie500.24fi*XXi 42
Nessas expressões os Xi
representam os pontos
médios das classes e a
média amostral.
Continua
Assinale a opção correta. Considere para sua
resposta a fórmula da curtose com base nos
momentos centrados e suponha que o valor
de curtose encontrado é populacional.
Continua
a) A distribuição do atributo X é leptocúrtica.
b) A distribuição do atributo X é platicúrtica.
c) A distribuição do atributo X é indefinida do
ponto de vista da intensidade da curtose.
d) A informação dada se
presta apenas ao cálculo
do coeficiente de
assimetria com base nos
momentos centrados de X.
a) A distribuição de X é
normal.
Solução
Índice Momento de Curtose será dado por:
 
 
22
4
4
4
n
fi*XPM
n
fi*XPM
S
mC







 




Solução – continua
Veja bem:
• Dados fornecidos: Xi (ponto médio) =PM.
• n = 100. 
Substituindo os dados na 
fórmula, ter-se-á:
Solução – continua
 
 
44,2C
100
500.24
100
500.682.14
C
n
fi*XPM
n
fi*XPM
C
2
22
4















 




Finalizando
Ao calcular C=2,44 (portanto, um valor
menor que 3) concluí-se que a distribuição é
platicúrtica.
Alternativa correta: letra b
4° Bloco
Finalizando
Em resumo
• Simetria
• Assimetria
• Curtose
• Índice de curtose.