GabP1Mec (1)

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Primeira avaliação
Prof. Adriano Delfino
CDI 3- Engenharia Mecânica
Data: 09/04/2019
1. Calcule
∫
γ
xy ds onde γ é a curva dada por x = y
2
4
entre os pontos (0, 0) e (1, 2).
Solução:
A fórmula para calcular a integral de uma função escalar é dada por∫
γ
f ds =
∫ b
a
f(γ(t))||γ′(t)|| dt.
Vamos obter as informações para o cálculo. Nesse caso f(x, y) = xy e o dommínio é
Ω = R2. A curva pode ser parametrizada por
γ(t) = (t2, 2t), 0 ≤ t ≤ 1.
Calculando a derivada do vetor γ obtemos
γ
′
(t) = (2t, 2).
Logo
||γ′(t)|| =
√
(2t)2 + 22 =
√
4t2 + 4 = 2
√
t2 + 1.
Calculando f sobre a curva obtemos
f(γ(t)) = f(t2, 2t) = t2 · 2t = 2t3.
Portanto agora é só calcular a integral. Segue:∫
γ
xy ds =
∫ b
a
f(γ(t))||γ′(t)|| dt
=
∫ 1
0
2t3 · 2
√
t2 + 1 dt
=
∫ 1
0
2t2 · 2
√
t2 + 1 · 2t dt
=
∫ 2
1
2(u+ 1) · 2
√
u · du
= 2
∫ 2
1
u
3
2 + u
1
2 du = 2
[
u
5
2
5
2
+
u
3
2
3
2
]2
1
=
4
√
2− 1
5
+
2
√
2− 1
3
.
2. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F (x, y) = (e−y,−xe−y) para deslocar
uma partícula entre os pontos (1, 1) e (2, 0).
Solução: A fórmula para calcular o trabalho é dado pela integral de linha dada por∫
γ
F dγ =
∫ b
a
f(γ(t))γ
′
(t) dt.
O domínio de F é Ω = R2 e portanto simplesmente conexo. Logo ∂M
∂y
= ∂N
∂x
implica F
conservativo. Temos
M(x, y) = e−y eN(x, y) = −xe−y.
1
Calculando as derivadas parcias obtemos
∂M
∂y
= −e−y e ∂N
∂x
= −e−y.
Logo F é conservativo e a integral não depende do caminho,∫
γ
F dγ = φ(B)− φ(A),
onde φ é a função potencial de F , isto é, ∇φ = F . Portanto obtemos o sistema
∂φ
∂x
(x, y) = M(x, y) = e−y (1)
e
∂φ
∂y
(x, y) = N(x, y) = −xe−y. (2)
Integrando (1) em relação a x obtemos
φ(x, y) = xe−y + c(y). (3)
Derivando (3) em relação a y obtemos
∂φ
∂y
(x, y) = −xe−y + c′(y) (4)
Comparando (4) com (2) obtemos c
′
(y) = 0 e portanto c(y) = c. Logo a função potencial
é dada por
φ(x, y) = xe−y.
Os pontos são A = (1, 1) e B = (2, 0) e portanto
φ(B) = φ(2, 0) = 2e−0 = 2
e
φ(A) = φ(1, 1) = 1e−1 =
1
e
.
Portanto o trabalho realizado é
τ =
∫
γ
F dγ = φ(B)− φ(A) = 2− 1
e
.
3. Calcule a área de um círculo qualquer de raio 1010
10
através de uma integral de linha.
Solução:
A fórmula para a área de uma região K ⊂ R2 é dado por
A =
∫∫
K
dA.
O teorema de Green diz que ∫
γ
F dγ =
∫∫
K
∂N
∂x
− ∂M
∂y
dA.
2
Então para obtemos a fórmula da área envolvendo uma integral de linha, basta escolher
qualquer campo vetorial que satisfaça a relação
∂N
∂x
− ∂M
∂y
= 1.
Escolhendo ∂M
∂y
= 0 e ∂N
∂x
= 1 obtemos M(x, y) = 0 e N(x, y) = x. Logo o campo dado
por F (x, y) = (0, x) fornece a área procurada.
Parametrizando um círculo qualquer obtemos
γ(t) = (x0 +R cos(t), y0 +R sin(t)), 0 ≤ t ≤ 2π,
onde (x0, y0) é o centro. Calculando γ
′
obtemos
γ
′
(t) = (−R sin(t), R cos(t)).
Logo
F (γ(t)) = F (x0 +R cos(t), y0 +R sin(t)) = (0, x0 +R cos t).
Fazendo o produto escalar obtemos
F (γ(t)) · γ′(t) = (0, x0 +R cos t) · (−R sin(t), R cos(t)) = x0R cos(t) +R2 cos2(t).
Portanto a área é dada por
A =
∫
γ
F dγ =
∫ 2π
0
x0R cos(t) +R
2 cos2(t) dt
= x0R
∫ 2π
0
cos(t) dt+R2
∫ 2π
0
cos2(t) dt
= x0R · 0 +R2
∫ 2π
0
1
2
+
cos(2t)
2
dt
= πR2 +R2
∫ 2π
0
cos(2t)
2
dt
= πR2 +R2 · 0 = πR2.
Substituindo R = 1010
10
, obtemos a resposta A = π(1010
10
)2.
4. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F (x, y) = (xy + x7, x
2
2
+ 2x) para
deslocar uma partícula em uma circunferência qualquer de raio π.
Solução:
Como uma circunferência qualquer é uma região fechada e limitada cuja fronteira é uma
curva contínua, podemos usar o Teorema de Green∫
γ
F dγ =
∫∫
K
∂N
∂x
− ∂M
∂y
dA.
A derivada parcial da função M(x, y) = xy + x7 em relação a y é ∂M
∂y
= x e a derivada
parcial da função N(x, y) = x
2
2
+ 2x em relação a x é ∂N
∂x
= x+ 2. Logo
∂N
∂x
− ∂M
∂y
= x+ 2− x = 2.
Portanto∫
γ
F dγ =
∫∫
K
∂N
∂x
− ∂M
∂y
dA =
∫∫
K
2 dA = 2
∫∫
K
dA = 2 · π · π2 = 2π3.
3
5. Calcule o centro de massa de um arame onde a densidade é dado por f(x, y) = kx e o
arame é a metade direita da circunferência de raio 2.
Solução:
A massa e o centro de massa são dados pelas fórmulas:
M =
∫
γ
f ds, xc =
1
M
∫
γ
xf ds e yc =
1
M
∫
γ
yf ds.
Primeiro vamos calcular M cuja fórmula é
M =
∫
γ
f ds =
∫ b
a
f(γ(t))||γ′(t)|| dt.
A curva pode ser parametrizada por γ(t) = (2 cos t, 2 sin t),−π
2
≤ t ≤ π
2
. Calculando f
sobre a curva obtemos
f(γ(t)) = f(2 cos t, 2 sin t) = 2k cos t.
O vetor derivada é γ
′
(t) = (−2 sin t, 2 cos t) e portanto
||γ′(t)|| =
√
(−2 sin t)2 + (2 cos t)2 = 2.
Logo
M =
∫
γ
f ds =
∫ b
a
f(γ(t))||γ′(t)|| dt
=
∫ π
2
−π
2
2k cos t · 2 dt
= 8k
∫ π
2
0
cos t dt = 8k · 1 = 8k.
Calculando xc obtemos
xc =
1
M
∫
γ
xf ds = 1
M
∫ b
a
x(t)f(γ(t))||γ′(t)|| dt
= 1
8k
∫ π
2
−π
2
2 cos t · 2k cos t · 2 dt
= 2
∫ π
2
0
cos2 t dt
= 2
∫ π
2
0
1
2
+
cos 2t
2
dt =
π
2
.
De maneira análoga obtemos yc
yc =
1
M
∫
γ
yf ds = 1
M
∫ b
a
y(t)f(γ(t))||γ′(t)|| dt
= 1
8k
∫ π
2
−π
2
2 sin t · 2k cos t · 2 dt
=
∫ π
2
−π
2
sin 2t dt = 0.
Portanto o centro de massa é (xc, yc) = (
π
2
, 0).
4