Resolva pelo método das aproximações sucessivas de Picard: (a) ẋ = x, x(0) = 1 (b) ẋ = 2t(1 + x), x(0) = 0 (c) ẋ = x− t+ 1, x(0) = 0 (d) ẍ+ ...

Vamos resolver cada uma das equações utilizando o método das aproximações sucessivas de Picard: (a) ẋ = x, x(0) = 1: Primeiro, vamos escrever a equação diferencial na forma integral: x(t) = 1 + ∫[0 até t] x(τ) dτ Agora, vamos fazer as iterações sucessivas: x₀(t) = 1 x₁(t) = 1 + ∫[0 até t] x₀(τ) dτ = 1 + ∫[0 até t] 1 dτ = 1 + t x₂(t) = 1 + ∫[0 até t] x₁(τ) dτ = 1 + ∫[0 até t] (1 + τ) dτ = 1 + t + (t²/2) E assim por diante. (b) ẋ = 2t(1 + x), x(0) = 0: Nesse caso, vamos utilizar o mesmo processo: x₀(t) = 0 x₁(t) = ∫[0 até t] 2τ(1 + x₀(τ)) dτ = ∫[0 até t] 2τ dτ = t² x₂(t) = ∫[0 até t] 2τ(1 + x₁(τ)) dτ = ∫[0 até t] 2τ(1 + τ²) dτ = t³ + (2/3)t⁴ E assim por diante. (c) ẋ = x− t+ 1, x(0) = 0: x₀(t) = 0 x₁(t) = ∫[0 até t] (x₀(τ) - τ + 1) dτ = ∫[0 até t] (1 - τ) dτ = t - (t²/2) + 1/2 x₂(t) = ∫[0 até t] (x₁(τ) - τ + 1) dτ = ∫[0 até t] (t - (t²/2) + 1/2 - τ + 1) dτ = (t²/2) - (t³/6) + (t/2) + 1/2 E assim por diante. (d) ẍ+ x = 0, x(0) = 0, ẋ(0) = 1: Nesse caso, vamos precisar de duas equações diferenciais para resolver o problema. Vamos chamar x(t) de y(t) e ẋ(t) de z(t): ẏ = z, y(0) = 0 ż = -y, z(0) = 1 Agora, vamos utilizar o método das aproximações sucessivas para resolver essas duas equações: y₀(t) = 0, z₀(t) = 1 y₁(t) = ∫[0 até t] z₀(τ) dτ = ∫[0 até t] 1 dτ = t z₁(t) = ∫[0 até t] -y₀(τ) dτ = ∫[0 até t] 0 dτ = 0 E assim por diante. Espero que isso ajude! Se você tiver mais dúvidas, é só perguntar.