Coeficientes Descont́ınuos
a) Resolver o P.V.I: y′ + 2y = g(x), y(0) = 0, onde g(x) = { 1, se 0 ≤ x ≤ 1, 0, se x 1.
b) Resolver o P.V.I: y′ + p(x...

Question

Coeficientes Descont́ınuosa) Resolver o P.V.I: y′ + 2y = g(x), y(0) = 0, onde g(x) = { 1, se 0 ≤ x ≤ 1, 0, se x > 1.b) Resolver o P.V.I: y′ + p(x)y = 0, y(0) = 1, onde p(x) = { 2, se 0 ≤ x ≤ 1, 1, se x > 1.

Ed · Answer

a) Para resolver o P.V.I (Problema de Valor Inicial) y' + 2y = g(x), y(0) = 0, onde g(x) = { 1, se 0 ≤ x ≤ 1, 0, se x > 1, podemos seguir os seguintes passos:

1. Verificar os intervalos onde a função g(x) é diferente de zero. No caso, temos g(x) = 1 para 0 ≤ x ≤ 1 e g(x) = 0 para x > 1.

2. Para o intervalo 0 ≤ x ≤ 1, a equação diferencial fica y' + 2y = 1. Podemos resolver essa equação usando o método da variação de parâmetros ou o fator integrante.

3. Para o intervalo x > 1, a equação diferencial fica y' + 2y = 0. Essa é uma equação diferencial homogênea, cuja solução geral é da forma y(x) = Ce^(-2x), onde C é uma constante a ser determinada.

4. Agora, precisamos encontrar o valor de C para que a solução seja contínua em x = 1. Para isso, substituímos x = 1 na solução geral e igualamos ao valor de y(1) = 0 (dado no P.V.I). Temos 0 = Ce^(-2), o que implica em C = 0.

5. Portanto, a solução para o P.V.I y' + 2y = g(x), y(0) = 0 é:
   - Para 0 ≤ x ≤ 1: y(x) = (1/2)(e^(-2x) - 1)
   - Para x > 1: y(x) = 0

b) Para resolver o P.V.I y' + p(x)y = 0, y(0) = 1, onde p(x) = { 2, se 0 ≤ x ≤ 1, 1, se x > 1, podemos seguir os seguintes passos:

1. Verificar os intervalos onde a função p(x) é diferente de zero. No caso, temos p(x) = 2 para 0 ≤ x ≤ 1 e p(x) = 1 para x > 1.

2. Para o intervalo 0 ≤ x ≤ 1, a equação diferencial fica y' + 2y = 0. Essa é uma equação diferencial homogênea, cuja solução geral é da forma y(x) = Ce^(-2x), onde C é uma constante a ser determinada.

3. Para o intervalo x > 1, a equação diferencial fica y' + y = 0. Essa também é uma equação diferencial homogênea, cuja solução geral é da forma y(x) = De^(-x), onde D é uma constante a ser determinada.

4. Agora, precisamos encontrar os valores de C e D para que a solução seja contínua em x = 1. Para isso, substituímos x = 1 na solução geral de cada intervalo e igualamos aos valores de y(1) = 0 (dado no P.V.I) e y(1) = 1 (dado no P.V.I), respectivamente.

5. Resolvendo as equações, encontramos C = 0 e D = 1.

6. Portanto, a solução para o P.V.I y' + p(x)y = 0, y(0) = 1 é:
   - Para 0 ≤ x ≤ 1: y(x) = 0
   - Para x > 1: y(x) = e^(-x)

Coeficientes Descont́ınuos a) Resolver o P.V.I: y′ + 2y = g(x), y(0) = 0, onde g(x) = { 1, se 0 ≤ x ≤ 1, 0, se x > 1. b) Resolver o P.V.I: y′ + p(x...

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